精品解析：天津市第四十五中学2025-2026学年度第二学期高二数学第一次考查试题

2025-2026学年度第二学期高二年级数学学科第一次考查 一､单选题： 1. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数即可得解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 2. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即得. 【详解】依题意，每个人的选购方式有3种，所以不同的选购方式有种. 故选：A 3. 已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（ ） A. -80 B. 80 C. -160 D. -120 【答案】C 【解析】 【分析】 依题意可得，再写成二项式展开式的通项为，令，求出，再代入计算，即可求出展开式中的系数； 【详解】解：因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，所以，所以的展开式的通项为，令，得，故，故展开式中的系数为 故选：C 4. 一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是（ ） A. 9 B. 10 C. 20 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理求解. 【详解】利用第一种方法有：种，利用第二种方法有：种方法. 故共有：5+4＝9种完成工作. 故选：A. 【点睛】本题考查分类加法计数原理.属于基础题. 5. 安排，，，，，，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工不安排照顾老人甲，义工不安排照顾老人乙，则安排方法共有 A. 30种 B. 40种 C. 42种 D. 48种 【答案】C 【解析】 【分析】 利用间接法求解，首先计算出所有的安排方法，减掉照顾老人甲的情况和照顾老人乙的情况，再加回来多减一次的照顾老人甲的同时照顾老人乙的情况，从而得到结果. 【详解】名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：种安排方法 其中照顾老人甲的情况有：种 照顾老人乙的情况有：种 照顾老人甲，同时照顾老人乙的情况有：种 符合题意的安排方法有：种 本题正确选项： 【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解. 6. 已知函数，若在R上单调递增，则实数a的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. e 【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数，利用导函数非负，得出不等式恒成立问题，参变量分离后，将恒成立问题转化为最值问题即可得解. 【详解】因为在R上单调递增，所以在R上恒成立， 等价于在R上恒成立， 令，易得在R上单调递增， 又 所以当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 所以实数a的最大值为1． 故选：C． 7. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算，然后等价于在（0，+∞）由2个不同的实数根，然后计算即可. 【详解】的定义域是（0，+∞）， ， 若函数有两个不同的极值点， 则在（0，+∞）由2个不同的实数根， 故，解得：， 故选：D. 【点睛】本题考查根据函数极值点个数求参，考查计算能力以及思维转变能力，属基础题. 8. 由3名医生和6名护士组成的一支医疗小队下乡送医扶助新农村建设，他们要全部分配到三个农村医疗点，每个医疗点分到1名医生和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，则不同的分配方法有（ ）种 A. 540 B. 684 C. 756 D. 792 【答案】B 【解析】 【分析】首先分步：先安排医生，再安排护士，其次特殊元素护士甲和护士乙捆绑，即护士名可分为和两类，应用分类和分步计数原理可得总的分配方法. 【详解】先安排医生，再安排护士. 安排医生，方法数有种； 再安排护士，护士名，由于护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，故可分为和两类： 如果是，一共有种， 如果是，又分为若甲乙在人小组中，则有种； 若甲乙在人小组中，则有种， 最后将分好的三组医生、三组护士全排列安排到三个医疗点， 所以一共有种分配方法. 故选：B. 9. 已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据构造新函数，从而得到新函数的单调性，然后再对要求的不等式变形，变成“”的形式，然后根据函数单调性去掉对应关系“”，从而解得答案. 【详解】因为定义在上，所以中的式子要有意义， 需满足，解得. 因为，所以，即， 设函数，则在定义域上单调递减. 要求，则 当，即时，，即， 所以，解得或，所以； 当，即时，，即， 所以，解得； 在中，令得， 而在中，当时，有，显然成立； 综上，的解集为. 故选：D. 10. 已知函数若函数的零点有个或个，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】与题意可知，直线与函数的图象有个或个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】时，，，令，可得. 当时，，函数递增； 当时，，函数递减，且此时； 时，，， 当时，，函数递增； 当时，，函数递减，且此时. 所以极小值，极大值，， 在且时，， 函数的示意图如图所示，所以当它与有个或个交点时，. 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，同时也考查了导数的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 二､填空题： 11. 的展开式的常数项为___________． 【答案】135 【解析】 【分析】求出展开式的通项，再令未知数的指数等于零，即可得解. 【详解】展开式的通项为， 令，解得， 故二项展开式的常数项为． 故答案为：135 12. 函数的单调递减区间为__________． 【答案】##(0,1] 【解析】 【分析】根据导数正负情况即可得解. 【详解】由题可得， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 故答案为： 13. 用这5个数字组成无重复数字的三位数，其中奇数有__________ 个. 【答案】36 【解析】 【分析】由分步乘法原理求解 【详解】先考虑个位，有3种情况，再考虑百位和十位，共有个 故答案为：36 14. 在的展开式中，按的升幂排列的第3项为___________. 【答案】 【解析】 【分析】易知，展开式中有常数项、一次项，二次项，，故按的升幂排列，第三项为含项，结合展开式的通项可求解． 【详解】解：易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，故所求的项为项． 整个式子中项可由，的展开式的常数项与二次项、一次项与一次项相乘得到，其中展开式的通项为，展开式的通项为； 故所求为：． 故答案为：． 15. 用红、黄、蓝、绿四种颜色给如图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有_________种不同的涂色方法.（用数字回答） 【答案】 【解析】 【分析】按照使用了多少种颜色涂色分两类计数，再相加即可得解. 【详解】若四种颜色全部用到，则同色或同色，则共有种； 若只用三种颜色涂色，则同色且同色，共有种， 根据分类加法计数原理可得，共有种涂色方法. 故答案为：. 16. 甲、乙、丙、丁等6名同学站成一排照相，若要求甲与乙、丙均相邻，丁不站在两端，则不同的站法种数为______．（用数字作答） 【答案】24 【解析】 【分析】甲、乙、丙均相邻，则甲在乙、丙之间，再利用捆绑法即可. 【详解】甲、乙、丙均相邻，则甲在乙、丙之间， 乙丙的排列有种，把甲、乙、丙视为一个整体，与余下3个人共4个位置， 丁只能在中间两个位置之一，不同的排法种数是种， 故答案为：24. 17. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得. 【考点】导数的几何意义 【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f ′（x0）的几何意义是曲线y＝f （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f ′（x0）（x−x0）． 注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同． 18. 已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，得到，从而转化为存在，使，判断出，从而分离出，利用导数得到在的范围，再得到关于的不等式，解得的范围. 【详解】对任意都存在使成立， 所以得到， 而，所以， 即存在，使， 此时，， 所以， 因此将问题转化为 存在，使成立， 设，则， ， 当，，单调递增， 所以， 即，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据不等式的恒成立和存在性问题，利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题. 三､解答题： 19. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）求在上的最值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）求导，得出切线的斜率，确定切点的纵坐标，写出切线方程； （2）研究函数在区间上单调性，计算在上的极值及和，然后比较可得最值． 【小问1详解】 ，. ，所以切线方程为，即. 【小问2详解】 在单调递增； 在单调递减， 时，取极大值也是最大值， ， . 20. 设，且已知展开式中所有二项式系数之和为. （1）求的值以及二项式系数最大的项； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数和为求得的值，根据二项式系数的性质，中间项系数最大，求得系数最大的项； （2）令，得；再令,即可求得. 【详解】（1）由题意，，. ，二项式展开式中共有项，所以二项式系数最大的项为第项， 即. （2）令，得. 令，得. 所以. 21. 已知函数，. （1）求函数的极值； （2）若存在时，使成立，求的取值范围. （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数有极小值，无极大值； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题可得，然后根据导数与函数极值的关系即得； （2）由题可得存在，成立，构造函数，利用导数求函数的最值即得； （3）设，由题可得对任意恒成立，利用导数可得，进而可得只需在上单调递增，即在上恒成立，即得. 【小问1详解】 因为， ∴， 由，可得，由，可得， ∴在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，函数有极小值，无极大值； 【小问2详解】 由，可得， 即存在，成立， 设，则， 所以函数在上单调递增，， 所以； 【小问3详解】 由题可知对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，则对任意恒成立， 下面证明对任意恒成立， 设，， 则在上恒成立，且仅在时取等号， 所以在上单调递减， ∴，即， 所以对任意恒成立，只需在上单调递增， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以，即实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若在区间上有最值，则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 22. 已知函数． （1）时，求函数的极值； （2）时，讨论函数的单调区间： （3）若对任意的，当时恒有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）极大值为，无极小值． （2）①当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． ②当时，的单调递增区间为，无单调递减区间． ③当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． ④当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． （3）实数的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）代入参数后求导找临界点，判断单调性，求极值； （2）求导后因式分解，找临界点，按参数分类讨论，分区间判断单调性； （3）转化双变量最值，求函数在区间上的最值，再化简不等式，然后参数分离求最值． 【小问1详解】 当时，， 的定义域为，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以，是极大值点，极大值为，无极小值． 【小问2详解】 当时，，， ， 令，得，， ①当，即时， 令，得；令，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． ②当，即时， ， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间． ③当，即时， 令，得或；令，得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． ④当，即时， 令，得或；令，得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问3详解】 当时，，即， 由（2）的结论得在上单调递增． 所以， 所以，原不等式等价于，化简得， 因为，所以， 因为的最小值为，所以，即实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高二年级数学学科第一次考查 一､单选题： 1. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（ ） A. -80 B. 80 C. -160 D. -120 4. 一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是（ ） A. 9 B. 10 C. 20 D. 40 5. 安排，，，，，，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工不安排照顾老人甲，义工不安排照顾老人乙，则安排方法共有 A. 30种 B. 40种 C. 42种 D. 48种 6. 已知函数，若在R上单调递增，则实数a的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. e 7. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 由3名医生和6名护士组成的一支医疗小队下乡送医扶助新农村建设，他们要全部分配到三个农村医疗点，每个医疗点分到1名医生和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，则不同的分配方法有（ ）种 A. 540 B. 684 C. 756 D. 792 9. 已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数若函数的零点有个或个，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､填空题： 11. 的展开式的常数项为___________． 12. 函数的单调递减区间为__________． 13. 用这5个数字组成无重复数字的三位数，其中奇数有__________ 个. 14. 在的展开式中，按的升幂排列的第3项为___________. 15. 用红、黄、蓝、绿四种颜色给如图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有_________种不同的涂色方法.（用数字回答） 16. 甲、乙、丙、丁等6名同学站成一排照相，若要求甲与乙、丙均相邻，丁不站在两端，则不同的站法种数为______．（用数字作答） 17. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______． 18. 已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______. 三､解答题： 19. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）求在上的最值. 20. 设，且已知展开式中所有二项式系数之和为. （1）求的值以及二项式系数最大的项； （2）求的值. 21. 已知函数，. （1）求函数的极值； （2）若存在时，使成立，求的取值范围. （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 22. 已知函数． （1）时，求函数的极值； （2）时，讨论函数的单调区间： （3）若对任意的，当时恒有成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $