精品解析：湖北鄂北六校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题

高一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知i为虚数单位，复数，复数的虚部为（ ） A. 1 B. 3 C. i D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算及复数的定义即可求解. 【详解】∵，∴复数的虚部为3. 故选：B. 2. 已知向量，满足，且，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，所以. 由，得， 又，得， 所以，则. 3. 如图，在中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】在中，， ， 又，，， ， ，. 故选：D. 4. 设，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式及辅助角公式化简，再利用正弦函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，，， 又，则，所以. 5. 如图，在半径为的圆中，有一条长度为2的弦，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接，则，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】取的中点，连接，则， 所以. 6. 函数，若在区间上单调递减，则实数m的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】； ，； 在区间上单调递减，，解得， 实数的最小值为. 7. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ） A. 点P距离水面的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数解析式为 B. 点P第一次到达最高点需要20秒 C. 当水轮转动95秒时，点P距离水面1米 D. 当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可. 【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，， 由题意，， 所以，解得， 因为，所以， 则， 当时，，所以，则， 又，则， 综上，，故A正确； 令，则， 令，得秒，故B正确； 当秒时，米，故C错误； 当秒时，米，故D正确. 8. 在锐角中，角的对边分别为，记的面积为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理、正弦定理、三角形面积的正弦表示以及三角恒等变换化简得出，利用是锐角三角形求出角的取值范围，由正弦定理结合三角恒等变换可得出，利用二次函数的基本性质即可求解. 【详解】由题意得，得，又，得， 由余弦定理得：，化简得， 由正弦定理得：， 由于， 代入化简得， 因为，则， 又因为正弦函数在上单调递增，所以，即，则， 因为是锐角三角形，所以有解得，则， ， 令，则有二次函数， 由于二次函数的对称轴，因此函数在上单调递增， 因此，故，故D正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法中正确的说法为（ ） A. 若，，则 B. 在中，若，则 C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 D. 若，则存在唯一实数使得 【答案】BC 【解析】 【分析】利用共线向量的意义判断选项A和D；利用正弦定理判断选项B；利用数量积的运算律及性质判断选项C. 【详解】对于A，当时，对任意向量均有，因此向量不一定共线，A错误； 对于B，在中，，B正确； 对于C，由，得， 整理得，且向量是非零向量，因此与共线且反向，C正确； 对于D，当时，满足，对，均有，即的值有无数个，D错误. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. C. 函数在上单调递增 D. 方程的解为， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，求出周期及、、，进而求出解析式，再根据正切函数的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，由图可知，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，由，所以， 因为，则，则， 因为，则，所以，故B正确； 对于C，，由，得， 而，即时，没有意义，故C错误； 对于D，，则， 方程，得， 即，即， 所以或，因为，， 所以或，解得或，故D正确. 故选：ABD. 11. 正方形ABCD的边长为2，E在BC上，且，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意一点，，则（ ） A. 最大值为0.5 B. 最大值为1 C. 的最大值为 D. 最大值是 【答案】BD 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设利用坐标表示出向量关系，得到，再利用辅助角公式和三角函数的取值逐项判断即可. 【详解】以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图， 则，，，，． 设，，则，，， 由，得，则， 解得， 对于A，， 其中锐角由确定，，则当时，，A错误； 对于B，，，即，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 则， 而，当时，取得最大值为，C错误． 对于D，，其中锐角由确定， ，则当时，取得最大值，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量不共线，且向量，，且，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线得到方程组，解出即可. 【详解】，所以， 即，，. 故答案为：. 13. 已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】借助复数的几何意义计算即可得. 【详解】由题意知，所以，故. 所以实数的取值范围是 14. 已知函数，．若，，，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换及对勾函数的性质求得的值域，根据一次函数的单调性求得的值域，由题可得的值域是的值域的子集，由此列出不等式，求解可得a的取值范围. 【详解】函数. 令， 当时，，，所以. 当时，，当且仅当，即时等号成立. 所以由对勾函数的性质，得在上单调递增， 所以. 所以，. 函数是单调递增函数， 所以当时，. 若，，，则是的子集， 所以，解得. 故a的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且，记，． （1）若，求点A，B的坐标； （2）若点A的坐标为，求的值． 【答案】（1）点A坐标为，点B坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义结合特殊角的三角函数值计算即可. （2）利用三角函数的定义结合诱导公式计算即可. 【小问1详解】 因为，所以，，所以点坐标为， 又因为，所以，，所以点坐标为. 【小问2详解】 因为点在单位圆上，得，又因为点位于第一象限，则， 所以点的坐标为，即，， 由，得，因此， 由诱导公式得：， 又因为二倍角公式为：， 所以， 因此. 16. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）在中，，，的面积为，求边BC的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式，结合正弦函数的单调性即可求解； （2）利用正弦定理角化边，结合面积公式和余弦定理即可求解. 【小问1详解】 ， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为， 【小问2详解】 因为， 又A为的内角，则，故， 所以，所以 设角A，B，C所对边分别为a，b，c， 因为，由正弦定理得．① 因为三角形的面积为，所以．② 由①②解得：， 由余弦定理得 ， 所以 17. 已知在中，为中点，，，． （1）设和的夹角为，若，求证：； （2）若，求． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）要证两向量垂直，则可以通过证明数量积为，从而得到对应的线段垂直； （2）先把用，线性表示，再利用建立方程关系，从而解出夹角余弦值，进而求出角度. 【小问1详解】 因为N为AB中点，所以，则． 根据向量数量积的分配律可得. 已知，，， 则，， 代入可得，因为，所以，即. 【小问2详解】 因为，所以， 又因为，则， 所以， 而，，，， 所以代入得，解得， 因为，所以. 18. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若的面积为． ①已知为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角A的角平分线长的最大值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意由正弦定理可得，再利用余弦定理可得，即可得结果； （2）①由面积公式可得，再根据中线性质结合基本不等式可得；②根据角平分线结合面积关系可得，利用倍角公式可得，结合基本不等式分析求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 整理得，则， 且，所以. 【小问2详解】 ①由题意可得，解得， 由于， 则 ， 当且仅当时取等号，所以， ②因为为角A的角平分线，则， 因为，则， 且，则，可得， 又因为，则，即， 且，则， 又因为，当且仅当时，等号取得到， 则，所以． 19. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设分别为正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中． （1）若向量，求； （2）若向量的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①若，的根从小到大依次为，求； ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1） （2）①；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，，结合向量的运算公式，即可求解； （2）①求得，得到，转化为的根，画出两个函数的图象，得到一个周期内方程根的个数为3，进而得到答案；②令，得到，根据，得到，结合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：因为向量，所以， 又因为，为单位向量，且夹角为，可得，， 所以，所以. 【小问2详解】 解：①因为向量，，所以，， 所以， 化简得， 又因为的斜坐标分别为和， 可得 所以， 则方程的根等价于的根， 如图所示，在和的一个周期内，方程根的个数为3， 因为，则当，根的个数； ②，理由如下： 令，，则， 又因为，，所以， 又因为，所以，由零点存在定理可得， 由①可知在上单调递减， 所以，即，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知i为虚数单位，复数，复数的虚部为（ ） A. 1 B. 3 C. i D. 2. 已知向量，满足，且，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 3 3. 如图，在中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在半径为的圆中，有一条长度为2的弦，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 6. 函数，若在区间上单调递减，则实数m的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ） A. 点P距离水面的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数解析式为 B. 点P第一次到达最高点需要20秒 C. 当水轮转动95秒时，点P距离水面1米 D. 当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 8. 在锐角中，角的对边分别为，记的面积为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法中正确的说法为（ ） A. 若，，则 B. 在中，若，则 C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 D. 若，则存在唯一实数使得 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. C. 函数在上单调递增 D. 方程的解为， 11. 正方形ABCD的边长为2，E在BC上，且，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意一点，，则（ ） A. 最大值为0.5 B. 最大值为1 C. 的最大值为 D. 最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量不共线，且向量，，且，则_____________. 13. 已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是________． 14. 已知函数，．若，，，则a的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且，记，． （1）若，求点A，B的坐标； （2）若点A的坐标为，求的值． 16. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）在中，，，的面积为，求边BC的长． 17. 已知在中，为中点，，，． （1）设和的夹角为，若，求证：； （2）若，求． 18. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若的面积为． ①已知为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角A的角平分线长的最大值． 19. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设分别为正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中． （1）若向量，求； （2）若向量的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①若，的根从小到大依次为，求； ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $