10.4 三元一次方程组的解法 同步练习2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，以消元法为核心，梯度化覆盖三元一次方程组的概念理解、解法应用及实际建模，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三元一次方程概念、直接消元法|单选题1考查消元步骤，填空题11强化三元一次方程定义，夯实运算基础| |提升层|整体思想、参数转化|单选题2用方程相加求整体值，填空题12通过代数式求值渗透转化思想，培养推理意识| |综合层|实际情境建模、跨知识应用|解答题20结合新定义运算，单选题10关联利润率计算，体现模型意识与应用能力|

10.4 三元一次方程组的解法 一、单选题 1．三元一次方程组消去未知数c后，所得二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 2．已知，则x+y+z的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3．方程组的解x、y的值互为相反数，则k的值为（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 4．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，丙1件共需420元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需380元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．200元 B．300元 C．350元 D．400元 5．若点P（x，y）满足方程组，则点P在第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 6．若方程组的解满足方程3k﹣x﹣y﹣z＝6，则k的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 7．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示x，y，z三元一次方程组，若4x+y﹣z为定值，则t与m关系（　　） A．m﹣2t＝﹣1 B．m+2t＝1 C．2m﹣t＝1 D．2t+m＝﹣1 8．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．加密规则如下：明文a，b，c对应的密文分别为a+1，2b﹣4，3c+9．例如明文1，﹣2，3对应的密文为2，﹣8，18．若接收方收到密文4，﹣6，9，则解密得到的明文为（　　） A．3，0，﹣1 B．3，﹣1，0 C．5，﹣16，36 D．4，﹣2，3 9．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 10．春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为a元、b元和c元．已知销售每束“眷恋”的利润率为10%，每束“永恒”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%，则a：b：c为（　　） A．1：2：3 B．1：3：4 C．2：3：5 D．3：4：5 二、填空题 11．若（m+2）x+y|m+1|+z＝4是关于x，y，z的三元一次方程，则m＝　 　 ． 12．已知代数式ax2+bx+c，当x＝0时，其值为﹣4；当x＝1时，其值为1；当x＝2时，其值为10；则当x＝﹣1时，其值为　 　 ． 13．已知x，y，z是方程组的解，则x+y+z＝　 　 ． 14．如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相等，则x＝　 　 ． 15．小华看到如图所示的一幅图片并根据其设计了如下数学问题：若设桌子的高度是xcm，站立的小猫的高度为ycm，趴着的小猫的高度为zcm，则桌子的高度为　 　 cm． 三、解答题 16．解方程组： （1）； （2）．（3）． 17．若关于x，y的二元一次方程组的解为，其中a，b，c为常数． （1）求a+b的立方根； （2）若m，n满足二元一次方程组，求m，n的值． 18．[阅读感悟]： 有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： （1）已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值． （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ 19．在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求2x+2y+2z的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②﹣①得到x+3y＝4③，因为问题是求解2x+2y+2z整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出x+y+z即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． （1）请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出2x+2y+2z的值； （2）请你用上述思想方法求解问题：已知，求x﹣y+z的值． 20．对任意有理数x，y定义运算如下：x∞y＝ax+by+cxy，这里a，b，c是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当a＝1，b＝2，c＝3时，1∞3＝1×1+2×3+3×1×3＝16．现已知所定义的新运算满足条件：1∞2＝3，2∞3＝4． （1）求． （2）若3∞4＝6，求a，b，c． （3）若有一个不为零的数d，使得对任意有理数x，有x∞d＝x，求a，b，c，d的值． 参考答案 一、单选题 1．A 解：， ②﹣③得：3a+3b＝3即a+b＝1， ③×3+①得：5a﹣2b＝19， ∴， 故选：A． 2．B 解：三个方程相加得2（x+y+z）＝12， 解得x+y+z＝6． 故选：B． 3．B 解：解方程组得： 根据题意得：（2k﹣6）+（4﹣k）＝0 解得：k＝2 故选：B． 4．A 解：设购甲、乙、丙三种商品各一件，分别需要x元、y元、z元， 根据题意有：， 把这两个方程相加得： 4x+4y+4z＝800， 4（x+y+z）＝800， ∴x+y+z＝200， ∴三种商品各一件共需200元钱． 故选：A． 5．B 解：， ①﹣②得：y﹣z＝7④， ③+④得：2y＝12， 解得：y＝6， 将y＝6代入①得：x+6＝3， 解得：x＝﹣3， 则P（﹣3，6）在第二象限， 故选：B． 6．C 解：已知方程组， 将三个方程相加可得2x+2y+2z＝18， 则x+y+z＝9， ∵方程组的解满足方程3k﹣x﹣y﹣z＝6， ∴3k＝6+x+y+z＝6+9＝15， ∴k＝5， 故选：C． 7．D 解：由题意得：， ①×2+②得：4x+y+2tz+mz＝8， ∵4x+y﹣z为定值， ∴2t+m＝﹣1． 故选：D． 8．B 解：根据题意得：， 解得：， ∴解密得到的明文为3，﹣1，0． 故选：B． 9．D 解：根据题意得：， ∴（e+10）﹣（c+e）＝（b+c）﹣（b﹣2）， ∴c＝4； 故选：D． 10.A 解：根据题意得：， 解得：， ∴a：b：c＝a：2a：3a＝1：2：3． 故选：A． 二、填空题 11．0 解：∵（m+2）x+y|m+1|+z＝4是关于x，y，z的三元一次方程， 可得：m+2≠0，|m+1|＝1， 所以解得：m＝0， 故答案为：0 12．﹣5． 解：当x＝0时，代数式的值为﹣4，即c＝﹣4， 当x＝1时，代数式的值为1，即a+b+c＝1， 把c＝﹣4代入a+b+c＝1中得：a+b＝5， 当x＝2时，代数式的值为10，即4a+2b+c＝10， 把c＝﹣4代入4a+2b+c＝10中得：4a+2b＝14，即2a+b＝7， 解方程组，得， 因此代数式为2x2+3x﹣4， 当x＝﹣1时，代数式的值为2×（﹣1）2+3×（﹣1）﹣4＝2﹣3﹣4＝﹣5， 故答案为：﹣5． 13．15． 解：设， 则x＝7k，y＝5k，z＝3k， 代入方程3x+5y+7z＝67得： 3×7k+5×5k+7×3k＝67， 解得：k＝1， 所以x＝7，y＝5，z＝3， 则x+y+z＝7+5+3＝15． 故答案为：15． 14．1． 解：由题意可得：， 解得：． 故答案为：1． 15．130． 解：设桌子的高度为x厘米，站立的小猫高度为y厘米，趴下的小猫高度为z厘米， 根据题意列三元一次方程组得， ， 解得x＝130， ∴桌子的高度为130厘米． 故答案为：130． 三、解答题 16．（1）解：， ①+②，得5x+2y＝16④， ③+②，得3x+4y＝18⑤， 由④和⑤组成一个二元一次方程组， 解得：， 把代入①，得6﹣3+z＝4， 解得：z＝1， 所以原方程组的解是． （2）． ①+②得：9x﹣2z＝20④， ④﹣③得：8x＝16， 解得：x＝2， 把x＝2代入③得：2﹣2z＝4， 解得：z＝﹣1， 把x＝2，z＝﹣2代入②得：10﹣y﹣1＝7， 解得：y＝2， 则方程组的解为． （3）， ①﹣②，得：3z＝18，解得：z＝6； ①+③，得：2y＝20，解得：y＝10； 把y＝10，z＝6代入①，得：x+6+10＝13，解得：x＝﹣3； ∴． 17．解：（1）把代入方程组得，， ①﹣②，得a+b＝8， ∴a+b的立方根为2； （2）若m，n满足二元一次方程组， 设m﹣n＝x，2m+n＝y，则原方程组化为， ∵关于x，y二元一次方程组的解为， ∴， 解得， ∴． 18．解：（1）∵实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②， ∴①﹣②得x﹣4y＝﹣2， ①+②×2得7x+5y＝19， 即x﹣4y的值为﹣2，7x+5y的值为19； （2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元， 依题意列二元一次方程组得：， 由①×2﹣②可得m+n+p＝6， ∴5m+5n+5p＝6×5＝30， 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． 19．解：（1）， ②﹣①得，x+3y＝4③， 将原方程变形成： ， 将③代入④，得8+（x+y+z）＝28， 即x+y+z＝20， ∴2x+2y+2z ＝2（x+y+z） ＝40； （2）， ①+②得：x+2z＝4③， 将原方程变形成： ， 将③代入④，得12+（x﹣y+z）＝13， 即x﹣y+z＝1． 20．解：（1）∵x∞y＝ax+by+cxy，1∞2＝3， ∴a+2b+2c＝3，①， ∵2∞3＝4， ∴2a+3b+6c＝4，②， 由①得，a＝3﹣2b﹣2c，③， 把③代入②得：2（3﹣2b﹣2c）+3b+6c＝4， ∴b＝2c+2， ∴代入②中得：a＝3﹣2（2c+2）﹣2c＝﹣6c﹣1， ∴； （2）∵x∞y＝ax+by+cxy，3∞4＝6， ∴3a+4b+12c＝6，④， 由（1）知a＝﹣6c﹣1，b＝2c+2代入④得， 3（﹣6c﹣1）+4（2c+2）+12c＝6， 解得： ∴a＝﹣4，b＝3， 即a＝﹣4，b＝3，c； （3）∵x∞d＝x， ∴ax+bd+cdx＝x， ∴ax+cdx﹣x+bd＝0， ∴（a+cd﹣1）x+bd＝0， ∵有一个不为零的数d使得对任意有理数x∞d＝x， 则有①， ∵d≠0， ∴b＝0， 由（1）知a+2b+2c＝3②，2a+3b+6c＝4③， ∴， 解得． ∴a＝5，b＝0，c＝﹣1，d＝4． 学科网（北京）股份有限公司 $