11.1 因式分解 学案 2025--2026学年青岛版七年级数学下册  

11.1因式分解 1、因式分解的定义………………………………………………………………………… 2 2、利用因式分解逆运算求字母值………………………………………………………… 5 3、因式分解定义的应用…………………………………………………………………… 7 4、因式分解中的马虎问题………………………………………………………………… 10 5、因式分解的综合题……………………………………………………………………… 12 知 识 清 单 知识点1 因式分解 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫做分解因式. 【知识解读】 （1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 素 养 提 升 考点1 因式分解的定义 例题讲解： 例1．对于式子：①x2+2xy＝x（x+2y）；②（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6，从左到右的变形，下列说法正确的是（　　） A．都是因式分解 B．都是整式乘法 C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解【分析】根据因式分解和整式乘法的定义进行判断即可． 【解答】解：①x2+2xy＝x（x+2y），左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解，故①正确； ②（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6，左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法，故②不正确； 综上，①是因式分解，②是整式乘法， 故选：C． 跟踪训练： 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4 B． C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此逐项判断即可． 【解答】解：（x﹣2）2＝x2﹣4x+4是乘法运算，则A不符合题意， 2x+2＝2x（1）中不是整式，则B不符合题意， x2+2x+1＝（x+1）2符合因式分解的定义，则C符合题意， x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x中等号右边不是积的形式，则D不符合题意， 故选：C． 2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．m（a﹣2）＝am﹣2m B．4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1） C．x2+3x﹣5＝x（x+3）﹣5 D． 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此逐项判断即可． 【解答】解：m（a﹣2）＝am﹣2m是乘法运算，则A不符合题意， 4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1）符合因式分解的定义，则B符合题意， x2+3x﹣5＝x（x+3）﹣5中等号右边不是积的形式，则C不符合题意， 4x﹣1＝4x（1）中不是整式，则D不符合题意， 故选：B． 3．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16 B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．ab2+a＝a（b+1） D．4m2+4m+1＝（2m+1）2【分析】根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为整式的积的形式． 【解答】解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下： A．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16，是整式的乘法运算，不符合因式分解的定义； B．x2+2x+1＝x（x+2）+1，等号右边不是积的形式，不符合因式分解的定义； C．ab2+a＝a（b2+1），不符合因式分解的定义； D．4m2+4m+1＝（2m+1）2，符合因式分解的定义； 故选：D． 4．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+1）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b） 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【解答】解：A．是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意； B．右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意； C．是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意； D．符合因式分解的定义，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 5．下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A．x2+4＝（x﹣2）2+4x B．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 C．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 D． 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，需根据此定义逐一判断． 【解答】解：A．x2+4＝（x﹣2）2+4x，选项式子式从左到右的变形不是因式分解，不符合题意； B．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，选项式子式从左到右的变形是因式分解，符合题意； C．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，选项式子式从左到右的变形是乘法运算，不是因式分解，不符合题意； D．中含有分式，选项式子式从左到右的变形不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 6．有下列变形：①（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2；②x2﹣7x+6＝（x﹣1）（x﹣6）；③x2﹣2x﹣10＝x（x﹣2）﹣10．其中是整式乘法的有　①　 ，是因式分解的有　②　 ． 【分析】根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式；因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，根据定义作出判断即可． 【解答】解：变形①中，整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式，左边是整式相乘，右边是多项式，属于整式乘法； 变形②中，因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解； 变形③中，右边不是整式乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解； 故整式乘法的有①，因式分解的有②， 故答案为：①；②． 考点2 利用因式分解逆运算求字母值 例题讲解： 例1．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为　﹣1　 ． 【分析】将因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件求出k与b的值，即可求出k+b的值． 【解答】解：由题意得：x2+kx+b＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3， ∴k＝﹣4，b＝3， 则k+b＝﹣4+3＝﹣1． 故答案为：﹣1 跟踪训练： 1．如果多项式M可因式分解为3（1+2x）（﹣2x+1），则M＝　3﹣12x2 ． 【解答】解：M＝3（1+2x）（﹣2x+1） ＝3（1﹣4x2） ＝3﹣12x2． 故答案为3﹣12x2． 2．多项式xn﹣yn因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），则n＝　4　 ． 【解答】解：∵（x﹣y）（x+y）（x2+y2）＝（x2﹣y2）（x2+y2）＝x4﹣y4 ∴xn﹣yn＝x4﹣y4，即n＝4． 故应填：4． 3．已知x+3是kx2+x+12的一个因式，则k＝　﹣1　 ． 【解答】解：根据题意可得：kx2+x+12＝（x+3）（kx+4）， 则4+3k＝1， 解得：k＝﹣1． 故答案为：﹣1． 4．若x2+ax+b＝（x+3）（x﹣4），则a＝　﹣1　 ，b＝　﹣12　 ． 【解答】解：∵（x+3）（x﹣4）， ＝x2﹣x﹣12， ＝x2+ax+b， ∴a＝﹣1，b＝﹣12． 5．若x2+4x+4＝（x+2）（x+n），则n＝　2　 ． 【解答】解：∵（x+2）（x+n）＝x2+（n+2）x+2n， ∴n+2＝4，2n＝4， 解得n＝2． 6．若x2﹣mx﹣18＝（x﹣3）（x+6），则m的值为　﹣3　 ． 【解答】解：∵x2﹣mx﹣18＝（x﹣3）（x+6）＝x2+3x﹣18， ∴﹣m＝3，即m＝﹣3． 故答案为：﹣3 7．若（x﹣5）（x+3）是由x2﹣kx﹣15分解而来的，则k＝　2　 ． 【解答】解：根据题意得：（x﹣5）（x+3）＝x2﹣2x﹣15＝x2﹣kx﹣15， 则k＝2． 故答案为：2． 考点3 因式分解定义的应用 例题讲解： 例1．根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：x2+6x+8＝（x+2）（x+4）　 ． 【分析】分别求出独立图形的面积和，组合图形的面积，面积不变得等式，即为所求． 【解答】解：四个独立图形的面积和：x2+2x+4x+4×2＝x2+6x+8， 组合图形面积：（x+2）（x+4）， ∴x2+6x+8＝（x+2）（x+4）， 故答案为：x2+6x+8＝（x+2）（x+4）． 跟踪训练： 1．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 【分析】根据面积相等，列出关系式即可． 【解答】解：由题意这两个图形的面积相等， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：D． 2．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式，用图1与图2可以描述一个重要的数学公式，这个公式是（　　） A．a（a﹣b）＝a2﹣ab B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2﹣b2＝（a﹣b）2 3．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分剪下，拼成右边的矩形，由图形①到图形②的变化过程能够验证的一个等式是（　　）【分析】用代数式分别表示图1和图2，两个图中阴影部分的面积，再根据拼图前后阴影部分面积的相等的关系可得结论． 【解答】解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差， 即a2﹣b2， 图2是由图1中阴影部分拼成的底为a+b，高为a﹣b的长方形， ∴面积为（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：C． A．a（a+b）＝a2+ab B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a（a﹣b）＝a2﹣ab 【分析】通过计算图①和图②的面积直接得出式子相等的结论． 【解答】解：由图形①可知剪掉后剩下的图形面积是：a2﹣b2， 图形②的长为（a+b），宽为（a﹣b），所以面积是：（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 故选：B． 4．根据如图“十”字形的割补，你能得到哪个等式（　　） A．a2﹣x2＝x（a+2x） B．a2﹣4x2＝2x（a+2x） C．a2﹣x2＝（a﹣2x）（a+2x） D．a2﹣4x2＝（a﹣2x）（a+2x） 【分析】由题意可得大正方形面积﹣4个小正方形面积＝右侧矩形面积，进而得出答案． 【解答】解：由图形可得：a2﹣4x2＝（a﹣2x）（a+2x）， 故选：D． 5．如图有三种不同的纸片，现选取4张拼成了图甲，你能根据面积关系得到下列等式成立的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【分析】分别用两种方法，表示图甲的面积即可． 【解答】解：图甲的长为a+b，宽为a+b，因此面积为（a+b）2，图甲又是由4部分组成的，因此面积为a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2， 所以（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故选：D． 考点4 因式分解中的马虎问题 例题讲解： 例1．夏老师发现，两位同学将一个二次三项式分解因式时，聪聪同学因看错了一次项而分解成3（x﹣1）（x﹣9），江江同学因看错了常数项而分解成3（x﹣2）（x﹣4），那么，聪明的你，通过以上信息可以知道，原多项式应该是被因式分解为　3（x﹣3）2 ． 【分析】根据多项式的乘法将3（x﹣1）（x﹣9）展开得到二次项、常数项；将3（x﹣2）（x﹣4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式3后利用完全平方公式分解因式． 【解答】解：∵3（x﹣1）（x﹣9）＝3x2﹣30x+27； 3（x﹣2）（x﹣4）＝3x2﹣18x+24； ∴原多项式为3x2﹣18x+27，因式分解后为：3（x﹣3）2． 故答案为：3（x﹣3）2． 跟踪训练： 1．分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3），那么x2+ax+b分解因式正确的结果应该是 　（x+1）（x﹣6）　 ． 【解答】解：∵分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2）， ∴（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6， ∴b＝﹣6， ∵乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3）， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6， ∴a＝﹣5， ∴x2+ax+b＝x2﹣5x﹣6＝（x+1）（x﹣6）． 故答案为：（x+1）（x﹣6）． 2．两位同学将一个二次三项式ax2+bx+c分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成3（x﹣1）（x+2），另一位同学因看错了常数项而分解成3（x+2）（x﹣3），则原来的多项式为 　3x2﹣3x﹣6　 【解答】解：∵3（x﹣1）（x+2）＝3（x2+x﹣2）＝3x2+3x﹣6， ∴a＝3，c＝﹣6； 又∵3（x+2）（x﹣3）＝3（x2﹣x﹣6）＝3x2﹣3x﹣18， ∴b＝﹣3． ∵二次三项式为：ax2+bx+c， ∴原多项式为3x2﹣3x﹣6， 故答案为：3x2﹣3x﹣6． 考点5 因式分解中综合题 例题讲解： 例1．【阅读材料】对于多项式x2+x﹣2，如果我们把x＝1代入x2+x﹣2，发现此多项式的值为0，这时可以断定多项式x2+x﹣2中有因式x﹣1，可设x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+m）（m为常数），通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： （1）请完成下列因式分解：x2+x﹣2＝　（x﹣1）（x+2）　 ； （2）若多项式x2+mx﹣n（m，n为常数）分解因式后，有一个因式是（x﹣2），求2m﹣n值； （3）多项式x3+2x2﹣3用“试根法”分解因式得（x+a）（x2+bx+c）（a，b，c为常数），请直接写出a，b，c的值． 【分析】（1）将（x﹣1）（x+m）展开后求得m的值即可； （2）设x2+mx﹣n＝（x﹣2）（x+a），将（x﹣2）（x+a）展开后求得a的值后即可求得2m﹣n的值； （3）将（x+a）（x2+bx+c）展开后即可求得答案． 【解答】解：（1）设x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+m）＝x2+（m﹣1）x﹣m， 则m＝2， 则x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）， 故答案为：（x﹣1）（x+2）； （2）设x2+mx﹣n＝（x﹣2）（x+a）＝x2+（a﹣2）x﹣2a， 则m＝a﹣2，n＝2a， 那么2m﹣n＝2（a﹣2）﹣2a＝2a﹣4﹣2a＝﹣4； （3）∵（x+a）（x2+bx+c） ＝x3+bx2+cx+ax2+abx+ac ＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac ＝x3+2x2﹣3， ∴a+b＝2，ab+c＝0，ac＝﹣3， 解得：a＝﹣1，b＝3，c＝3． 跟踪训练： 1．仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 解法一：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴解得n＝﹣7，m＝﹣21． ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 解法二：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） ∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0 即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21 ∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7） ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 问题：仿照以上一种方法解答下面问题． （1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝　1　 ． （2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值． 【解答】解：（1）设另一个因式为x+a，得x2﹣px﹣6＝（x﹣3）（x+a） 则x2﹣px﹣6＝x2+（a﹣3）x﹣3a， ∴，解得a＝2，p＝1． 故答案为：1． （2）设另一个因式为（x+n），得2x2+3x﹣k＝（2x+5）（x+n） 则2x2+3x﹣k＝2x2+（2n+5）x+5n ∴， 解得n＝﹣1，k＝5， ∴另一个因式为（x﹣1），k的值为5． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1因式分解 1、因式分解的定义………………………………………………………………………… 2 2、利用因式分解逆运算求字母值………………………………………………………… 3 3、因式分解定义的应用…………………………………………………………………… 4 4、因式分解中的马虎问题………………………………………………………………… 6 5、因式分解的综合题……………………………………………………………………… 7 知 识 清 单 知识点1 因式分解 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫做分解因式. 【知识解读】 （1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 素 养 提 升 考点1 因式分解的定义 例题讲解： 例1．对于式子：①x2+2xy＝x（x+2y）；②（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6，从左到右的变形，下列说法正确的是（　　） A．都是因式分解 B．都是整式乘法 C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解 跟踪训练： 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4 B． C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x 2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．m（a﹣2）＝am﹣2m B．4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1） C．x2+3x﹣5＝x（x+3）﹣5 D． 3．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16 B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．ab2+a＝a（b+1） D．4m2+4m+1＝（2m+1）2 4．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+1）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b） 5．下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A．x2+4＝（x﹣2）2+4x B．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 C．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 D． 6．有下列变形：①（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2；②x2﹣7x+6＝（x﹣1）（x﹣6）；③x2﹣2x﹣10＝x（x﹣2）﹣10．其中是整式乘法的有　 　 ，是因式分解的有　 　 ． 考点2 利用因式分解逆运算求字母值 例题讲解： 例1．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为　 　 ． 跟踪训练： 1．如果多项式M可因式分解为3（1+2x）（﹣2x+1），则M＝　 ． 2．多项式xn﹣yn因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），则n＝　 　 ． 3．已知x+3是kx2+x+12的一个因式，则k＝　 　 ． 4．若x2+ax+b＝（x+3）（x﹣4），则a＝　 　 ，b＝　 　 ． 5．若x2+4x+4＝（x+2）（x+n），则n＝　 　 ． 6．若x2﹣mx﹣18＝（x﹣3）（x+6），则m的值为　 　 ． 7．若（x﹣5）（x+3）是由x2﹣kx﹣15分解而来的，则k＝　 　 ． 考点3 因式分解定义的应用 例题讲解： 例1．根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 ． 跟踪训练： 1．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 2．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式，用图1与图2可以描述一个重要的数学公式，这个公式是（　　） A．a（a﹣b）＝a2﹣ab B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2﹣b2＝（a﹣b）2 3．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分剪下，拼成右边的矩形，由图形①到图形②的变化过程能够验证的一个等式是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a（a﹣b）＝a2﹣ab 4．根据如图“十”字形的割补，你能得到哪个等式（　　） A．a2﹣x2＝x（a+2x） B．a2﹣4x2＝2x（a+2x） C．a2﹣x2＝（a﹣2x）（a+2x） D．a2﹣4x2＝（a﹣2x）（a+2x） 5．如图有三种不同的纸片，现选取4张拼成了图甲，你能根据面积关系得到下列等式成立的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 考点4 因式分解中的马虎问题 例题讲解： 例1．夏老师发现，两位同学将一个二次三项式分解因式时，聪聪同学因看错了一次项而分解成3（x﹣1）（x﹣9），江江同学因看错了常数项而分解成3（x﹣2）（x﹣4），那么，聪明的你，通过以上信息可以知道，原多项式应该是被因式分解为　 ． 跟踪训练： 1．分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3），那么x2+ax+b分解因式正确的结果应该是 　 　 ． 2．两位同学将一个二次三项式ax2+bx+c分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成3（x﹣1）（x+2），另一位同学因看错了常数项而分解成3（x+2）（x﹣3），则原来的多项式为 　 　 考点5 因式分解中综合题 例题讲解： 例1．【阅读材料】对于多项式x2+x﹣2，如果我们把x＝1代入x2+x﹣2，发现此多项式的值为0，这时可以断定多项式x2+x﹣2中有因式x﹣1，可设x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+m）（m为常数），通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： （1）请完成下列因式分解：x2+x﹣2＝　 　 ； （2）若多项式x2+mx﹣n（m，n为常数）分解因式后，有一个因式是（x﹣2），求2m﹣n值； （3）多项式x3+2x2﹣3用“试根法”分解因式得（x+a）（x2+bx+c）（a，b，c为常数），请直接写出a，b，c的值． 跟踪训练： 1．仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 解法一：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴解得n＝﹣7，m＝﹣21． ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 解法二：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） ∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0 即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21 ∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7） ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 问题：仿照以上一种方法解答下面问题． （1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝　 　 ． （2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $