11.3　公式法　导学案 2024-2025学年青岛版数学七年级下册

11.3　公式法 第1课时 课时学习目标 素养目标达成 　根据平方差公式,推导出平方差公式因式分解的方法,并能够用公式分解因式 抽象能力、模型观念 基础主干落实　　起步起势 向上向阳 新知要点 对点小练 利用平方差公式因式分解: 　符号语言:a2-b2=(a+b)(a-b). 文字语言:两个数的平方差,等于这两个数的 与这两个数的 的乘积.  1.下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是( ) A.a2+b2 B.2a-b2 C.-4a2-b2 D.-a2+9b2 2.分解因式:x2-9= .  重点典例研析　　学贵有方 进而有道 【重点】用平方差公式因式分解(抽象能力、运算能力) 【典例】(教材再开发·P128例1改编)因式分解: (1)a2-81; (2)25-16x2; (3)x2-16. 【举一反三】 1.下列多项式中,能用平方差公式进行因式分解的是( ) A.a2-b B.a2+2b2 C.9a2-b2 D.-a2-b2 2.若多项式mx2-4在有理数范围内能利用平方差公式进行因式分解,则m的值不可能是( ) A.1 B.5 C.9 D.16 3.(2024·东营河口模拟)下列多项式中,属于4x2-1的一个因式的是( ) A.4x-1 B.4x+1 C.2x-1 D.4x2 4.4x2-81因式分解为: .  5.若x+y+z=2,则当x2-(y+z)2=8时,x-y-z= .  6.(2024·潍坊奎文质检)因式分解: (1)25c2-49a2b2; (2)(x-5)2-9(y+3)2. 7.将下列各式分解因式: (1)x2(x-1)-16(x-1); (2)x4-1. 【技法点拨】 用平方差公式因式分解的步骤: 1.识别形式:多项式可以写成两个单项式平方差的形式; 2.确定a和b:对照公式,找到a和b; 3.根据公式进行分解. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(3分·推理能力、运算能力)下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ) A.a2+b2 B.-a2-b2 C.a3-b3 D.-a2+b2 2.(3分·推理能力、运算能力)若k为自然数,则(3k+2)2-9k2的值总能( ) A.被3整除 B.被4整除 C.被5整除 D.被7整除 3.(4分·推理能力、运算能力)因式分解:4(a-b)2-(a+b)2= .  4.(4分·推理能力、运算能力)如果多项式ax2+by2只能因式分解为(3x+2y)(3x-2y),则ab= .  5.(6分·推理能力、运算能力)因式分解: (1)9x2-4y2; (2)18a2-8b2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.3　公式法 第2课时 课时学习目标 素养目标达成 1.根据完全平方公式,推导出完全平方公式因式分解的方法,并能够用公式分解因式 应用意识、运算能力 2.能灵活选择公式法进行因式分解 应用意识、运算能力 基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远 新知要点 对点小练 1.利用完全平方公式因式分解: a2±2ab+b2=　(a±b)2　.  文字语言:两数的平方和,加上(减去)这两数乘积的2倍,等于这两数和(差)的　平方　.  2.完全平方式:式子　a2+2ab+b2　和　a2-2ab+b2　.  下列各式中不是多项式a3b+4a2b+4ab的因式的是(C) A.b B.a+2 C.a-2 D.a 重点典例研析　　启思凝智 教学相长 【重点1】用完全平方公式因式分解(抽象能力、运算能力) 【典例1】(教材再开发·P130例3拓展)因式分解: (1)x2-4xy+4y2; (2)9x2-6xy+y2. 【自主解答】(1)x2-4xy+4y2 =(x-2y)2; (2)9x2-6xy+y2 =(3x)2-2×3xy+y2 =(3x-y)2. 【举一反三】 1.因式分解x2-x+= (x-)2　.  2.因式分解:(1)4x(x-3y)+9y2. (2)(m2-5)2+2(m2-5)+1. 【解析】(1)4x(x-3y)+9y2 =4x2-12xy+9y2 =(2x-3y)2 (2)原式=(m2-5+1)2 =(m2-4)2 =(m+2)2(m-2)2. 【技法点拨】 应用完全平方公式因式分解的题型: 1.直接应用公式:符合完全平方公式的多项式可以直接用完全平方公式进行因式分解; 2.先变形后用公式进行因式分解:如x2+6x+8,不符合完全平方公式,变形后x2+6x+9-1,可得(x+3)2-1,然后用平方差公式进行因式分解即可. 【重点2】因式分解法的综合应用(抽象能力、模型观念) 【典例2】(教材再开发·P130例4拓展)把下列各式分解因式: (1)16x2-1; (2)4a2+12ab+9b2; (3)-ab+2a2b-a3b; (4)(x2+4)2-16x2. 【自主解答】(1)16x2-1=(4x+1)(4x-1). (2)4a2+12ab+9b2=(2a+3b)2. (3)-ab+2a2b-a3b=-ab(1-2a+a2)=-ab(1-a)2. (4)(x2+4)2-16x2 =(x2+4x+4)(x2-4x+4) =(x+2)2(x-2)2. 【举一反三】 1.(2024·东营河口模拟)因式分解x4-18x2+81的结果为(D) A.(x2+9)2 B.(x2-9)2 C.(x+9)2(x-9)2 D.(x+3)2(x-3)2 2.因式分解x2-y2+2y-1=　(x+y-1)(x-y+1)　.  3.(2024·潍坊奎文质检)分解因式: (1)9(m+n)2-(m-n)2; (2)81a4-72a2b2+16b4. 【解析】(1)9(m+n)2-(m-n)2 =[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)] =(4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n). (2)81a4-72a2b2+16b4 =(9a2-4b2)2 =(3a+2b)2(3a-2b)2. 【技法点拨】 因式分解的步骤 　一提:先提公因式; 二套:提公因式后,观察括号内剩余多项式是否符合公式,符合公式,要用公式进行进一步分解; 三检查:检查因式分解是否彻底. 素养当堂测评　　(10分钟·24分) 1.(4分·运算能力、推理能力)将a4-2a2+1分解因式,所得结果正确的是(D) A.a2(a2-2)+1 B.(a2-2)(a2+1) C.(a2-1)2 D.(a-1)2(a+1)2 2.(4分·运算能力、推理能力)多项式2a2-18与3a2-18a+27的公因式是(A) A.a-3 B.a+3 C.a-9 D.a+9 3.(4分·推理能力、运算能力)因式分解9a2-6a+1=　(3a-1)2　.  4.(4分·推理能力、运算能力)若要使代数式x2+4y2+A能进行因式分解,则单项式A应为　4xy或-4xy　.  5.(8分·运算能力、推理能力)有一种因式分解的方法叫分组分解法.具体做法如下:把a2-2ab+b2-c2分解因式得 原式=(a2-2ab+b2)-c2 =(a-b)2-c2 =(a-b+c)(a-b-c). 请阅读理解上面解法后,把下列多项式因式分解1-m2-n2+2mn. 【解析】1-m2-n2+2mn =1-(m2+n2-2mn) =1-(m-n)2 =(1+m-n)(1-m+n). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.3　公式法 第1课时 课时学习目标 素养目标达成 　根据平方差公式,推导出平方差公式因式分解的方法,并能够用公式分解因式 抽象能力、模型观念 基础主干落实　　起步起势 向上向阳 新知要点 对点小练 利用平方差公式因式分解: 　符号语言:a2-b2=(a+b)(a-b). 文字语言:两个数的平方差,等于这两个数的　和　与这两个数的　差　的乘积.  1.下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是(D) A.a2+b2 B.2a-b2 C.-4a2-b2 D.-a2+9b2 2.分解因式:x2-9=　(x+3)(x-3)　.  重点典例研析　　学贵有方 进而有道 【重点】用平方差公式因式分解(抽象能力、运算能力) 【典例】(教材再开发·P128例1改编)因式分解: (1)a2-81; (2)25-16x2; (3)x2-16. 【自主解答】(1)a2-81=(a+9)(a-9); (2)25-16x2=52-(4x)2=(5-4x)(5+4x); (3)x2-16=(x+4)(x-4). 【举一反三】 1.下列多项式中,能用平方差公式进行因式分解的是(C) A.a2-b B.a2+2b2 C.9a2-b2 D.-a2-b2 2.若多项式mx2-4在有理数范围内能利用平方差公式进行因式分解,则m的值不可能是(B) A.1 B.5 C.9 D.16 3.(2024·东营河口模拟)下列多项式中,属于4x2-1的一个因式的是(C) A.4x-1 B.4x+1 C.2x-1 D.4x2 4.4x2-81因式分解为:　(2x+9)(2x-9)　.  5.若x+y+z=2,则当x2-(y+z)2=8时,x-y-z=　4　.  6.(2024·潍坊奎文质检)因式分解: (1)25c2-49a2b2; (2)(x-5)2-9(y+3)2. 【解析】(1)25c2-49a2b2 =(5c)2-(7ab)2 =(5c+7ab)(5c-7ab); (2)(x-5)2-9(y+3)2 =(x-5)2-[3(y+3)]2 =(x-5+3y+9)(x-5-3y-9) =(x+3y+4)(x-3y-14). 7.将下列各式分解因式: (1)x2(x-1)-16(x-1); (2)x4-1. 【解析】(1)x2(x-1)-16(x-1) =(x-1)(x2-16) =(x-1)(x+4)(x-4). (2)原式=(x2+1)(x2-1) =(x2+1)(x+1)(x-1). 【技法点拨】 用平方差公式因式分解的步骤: 1.识别形式:多项式可以写成两个单项式平方差的形式; 2.确定a和b:对照公式,找到a和b; 3.根据公式进行分解. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(3分·推理能力、运算能力)下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(D) A.a2+b2 B.-a2-b2 C.a3-b3 D.-a2+b2 2.(3分·推理能力、运算能力)若k为自然数,则(3k+2)2-9k2的值总能(B) A.被3整除 B.被4整除 C.被5整除 D.被7整除 3.(4分·推理能力、运算能力)因式分解:4(a-b)2-(a+b)2=　(3a-b)(a-3b)　.  4.(4分·推理能力、运算能力)如果多项式ax2+by2只能因式分解为(3x+2y)(3x-2y),则ab=　-36　.  5.(6分·推理能力、运算能力)因式分解: (1)9x2-4y2; (2)18a2-8b2. 【解析】(1)9x2-4y2 =(3x+2y)(3x-2y); (2)18a2-8b2=2(9a2-4b2)=2(3a+2b)(3a-2b). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.3　公式法 第2课时 课时学习目标 素养目标达成 1.根据完全平方公式,推导出完全平方公式因式分解的方法,并能够用公式分解因式 应用意识、运算能力 2.能灵活选择公式法进行因式分解 应用意识、运算能力 基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远 新知要点 对点小练 1.利用完全平方公式因式分解: a2±2ab+b2= .  文字语言:两数的平方和,加上(减去)这两数乘积的2倍,等于这两数和(差)的 .  2.完全平方式:式子 和 .  下列各式中不是多项式a3b+4a2b+4ab的因式的是( ) A.b B.a+2 C.a-2 D.a 重点典例研析　　启思凝智 教学相长 【重点1】用完全平方公式因式分解(抽象能力、运算能力) 【典例1】(教材再开发·P130例3拓展)因式分解: (1)x2-4xy+4y2; (2)9x2-6xy+y2. 【举一反三】 1.因式分解x2-x+= .  2.因式分解:(1)4x(x-3y)+9y2. (2)(m2-5)2+2(m2-5)+1. 【技法点拨】 应用完全平方公式因式分解的题型: 1.直接应用公式:符合完全平方公式的多项式可以直接用完全平方公式进行因式分解; 2.先变形后用公式进行因式分解:如x2+6x+8,不符合完全平方公式,变形后x2+6x+9-1,可得(x+3)2-1,然后用平方差公式进行因式分解即可. 【重点2】因式分解法的综合应用(抽象能力、模型观念) 【典例2】(教材再开发·P130例4拓展)把下列各式分解因式: (1)16x2-1; (2)4a2+12ab+9b2; (3)-ab+2a2b-a3b; (4)(x2+4)2-16x2. 【举一反三】 1.(2024·东营河口模拟)因式分解x4-18x2+81的结果为( ) A.(x2+9)2 B.(x2-9)2 C.(x+9)2(x-9)2 D.(x+3)2(x-3)2 2.因式分解x2-y2+2y-1= .  3.(2024·潍坊奎文质检)分解因式: (1)9(m+n)2-(m-n)2; (2)81a4-72a2b2+16b4. 【技法点拨】 因式分解的步骤 　一提:先提公因式; 二套:提公因式后,观察括号内剩余多项式是否符合公式,符合公式,要用公式进行进一步分解; 三检查:检查因式分解是否彻底. 素养当堂测评　　(10分钟·24分) 1.(4分·运算能力、推理能力)将a4-2a2+1分解因式,所得结果正确的是( ) A.a2(a2-2)+1 B.(a2-2)(a2+1) C.(a2-1)2 D.(a-1)2(a+1)2 2.(4分·运算能力、推理能力)多项式2a2-18与3a2-18a+27的公因式是( ) A.a-3 B.a+3 C.a-9 D.a+9 3.(4分·推理能力、运算能力)因式分解9a2-6a+1= .  4.(4分·推理能力、运算能力)若要使代数式x2+4y2+A能进行因式分解,则单项式A应为 .  5.(8分·运算能力、推理能力)有一种因式分解的方法叫分组分解法.具体做法如下:把a2-2ab+b2-c2分解因式得 原式=(a2-2ab+b2)-c2 =(a-b)2-c2 =(a-b+c)(a-b-c). 请阅读理解上面解法后,把下列多项式因式分解1-m2-n2+2mn. 学科网（北京）股份有限公司 $$