河北邯郸市馆陶县第一中学2025-2026学年高二第二学期期中监测数学试题

学校 班级 姓名 考号 $ 图 2025一2026学年第二学期高二期中监测 数学试题 注意事项： 1,答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的、 1.已知书架上仅有A,B,C,D四类杂志，其数量分别为6,4,5,4，且每类杂志中的每一本都不 同.若小张要从该书架选一本杂志，则他的选法数为 A.4 B.19 C.60 D.480 2.若随机变量X~N(3,a2),且P(3≤X<4)=0.37,则P(X≤2)= A.0.13 B.0.26 C.0.14 D.0.27 3.函数f(x)=2x3-7x2-4x+1的极值点之和为 A-号 B.3 c号 0 4(-2红+) 展开式的常数项为 A.-20 B.20 c-8 a 5.用4个1、3个2、3个3组成一个十位数，则3个2相邻的十位数的个数为 A.280 B.420 C.720 D.1680 6.若空间向量a=(1,x,m),b=(x,y,lnx),且ah,则 Am有最大值，且最大值为 Bm有最小值，且最小值为-】 e C.m有最大值，且最大值为e D.m有最小值，且最小值为一e 7.将12瓶完全相同的矿泉水随机分给8位建筑工人（含甲、乙），在每人至少分得1瓶的前提 下，甲和乙都分得2瓶的概率为 A品 B房 c房 7 D.10 8.函数f(x)=e2-(2x+1)e+x2+x的最小值为 A- B.In 2 C.1 D.0 【高二数学第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.一箱脐橙共有12个，其中有若干个为烂果，从这一箱脐橙中任取2个，恰有1个烂果的概率 不大于则这箱酵橙的烂果个数可能为 A.2 B.3 C.4 D.5 10.已知函数f(x)=c-1(x2+x+1),则 A当∫(x)仅有一个零点时，1>1 B当f(x)有三个零点时，<1<1 C.当f(.x)恰有两个零点m,n时，m+n>0 D.当f(.x)有三个零点a,b,c(a<b<c)时，a<0<b<1<c 1,若随机变量X一B(3,）,随机变量Y服从两点分布，且P(Y=0)=p(0<p≤)，已知X 不 与Y相互独立，则 AP(XY=1)恒小于 3 BP(X+Y=3)的最小值为号 C.E(XY)的最小值为 D.E(pXY+1)的最大值为 11 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.决定系数R2可以用来比较两个模型的拟合效果，R2的计算公式为R2=1 0,-加 2y:-)2 则R2越大，表示残差平方和越▲（填“大”或“小”），即拟合效果越▲（填 “好”或“差”). 13.函数fx)=号-2(0<x<3)的值域为▲ 14.如图，给这八个方格涂色，现有红、蓝、黄、紫、绿、黑六种颜色可供选择，要求相邻的方格涂不 同的颜色，且两端都涂红色，则不同的涂色方法共有▲种， 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 敦煌文化，以莫高窟佛教艺术和藏经洞文化为代表，延续近2000年.为研究敦煌文化的传 承意愿与参与体验活动之间的关系，某调研队在甘肃省敦煌市随机抽取了10O0名游客进 行调查，得到如下表格： 愿意传承 不愿意传承 合计 参与过体验活动 320 80 400 未参与过体验活动 240 360 600 合计 560 440 1000 (1)记参与过体验活动的人中愿意传承敦煌文化的概率为p,求p的估计值。 (2)根据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为参与体验活动与传承意愿有关？说明 你的理由。 n(ad-bc)2 附：X2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)+n=a+b+c+d. a 0.050 0.010 0.001 x。 3.841 6.635 10.828 16.(15分) 某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为0.6，选 择乙餐厅的概率为0.4，甲餐厅的准时送达率为0.95，乙餐厅的准时送达率为0.9.已知该 用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立， (1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率 (2)在该用户的N次外卖点餐中，记准时送达的次数为X,若X的方差大于O.7,求N的最 小值. (3)平台推出“准时保”，每单需支付0.5元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元： 若外卖准时送达，则平台不赔付.该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过 0.3元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由. 【高二数学第3页（共4页）】 1.(15分)年二离二巢单一0 已知(-4+3x)7=a0十a1x+a2x2+…+a,x7 (1)证明：a1+a2十…+a,=4?-1. 爆 (2)求log,(laol+la1l+la2l+…+la,l)的值， (3)证明：a1-2a2十3a,一4a,+5a5-6a6+7a,能被147整除. 2露登 7许计 得以计可清种 与酒外动象里学其好8诗 弥 18.(17分) 设名品以元，品烟小路，绿个在服么，服鞋我， 已知函数f(x)=x2-alnx-6y 州袋整自 ,节1证 (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)若f(x)在其定义域内单调递增，求a的取值范围； (3)若0<a<9,且Vm∈(0，十o∞)，3n∈(0，l],f(n)+m">mlnm2-2ln2,求a的取值 范围. 到 19.(17分) 一个不透明的袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球（大小、质地均相同），每次从袋中 随机摸出1个小球并记录编号后放回袋中，当连续两次摸出的小球的编号相同时，停止摸 球.设停止摸球时已摸球的次数为X,第k次摸到的小球编号为Y, (1)求P(X=2)与P(X=3); 线 (2)设P(X=n)=an,求a2十a3十十an十4an+1与a2-a3十a4-…+(-1)"ani (3)当X=n时，Sn为随机变量，若Y1+Y2十…+Yn是奇数，则Sn=1,若Y1十Y2十…十Y. 是偶数，则Sn=0,求P(Sn=0). 【高二数学第4页（共4页）】2025一2026学年第二学期高二期中监测 数学试题参考答案 1.B由分类加法计数原理可知，他的选法数为6十4+5+4=19. 2.A因为X~N(3,2),且P(3≤X<4)=0.37,所以P(2<X≤3)=P(3≤X<4)=0.37, 则P(X≤2)=0.5-P(2<X≤3)=0.13. 3.Bf'(x)=6x2-14x-4,因为(-14)2-4×6×(-4)>0，所以f(x)有两个极值点， 由韦达定理得这两个极值点之和为片子 4C(一2x+)广限开式的常数项为C(-2P(合)》广-是 5.A依题意可得3个2相邻的十位数的个数为CC=280. 6.A因为a仍，所以存在唯一的实数k,使得a=kb,即1=kx,m=klnx,其中x>0, 则m=设f)则了x)1,令fx>0.得0<<e令fx)<0,得 x>e,所以f(x)在(0，c)上单调递增，在(e,十o∞)上单调递减 故fx)=fe)=是则m有最大值，且最大值为m无最小值， 7.D若每人至少分得1瓶，则由隔板法可得分法数为C,在每人至少分得1瓶的前提下，甲 和乙都分得2瓶，则其余8瓶分给6位建筑工人，由隔板法可得分法数为C.故所求概率为 CC7 ChCi-110 8.Df(x)=e2-2xe十x2-e+x=(e-x)2-(e-x).设g(x)=e-x,则g'(x)=e 一1，当x<0时，g'(x)<0g(x)单调递减，当x>0时，g'(x)>0,g(x)单调递增，则g(x) ≥g(0)=1.令t=e-x,t≥1，则(e'-x)2-(e-x)=t2-t,因为y=12-t在[1，十o∞)上 单调递增，所以当1=1时，y=12一1取得最小值，且最小值为0故f(x)的最小值为0. 9.Ax设这一简睛框中有个老果，则_0。<号解得a<4或≥8，所以这 C 66 箱脐橙的烂果个数可能为2,3,4. e 10.BD由fx）=0,得1+x+设gx)= 2+x+1,则 e'(r2-x) g'r)=千+，令g'r)>0,得r<0或x>l.令g(x) 0,得0<x<1,则g(x)的单调递增区间为（一∞，0），(1，+∞)，单 调递减区间为0,1D,g0)=1,gD=号，当x-0时，gx)→0，当→十o时，g)一 【高二数学·参考答案第1页（共7页）】 十∞，当1<号或>1时，直线y=1和曲线y=g(x)仅有一个交点f(x)仅有一个零点，A 错误.当1=气或1=1时，直线y=1和曲线y一g(x)有两个交点，(x)恰有两个零点m, ,设m,当1=号时n=1g(一1D=是名g0)=>2则-1m<0则m+n>0. 当1=1时，m=0,n>1,则m十n>0,C正确.当号<1<1时，直线y=t和曲线y=g(x)有 三个交点，f(x)有三个零点a,b,c(a<b<c),由图可知，a<0<b<1<c,B,D均正确. 11.AC 因为X~B(3,2).