第八章 证明（必备知识+9大题型+分层训练）（复习讲义）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

该初中数学第八章“证明”复习讲义通过清单式知识梳理构建体系，以“定义-命题-公理/定理”逻辑链串联核心概念，用要点诠释解析定义与命题结构，通过判定与性质对比呈现平行线知识脉络，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，从判断命题、举反例到平行线判定与性质综合应用，如“举反例说明假命题”“补充条件证平行”等题型，培养推理意识与几何直观。基础巩固与能力提升分层练习适配不同学生，助力教师实施精准教学，提升学生逻辑思维与证明能力。

第八章 证明（复习讲义） 1. 了解定义、命题（含真假命题）、公理、定理的意义，体会“定义-命题-公理/定理”之间的逻辑联系，明确证明的基础要素。 2. 能用同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等方法判定两直线平行；能利用“垂直于同一直线”“平行线传递性”识别平行线。 3. 理解平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），并能结合平行线的判定与性质，解决线线平行相关的推理问题。 4. 建立“判定（由角定线）-性质（由线定角）”的知识关联，能区分证明过程中公理、定理的应用场景，提升逻辑推理的条理性。 清单01 定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 清单02 公理与定理 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程. 清单03 平行线的判定 1）判定方法一：同位角相等，两直线平行. 2）判定方法二：内错角相等，两直线平行. 3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行. 4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b 5）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2.（用共面知识可证明，此处不证） 清单04 平行线的性质 1） 两直线平行，同位角相等; 2） 两直线平行，内错角相等; 3）两直线平行，同旁内角互补. 注：①仅当两直线平行时，3类角才有数量关系；当两直线不平行时，3类角只有位置关系，没有大小关系. 题型一 判断是否是命题 【例1】（24-25七年级下·广西钦州·月考）下列语句中不是命题的是（   ） A．垂线段最短 B．连接A，B两点 C．等角的补角相等 D．在同一个平面内，两直线不平行就相交 【答案】B 【分析】该题考查了命题，命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题．逐一分析选项是否为陈述句且能判断真假． 【详解】解：A．“垂线段最短”是陈述句，属于命题，不符合题意． B．“连接A，B两点”是祈使句，表示指令而非陈述事实，无法判断真假，故不是命题，符合题意． C．“等角的补角相等”是陈述句，逻辑上为真，属于命题，不符合题意． D．“在同一个平面内，两直线不平行就相交”是陈述句，属于命题，不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）下列语句是命题的是（   ） A．若，求的值 B．两直线相交有几个交点 C．画一个角等于已知角 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题，掌握命题的定义是解题的关键，判断是否为命题，①是否为陈述句，②是否为判断语句．根据命题的定义分别判断下列选项即可． 【详解】解：A、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意； B、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意； C、没有作出判断，故不是命题，本选项不符合题意； D、符合命题的定义，本选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（24-25七年级下·四川广安·月考）下列语句中，是命题的是（    ） ①若，，则； ②同位角相等吗？ ③画线段； ④地球围着太阳公转； ⑤直角都相等 A．①④⑤ B．①②④ C．①②⑤ D．②③④⑤ 【答案】A 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题的定义，难度不大．根据命题的概念判断即可． 【详解】解：①若，，则，是命题，符合题意； ②同位角相等吗？，是疑问句，没有作出判断，不是命题，不符合题意； ③画线段，没有作出判断，不是命题，不符合题意； ④地球围着太阳公转，是命题，符合题意； ⑤直角都相等，是命题，符合题意． 故选：A． 题型二 判断命题的真假 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列命题是假命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．判断某一件事情的句子叫作命题 C．如果两个三角形有两边及其一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等 D．三角形具有稳定性 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、命题的定义以及三角形的稳定性． 根据全等三角形的判定和性质、命题的定义以及三角形的稳定性逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A：全等三角形的对应角相等，原命题为真命题； B：命题是能够判断真假的陈述句，原命题为真命题； C：两边及其中一边的对角对应相等可能存在的情况，不能保证全等，原命题为假命题； D：三角形具有稳定性，原命题为真命题； 故选： C． 【变式2-1】（24-25七年级下·广东广州·期中）下列命题中，是真命题的是（  ） A．如果两个角是同旁内角，那么这两个角一定互补 B．两个互补的角一定是邻补角 C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 D．在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】此题主要考查命题真假的判断，解题的关键是熟知平行线的性质、邻补角定义、点到直线的距离的概念、垂直的定义．根据平行线的性质、邻补角定义、点到直线的距离的概念、垂直的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，故A不符合题意； B、两个互补的角不一定是邻补角，原命题是假命题，故B不符合题意； C、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离，原命题是假命题，故C不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，此命题为真命题，故D符合题意． 故选：D． 【变式2-2】（24-25八年级上·山东青岛·期末）下列命题中，是真命题的有（   ） ①如果两个数的和是有理数，那么它们可能是无理数 ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③一个数的平方根等于它本身，这个数一定是0 ④一次函数的图像经过原点，这个函数一定是正比例函数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据实数的性质、垂线的性质、平方根的概念、正比例函数的性质判断即可． 【详解】解：①如果两个数的和是有理数，那么它们可能是无理数，选项说法正确，是真命题，例如：是有理数，和是无理数，故符合题意； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项说法错误，是假命题，故不符合题意； ③一个数的平方根等于它本身，这个数一定是0，选项说法正确，是真命题，故符合题意； ④一次函数的图像经过原点，这个函数一定是正比例函数，选项说法正确，是真命题，故符合题意； 则是真命题的有①③④，共3个． 故选：C． 题型三 举反例说明命题是假命题 【例3】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的是（    ） A．， B．， C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查判断命题的真假，角度的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．要说明命题是假命题，需找到满足条件但结论不成立的反例． 【详解】解：A、，其和为90°，但，符合原结论，不能说明命题是假命题；   B、，，和为，不符合命题的条件，不能作为反例说明命题是假命题；   C、，和为且，能说明命题是假命题；   D、，，和为，不符合命题的条件，不能作为反例说明命题是假命题．   故选：C． 【变式3-1】（25-26八年级上·福建泉州·期中）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查假命题的反例判断，关键是确保前提成立但结论不成立． 要证明命题“若，则”是假命题，需找反例，即x满足但． 【详解】解：A、时，，且，不符合反例； B、时，，前提不成立，不符合反例； C、时，，且，不符合反例； D、时，，但，即，结论不成立，符合反例， 故选：D． 【变式3-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）举反例说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，下列所举的反例不正确的是（    ） A．设这个角是，它的补角是，但 B．设这个角是，它的补角是，但 C．设这个角是，它的补角是，但 D．设这个角是，它的补角是，但 【答案】C 【分析】本题主要考查了举反例判断命题是假命题，判断哪个选项不能作为反例证明命题“一个角的补角大于这个角”为假，需找出补角大于角的情况．根据补角性质，当角时，补角角． 【详解】一个角的补角为，命题“补角大于角”即，解得：， 当时，补角角，命题不成立，此类情况可作为反例， A选项：，补角，补角角，可以说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，故A选项不符合题意； B选项：，补角，补角角，可以说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，故B选项不符合题意； C选项：，补角，补角角，命题成立，不能说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，故C选项符合题意； D选项：，补角，补角角，可以说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，故D选项不符合题意． 故选：C． 题型四 写出命题的题设与结论 【例4】（25-26八年级上·山西忻州·期中）把命题“等边三角形三个内角都相等”写成“如果…，那么…”的形式： ． 【答案】如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等 【分析】本题考查命题与定理．把题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面即可． 【详解】解：命题“等边三角形三个内角都相等”可改写成“如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等”； 故答案为：如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等． 【变式4-1】（24-25八年级上·吉林长春·期中）把命题“三条边都相等的三角形是等边三角形”写成“如果……，那么……”的形式是 ． 【答案】如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形 【分析】本题考查命题的改写，把命题的条件写成如果……的形式，把命题的结论写成那么……的形式即可． 【详解】解：如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形； 故答案为：如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形． 【变式4-2】（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是 【答案】如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行 【分析】本题考查了命题与定理，把命题的题设部分写在如果的后面，把结论部分写在那么的后面． 【详解】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行， 故答案为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行． 题型五 判断使两直线是否平行 【例5】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，在下列条件中，不能判断直线的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行．根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】A．∵不能判断直线； B．∵与是一对同位角， ∴由能判断直线； C．∵与是一对同旁内角， ∴由能判断直线； D．∵与是一对内错角， ∴由能判断直线． 故选：A． 【变式5-1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）将一块含有、、的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中：①，②，③，④，⑤，，能判断的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到，从而可以解答本题． 【详解】解：，， 不一定等于， 和n不一定平行，故①不符合题意； ，， 不一定等于， 和n不一定平行，故②不符合题意； 过点C作， ， ，， ， ， ，故③符合题意； ， ， ，故④符合题意； ，，， ， ，故⑤符合题意； 故选：C． 【变式5-2】（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，下列过程及括号中所注明的依据正确的是（    ） A．因为，所以（内错角相等，两直线平行） B．因为，所以（两直线平行，同旁内角互补） C．因为，所以（两直线平行，内错角相等） D．因为，所以（同位角相等，两直线平行） 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解决本题的关键． 根据平行线的判定定理，即“内错角相等，两直线平行”，“同位角相等，两直线平行”以及平行线的性质，即“两直线平行，同旁内角互补”，“两直线平行，内错角相等”，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，因为，所以（内错角相等，两直线平行），故A错误； B选项，因为，所以（两直线平行，同旁内角互补），故B错误； C选项，因为，所以（两直线平行，内错角相等），故C错误； D选项，因为，所以（同位角相等，两直线平行），故D正确． 故选：D ． 题型六 补充条件使两直线平行 【例6】（24-25七年级下·山东济宁·期末）如图，已知，要判定，则可以补充的一个条件为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定及性质，根据平行线的判定及性质即可解答． 【详解】解：可以补充条件：，理由如下： 延长交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 【变式6-1】（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）如图所示，请添加一个合适的条件： ，使（填一个即可）． 【答案】或或（任填一个即可） 【分析】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键． 直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． 故答案为：或或（任填一个即可）． 【变式6-2】（2024·河南南阳·一模）为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务、图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，，，当 时，． 【答案】/70度 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．先根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定可得要使，则，则可得，然后根据角的和差即可得． 【详解】解：∵、都与地面平行， ∴， ∴， 要使，则， ∴， ∵， ∴， 即当时，， 故答案为：． 题型七 利用平行线的性质求解 【例7】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，两直线平行同旁内角互补，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据两直线平行同旁内角互补，得出，再根据对顶角相等，求得，代入，即可求得． 【详解】解：如图， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， 故选：B． 【变式7-1】（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）根据题意分析  如图，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质定理，通过 “两直线平行，同旁内角互补”，即可得到结果． 【详解】解：，， ， ∴， ∵， ∴． 故选：． 【变式7-2】（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，三角板中角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，过点作，且点在点的右侧，则，进而得，，由此得，再根据，即可得出的度数，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，且点在点的右侧，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 题型八 平行线的判定与性质多结论问题 【例8】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在三角形中，延长至点，的平分线与的平分线交于点，在的内部做射线，已知，．下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质、角平分线的定义，逐一分析每个结论． 【详解】解：∵， ∴，所以结论①正确． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴，， ∴． ∴，所以结论②正确． ∵， ∴， ∵， ∴，所以结论③错误． ∵， ∴， ∴，所以结论④正确． 故答案为：①②④． 【变式8-1】（24-25七年级下·吉林·期末）某自行车的示意图如图所示，其中，且都与地面平行，若，则下列结论正确的是 （填序号） ①；②当时，有； ③当时，有；④当时，有． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的性质与判定的应用；根据平行线的性质与判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 当时，∵， ∴， 又∵ ∴ ∴，故②正确； 当时，， ∴ ∴与不平行，故③错误； 当时，则 ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【变式8-2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点分别在上，连接，下列条件：；；；；．其中能判定的条件有 （填序号即可）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一排除即可，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴； 由不能判定； ， ∴； ， ∴； 不能判定； 综上可知：能判定， 故答案为：． 题型九 平行线的判定与性质的综合问题 【例9】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在光学实验室中，两束平行激光和分别沿水平方向发射．一束斜向光线照射到上，经过折射后与相交于点F，并继续折射至上的点D处，从点D引出一条新的折射光线，且． (1)求证：． (2)若命题“已知______，则”是真命题，请填空，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟记同位角相等，两直线平行、两直线平行；同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键． （1）由对顶角定义得到，结合题意，等量代换即可得到，最后由同位角相等两直线平行即可得证； （2）由，求得的度数，再由，即可求得的度数． 【详解】（1）证明：和是对顶角， ， ， ， ∴； （2）解：已知，则， 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式9-1】（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如图，在四边形中，，，点在上方，连接，，交于点，，． (1)求的度数； (2)点是上的一点，连接，，求证． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先根据已知条件求出的度数，再利用四边形内角和或三角形外角等知识，结合与的度数判断与的位置关系，进而求出的度数． （2）求出与相关角的度数，通过同位角或内错角相等来证明 ． 本题主要考查了平行线的判定与性质、对顶角相等以及角的和差计算等知识，熟练掌握平行线的判定定理（内错角相等、同旁内角互补等）和性质（两直线平行，同位角、内错角相等）是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． （2）解：由（1）知， ∴（对顶角相等）． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． 【变式9-2】（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）如图，点在线段的延长线上，，交于点，且，． (1)猜想与的位置关系，并证明； (2)如图，为反向延长线上一点，，的平分线交于点，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线、角的计算，解决本题的关键是根据平行线的性质找到角之间的关系． 根据内错角相等，两直线平行，可得，根据两直线平行，内错角相等，可得：，等量代换可得：，根据同位角相等，两直线平行可证结论成立； 由可知，过点作，根据在同一平面内平行于同一条直线的两直线互相平行，可得：，根据两直线平行同旁内角互补，可得：，从而有，结合图形可知，可得：． 【详解】（1）证明：， 理由如下： ， ， ， ， ， ； （2）解：如下图所示，过点作， ， ， ，， ， 即， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列命题是真命题的是（    ） A．相等的角都是对顶角 B．若一个数的相反数是，则这个数是 C．若，则 D．同旁内角相等，两直线平行 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断命题真假， 根据对顶角，相反数，平方根及平行线的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角相等），∴ A是假命题， 设这个数为x，则其相反数为，由题意，，∴ B是真命题， ∵，∴，∴ C是假命题， ∵ 同旁内角互补时两直线平行，相等时不一定平行（如同旁内角均为60°时，两直线不平行），∴ D是假命题， 故选：B． 2．能说明命题“对于任何实数”是假命题的一个反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题，说明一个命题是假命题只需举一个反例． 根据“a是实数，则”成立的条件是即可得答案． 【详解】解：∵时， ∴当时，原命题成立，故A不符合题意， 同理时，原命题成立，故B不符合题意； 时，原命题成立，故C不符合题意， 而当时，原命题不成立，故D符合题意； 故选：D． 3．如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．要使，还需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定． 根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，得出，再利用要使，找出符合要求的答案即可． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， 要使，只要就行， ∵， ∴还需要添加条件即可得到（等量代换）， 故选：B． 4．有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图①所示叠放，先将含角的纸板固定不动，再将含角的纸板绕顶点顺时针旋转，使，如图②所示，则旋转角的度数为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设与交于点，根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求解．本题考查了平行线的性质，旋转的性质，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质，旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 二、填空题 5．“4的平方根是2”这个命题是 命题．（填“真”或者“假”） 【答案】假 【分析】本题考查了平方根，判断命题的真假； 根据4的平方根是可知这个命题是假命题． 【详解】解：∵4的平方根是， ∴“4的平方根是2”这个命题是假命题， 故答案为：假． 6．根据光的反射定律，入射光线和平面镜的夹角等于反射光线和平面镜的夹角．如图，笔直的墙面上点的灯泡发出的一束光线照在平面镜上的点，，反射光线恰好和墙面平行，若，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等得出的度数，即可求出的度数，再根据平角的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（1）如图①，E是延长线上一点，如果添加一个条件，使，则可添加的条件为： ，（任意添加一个符合题意的条件即可） （2）如图②，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②：③；④．其中能判定的是 ．（填序号） 【答案】 （答案不唯一） ②③④ 【分析】本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定定理求解即可； （2）根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】（1）解：可添加的条件为， ∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （2）∵， ∴， 故①不符合题意； ∵， ∴， 故②符合题意； ∵， ∴， 故③符合题意； ∵， ∴， 故④符合题意； 故答案为：②③④． 8．如图，点E在延长线上， ， 交于F，且， ，比的余角小， P 为线段上一动点，Q为线段 上一点，且满足，为的平分线，则下列结论：①；②平分；③；④；⑤的度数为定值，其中正确结论的是 ．（填序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、余角和补角、角平分线的定义以及三角形内角和定理，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．①由，可得出，进而可得出，结合可得出，根据“同位角相等，两直线平行”可得出，结论①正确；②由可得出，结合可得出，即平分，结论②正确；③由可得出，结合比的余角小可求出的度数，再由结合三角形内角和定理可求出，结论③正确；④由③得：无法证明，结论④错误；⑤根据角平分线的定义可得出以及，将其代入可求出的角度为定值，结论⑤正确．综上即可得出结论． 【详解】解：①∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，结论①正确； ②∵， ∴． ∵， ∴， ∴平分，结论②正确； ③∵， ∴． ∵比的余角小， ∴． ∵，， ∴，结论③正确； ④由③得：无法证明，结论④错误； ⑤∵为的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴，结论⑤正确． 综上所述：正确的结论有①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 三、解答题 9．如图，，，，求证． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，根据三角形内角和为，结合已知条件求出 的度数，再结合平行线的判定定理证明即可． 【详解】证明：如图所示，在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 10．填空： 已知：， 求证： _______． 证明：过A点作_______∥_______， 则_______， _______．（_______，_______） ∵是平角， ∴_______+_______．（______________） ∴______________．（______________） 即______． 【答案】；，；，；两直线平行，内错角相等；，，平角定义；，，等式的性质； 【分析】本题考查了平角的定义，平行线的性质．根据平行线的性质，平角的定义完成推理过程即可． 【详解】已知：， 求证：． 证明：过A点作， 则，．（两直线平行，内错角相等） ∵是平角， ∴ ∴ 即． 11．【问题感知】 （1）如图1，若，平分，求证：． 请将下列证明过程补充完整： 证明：平分，（已知）， _____（角平分线的定义）． （已知）， _____（两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 【问题探索】 （2）如图2，直线，被直线所截，平分，，点在射线上，点在线段上，连接，若，求证：； 【衍生拓展】 （3）如图3，将（2）中的点移动到线段的延长线上，其他条件不变，连接，若，求的度数． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据角平分线定义和平行线的性质进行解答即可； （2）先证明，得出，在证明，根据平行线的判定得出结论即可； （3）根据角平分线定义得出，根据平行线的性质求出，求出，最后根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵平分，（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． （2）证明：∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， （3）解：∵， ∴根据（2）可知：， ， 根据探索可知：， ， ， ， ， ， ． 能力提升进阶练 一、单选题 1．下列命题中真命题的个数是（　　） ①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线距离．②平移时，对应点的连线平行．③过一点有且只有一条直线与已知直线平行．④两条直线被第三条直线所截，同位角相等．⑤如果，那么．⑥在同一平面内，垂直于一条直线的两条直线平行． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了命题的判断，包含点到直线的距离的定义，平移的性质，平行公理，同位角相等的前提，等式的性质，解决本题的关键是逐一判断命题是否正确． 根据点到直线的距离、平移的性质、平行公理、平行线的判定以及等式的性质等相关知识，对每个命题逐一进行分析判断． 【详解】解：命题①：点到直线的距离是指从点到直线的垂线段的长度，而不是垂线段本身． 因此，命题①是假命题． 命题②：平移时，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等． 因此，命题②是假命题． 命题③：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 因此，命题③是假命题． 命题④：两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等， 若两条直线不平行，被第三条直线所截，同位角不相等， 因此，命题④是假命题． 命题⑤：当时，，此时不一定等于， 只有当时，等式两边同时除以，才能得到， 因此，命题⑤是假命题． 命题⑥在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行． 因此，命题⑥是真命题． ∴只有⑥是真命题． 故选：A． 2．如图，，，点在上，点在上，设与相等的角的个数为不包括本身，与互补的角的个数为若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质，理解和掌握平行线的性质是解题的关键．设的延长线为，由，，根据平行线的性质得到与相等的角、、、、，因为，可推出互补的角的个数，即可求出答案． 【详解】解：设的延长线为， ，， ，， 与互补的角有，，，，，， ，， ． 故选：D． 3．如图，已知，，，给出下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解决本题的关键． 由平行线的性质，即“两条直线平行，同位角相等”可判断①；由“内错角相等，两直线平行”可判断②；由可判断③和④． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， 但由已知信息无法推断， 故不一定成立，故③错误； ∵， ∴， ∵， 但不一定成立，故④错误， ∴正确的为①和②，共2个． 故选：B． 4．如图是刻度尺的一段，为判断有刻度的一边（）与它的对边（）是否平行，启航小组的四位同学分别给出以下四种方案，其中不可行的方案是（   ） A．度量刻度尺左边的两个角是否都是直角，若是，则平行 B．画一条直线，分别与，相交，度量其中一对内错角，若相等，则平行 C．画一条直线，分别与，相交，度量其中一对同位角，若相等，则平行 D．将直角三角板的直角顶点F放置于刻度尺内部，三角板两直角边，分别与刻度尺的两条边，相交于点M，N，度量与，若相等，则平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 由平行线的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、由同旁内角互补，两直线平行判定，故A不符合题意； B、由内错角相等，两直线平行判定，故B不符合题意； C、由同位角相等，两直线平行判定，故C不符合题意； D、如图所示， ∵与不是同位角，也不是内错角， ∴两角相等不能判定，故D符合题意． 故选：D． 二、填空题 5．将命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 【答案】如果两直线平行，那么同位角相等 【分析】本题考查了命题的改写，如果部分是命题的题设，那么部分是命题的结论；命题“两直线平行，同位角相等”中，“两直线平行”是命题的题设， “同位角相等”是命题的结论，据此改写即可． 【详解】解：如果两直线平行，那么同位角相等； 故答案为：如果两直线平行，那么同位角相等． 6．如图，若，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，准确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键； 过点O作，可得，再根据平行线的性质得，然后根据平角定义得，最后代入整理可得答案． 【详解】解：如图所示，过点O作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：180． 7．命题“若，则．”是假命题，举一个反例时，可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了举反例． 任举一个小于等于的数即可． 【详解】解：当时，满足，但此时， 故答案为：（答案不唯一） 8．如图，，点、在直线上，点在上，，平分，．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，余角的性质，角平分线定义，垂线定义理解，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．根据平行线的性质，角平分线定义和余角性质证明，再根据，得出，即可证明，得出①正确；根据平行线的性质得出，即可判定②正确；根据现有条件无法证明，即可判断③错误；根据平行线的性质证明，说明平分，判定④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②∵，， ∴， ∴，故②正确； ③根据已知条件无法证明，故③错误； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分，故④正确； 综上分析可知：正确的有①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题 9．如图，有如下三个论断：①，②，③．请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题． (1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号） (2)请证明你选择的命题． 【答案】(1)①②，③或②③，①或①③，② (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行直线的性质和判断即可得到答案； （2）根据平行直线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，再结合平行直线的判断方法，即可证得． 【详解】（1）解：①选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ②选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ③选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； （2）解：①如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ③如果，，那么； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．完成推理，并在右侧的括号内填写推理依据： (1)如图①，________，（________________）． ________，（________________）． ，，________（________________）． (2)如图②，填空： ①（已知）， ________（________________） ②（已知）， ________（________________） ③（已知）， ________（________________） ④________（已知），（________________） 【答案】(1)；同位角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行；；如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 (2)①；同位角相等，两直线平行；②；内错角相等，两直线平行；③；内错角相等，两直线平行；④；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的判定求解即可． 【详解】（1）， （同位角相等，两直线平行）． ， （同位角相等，两直线平行）． ，， （如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） 故答案为：；同位角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行；；如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）①（已知）， （同位角相等，两直线平行） ②（已知）， （内错角相等，两直线平行） ③（已知）， （内错角相等，两直线平行） ④（已知）， （同位角相等，两直线平行） 故答案为：①；同位角相等，两直线平行；②；内错角相等，两直线平行；③；内错角相等，两直线平行；④；同位角相等，两直线平行． 11．如图1，一个直角三角板的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于点E、F．    (1)如图1，若，请判断直线a与b的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在问题（1）的条件下，若N为上一点，且，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)．理由见解析 (2)．理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质； （1）根据，，求得，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）如图，过点C作，等量代换得到，求得，于是得到． 【详解】（1）解：．理由： ∵，， ∴， ∴． （2）解：．理由： 如图，过点C作，    ∵， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 12．已知． (1)如图1，若．则 ； (2)如图2，于点E，的角平分线交于点P，平分，若比的5倍还多，求的度数； (3)如图3，在（1）的条件下，在同一平面内的点M、N满足：直线与直线交于点Q．直接写出的大小 ． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理并分情况讨论是解题关键． （1）过E作，利用同旁内角互补和内错角相等可得答案； （2）设度，则度，根据题意可得，再解方程可得答案； （3）分四种情况解答，分别利用内错角相等解答即可． 【详解】（1）解：过E作，如图；      ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）设度，则度，分别过点和点作，， 则， ∴，， ∵、分别为、的角平分线， ∴，即度， ∵， ∴，， ∴， ∵，度， ∴度， ∵度， ∴， 解得， 所以； （3）分四种情况；          ①如图； 此时，， ∵，， ∴； ②如图 此时，， ∵，，且，， ∴； ③如图， 此时，， ∵，， ∴； ④如图 此时，， ∵，， ∴； 综上所述：或或或；   故答案为：或或或. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 证明（复习讲义） 1. 了解定义、命题（含真假命题）、公理、定理的意义，体会“定义-命题-公理/定理”之间的逻辑联系，明确证明的基础要素。 2. 能用同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等方法判定两直线平行；能利用“垂直于同一直线”“平行线传递性”识别平行线。 3. 理解平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），并能结合平行线的判定与性质，解决线线平行相关的推理问题。 4. 建立“判定（由角定线）-性质（由线定角）”的知识关联，能区分证明过程中公理、定理的应用场景，提升逻辑推理的条理性。 清单01 定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 清单02 公理与定理 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程. 清单03 平行线的判定 1）判定方法一：同位角相等，两直线平行. 2）判定方法二：内错角相等，两直线平行. 3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行. 4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b 5）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2.（用共面知识可证明，此处不证） 清单04 平行线的性质 1） 两直线平行，同位角相等; 2） 两直线平行，内错角相等; 3）两直线平行，同旁内角互补. 注：①仅当两直线平行时，3类角才有数量关系；当两直线不平行时，3类角只有位置关系，没有大小关系. 题型一 判断是否是命题 【例1】（24-25七年级下·广西钦州·月考）下列语句中不是命题的是（   ） A．垂线段最短 B．连接A，B两点 C．等角的补角相等 D．在同一个平面内，两直线不平行就相交 【变式1-1】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）下列语句是命题的是（   ） A．若，求的值 B．两直线相交有几个交点 C．画一个角等于已知角 D．若，则 【变式1-2】（24-25七年级下·四川广安·月考）下列语句中，是命题的是（    ） ①若，，则； ②同位角相等吗？ ③画线段； ④地球围着太阳公转； ⑤直角都相等 A．①④⑤ B．①②④ C．①②⑤ D．②③④⑤ 题型二 判断命题的真假 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列命题是假命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．判断某一件事情的句子叫作命题 C．如果两个三角形有两边及其一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等 D．三角形具有稳定性 【变式2-1】（24-25七年级下·广东广州·期中）下列命题中，是真命题的是（  ） A．如果两个角是同旁内角，那么这两个角一定互补 B．两个互补的角一定是邻补角 C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 D．在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式2-2】（24-25八年级上·山东青岛·期末）下列命题中，是真命题的有（   ） ①如果两个数的和是有理数，那么它们可能是无理数 ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③一个数的平方根等于它本身，这个数一定是0 ④一次函数的图像经过原点，这个函数一定是正比例函数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三 举反例说明命题是假命题 【例3】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的是（    ） A．， B．， C． D．， 【变式3-1】（25-26八年级上·福建泉州·期中）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（   ）． A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）举反例说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，下列所举的反例不正确的是（    ） A．设这个角是，它的补角是，但 B．设这个角是，它的补角是，但 C．设这个角是，它的补角是，但 D．设这个角是，它的补角是，但 题型四 写出命题的题设与结论 【例4】（25-26八年级上·山西忻州·期中）把命题“等边三角形三个内角都相等”写成“如果…，那么…”的形式： ． 【变式4-1】（24-25八年级上·吉林长春·期中）把命题“三条边都相等的三角形是等边三角形”写成“如果……，那么……”的形式是 ． 【变式4-2】（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是 题型五 判断使两直线是否平行 【例5】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，在下列条件中，不能判断直线的是(    ) A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）将一块含有、、的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中：①，②，③，④，⑤，，能判断的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-2】（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，下列过程及括号中所注明的依据正确的是（    ） A．因为，所以（内错角相等，两直线平行） B．因为，所以（两直线平行，同旁内角互补） C．因为，所以（两直线平行，内错角相等） D．因为，所以（同位角相等，两直线平行） 题型六 补充条件使两直线平行 【例6】（24-25七年级下·山东济宁·期末）如图，已知，要判定，则可以补充的一个条件为 ． 【变式6-1】（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）如图所示，请添加一个合适的条件： ，使（填一个即可）． 【变式6-2】（2024·河南南阳·一模）为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务、图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，，，当 时，． 题型七 利用平行线的性质求解 【例7】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）根据题意分析  如图，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，三角板中角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则（   ） A． B． C． D． 题型八 平行线的判定与性质多结论问题 【例8】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在三角形中，延长至点，的平分线与的平分线交于点，在的内部做射线，已知，．下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是 ． 【变式8-1】（24-25七年级下·吉林·期末）某自行车的示意图如图所示，其中，且都与地面平行，若，则下列结论正确的是 （填序号） ①；②当时，有； ③当时，有；④当时，有． 【变式8-2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点分别在上，连接，下列条件：；；；；．其中能判定的条件有 （填序号即可）． 题型九 平行线的判定与性质的综合问题 【例9】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在光学实验室中，两束平行激光和分别沿水平方向发射．一束斜向光线照射到上，经过折射后与相交于点F，并继续折射至上的点D处，从点D引出一条新的折射光线，且． (1)求证：． (2)若命题“已知______，则”是真命题，请填空，并说明理由． 【变式9-1】（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如图，在四边形中，，，点在上方，连接，，交于点，，． (1)求的度数； (2)点是上的一点，连接，，求证． 【变式9-2】（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）如图，点在线段的延长线上，，交于点，且，． (1)猜想与的位置关系，并证明； (2)如图，为反向延长线上一点，，的平分线交于点，求的度数． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列命题是真命题的是（    ） A．相等的角都是对顶角 B．若一个数的相反数是，则这个数是 C．若，则 D．同旁内角相等，两直线平行 2．能说明命题“对于任何实数”是假命题的一个反例是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．要使，还需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 4．有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图①所示叠放，先将含角的纸板固定不动，再将含角的纸板绕顶点顺时针旋转，使，如图②所示，则旋转角的度数为（） A． B． C． D． 二、填空题 5．“4的平方根是2”这个命题是 命题．（填“真”或者“假”） 6．根据光的反射定律，入射光线和平面镜的夹角等于反射光线和平面镜的夹角．如图，笔直的墙面上点的灯泡发出的一束光线照在平面镜上的点，，反射光线恰好和墙面平行，若，则的度数为 ． 7．（1）如图①，E是延长线上一点，如果添加一个条件，使，则可添加的条件为： ，（任意添加一个符合题意的条件即可） （2）如图②，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②：③；④．其中能判定的是 ．（填序号） 8．如图，点E在延长线上， ， 交于F，且， ，比的余角小， P 为线段上一动点，Q为线段 上一点，且满足，为的平分线，则下列结论：①；②平分；③；④；⑤的度数为定值，其中正确结论的是 ．（填序号） 三、解答题 9．如图，，，，求证． 10．填空： 已知：， 求证： _______． 证明：过A点作_______∥_______， 则_______， _______．（_______，_______） ∵是平角， ∴_______+_______．（______________） ∴______________．（______________） 即______． 11．【问题感知】 （1）如图1，若，平分，求证：． 请将下列证明过程补充完整： 证明：平分，（已知）， _____（角平分线的定义）． （已知）， _____（两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 【问题探索】 （2）如图2，直线，被直线所截，平分，，点在射线上，点在线段上，连接，若，求证：； 【衍生拓展】 （3）如图3，将（2）中的点移动到线段的延长线上，其他条件不变，连接，若，求的度数． 能力提升进阶练 一、单选题 1．下列命题中真命题的个数是（　　） ①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线距离．②平移时，对应点的连线平行．③过一点有且只有一条直线与已知直线平行．④两条直线被第三条直线所截，同位角相等．⑤如果，那么．⑥在同一平面内，垂直于一条直线的两条直线平行． A．1 B．2 C．3 D．0 2．如图，，，点在上，点在上，设与相等的角的个数为不包括本身，与互补的角的个数为若，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，，，给出下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图是刻度尺的一段，为判断有刻度的一边（）与它的对边（）是否平行，启航小组的四位同学分别给出以下四种方案，其中不可行的方案是（   ） A．度量刻度尺左边的两个角是否都是直角，若是，则平行 B．画一条直线，分别与，相交，度量其中一对内错角，若相等，则平行 C．画一条直线，分别与，相交，度量其中一对同位角，若相等，则平行 D．将直角三角板的直角顶点F放置于刻度尺内部，三角板两直角边，分别与刻度尺的两条边，相交于点M，N，度量与，若相等，则平行 二、填空题 5．将命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 6．如图，若，则 °． 7．命题“若，则．”是假命题，举一个反例时，可以是 ． 8．如图，，点、在直线上，点在上，，平分，．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的有 ．（填序号） 三、解答题 9．如图，有如下三个论断：①，②，③．请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题． (1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号） (2)请证明你选择的命题． 10．完成推理，并在右侧的括号内填写推理依据： (1)如图①，________，（________________）． ________，（________________）． ，，________（________________）． (2)如图②，填空： ①（已知）， ________（________________） ②（已知）， ________（________________） ③（已知）， ________（________________） ④________（已知），（________________） 11．如图1，一个直角三角板的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于点E、F．    (1)如图1，若，请判断直线a与b的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在问题（1）的条件下，若N为上一点，且，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 12．已知． (1)如图1，若．则 ； (2)如图2，于点E，的角平分线交于点P，平分，若比的5倍还多，求的度数； (3)如图3，在（1）的条件下，在同一平面内的点M、N满足：直线与直线交于点Q．直接写出的大小 ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $