5.3平面向量的数量积 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦平面向量数量积，依据课标要求梳理概念、运算、垂直判断、坐标表示及应用等核心考点，通过分析近五年高考真题明确数量积运算、模、夹角等高频考点分布，归纳定义法、坐标法等常考题型，对接高考评价体系，备考针对性强。 课件亮点在于“真题解析+方法归纳+素养培养”，如以2023全国乙卷正方形数量积题为例，详解坐标法等突破策略，培养数学思维与数学语言素养。含误区警示及模、夹角的公式法等规律方法，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第3节　平面向量的数量积 2027 课标解读　1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.3.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.4.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版必修第二册6.3.5节练习第1题改编)已知a=(-3,4),b=(5,2),则|a|+a·b=(　　) A.18 B.12 C.-2 D.2 C 解析 由已知得|a|==5,a·b=-15+8=-7,于是|a|+a·b=5-7=-2.故选C. 2.(人教B版必修第三册8.1.1节练习B第1题改编)已知△ABC是边长为2的等边三角形,则=(　　) A.2 B.-2 C.2 D.-2 B 解析 依题意=-=-||||·cos A=-2×2×cos 60°=-2. 故选B. 3.(人教B版必修第三册8.1.3节例2改编)已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0),则cos∠ABC=(　　) A.- B. C. D. D 解析 因为A(1,2),B(3,4),C(5,0),所以=(-2,-2),=(2,-4),所以cos∠ABC=cos<>=. 4.(人教A版必修第二册6.2.4节例9改编)已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=,则a·b=　　　　　.  -10 解析 a·b=|a||b|cos θ=5×4×cos =5×4×(-)=-10. 5.(人教A版必修第二册习题6.2第11(2)题改编)已知|a|=2,|b|=5,且a·b=-3,则|a+b|=　　　　　.  解析 |a+b|=, 将已知条件中的数据代入,得|a+b|=. 6.(人教A版必修第二册6.2.4节例13改编)已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线,若向量a+kb与a-kb互相垂直,则实数k=　　　　　.  ± 解析 因为向量a+kb与a-kb互相垂直,所以(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0.因为a2=32=9,b2=42=16,所以9-16k2=0.解得k=±. 知识梳理 1.平面向量数量积的概念 (1)向量的夹角 已知两个　　　　向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.如果a与b的夹角是,我们说a与b垂直,记作　　　　.  　　其中夹角为0时两向量同向共线,夹角为π时两向量反向共线 非零 a⊥b　 误区警示 只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角,如图所示, ∠BAC不是的夹角. (2)向量的数量积 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量　　　　　叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ.  数量积是一个实数,可正可负可为0 规定:零向量与任一向量的数量积为　　　.  (3)投影向量 如图,在平面内任取一点O,作=a,=b.过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量. |a||b|cos θ　 0 微点拨 1.投影向量仍然是一个向量. 2.向量a在b上的投影向量与b共线,其模等于|a||cos<a,b>|=. 3.向量a在b上的投影向量=|a|cos<a,b>e(e为与b同向的单位向量). 2.平面向量数量积的性质及坐标表示 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ. 向量的有关概念 几何表示 坐标表示 模 |a|= |a|= 数量积 |a||b|cos θ x1x2+y1y2 夹角 cos θ= cos θ= A(x1,y1),B(x2,y2)两点的距离 |AB|=|| |AB|= a⊥b的充要条件 a·b=0 x1x2+y1y2=0  不要与向量平行的坐标公式混淆 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2+y1y2|≤ 3.向量数量积的运算律 交换律 a·b=b·a 分配律 (a+b)·c=a·c+b·c 数乘结合律 (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数) 微点拨 向量的数量积运算不满足结合律和消去律,即:(1)(a·b)c不一定等于a(b·c);(2)a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c. 研考点•精准突破 考点一　平面向量数量积的运算 例1　(2023·全国乙,文6)已知正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点, 则=(　　) A. B.3 C.2 D.5 B 考点一 考点二 考点三 解析 (方法1)因为E是AB的中点,所以ED=EC=.在△DCE中,由余弦定理,得cos∠DEC=,所以 =||||cos∠DEC==3. (方法2)由题可知||=||=2,=0,则=()·()=()·(-)=-=-1+4=3. 考点一 考点二 考点三 (方法3)以点A为原点建立如图所示平面直角坐标系,则D(0,2),C(2,2),E(1,0), 则=(1,2),=(-1,2),所以=1×(-1)+2×2=3.故选B. 考点一 考点二 考点三 规律方法　求平面向量数量积的三种方法 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](1)(2026·湖南怀化模拟)已知向量a+2b=(-3,3),a-2b=(-1,-1),则a·(a-b)=(　　) A.5 B.3 C.-1 D. B 解析 由已知得(a+2b)+(a-2b)=(-3,3)+(-1,-1)=(-4,2),即2a=(-4,2), 所以a=(-2,1).(a+2b)-(a-2b)=(-3,3)-(-1,-1)=(-2,4),即4b=(-2,4),所以b=(-,1).因此a-b=(-,0),于是a·(a-b)=(-2)×(-)+1×0=3.故选B. 考点一 考点二 考点三 (2)(2026·广西柳州模拟)如图,在4×4的菱形网格(每个小菱形的边长均为1)中,向量a与b的夹角为,则c·d=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 A 解析 由题图可知,c=-2a+2b,d=2a+3b,则c·d=(-2a+2b)·(2a+3b) =-4a2-2a·b+6b2=-4×1-2×1×1×cos+6×1=1.故选A. 考点一 考点二 考点三 考点二　平面向量数量积的应用 考向1　向量的模 例2　(1)(2024·新高考Ⅱ,3)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=(　　) A. B. C. D.1 B 解析 由|a|=1,得a2=1,由|a+2b|=2,得a2+4a·b+4b2=4.又b·(b-2a)=b2-2a·b=0,所以b2=,即|b|=,故选B. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·河北沧州模拟)已知在△ABC中,AB=3AC=6,∠BAC=60°,点D在边BC上,∠BAD=30°,则AD的长为(　　) A. B. C. D.3 C 解析 因为∠BAC=60°,∠BAD=30°,所以AD为∠BAC的平分线,由角平分线定理可得=3,则,所以 )=,两边平方可得=()2 = ×62+×22+×6×2cos 60°=, 所以AD=.故选C. 考点一 考点二 考点三 规律方法　求平面向量的模的两种方法 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](2026·河北石家庄期中)某智能物流车的“实际配送向量D”“规划路线向量R”“交通拥堵修正向量J”满足关系式:D=3R+2J.已知条件如下:实际配送向量D=(15,9),交通拥堵修正向量J与向量(3,-3)垂直,|J|=3.配送效率等级通过“规划路线向量R的模(单位:km)”判定,标准如下表(一般情况下,认定“停滞”属于无效配送): 配送效率等级 超高效 高效 常规 低效 停滞 模的范围 0.0—2.0 2.1—4.0 4.1—6.0 6.1—8.0 >8.0 若此次配送为有效配送,则此次配送的效率等级为(　　) A.超高效 B.高效 C.常规 D.低效 B 考点一 考点二 考点三 解析 设交通拥堵修正向量J=(a,b),则解得即J=(3,3)或J=(-3,-3).当J=(3,3)时,由题意得R=,则R==(3,1),则|R|=,可知2.1<<4.0,此次配送为高效配送;当J=(-3,-3)时,R==(7,5),则|R|=>8,属于无效配送,不符合题意.故选B. 考点一 考点二 考点三 考向2　向量的夹角 例3　(1)(2023·全国甲,文3)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos<a+b,a-b>=(　) A. B. C. D. B 解析 ∵a=(3,1),b=(2,2),∴a+b=(5,3),a-b=(1,-1). 则有cos<a+b,a-b>==.故选B. 考点一 考点二 考点三 (2)[一题多变](2022·新高考Ⅱ,4)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则实数t=(　　) A.-6 B.-5 C.5 D.6 C 解析 由题意得c=(3+t,4),cos<a,c>=cos<b,c>,故,解得t=5. 故选C. 考点一 考点二 考点三 (3)(2026·江苏无锡模拟)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a-2b|=2|a+b|,则a与b的夹角θ=　　　　.  解析 因为|a|=2,|b|=1,|a-2b|=2|a+b|,则(a-2b)2=4(a+b)2, 可得a2-4a·b+4b2=4(a2+2a·b+b2), 即4-4a·b+4=4(4+2a·b+1), 整理可得a·b=-1. 因为cos θ==-,且θ∈[0,π],所以θ=. 考点一 考点二 考点三 AI变式 [变式](由夹角范围确定参数的取值范围)在本例(2)中,若向量a与c的夹角为锐角,则实数t的取值范围是　　　　　　　　.  (-,0)∪(0,+∞) 解析 因为a=(3,4),所以c=(3+t,4), 又因为a与c的夹角为锐角, 所以a·c>0, 即3t+25>0,解得t>-. 又当a与c共线时,应满足3×4=4(3+t),解得t=0,此时a与c同向,夹角为0,不是锐角,故t的取值范围是(-,0)∪(0,+∞). 考点一 考点二 考点三 规律方法　求平面向量夹角的两种方法 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](2025·山西阳泉模拟)已知向量a,b,c满足|a|=|b|,a与b的夹角为,a+b+c=0,则a与c的夹角为(　　) A. B. C. D. D 解析 设|a|=|b|=1,由题意得c=-a-b,所以a·c=a·(-a-b)=-a2-a·b =-|a|2-|a||b|cos=-1-=-,c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2=3,所以|c|=.所以cos<a,c>==-.又<a,c>∈[0,π],所以<a,c>=.故选D. 考点一 考点二 考点三 考向3　向量的垂直 例4　(2025·全国2,12)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=　　　　　.  解析 (方法1)因为a⊥(a-b), 所以a·(a-b)=0,即|a|2-a·b=0, 又因为a=(x,1),b=(x-1,2x),所以x2+1=x2+x, 解得x=1,此时a=(1,1),故|a|=. (方法2)由题意a-b=(1,1-2x),又a⊥(a-b),所以x·1+1×(1-2x)=0,解得x=1,即a=(1,1),所以|a|=. 考点一 考点二 考点三 教考链接 (人教A版必修第二册复习参考题6第8题)已知向量a=(1,0),b=(1,1).当λ为何值时,a+λb与a垂直? 解 ∵a=(1,0),b=(1,1), ∴a+λb=(1+λ,λ). 又a+λb与a垂直,∴(a+λb)·a=0, ∴(1+λ,λ)·(1,0)=0,即1+λ=0,∴λ=-1. 考点一 考点二 考点三 规律方法　平面向量垂直问题的两个类型 利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直,先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标;然后根据向量数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可 已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数 考点一 考点二 考点三 [对点训练4](2020·全国Ⅱ,文5)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是(　　) A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b D 解析 由题意可知,a·b=|a||b|cos 60°=.对于A,(a+2b)·b=a·b+2b2=≠0,不符合题意;对于B,(2a+b)·b=2a·b+b2=2≠0,不符合题意;对于C,(a-2b)·b=a·b-2b2 =-≠0,不符合题意;对于D,(2a-b)·b=2a·b-b2=0,故2a-b与b垂直.故选D. 考点一 考点二 考点三 考点三　向量的投影及其应用 例5　(2026·湖南湘潭模拟)已知|a|=|b|,a与b的夹角为,则a-b在a上的投影向量为(　　) A.a B.-a C.a D.-a C 解析 因为|a|=|b|,a与b的夹角为,所以a-b在a上的投影向量为 |a-b|cos<a-b,a>a=a=a=a.故选C. 考点一 考点二 考点三 规律方法　求投影向量的方法 (1)向量a在向量b上的投影向量为b; (2)向量b在向量a上的投影向量为a. 考点一 考点二 考点三 [对点训练5](2026·浙江绍兴模拟)已知向量a=(0,1),b=(1,k).若向量a+b在向量a上的投影向量为a,则k=(　　) A.-1 B. C.1 D. B 解析 因为向量a=(0,1),b=(1,k),所以向量a+b在向量a上的投影向量为a=(k+1)a=a,于是k+1=,解得k=.故选B. 考点一 考点二 考点三 $