11.2 提公因式法导学案2025-2026学年青岛版七年级下册

11.2提公因式法 1、单项式公因式…………………………………………………………………………… 2 2、多项式公因式…………………………………………………………………………… 3 3、变号后提取公因式……………………………………………………………………… 5 4、提取隐藏公因式………………………………………………………………………… 5 5、利用提公因式法计算…………………………………………………………………… 6 6、利用提公因式法求代数式值…………………………………………………………… 7 7、提公因式法综合应用…………………………………………………………………… 8 知 识 清 单 知识点1 公因式 1、多项式ma+mb+mc=m(a+b+c)的各项都含有相同的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式. 2、公因式的确定： 一看“系数”，系数是各项系数的最大公因数； 二看“字母”，字母是各项中相同的字母（注意字母可以是多项式）； 三看“字母次数”，次数取各字母次数最低的。 【知识解读】 （1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. 知识点2 提公因式法 如果一个多项式各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解.这种因式分解的方法叫提公因式法． 【知识解读】 （1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即ma+mb+mc=m(a+b+c) . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 素 养 提 升 考点1 单项式公因式 例题讲解： 1．多项式6ab2﹣cb的公因式是（　　） A．b B．ab C．b2 D．c 跟踪训练： 1．多项式2x3y2+3x4y3﹣6x2y中，各项的公因式是（　　） A．xy B．x2y C．2x2y D．3x2y 2．将多项式6a3b2﹣3a2b3因式分解时，应提取的公因式是（　　） A．3a2b2 B．3ab C．3a2b D．3a3b3 3．多项式﹣9x2y+3xy2﹣6xyz中，各项的公因式是（　　） A．﹣3xy B．3yz C．3xz D．﹣3x 考点2 多项式公因式 例题讲解： 例1．多项式m2﹣2m与多项式m2﹣4m+4的公因式是（　　） A．m+2 B．m﹣2 C．（m﹣2）（m+2） D．（m﹣2）2 跟踪训练： 1．已知下列各组多项式：①ax﹣bx和by﹣ay；②3﹣9y和6y2﹣2y；③x2﹣y2和x﹣y；④a+b和a2﹣2ab+b2．上述各组中有相同公因式的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 2．对于整式A＝x﹣1，B＝x2﹣x，有两个结论． 结论一：A•x＝B． 结论二：A，B的公因式为x． 下列判断正确的是（　　） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一、结论二都不正确 D．结论一、结论二都正确 3．下列多项式中，没有公因式的一组是（　　） A．3x和xy B．4（a+b）和﹣2（a+b） C．a﹣2b和2a﹣4b D．3（a﹣b）和5（b+a） 4．多项式a（x2﹣2x+1）与多项式x2﹣1的公因式是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．x2 5．下列多项式中，没有公因式的是（　　） A．a（m+n）和（m+n） B．32（x+y）和（﹣x+y） C．3b（x﹣y）和2（x﹣y） D．（3a﹣3b）和6（b﹣a） 6．下列各组多项式中没有公因式的是（　　） A．3x﹣2与6x2﹣4x B．3（a﹣b）2与11（b﹣a）3 C．mx﹣my与ny﹣nx D．3ab﹣ax与ab﹣bx 7．多项式mx2+mx与多项式x2+2x+1的公因式是（　　） A．x+1 B．x﹣1 C．x2+1 D．（x+1）2 考点3 变号后提取公因式 例题讲解： 例1．因式分解：a（x﹣3）﹣b（x﹣3）+（3﹣x）＝　 　 ． 跟踪训练： 1．因式分解：a2（x﹣3）+4（3﹣x）＝　 　 ． 2．因式分解：x（a﹣x）﹣y（x﹣a）+3（a﹣x）＝　 　 ． 3．因式分解：（a﹣2b）2﹣（2b﹣a）（2a+b）＝　 　 ． 4．因式分解：3a（x﹣y）+6b（y﹣x）＝　 　 ． 考点4 提取隐藏公因式 例题讲解： 例1．分解因式4b（3a+1）﹣9a﹣3的结果为 　 　 ． 跟踪训练： 1．因式分解： （1）（x+2）x﹣x﹣2＝　 　 ． （2）（a﹣b）2﹣（b﹣a）＝　 　 ． 2．因式分解：（2a+1）a﹣4a﹣2＝　 　 ． 考点5 利用提公因式法计算 例题讲解： 例1．计算（﹣5）2013+（﹣5）2014的结果是（　　） A．4×52013 B．﹣5 C．﹣4×52013 D．﹣4 跟踪训练： 1．（﹣2）2024+（﹣2）2025等于（　　） A．﹣22024 B．﹣22025 C．22024 D．﹣2 2．计算（﹣2）2024+（﹣2）2023的结果为（　　） A．﹣22024 B．﹣22023 C．22023 D．22024 3．计算（﹣2）2025+（﹣2）2024所得的结果是（　　） A．﹣2 B．﹣22025 C．22024 D．﹣22024 4．利用提取公因式法计算（﹣5）2026+（﹣5）2027，结果是（　　） A．﹣4×52026 B．4×（﹣5）2026 C．﹣4×52027 D．4×（﹣5）2027 考点6 利用提公因式法求代数式的值 例题讲解： 例1．如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、b（a＞b），周长为20，面积为16，请计算a2b﹣ab2的值为（　　） A．96 B．480 C．320 D．160 跟踪训练： 1．如图，长方形的长和宽分别是x，y，它的周长为14，面积为10，则x2y+xy2的值为（　　） A．140 B．70 C．14 D．10 2．若长方形长和宽分别是a，b，其周长为10，面积为4，则a2b+ab2的值为（　　） A．14 B．16 C．20 D．24 3．边长为a，b的长方形周长为12，面积为5，则a2b+ab2的值为（　　） A．30 B．60 C．100 D．120 考点7 提公因式法综合应用 例题讲解： 例1、【问题提出】 计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 【问题探究】为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母α代替，原算式化为： 1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4+a（1+a）5+a（1+a）6 然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法； ①1+a+a（1+a）＝（1+a）+a（1+a）＝（1+a）（1+a）＝（1+a）2 ②由①知1+a+a（1+a）＝（1+a）2，所以，1+a+a（1+a）+a（1+a）2 ＝（1+a）2+a（1+a）2＝（1+a）2（1+a）＝（1+a）3 （1）仿照②，写出将1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3进行因式分解的过程． 【发现规律】（2）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝　 　． 【问题解决】 （3）计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6＝　 　（结果用乘方表示）． 跟踪训练： 1、计算1﹣a﹣a（1﹣a）﹣a（1﹣a）2﹣a（1﹣a）3﹣…﹣a（1﹣a）2013﹣[（1﹣a）2014﹣3]的结果为（　 　） A．3 B．1 C．（1﹣a）2015 D．（1﹣a）2015+3 2、认真阅读以下分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（1+x）+x（1+x）2 ＝（1+x）[1+x+x（1+x）] ＝（1+x）[（1+x）（1+x）] ＝（1+x）3 （1）上述分解因式的方法是　 　； （2）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3； （3）猜想：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式的结果是　 　． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.2提公因式法 1、单项式公因式…………………………………………………………………………… 2 2、多项式公因式…………………………………………………………………………… 3 3、变号后提取公因式……………………………………………………………………… 6 4、提取隐藏公因式………………………………………………………………………… 8 5、利用提公因式法计算…………………………………………………………………… 9 6、利用提公因式法求代数式值…………………………………………………………… 11 7、提公因式法综合应用…………………………………………………………………… 13 知 识 清 单 知识点1 公因式 1、多项式ma+mb+mc=m(a+b+c)的各项都含有相同的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式. 2、公因式的确定： 一看“系数”，系数是各项系数的最大公因数； 二看“字母”，字母是各项中相同的字母（注意字母可以是多项式）； 三看“字母次数”，次数取各字母次数最低的。 【知识解读】 （1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. 知识点2 提公因式法 如果一个多项式各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解.这种因式分解的方法叫提公因式法． 【知识解读】 （1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即ma+mb+mc=m(a+b+c) . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 素 养 提 升 考点1 单项式公因式 例题讲解： 1．多项式6ab2﹣cb的公因式是（　　） A．b B．ab C．b2 D．c 【分析】根据公因式的定义确定即可． 【解答】解：多项式6ab2﹣cb的公因式是b， 故选：A． 跟踪训练： 1．多项式2x3y2+3x4y3﹣6x2y中，各项的公因式是（　　） A．xy B．x2y C．2x2y D．3x2y 【解答】解：多项式2x3y2+3x4y3﹣6x2y各项的公因式是x2y． 故答案为：B． 2．将多项式6a3b2﹣3a2b3因式分解时，应提取的公因式是（　　） A．3a2b2 B．3ab C．3a2b D．3a3b3 【解答】解：6a3b2﹣3a2b3因式分解时，应提取的公因式是3a2b2， 故选：A． 3．多项式﹣9x2y+3xy2﹣6xyz中，各项的公因式是（　　） A．﹣3xy B．3yz C．3xz D．﹣3x 【解答】解：﹣9x2y+3xy2﹣6xyz各项的公因式是﹣3xy， 故选：A． 考点2 多项式公因式 例题讲解： 例1．多项式m2﹣2m与多项式m2﹣4m+4的公因式是（　　） A．m+2 B．m﹣2 C．（m﹣2）（m+2） D．（m﹣2）2 【分析】对每个多项式先因式分解，然后即可选出有公因式的项． 【解答】解：根据题意可知，m2﹣2m＝m（m﹣2），m2﹣4m+4＝（m﹣2）2， ∴两个多项式的公因式是m﹣2． 故选：B． 跟踪训练： 1．已知下列各组多项式：①ax﹣bx和by﹣ay；②3﹣9y和6y2﹣2y；③x2﹣y2和x﹣y；④a+b和a2﹣2ab+b2．上述各组中有相同公因式的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【解答】解：①ax﹣bx＝x（a﹣b），by﹣ay＝y（b﹣a）＝﹣y（a﹣b），有公因式a﹣b； ②3﹣9y＝3（1﹣3y）和6y2﹣2y＝2y（3y﹣1）＝﹣2y（1﹣3y），有公因式1﹣3y； ③x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），有公因式x﹣y； ④a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，没有公因式； 所以有相同公因式的有3组， 故选：C． 2．对于整式A＝x﹣1，B＝x2﹣x，有两个结论． 结论一：A•x＝B． 结论二：A，B的公因式为x． 下列判断正确的是（　　） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一、结论二都不正确 D．结论一、结论二都正确 【解答】解：A•x＝（x﹣1）•x＝x2﹣x＝B，故结论一正确； x2﹣x＝x（x﹣1），所以x﹣1与x2﹣x的公因式是x﹣1，故结论二不正确； 故选：A． 3．下列多项式中，没有公因式的一组是（　　） A．3x和xy B．4（a+b）和﹣2（a+b） C．a﹣2b和2a﹣4b D．3（a﹣b）和5（b+a）【解答】解：A、3x和xy的公因式是x，故此选项不符合题意； B、4（a+b）和﹣2（a+b）的公因式是2（a+b），故此选项不符合题意； C、2a﹣4b＝2（a﹣2b），a﹣2b和2（a﹣2b）的公因式是a﹣2b，故此选项不符合题意； D、3（a﹣b）和5（b+a）没有公因式，故此选项符合题意； 故选：D． 4．多项式a（x2﹣2x+1）与多项式x2﹣1的公因式是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．x2 【解答】解：a（x2﹣2x+1）＝a（x﹣1）2，x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）， 所以多项式a（x2﹣2x+1）与多项式x2﹣1的公因式是x﹣1， 故选：A． 5．下列多项式中，没有公因式的是（　　） A．a（m+n）和（m+n） B．32（x+y）和（﹣x+y） C．3b（x﹣y）和2（x﹣y） D．（3a﹣3b）和6（b﹣a） 【解答】解：A、有公因式（m+n），不符合题意； B、两个多项式没有公因式，符合题意； C、有公因式（x﹣y），不符合题意； D、有（b﹣a），不符合题意； 故选：B． 6．下列各组多项式中没有公因式的是（　　） A．3x﹣2与6x2﹣4x B．3（a﹣b）2与11（b﹣a）3 C．mx﹣my与ny﹣nx D．3ab﹣ax与ab﹣bx 【解答】解：A．3x﹣2与6x2﹣4x＝2x（3x﹣2）的公因式是：（3x﹣2），故此选项不合题意； B．3（a﹣b）2＝3（b﹣a）2与11（b﹣a）3的公因式是：（a﹣b）2，故此选项不合题意； C．mx﹣my＝m（x﹣y）与ny﹣nx＝﹣n（x﹣y）的公因式是：（x﹣y），故此选项不合题意； D．3ab﹣ax＝a（3b﹣x）与ab﹣bx＝b（a﹣x），没有公因式，故此选项符合题意． 故选：D． 7．多项式mx2+mx与多项式x2+2x+1的公因式是（　　） A．x+1 B．x﹣1 C．x2+1 D．（x+1）2 【解答】解：因为mx2+mx＝mx（x+1），x2+2x+1＝（x+1）2， 所以多项式mx2+mx与多项式x2+2x+1的公因式是x+1． 故选：A． 考点3 变号后提取公因式 例题讲解： 例1．因式分解：a（x﹣3）﹣b（x﹣3）+（3﹣x）＝　（x﹣3）（a﹣b﹣1）　 ． 【分析】利用提公因式法，进行分解即可解答． 【解答】解：a（x﹣3）﹣b（x﹣3）+（3﹣x） ＝a（x﹣3）﹣b（x﹣3）﹣（x﹣3） ＝（x﹣3）（a﹣b﹣1）， 故答案为：（x﹣3）（a﹣b﹣1）． 跟踪训练： 1．因式分解：a2（x﹣3）+4（3﹣x）＝　（x﹣3）（a+2）（a﹣2）　 ． 【解答】解：a2（x﹣3）+4（3﹣x） ＝a2（x﹣3）﹣4（x﹣3） ＝（x﹣3）（a2﹣4） ＝（x﹣3）（a+2）（a﹣2） 故答案为：（x﹣3）（a+2）（a﹣2）． 2．因式分解：x（a﹣x）﹣y（x﹣a）+3（a﹣x）＝　（a﹣x）（x+y+3）　 ． 【解答】解：x（a﹣x）﹣y（x﹣a）+3（a﹣x） ＝x（a﹣x）+y（a﹣x）+3（a﹣x） ＝（a﹣x）（x+y+3）， 故答案为：（a﹣x）（x+y+3）． 3．因式分解：（a﹣2b）2﹣（2b﹣a）（2a+b）＝　（a﹣2b）（3a﹣b）　 ． 【解答】解：（a﹣2b）2﹣（2b﹣a）（2a+b） ＝（a﹣2b）2+（a﹣2b）（2a+b） ＝（a﹣2b）（a﹣2b+2a+b） ＝（a﹣2b）（3a﹣b）． 故答案为：（a﹣2b）（3a﹣b）． 4．因式分解：3a（x﹣y）+6b（y﹣x）＝　3（x﹣y）（a﹣2b）　 ． 【解答】解：3a（x﹣y）+6b（y﹣x） ＝3a（x﹣y）﹣6b（x﹣y） ＝3（x﹣y）（a﹣2b）， 故答案为：3（x﹣y）（a﹣2b）． 考点4 提取隐藏公因式 例题讲解： 例1．分解因式4b（3a+1）﹣9a﹣3的结果为 　（3a+1）（4b﹣3）　 ． 【分析】将原式变形为＝4b（3a+1）﹣3（3a+1），然后提取公因式即可解答． 【解答】解：4b（3a+1）﹣9a﹣3 ＝4b（3a+1）﹣（9a+3） ＝4b（3a+1）﹣3（3a+1） ＝（3a+1）（4b﹣3）； 故答案为：（3a+1）（4b﹣3）． 跟踪训练： 1．因式分解： （1）（x+2）x﹣x﹣2＝　（x+2）（x﹣1）　 ． （2）（a﹣b）2﹣（b﹣a）＝　（a﹣b）（a﹣b+1）　 ． 【解答】解：（1）（x+2）x﹣x﹣2 ＝（x+2）x﹣（x+2） ＝（x+2）（x﹣1）； （2）（a﹣b）2﹣（b﹣a） ＝（a﹣b）2+（a﹣b） ＝（a﹣b）（a﹣b+1）． 故答案为：（1）（x+2）（x﹣1）； （2）（a﹣b）（a﹣b+1）． 2．因式分解：（2a+1）a﹣4a﹣2＝　（2a+1）（a﹣2）　 ． 【解答】解：（2a+1）a﹣4a﹣2 ＝（2a+1）a﹣2（2a+1） ＝（2a+1）（a﹣2）． 故答案为：（2a+1）（a﹣2）． 考点5 利用提公因式法计算 例题讲解： 例1．计算（﹣5）2013+（﹣5）2014的结果是（　　） A．4×52013 B．﹣5 C．﹣4×52013 D．﹣4 【分析】先将原算式变式后，运用提公因式因式分解法进行求解． 【解答】解：（﹣5）2013+（﹣5）2014 ＝﹣52013+52014 ＝5×52013﹣52013 ＝52013×（5﹣1） ＝4×52013， 故选：A． 跟踪训练： 1．（﹣2）2024+（﹣2）2025等于（　　） A．﹣22024 B．﹣22025 C．22024 D．﹣2【解答】解：原式＝（﹣2）2024+（﹣2）2024×（﹣2） ＝（﹣2）2024×（1﹣2） ＝﹣1×22024 ＝﹣22024． 故选：A． 2．计算（﹣2）2024+（﹣2）2023的结果为（　　） A．﹣22024 B．﹣22023 C．22023 D．22024 【解答】解：（﹣2）2024+（﹣2）2023 ＝（﹣2）×（﹣2）2023+（﹣2）2023 ＝（﹣2+1）×（﹣2）2023 ＝﹣1×（﹣22023） ＝22023． 故选：C． 3．计算（﹣2）2025+（﹣2）2024所得的结果是（　　） A．﹣2 B．﹣22025 C．22024 D．﹣22024 【解答】解：（﹣2）2025+（﹣2）2024 ＝（﹣2）2024×（﹣2）+（﹣2）2024 ＝（﹣2）2024×（﹣2+1） ＝22024×（﹣1） ＝﹣22024， 故选：D． 4．利用提取公因式法计算（﹣5）2026+（﹣5）2027，结果是（　　） A．﹣4×52026 B．4×（﹣5）2026 C．﹣4×52027 D．4×（﹣5）2027 【解答】解：原式＝（﹣5）2026×[1+（﹣5）] ＝（﹣5）2026×（﹣4） ＝﹣4×52026． 故选：A． 考点6 利用提公因式法求代数式的值 例题讲解： 例1．如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、b（a＞b），周长为20，面积为16，请计算a2b﹣ab2的值为（　　） A．96 B．480 C．320 D．160 【分析】根据长方形的周长和面积求出a+b和ab的值，根据完全平方公式的变形得到a﹣b的值，对多项式进行因式分解，整体代入求值即可． 【解答】解：∵长方形的边长为a、b（a＞b），周长为20，面积为16， ∴2（a+b）＝20，ab＝16， ∴a+b＝10， ∴（a﹣b）2 ＝（a+b）2﹣4ab ＝102﹣4×16 ＝100﹣64 ＝36， ∵a＞b， ∴a﹣b＝6， ∴原式＝ab（a﹣b） ＝16×6 ＝96． 故选：A． 跟踪训练： 1．如图，长方形的长和宽分别是x，y，它的周长为14，面积为10，则x2y+xy2的值为（　　） A．140 B．70 C．14 D．10 【解答】解：∵该长方形的周长为14，面积为10， ∴2（x+y）＝14，xy＝10，则x+y＝7， ∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝10×7＝70， 故选：B． 2．若长方形长和宽分别是a，b，其周长为10，面积为4，则a2b+ab2的值为（　　） A．14 B．16 C．20 D．24 【解答】解：∵长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4， ∴2（a+b）＝10，ab＝4， ∴a+b＝5， 则a2b+ab2＝ab（a+b）＝20． 故选：C． 3．边长为a，b的长方形周长为12，面积为5，则a2b+ab2的值为（　　） A．30 B．60 C．100 D．