所以P(X=0)=CG×(合)》°=g,P(X=1D=G×()”=是， PX=2)=CG×(号)广-名，P(X=3)=C×()》广=日因为X与Y相互独立，所以 P(XY-D-P(X-1Y-D-P(X-DP(Y-D-8(1-P--8<.P(X+Y 33 3 3 =3)=P(X=2,Y=1)+P(X=3,Y=0)=P(X=2)PY=1)+P(X=3)PY=0)=8(1 -p)+言0=号-P≥号-×号-片A正确，B错说P(Y=2》=P0X=2,Y=1 P(X-2P(Y-D-3(l-P).P(XY-3)-P(X-3.Y-D-P(X-3P(Y-D-(1 -p),则E(XY)=0×P(XY=0)+1×P(XY=1)+2×P(XY=2)+3×P(XY=3)= 昌1-p≥名×1-)-.C正确 EpXy+1D=2p21-p)+1-是p(2-2p)+1≤(+22)广+1-号当且仅 3 当P-号时，等号成立，因为0<p<分，所以等号取不到，D错误 12.小：好R越大，表示残差平方和越小，即拟合效果越好 1a[0 f'(x)=x2-2x,令f'(x)≤0，得0≤x≤2，令f'(x)>0,得2<x≤3，则f(x) 在[0.2习止单调递减，在2.3]上单调递增则fx)m=f2)=一号又f0)=f3)=0,所 以c)的值城为[-专0小 14.13020因为两端都涂红色，所以中间4个方格也可以涂红色。 当中间4个方格中有2个方格涂红色时，涂红色的位置有3种选择，剩下的有5×5×5×4 种选择，所以有5×5×5×4×3=1500种涂色方法. 当中间4个方格中只有1个方格涂红色时，涂红色的位置有4种选择，剩下的有5×5×4×4 ×4种选择，所以有5×5×4×4×4×4=6400种涂色方法， 【高二数学·参考答案第2页（共7页）】 当中间4个方格都不涂红色时，有5×4=5120种涂色方法. 综上，不同的涂色方法共有1500十6400+5120=13020种 15.解：1)由题意可得参与过体验活动的人中愿意传承敦煌文化的频率为O05, 3204 …3分 以样本频率估计总体概率，则p的估计值为行 …5分 (2)零假设为H。:参与体验活动与传承意愿无关 …6分 X-1000×(320×360-240×80)21200 560×440×400×600 …9分 77 2000100]0.828号江%，…1分 77 依据小概率值α=0.001的独立性检验，有充分证据推断H。不成立，因此可以认为参与体 验活动与传承意愿有关。……13分 16.解：(1)设事件B=“外卖点餐准时送达”，A1=“在甲餐厅点餐”，A2=“在乙餐厅点餐”，依题 意得PA1)=0.6,P(A2)=0.4.P(B|A1)=0.95,P(B|A2)=0.9.…1分 由全概率公式得该用户每次外卖点餐准时送达的概率P=P(A,)·P(B|A,)十P(A2)· P(BA2)=0.6X0.95十0.4X0.9=0.57十0.36=0.93.…4分 (2)依题意得XB(N,0.93),… 6分 则D(X)=NX0.93X(1-0.93)=0.0651N.…7分 7 若X的方差大于0.7.则0.0651N>0.7,所以N>0.6≈10.8， 故N的最小值为1l.…9分 (3)他愿意购买“准时保”.…10分 理由如下： 设他购买“准时保”的净收益为Y元，则Y的所有可能取值为一0.5,2.5.…11分 P(Y=0.5)=0.93,…12分 P(Y=2.5)=1-0.93=0.07,…13分 则E(Y)=0.93X(-0.5)十0.07X2.5=-0.29.…14分 因为E(Y)=一0.29>一0.3，即亏损期望不超过0.3元，所以他愿意购买“准时保”. … 15分 【备注】 第(3)问的理由还可以这样写： 设他购买“准时保”的亏损为Y元，则Y的所有可能取值为0.5，一2.5，…11分 P(Y=0.5)=0.93,P(Y=-2.5)=1-0.93=0.07,…13分 则E(Y)=0.93X0.5十0.07×(-2.5)=0.29.…14分 因为0.29<0.3，所以他愿意购买“准时保”.…15分 17.(1)证明：令x=0,得a0=(一4)7=一4，…2分 【高二数学·参考答案第3页（共7页）】 令x=1,得a0十a1十a2十…十a7=(-1)7=一1，…4分 所以a1十a2十…十a7=一1-(-4)=47-1.…5分 (2)解：因为ao|+a1|+|a2十…十la|为(4十3x)的展开式各项系数之和，…7分 所以ao|十a1l十a2|十…十a|=(4十3X1)7=77,…9分 所以log(an|+a1|十a2十…十la7)=7.…10分 (3)证明：由(-4+3.x)7=ao十a1x十a2x2+…十a7x2, 得[(-4+3x)了=(ao十a1x十a2.x2+…十ax2)', 即7(-4+3x)X3=a1十2a2.x十3a3x2+…+7a7x,… 12分 令x=-1,得a1-2a2十3a1-4a4+5as-6a6+7a7=7X(-7)×3=147×7,…14分 因为147×7能被147整除，所以a1一2a2十3a1-4a4十5a,一6a6+7a,能被147整除.… …15分 18解，当a=1时，)=-a1一是则了)-2-+号1分 则f'(1)=7.…2分 因为(1)=-5，所以曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y+5=7(x一1)， 即y=7江-12.…3分 (2)f(x)的定义域为(0，十0∞).…4分 f(x)=2x-4+6,a_2x3-ar+6va …5分 若f(x)在其定义域内单调递增，则f'(x)≥0对x∈(0，+o∞)恒成立， 即2x3一a.x十6√a≥0对x∈(0，十o∞)恒成立.…6分 易知a≥0，当a=0时，f(x)=x2在(0，十∞)上单调递增，所以a=0满足题意.…7分 当a>0时，设g(x)=2x3-a.x十6a(x>0), 则g'x)=6r-a=6(x+√号)(x√号)月 令g'x)<0,得0<<√日，令g'(x)>0,得x>√骨 所以gx)在(0，√台)上单调递减，在（√日，十o∞）上单调递增，…8分 所以r-g)=号-a层+6a=-+6a=2a(-6≥0 又a>0,所以0<a≤9√6.… …9分 综上，☑的取值范围是[0,96].…10分 (3)由(2)知，当0<a<9时，f(x)在其定义域内单调递增，则f(x)在(0,1]上单调递增， 则f(x)在(0,1门上的最大值为f(1)=1一6a.…11分 【高二数学·参考答案第4页（共7页）】 由f(n)十m>mlnm2-2ln2(m>0),得f(n)>mlnm2-m"-2ln2(m>0). 则f(n)>2mlnm-e血m-2ln2.… …13分 设h(x)=xlnx,则h'(x)=1+lnx,当0<r<时，h'(x)<0,当x>时，h'(x)>0, 所以h)>h()=- e …14分 设p(x)=2x-c-2n2,x≥-1 则p'(x)=2-c,当-1≤x<n2时，p'(x)>0,当x>1n2时，p')<0, 所以p(x）mx=p(n2)=2ln2-2-2ln2=-2.…15分 由m∈(0，+o∞)，3n∈(0,1]，f(n)+m">mlnm2-2ln2, 得1-6石>-2，…16分 解得a<子又0<a<9,所以a的取值范周是(o,）。 …17分 19.解：1)P(X=2)=1×-1 44· …】分 PX=9》=1xx最 …2分 (2)因为X≥2，所以n≥2，则P(X≥n十1)=1一a2一a3-…一a.…3分 若X=a+1则Xn+1且y.=Y所以a=1-a,-a,-…-aX 即a2十a3十…十a.十4awt1=1,…5分 所以a:+a,+…+a,+a+a=1,所以a1十a-a1=0,即a8-a …7分 由1可知a,=所以当w≥3时a.-=×()-子×() 又因为a,=}所以a.=}×() 1 ，…8分 所以a-a,+a,-…+(-1a.=×[(-)+(-)++(-)-]… …9分 1-(-)1-(-) 4 …10分 1-(-) 7 (3)当X≥n≥3时，设随机变量T.满足：若Y,十Y2十…+Y。-2是奇数，则T。=1,若Y1十 Y2十…十Y.-2是偶数，则T.=0.设P(T.=0)=b… 【高二数学·参考答案第5页（共7页）】 当n=3时，T,=0即Y为偶数，可得6：- 当=4时，T,=0即Y+出是偶数，可得6，-号×兮+号×兮分 …11分 当n≥5时，T.=0可分成两种情况：当T。-2=0时，Y。-a与Y。-同为奇数或同为偶数：当 T。-2=1时，Y。-3与Y-2一奇一偶. 所以6，-6×兮+0-6)x(1-）-号b闻6.-号-号6.》.“ …13分 当n≥3且n为奇数时，6.-2-(-)宁(6，-）即6.-： 当w≥8且n为偶数时6是(-)于(6，》，即6，号+日×(-)了 …15分 当n=2时，Y,=Y2,P(Sn=0)=1. 当n≥3时，P(S。=0)=P(T.=0)=bn. 综上可得，当≥2且n为偶数时，P(S,-0)=号+号×(-)宁：当≥2且n为奇数时。 pS.-0)-2 …17分 【备注】 【1】第(1)问还可以这样解答： PX=2)=41 4X44·1 …1分 4×3×13 P(X=3)= 4×4×416 …2分 【2】第(2)问还可以这样解答： (n-2)个 a:+a+ta+a+4a=11士+…+)+()”-×一（ (）”=1, …7分 所以a-a+a-…+(-1a.=}×[(-)+(-3)+…+(-)门… ……………9分 【高二数学·参考答案第6页（共7页）】 实 …10分 【6】第(3)同中，求得P(S,=0)=号给1分求得P(S,=0)=号给1分.