120 【解答】解：∵边长为a，b的长方形周长为12，面积为5， ∴a+b＝6，ab＝5， ∴a2b+ab2 ＝ab（a+b） ＝6×5 ＝30， 故选：A． 考点7 提公因式法综合应用 例题讲解： 例1、【问题提出】 计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 【问题探究】为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母α代替，原算式化为： 1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4+a（1+a）5+a（1+a）6 然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法； ①1+a+a（1+a）＝（1+a）+a（1+a）＝（1+a）（1+a）＝（1+a）2 ②由①知1+a+a（1+a）＝（1+a）2，所以，1+a+a（1+a）+a（1+a）2 ＝（1+a）2+a（1+a）2＝（1+a）2（1+a）＝（1+a）3 （1）仿照②，写出将1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3进行因式分解的过程． 【发现规律】（2）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝　（1+a）n+1　． 【问题解决】 （3）计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6＝　47　（结果用乘方表示）． 【解答】解：（1）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3 ＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3 ＝（1+a）3+a（1+a）3＝（1+a）3（1+a）＝（1+a）4； （2）由②③发现规律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝（1+a）n+1；故答案为：（1+a）n+1； （3）1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）2（1+3）+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）3（1+3）+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）4（1+3）+3（1+3）5+3（1+3）6＝（1+3）5（1+3）+3（1+3）6＝（1+3）6（1+3） ＝（1+3）7＝47．故答案为：47． 跟踪训练： 1、计算1﹣a﹣a（1﹣a）﹣a（1﹣a）2﹣a（1﹣a）3﹣…﹣a（1﹣a）2013﹣[（1﹣a）2014﹣3]的结果为（　A　） A．3 B．1 C．（1﹣a）2015 D．（1﹣a）2015+3 2、认真阅读以下分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（1+x）+x（1+x）2 ＝（1+x）[1+x+x（1+x）] ＝（1+x）[（1+x）（1+x）] ＝（1+x）3 （1）上述分解因式的方法是　提公因式法　； （2）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3； （3）猜想：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式的结果是　（1+x）n+1　． 【解答】解：（1）上述分解因式的方法是：提公因式法； 故答案为：提公因式法； （2）方法一：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3 ＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2] ＝（1+x）（1+x）[1+x+x（1+x）] ＝（1+x）（1+x）（1+x）[1+x] ＝（1+x）4； （3）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式的结果是：（1+x）n+1． 故答案为：（1+x）n+1． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $