专题02二元一次方程组应用复习讲义(14大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年鲁教版五四制七年级数学下册

专题02二元一次方程组应用复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透二元一次方程 / 组定义（双未知 + 次数 1 + 整式），精准识别 2.掌握解的概念：方程解无数、方程组解为公共数对，知晓解的特殊情况 3.明确消元思想是解方程组的核心本质 1.能快速审题，提取题干关键信息，找准等量关系 2.会设合理未知数，规范列、解方程组并检验作答 3.提升用代数方法解决实际问题的建模思维 1.熟练解决和差、倍数、配套等基础应用题，做到步骤完整 2.精准突破行程、工程、利润类常考题型，计算无失误 3.能快速理清复杂题干逻辑，高效完成解答题拿满分 题型01.行程问题(难点+重点) 题型02.销售利润问题(重点高频) 题型03.工程问题(常考点高频) 题型04.和差倍分问题(基础高频) 题型05.方案选择问题(重点) 题型06.列二元一次方程组(实际应用) 题型07.列二元一次方程组(几何) 题型08.分配问题(常考点) 题型09.数字问题(常考点) 题型10.古代问题(常考点) 题型11.图表信息问题 题型12.年龄问题 题型13.几何问题 题型14.其他实际应用问题 知识点01:解题黄金五步走（环环相扣，不踩坑） 审→设→列→解→验答，五步闭环搞定所有应用题，核心是找等量关系！ 1.审：圈关键词，分清已知 / 未知，锁定两个核心未知量+两个等量关系（题眼！）； 2.设：直接设（问啥设啥）or 间接设（设中间量，简化计算），带单位，明含义； 3.列：用未知数翻译等量关系，列出二元一次方程组（等式两边量纲一致，别漏单位）； 4.解：代入消元法 / 加减消元法二选一，算出未知数的值（计算别粗心，消元要彻底）； 5.验答：两步验证→①代入方程组，看是否成立；②贴合实际问题（人数、数量不能为负 / 小数），最后规范写答，带单位。 知识点02.应用题型方法速查表 知识点03:等量关系 “寻宝指南”（应用题的核心密码） 所有题型的本质都是找等量关系，这些 “高频线索” 直接圈，一找一个准！ ● 配套问题:根据配套比例（如 1 张桌子配 4 把椅子）列出方程，通常涉及生产人数、天数分配。 ● 几何图形问题:根据图形中边长之间的相等关系（如长方形长宽关系、拼接不重叠）列方程。 ● 方案问题:根据总费用、总数量等约束条件列出方程，并讨论整数解或最优方案。 ● 行程问题:基本关系：路程 = 速度 × 时间。相遇问题：总路程 = 速度和 × 时间；追及问题：路程差 = 速度差 × 时间；注意同时出发、早出发等情况。 ● 工程问题:基本关系：工作量 = 工作效率 × 时间；常将总工作量看作 1，或给出具体数值。 ● 数字问题:两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字；多位数类似；注意数位变换后的等量关系。 ● 年龄问题:年龄差不变，每人年龄随时间同步增加。 ● 分配问题:如物资分配、人员调配，根据总量和部分量关系列方程。 ● 销售利润问题:售价 = 进价 + 利润；利润率 = 利润 ÷ 进价；打折、提价、降价后的等量关系。 ● 和差倍分问题:直接根据 “和”“差”“倍”“分” 列方程。 ● 图表信息题:从表格、图形中提取数据，转化为方程组。 避坑锦囊（高频错题 “避雷区”，记牢不丢分） 1.设未知数忘带单位，答语漏单位，等式两边单位不统一； 2.配套问题比例搞反（如 3 个 A 配 1 个 B，错列成 A=3B，正确应为 A=3B→1×A=3×B）； 3.行程问题忽略 “顺逆速”“相遇 / 追及的时间同步”； 4.解完不验证，答案不符合实际（如人数为小数、产量为负数）； 5.找等量关系时，混淆 “倍分”（如 “甲比乙的 2 倍多 3” 错列成 2 (x+3)=y）。 一句话总结 解二元一次方程组应用题，关键就 3 点：找准两个未知量，抓牢两个等量关系，踩稳五步解题法，所有题型都是这 3 点的灵活变形！ 题型01.行程问题(难点+重点) 【典例】甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，如果甲比乙先走，那么他们在乙出发后相遇；如果乙比甲先走，那么他们在甲出发后相遇，则甲、乙两人的速度比为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用．设甲，乙速度分别为x，y千米/时，根据A，B两地路程不变列方程求解即可． 【详解】解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得： ， 解得：，即， 故答案为：． 【跟踪专练1】从甲地到乙地的路有一段上坡，一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需要，从乙地到甲地需．则从甲到乙地的全程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，根据时间等于路程除以速度建立方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，则从乙地到甲地的下坡长为，平路长为， 由题意得：， 解得， 则甲地到乙地全程是， 故选：D． 【跟踪专练2】甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇．设甲的骑行速度为每小时，乙的骑行速度为每小时， (1)列出关于，的二元一次方程； (2)问题（1）中的方程的解不唯一，请你适当增加题目中的条件：_____，使，有唯一的解，并列出方程组解答你改编后的问题． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出方程即可； （2）添加甲的速度比乙快，求两人的速度，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，整理，得； （2）解：增加条件：甲的速度比乙快，即， 则，解得； 答：甲，乙两人的速度分别为和． 【跟踪专练3】骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 【答案】(1)甲每小时行20km   乙每小时行16km (2)或或 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，行程问题，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）设甲每小时行，乙每小时行，则甲总共走了，乙总共走了，根据题意列方程组进行求解即可，注意单位换算； （2）分相遇前；相遇后，甲未到终点；相遇后，甲到终点后三种情况，列方程求出所用的时间即可解答． 【详解】（1）解：设甲每小时行，乙每小时行． 根据题意，得 解得 故甲每小时行，乙每小时行． （2）解：相遇前：，解得，，符合题意； 相遇后，甲未到终点：，解得，，符合题意； 相遇后，甲到终点后：，解得，，符合题意． 综上所述，的值为或或． 题型02.销售利润问题(重点高频) 【典例】甲、乙、丙、丁四人一起到冷饮店去买红豆与奶油两种棒冰．四人购买的数量及总价如表所示．但其中有一人把总价算错了，则此人是（   ） 甲 乙 丙 丁 红豆棒冰/支 3 6 9 4 奶油棒冰/支 4 2 11 7 总价/元 18 20 51 29 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设红豆和奶油的单价分别为x元/支、y元/支，假设甲、丙正确，可得，再解方程组并逐一分析即可. 【详解】解：设红豆和奶油的单价分别为x元/支、y元/支， 假设甲、丙正确， ∴， 解得， ∴，此时丁是正确的， ，此时乙是错误的. 综上乙是错误的． 故选：B． 【跟踪专练1】小辰用80元购买甲、乙两款中性笔，甲款中性笔每支5元，乙款中性笔每支4元，这80元刚好用完．若设购买甲款中性笔支，则的值为_____．（写出所有符合题意的值） 【答案】12，8，4 【分析】本题考查了二元一次方程的整数解在实际问题中的应用，解题的关键是根据题意列出方程后，结合正整数的限制条件，确定未知数的取值范围，进而找出符合题意的所有解，从而得出购买方案． 先根据题意设出未知数（甲、乙款中性笔数量分别为x、y），列出方程；再将方程变形为，结合x、y为正整数的条件，确定y必须是5的倍数；最后代入符合条件的y值，求出对应的x值，得到3种购买方案． 【详解】设购买甲款中性笔支，购买乙款中性笔支， 根据题意，得，即， 又均为正整数，y必须是5的倍数，同时满足条件的x、y取值如下： 当时，；当时，；当时，，故有3种购买方案，则的值为12，8，4． 【跟踪专练2】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． 【答案】(1)A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元和15万元 (2)共有两种购买方案：方案一：购买A型新能源汽车3辆，B型新能源汽车8辆；方案二：购买A型新能源汽车6辆，B型新能源汽车4辆 【分析】（1）设A型号的新能源汽车每辆进价为万元，B型号的新能源汽车每辆进价为万元，根据题意列出方程组即可求解； （2）设购买A型号的新能源汽车辆，B型号的新能源汽车辆，根据题意列出二元一次方程，再由，为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：设A型号的新能源汽车每辆进价为万元，B型号的新能源汽车每辆进价为万元， 由题意得：， 解得． 答：A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元和15万元． （2）解：设购买A型号的新能源汽车辆，B型号的新能源汽车辆， 由题意得，且，为正整数， ∴， ∴当时，， 当时，， ∴该店共有2种购买方案： 方案一：购买A型新能源汽车3辆，B型新能源汽车8辆； 方案二：购买A型新能源汽车6辆，B型新能源汽车4辆． 【跟踪专练3】茶叶促销活动前后，两种茶叶的销量（单位：两）和销售额（单位：元）对比情况如下表．已知促销时A茶叶是按原价的八折销售，其打折后的价格与B茶叶打折前的价格相同． A茶叶销量 B茶叶销量 销售额 打折前 300 200 6900 打折后 500 400 9360 (1)每两茶叶的原价分别是多少？ (2)B茶叶打几折销售？ (3)促销期间，王阿姨带了96元要买A茶叶和打折后为8元的C茶叶（两种茶叶的销量均为正整数），若所带的钱刚好用完，请通过计算说明她有几种购买方案． 【答案】(1)每两A茶叶的原价为15元，每两B茶叶的原价为12元 (2)七折 (3)三种购买方案，方案一：购买6两A茶叶和3两C茶叶；方案二：购买4两A茶叶和6两C茶叶；方案三：购买2两A茶叶和9两C茶叶． 【分析】（1）通过设A、B茶叶原价，依据打折前的销量与销售额关系以及A茶叶打折后价格和B茶叶打折前价格的关系列方程组求解． （2）设B茶叶折扣，根据打折后的销量与销售额关系列方程求解． （3）设购买A、C茶叶的数量，依据花费金额列方程，结合正整数条件确定购买方案． 本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，熟练掌握根据题意找出等量关系并列出方程（组）是解题的关键． 【详解】（1）解：设每两A茶叶的原价为元，每两B茶叶的原价为元， 由题意，得 解得 所以每两A茶叶的原价为15元，每两B茶叶的原价为12元． （2）解：设B茶叶打折销售， 由题意，得， 解得， 所以B茶叶打七折销售． （3）解：设王阿姨购买A茶叶两，C茶叶两， 由题意，得， 整理，得． 因为均为正整数， 所以可取 所以王阿姨共有三种购买方案，方案一：购买6两A茶叶和3两C茶叶；方案二：购买4两A茶叶和6两C茶叶；方案三：购买2两A茶叶和9两C茶叶． 题型03.工程问题(常考点高频) 【典例】某公司有新员工和老员工若干名．已知1名新员工每天制造的零件个数比1名老员工少30，1名新员工与2名老员工每天共可制造180个零件，则1名新员工与1名老员工每天各能制造多少个零件？设1名新员工每天能制造个零件，1名老员工每天能制造个零件．根据题意可列方程组为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题二元一次方程组的应用，解题的关键是能够根据题意找到两个等量关系，这是列方程的依据． 找到两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设一个生手工每天能制作x个零件，一个熟手工每天能制造y个零件， 根据题意得：， 故选A． 【跟踪专练1】春末夏初， 正是枇杷成熟之际， 某枇杷基地的枇杷大量成熟， 于是安排了 20 个工人分三个小组分别对 三种枇杷进行采摘， 每人每天固定只采摘同一品种的枇杷， 每天采摘 三种枇杷的时间之比为 ， 采摘 三种枇杷的速度之比为 ． 第一次采摘用了 5 天时间； 第二次采摘时， 从原来采摘 种枇杷的工人中抽调了部分工人加入采摘 种枇杷的小组中， 由于不熟悉 种枇杷采摘， 新加入的工人的采摘速度为原有采摘 种枇杷工人采摘速度的 ， 第二次采摘也用了 5 天时间， 两次采摘的三种枇杷的总量比为 ；第三次采摘时，需要采摘的枇杷总量是前两次总量的和的 ． 为了加快采摘速度，决定在第二次的采摘人员安排的基础上（此时第二次采摘时新加入 种枇杷采摘组的工人采摘速度和 种枇杷采摘组其他工人一样）， 在总人数 20 人以外另再添加 人去采摘 种枇杷， 新加入的 人的采摘速度是原来采摘 种枇杷工人速度的 2 倍， 最终， 第 3 次用了整数天完成采摘任务． 则 的值至少为_____________． 【答案】1 【分析】根据时间、速度得出一二三次采摘总量，且第三次采摘时间为整数，可得出关于y的方程，讨论即可得出答案． 【详解】解：设初始每组人数分别为a、b、c，①, 则第一次采摘总量为10a＋50b＋10c， 设第二次采摘时从第三组抽调x人到第二组， 则第二次采摘总量为10a＋50b＋25x＋10 ＝10a＋50b＋10c＋15x 且 整理得a＋5b＋c＝4.5 x② 两次采摘总量为10a＋50b＋10c＋10a＋50b＋10c＋15x ＝20a＋100b＋20c＋15x 则第三次采摘总量为 设第三次采摘时间为n天， 则有③ 将①②代入③整理得④ ∵x、y、n为整数， ∴当n＝1时，④可化为23x＝2y，x＝2，y＝23； 当n＝2时，④可化为29x＝8y，x＝8，y＝29； 当n＝3时，④可化为x＝y，x＝1，y＝1； 当n＝4时，④可化为－5x＝16y，不符合题意； 故答案为：1． 【点睛】本题考查赋值讨论问题，正确理解题意、仔细计算化为最简、赋值讨论是解题的关键． 【跟踪专练2】某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 【答案】无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务，理由见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩，根据题意列出方程组并接方程组即可． 【详解】解：设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩， 根据题意得：， 解得：， 所以无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务． 【跟踪专练3】修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【答案】(1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元 (2)乙队 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可． 【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 题型04.和差倍分问题(基础高频) 【典例】某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，此题中的等量关系有：①某年级学生共有246人，则；②男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 【详解】解：根据某年级学生共有246人，则； 男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 可列方程组为． 故选：B． 【跟踪专练1】某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为_________万元． 【答案】34 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组来解决现实生活中的应用问题；解题的关键是把握题意，正确列出方程，准确求解计算． 设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元，根据总营业额万元和一月份变化后总营业额万元，列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元， 由题意，得方程组 解得 故甲柜台去年十二月份的营业额为万元． 故答案为：． 【跟踪专练2】甲乙两数的和是25，甲数比乙数的2倍大4．求甲乙两数各是多少？ （列方程组求解） 【答案】甲数18， 乙数7 【分析】设甲数为x,乙数为y,根据条件可以得出方程，，再由这两个方程构成方程组，求出其解即可． 【详解】解：设甲数为x，乙数为y，由题意： ， 解得， 答：甲数18， 乙数7． 【跟踪专练3】七年级（2）班选出部分同学参加夏令营，分成红、蓝两队，红队戴红帽子，蓝队戴蓝帽子．一个红队队员说：“我看见红队人数与蓝队人数相等．”一个蓝队队员说：“我看见红队人数是蓝队人数的2倍．”求红队人数和蓝队人数． 【答案】红队人数为4人，蓝队人数为3人 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，注意“队员看人数时，会忽略自己”，据此梳理红、蓝队人数的等量关系是解题关键． 根据红蓝队员对人数的描述，结合“实际人数”与“观察到的人数（忽略自己）”的差异，建立方程组求解即可． 【详解】解：设红队人数为人，蓝队人数为人． 一个红队队员说：“我看见红队人数与蓝队人数相等．”， 可得， 一个蓝队队员说：“我看见红队人数是蓝队人数的2倍．”， 可得， 联立可得， 解得，． 答：红队人数为4人，蓝队人数为3人． 题型05.方案选择问题(重点) 【典例】九年级某班为奖励学习进步的学生，购买了单价为12元/本的笔记本和单价为8元/支的签字笔两种文具，正好花费120元，则购买方案共有（   ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解的应用，设购买了x本笔记本，y支的签字笔，可得，再利用二元一次方程的正整数解解题即可． 【详解】解：购买了x本笔记本，y支的签字笔， 则， 即． ∴，，，， ∴购买方案有4种； 故选：A 【跟踪专练1】李康用20元全部购买羽毛球和乒乓球，并且两种球都需购买，已知羽毛球每个4元，乒乓球每个2元，则李康的购买方案有______种． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，根据题意，得到关系式，即；由于，均为正整数，故，即，据此可得的所有可能取值；接下来根据可得的可能取值，至此可得购买方案． 【详解】解：设购买个羽毛球，个乒乓球， 由题可得：， 变形得：， 因为，均为正整数， 所以， 解得：， 故的取值为，，，， 故其解为：或或或， 故有种购买方案， 故答案为：． 【跟踪专练2】某校400名师生参加迎元旦环湖跑，学校计划租用大客车、小客车若干辆将师生送往活动地点．已知租用的大客车、小客车满员载客数量如下表格所示： 大客车（辆） 小客车（辆） 共计载客人数 1 3 105 3 2 175 (1)求每辆小客车与每辆大客车满员分别能坐的人数？ (2)若租用小客车辆，租用大客车辆，保证大小客车均要有且满员，同时将师生运送完毕，请设计出所有的租车方案． 【答案】(1)每辆小客车满员能坐20人，每辆大客车满员能坐45人 (2)方案1：小客车11辆，大客车4辆；方案2：小客车2辆，大客车8辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设每辆小客车满员乘坐人，每辆大客车满员乘坐人，根据表格中信息，列出方程组，解方程组即可； （2）根据每辆小客车满员乘坐20人，每辆大客车满员乘坐45人，师生共400人，列出二元一次方程，求出方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每辆小客车满员能坐人，每辆大客车满员能坐人， 由题意得：， 解得： 答：每辆小客车满员能坐20人，每辆大客车满员能坐45人． （2）解：由题意得：， 整理可得：， 又因为均为正整数，于是b应该是4的正整数倍． 可得，， 方案1：小客车11辆，大客车4辆； 方案2：小客车2辆，大客车8辆． 【跟踪专练3】三月，我校班超联赛火热开赛！为丰富同学们的课余生活、满足运动需求，学校计划采购一批足球和篮球．负责采购的老师在团购群中看到了如下对话信息： (1)根据对话信息，求足球和篮球的单价各是多少元？ (2)若学校一次性采购总金额为700元．两种球都至少购买1个且采购资金正好用完，请给出所有购买方案． 【答案】(1)足球和篮球的单价分别为元 (2)有2种购买方案：①足球8个，篮球5个；②足球2个，篮球10个 【分析】（1）设足球和篮球的单价分别为元，根据对话信息建立二元一次方程组求解； （2）设购买足球个，篮球个，由题意得，，整理得，，再根据题意以及的约束条件求解． 【详解】（1）解：设足球和篮球的单价分别为元， 由题意得，， 解得 答：足球和篮球的单价分别为元； （2）解：设购买足球个，篮球个， 由题意得，， 整理得， ∵为正整数， ∴为整数，即为的倍数， ∵， ∴当时，； 当时， 当时，（舍去）， ∴当时，均不符合题意， ∴有2种购买方案：①足球8个，篮球5个；②足球2个，篮球10个． 题型06.列二元一次方程组(实际应用) 【典例】《九章算术》中有一个“牛羊各值多少‘金’”的问题，题目大意：5头牛，2只羊共值10两“金”；2头牛，5只羊共值8两“金”．设每头牛值x两“金”，每只羊值y两“金”，根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据题意，5头牛，2只羊共值10两“金”；2头牛，5只羊共值8两“金”，直接列出方程组即可． 【详解】解：∵5头牛值两“金”，2只羊值两“金”，共值10两“金”， ∴； ∵2头牛值两“金”，5只羊值两“金”，共值8两“金”， ∴． ∴方程组为， 故选：A． 【跟踪专练1】一块长方形菜园，长是宽的3倍，如果长减少3米，宽增加4米，这个长方形就变成一个正方形，设这个长方形菜园的长为x米，宽为y米，根据题意，得方程组________． 【答案】 【分析】根据题意找出两个等量关系. 一是长为宽的3倍. 二是长减少3米后与宽增加4米后长度相等（正方形边长相等）. 根据等量关系列出二元一次方程组即可． 【详解】解：由“长是宽的3倍”可得方程 ， 由“长减少3米. 宽增加4米. 长方形变成正方形”可知变化后长与宽相等. 可得方程 ， 联立得方程组 ． 【跟踪专练2】《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三：人出六，不足五．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同购买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱：每人出6钱，还差5钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为x人，物品的价格为y钱，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每人出8钱，还盈余3钱，可得，根据每人出6钱，还差5钱，可得，然后即可列出相应的方程组． 【详解】解：由题意可得：． 【跟踪专练3】列方程组解应用题：某镇区年与年小学入学人数之比为，且年入学人数的倍比年入学人数的倍少人，求该镇区年、年入学人数． 【答案】该镇区年入学人数为人，年入学人数为人． 【分析】根据人数比，设该镇区年入学人数为人，年入学人数为人，由比例关系得到，再结合年入学人数的倍比年入学人数的倍少人，列出方程，最后通过代入消元法求解方程，得出两年的入学人数． 【详解】解：设该镇区年入学人数为人，年入学人数为人， 依题意得：，即 把代入，解得， ∴， 答：该镇区年入学人数为人，年入学人数为人． 题型07.列二元一次方程组(几何). 【典例】把三个能够重合的长方形如图排列在一个大长方形中，若大长方形的周长为，则一个小长方形的周长等于_________． 【答案】296 【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，则大长方形的长为（2x+y）cm，宽为（x+2y）cm，利用长方形的周长公式结合大长方形的周长为888cm，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可求出（x+y）的值，再将其代入2（x+y）中即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，则大长方形的长为（2x + y）cm，宽为（x + 2y）cm， 依题意，得：2（2x+y+x +2y）= 888， ∴x+y= 148， ∴2（x+y）= 296， 即一个小长方形的周长等于296cm； 故答案为： 296． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．根据图示可得：长方形的左右的边可以表示为或25，故，长方形的上下边可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可． 【详解】解：根据图示可得：，即 故选：B． 【跟踪专练2】将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________． 【答案】 【分析】设长方体木块的长为，根据图形中高度之间的数量关系列出方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：设长方体木块的长为， 由题意可知木块的宽为， 根据图和图可得方程：，即， ，得， 解得． 【跟踪专练3】用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案（不重叠），已知点的坐标为，求一个长方形纸片的长与宽． 【答案】一个长方形纸片的长是3，宽是1 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据点的坐标及长方形边长关系列出方程组求解长和宽． 设长方形的长为、宽为，根据点B的坐标和图形中边长关系，列二元一次方程组求解． 【详解】解：设长方形纸片的长是，宽是， 根据题意，得解得 答：一个长方形纸片的长是3，宽是1． 题型08.分配问题(常考点) 【典例】某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．每副太阳镜需要2片镜片和1个镜架配成一套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】等量关系为：生产镜片工人数量生产镜架工人数量，镜片数量镜架数量，把相关数值代入即可求解．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到镜片数量和镜架数量的等量关系． 【详解】解：由题意，得． 故选：D． 【跟踪专练1】某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为______． 【答案】12 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键． 设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据底面数量是侧面数量的2倍列出方程组求解即可． 【详解】解：设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个， 由题意得：，解得： ， ∴用6张卡纸做侧面，用8张卡纸做底面，则做出侧面的数量为12个，底面的数量为24个，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个． 故答案为12． 【跟踪专练2】某宾馆客房部三人间300元/间/天，双人间280元/间/天，为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团体优惠期间到宾馆入住，本着“每间客房均正好住满人”的原则，租了一些三人间和双人间客房，若旅游团体一天共花去3020元，则租了三人间和双人间客房各多少间？ 【答案】三人间客房和双人间客房分别为8间和13间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，根据每间客房正好住满，共50人，住宿费3020元列出方程组求解即可． 【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房8间，双人间普通客房13间． 【跟踪专练3】.某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？ 【答案】(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元 (2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②有4种购进方案：①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台 【分析】（1）根据等量关系式：第一次购买台A型台灯的费用第一次购买台B型台灯的费用元，第二次购买台A型台灯的费用第二次购买台B型台灯的费用元，列出方程组，接可求解； （2）①根据等量关系式：第一次的台A型台灯的利润第一次的台B型台灯的利润元，第二次的台A型台灯的利润第二次购买台B型台灯的利润元，列出方程组，接可求解； ②设再购进A型台灯a台，B型台灯台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出获得利润台B型台灯售出获得利润元，列方程即可求解． 【详解】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元． （2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元， 由题意得：， 解得，， 答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元； ②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元）， 设购进A型台灯a台，B型台灯台， 由题意得：， 整理得：， ∴ a、b为自然数， 或或或， 有4种购进方案： ①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式，正确列出方程（组）是解题的关键． 题型09.数字问题(常考点) 【典例】宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造，在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值分别是（    ） 3 2 A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列方程组是解题的关键；根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等列方程组求解即可． 【详解】解：每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ， 整理得， 解得：， 的值分别是，1， 故选：． 【跟踪专练1】如图，这是工作表的一部分，字母依次表示列，数依次表示行．该表中每一列中的数都比前一列相应的数大，每一行中的数都比前一行相应的数大n．若，x与a的数量关系为：________． 【答案】 【分析】根据题意可列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：由已知得：， 得：， ∴． 即x与a的数量关系为． 【跟踪专练2】列二元一次方程组解应用题： 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下： 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9时看到的两位数中间多了个0 设：时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，回答下列问题： (1)用含x，y代数式表示：时里程碑上的数字______；时看到里程表上的数______；时看到里程表上的数______； (2)列方程组并求出时里程碑上的数． 【答案】(1)；； (2)时小明看到的两位数是51 【分析】本题主要考查了列代数式及二元一次方程组的应用，正确找出各数量关系是解题的关键． （1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字可求得时两位数；同样用数位的概念进行表达即可表示时和时的数； （2）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程． 【详解】（1）解：∵时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y， ∴时里程碑上的数可表示为； ∵时看到的两位数十位与个位数字与时所看到的正好互换了 ∴十位数字为y，个位数字为x， ∴时看到里程表上的数表示为； ∵看到的数字是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个0， ∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y， ∴时看到里程表上的数； 故答案为；，，． （2）解： ， 解得：． ∴小明在时看到里程碑上的两位数． 答：小明在时看到里程碑上的两位数是51． 【跟踪专练3】某旅游爱好者骑着摩托车在公路上匀速行驶，他每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，十位与个位上的数字之和为6 十位与个位数字与9：00看到的正好颠倒了 比9：00看到的两位数中间多了一个0 求他10：00看到的两位数． 【答案】 【分析】设十位数字为，个位数字为，通过看到的里程碑上的数字关系列方程，再用含与的代数式表示与看到的数，利用等量关系列方程 即可． 【详解】解：设他看到的数的十位数字为，个位数字为，则这个两位数可以表示为． 由题意，得 解得 故他看到的两位数是． 答：他看到的两位数是． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组的应用：里程碑上的数的问题，掌握两位数与数字关系是解题的关键． 题型10.古代问题(常考点) 【典例】《九章算术》中记载了一个问题，大意为：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．若设共有x人，该物品售价为y元，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等量关系：人数物品价值；人数物品价值，列出方程组即可找出两个等量关系，再据此列出方程． 【详解】∵设共有人，该物品售价为元，每人出8元时，总出的钱比物品售价多3元，即总出的钱减去多出来的3元等于物品售价， ∴， 又∵每人出7元时，总出的钱比物品售价少4元，即总出的钱加上少的4元等于物品售价， ∴， 因此可得方程组． 【跟踪专练1】我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”．诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的有_________个． 甲：设客房有x间，则； 乙：设客人有y人，则； 丙：设客房有x间，客人有y人，则． 【答案】 2 【分析】对于甲的方案，因为设客房有间，根据“每间住7人多7人”可得客人总数为，根据“每间住9人空一间”可得客人总数为，如果这两个表达式都表示客人总数，那么可列出等式，据此判断甲的方程是否正确． 对于乙的方案，因为设客人有人，根据“每间住7人多7人”可得客房数为，根据“每间住9人空一间”可得客房数为，如果乙的等式中客房数的表达式符合题意，那么判断乙的方程是否正确． 对于丙的方案，因为设客房间、客人人，根据“每间住7人多7人”可列，根据“每间住9人空一间”即住满的房间共间，客人总数为，变形可得，如果这两个方程符合等量关系，那么判断丙的方程组是否正确． 最后统计正确方案的个数． 【详解】解：甲：设客房有间，根据总人数相等列方程， 每间住人，总人数为，每间住人，空出间，总人数为，因此，甲正确. 乙：设客人有人，根据客房数量相等列方程， 每间住人，人无房住，客房数量为，每间住人，空出间，客房数量为，因此方程应为，乙所列方程错误，乙不正确. 丙：设客房有间，客人有人，根据题意可得， 由一房七客多七客，得，即， 由一房九客一房空，得，整理得， 因此方程组正确，丙正确. 综上，甲丙两人正确，正确的个数为. 【跟踪专练2】列二元一次方程组解应用题： 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木绳各几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子比木条长7尺；将绳子对折再量木条，（对折后的绳子）比木条短1尺，问木条和绳子各长多少尺？” 【答案】绳子长16尺，木条长9尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 用一根绳子去量一根木条，绳子剩余7尺可知：绳子比木条长7尺，得：，绳子对折后比木条短1尺，得：．组成方程组求解即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 根据题意得：， 解得：． 答：绳子长16尺，木条长9尺． 【跟踪专练3】明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空一间房. (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费10钱，且每间客房最多入住3人，一次性订客房25间以上（含25间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【答案】(1)该店有客房间，房客有人 (2)应选择一次性订客房间更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设该店有客房x间，房客y人，根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）分别求出单独订房及一次性定客房25间所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设该店有客房间，房客有人， 由题意得，， 解得， 答：该店有客房间，房客有人； （2）解：若每间客房住人，则需要订客房间，需付房费（钱）， 若一次性订客房间，需付房费（钱）， ∵， ∴诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订客房间更合算． 题型11.图表信息问题 【典例】如图，根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是（    ） A．36元 B．32元 C．4元 D．8元 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．设一盒杯子x元，一个暖瓶y元，根据图示可得：一个杯子+一个暖瓶元，3个杯子个暖瓶元，列方程组求解． 【详解】设一盒杯子x元，一个暖瓶y元， 由题意得， ， 解得： ， ∴一个杯子为8元． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则___________． 【答案】 【详解】解∶根据题意，得， 解得． 【跟踪专练2】为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如下表： 捐书（本） 3 5 8 10 人数（人） 4 9 表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由． 【答案】捐5本的有20人，捐8本的有12人，理由见详解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确运用方程表示出数量关系并求解是解题的关键． 根据该班45名同学共捐书298本，设捐5本的有x人，捐8本的有y人，由此列式求解即可． 【详解】解：该班45名同学共捐书298本，设捐5本的有x人，捐8本的有y人， ∴， 解得，， ∴捐5本的有20人，捐8本的有12人． 【跟踪专练3】某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 【答案】捐款10元的有15人，捐款15元的有12人；过程见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设捐款10元的为人，捐款15元的为人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设捐款10元的为人，捐款15元的为人， 根据题意得：， 解得：， 答：捐款10元的有15人，捐款15元的有12人． 题型12.年龄问题 【典例】小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（    ） A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解．设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了，列方程组求解即可． 【详解】解：设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故叔叔现在的年龄是28岁，小君现在的年龄是16岁． 故选：B． 【跟踪专练1】一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁， 由题意，得， 解得， 所以乌龟现在的年龄为77岁， 故选：C． 【跟踪专练2】5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁 【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可． 【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则 解得 答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解． 【跟踪专练3】根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 题型13.几何问题 【典例】在一块长方形广场上有3个大小完全相同的长方形花坛，如图中阴影部分即为花坛，已知长方形广场的长为，宽为，则每个花坛面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设每个花坛的长为，宽为，根据题意，列出方程组，求出a，b的值，即可求解． 【详解】解：设每个花坛的长为，宽为，根据题意得： ， 解得：， 即每个花坛的长为，宽为， ∴每个花坛面积为． 故选：B 【跟踪专练1】如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_________． 【答案】 【分析】设小长方形的长为a，宽为b，根据图形列出方程组，求出a，b,再用面积公式计算即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知， 解得， ∴阴影部分面积为． 【跟踪专练2】如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形． (1)求每一个小长方形的长与宽． (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长为12，宽为4 (2)60 【分析】（1）设小长方形的长为x，宽为y，根据图形找到等量关系，列出二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，即可得出答案； （2）由大长方形面积减去5个小长方形面积即可得出结论． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y，由题意得： ， 解得：， 答：小长方形的长为12，宽为4； （2）解：阴影部分的面积为：． 【跟踪专练3】某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要______张长方形铁片，______张正方形铁片． (2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒，现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成______个铁盒． 【答案】(1)7，3 (2)加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器有20个 (3)最多可加工铁盒19个 【分析】（1）由图可知加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张，即可求解． （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，根据题意列出方程组求解即可． （3）设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张． 故如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3 张． （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，由题意得 解得 答：加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器有20个． （3）解：设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，由题意得 解得 ∴在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做（片），9张做正方形铁片可做（片），剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片 共可做长方形铁片（片），正方形铁片（片） ∴可做铁盒（个） 答：最多可加工铁盒19个． 题型14.其他实际应用问题 【典例】王莹把含糖6%和12%的两种饮料兑在一起，配成了含糖8%的混合饮料240g，那么含糖6%和12%的两种饮料分别用了（   ） A．80g，100g B．160g，80g C．120g，120g D．200g，40g 【答案】B 【分析】设含糖6%的饮料用了g，含糖12%的饮料用了g，根据配成了含糖8%的混合饮料240g列出方程组解答即可． 【详解】解: 设含糖6%的饮料用了g，含糖12%的饮料用了g, 由题意得 解得: ∴含糖6%的饮料用了160g，含糖12%的饮料用了80g． 故选: B 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 【跟踪专练1】有一根长的金属棒，将其截成根长的小段和根长的小段，剩余部分作为废料处理，若使废料最少，则______． 【答案】或 【分析】根据金属棒的长度可得不等式，要使废料最少，则，结合、都是非负整数，计算出所有可能的值，并求和即可． 【详解】解：由题意可知，，且、都是非负整数， ∵要使废料最少， ∴优先考虑废料的情况，即， 变形，得， ∵、都是非负整数， ∴，且能被整除， ∴，且除以余， ∴，，，，，，，，其中被除余的数为或， 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，符合题意； 综上，或． 【跟踪专练2】为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人／辆） 45 60 租金（元／辆） 1200 1800 参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ 【答案】参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车． 【分析】设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车，根据“计划租用的45座客车辆数师生总数”或“座客车辆数）师生总数”可列方程组求解； 【详解】解：设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车，根据题意，得 ， 解得， 答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车 【跟踪专练3】如图，点为数轴原点，点和点是数轴上的两个动点，且点所表示的数比点所表示的数大6．    (1)当点所表示的数是时，点所表示的数是________；线段的长是________． (2)点是线段上一点（不与点、点重合），且满足， ①当点在线段上时，如果，求此时点所表示的数； ②当时，直接写出所有满足条件的点所表示的数． 【答案】(1)； (2)①P表示的数为：．②P表示或． 【分析】（1）由点所表示的数比点所表示的数大6，列式计算可得B表示的数，再利用两点之间的距离公式可得的长度； （2）点是线段上一点，点表示的数为， 表示的数为，设表示的数为，结合，可得或，①当点在线段上时，由，互为相反数，则，再建立方程组求解即可；②点是线段上一点，点表示的数为， 表示的数为，设表示的数为，结合，可得，而或，再建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵点所表示的数比点所表示的数大6，点所表示的数是时， ∴点所表示的数为，． （2）点是线段上一点，点表示的数为， 表示的数为，设表示的数为， ∵， ∴， ∴或， 即或， ①当点在线段上时，由， ∴互为相反数， ∴， ∴，解得：， 或，解得：，此时P不在线段上，舍去， 此时表示， 综上：P表示的数为：． ②点是线段上一点，点表示的数为， 表示的数为，设表示的数为， ∵， ∴ ∵或， ∴或， 解得：或， ∴P表示或． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，线段的长度的含义，二元一次方程组的应用，绝对值的含义，清晰的分类讨论是解本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02二元一次方程组应用复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透二元一次方程 / 组定义（双未知 + 次数 1 + 整式），精准识别 2.掌握解的概念：方程解无数、方程组解为公共数对，知晓解的特殊情况 3.明确消元思想是解方程组的核心本质 1.能快速审题，提取题干关键信息，找准等量关系 2.会设合理未知数，规范列、解方程组并检验作答 3.提升用代数方法解决实际问题的建模思维 1.熟练解决和差、倍数、配套等基础应用题，做到步骤完整 2.精准突破行程、工程、利润类常考题型，计算无失误 3.能快速理清复杂题干逻辑，高效完成解答题拿满分 题型01.行程问题(难点+重点) 题型02.销售利润问题(重点高频) 题型03.工程问题(常考点高频) 题型04.和差倍分问题(基础高频) 题型05.方案选择问题(重点) 题型06.列二元一次方程组(实际应用) 题型07.列二元一次方程组(几何) 题型08.分配问题(常考点) 题型09.数字问题(常考点) 题型10.古代问题(常考点) 题型11.图表信息问题 题型12.年龄问题 题型13.几何问题 题型14.其他实际应用问题 知识点01:解题黄金五步走（环环相扣，不踩坑） 审→设→列→解→验答，五步闭环搞定所有应用题，核心是找等量关系！ 1.审：圈关键词，分清已知 / 未知，锁定两个核心未知量+两个等量关系（题眼！）； 2.设：直接设（问啥设啥）or 间接设（设中间量，简化计算），带单位，明含义； 3.列：用未知数翻译等量关系，列出二元一次方程组（等式两边量纲一致，别漏单位）； 4.解：代入消元法 / 加减消元法二选一，算出未知数的值（计算别粗心，消元要彻底）； 5.验答：两步验证→①代入方程组，看是否成立；②贴合实际问题（人数、数量不能为负 / 小数），最后规范写答，带单位。 知识点02.应用题型方法速查表 知识点03:等量关系 “寻宝指南”（应用题的核心密码） 所有题型的本质都是找等量关系，这些 “高频线索” 直接圈，一找一个准！ ● 配套问题:根据配套比例（如 1 张桌子配 4 把椅子）列出方程，通常涉及生产人数、天数分配。 ● 几何图形问题:根据图形中边长之间的相等关系（如长方形长宽关系、拼接不重叠）列方程。 ● 方案问题:根据总费用、总数量等约束条件列出方程，并讨论整数解或最优方案。 ● 行程问题:基本关系：路程 = 速度 × 时间。相遇问题：总路程 = 速度和 × 时间；追及问题：路程差 = 速度差 × 时间；注意同时出发、早出发等情况。 ● 工程问题:基本关系：工作量 = 工作效率 × 时间；常将总工作量看作 1，或给出具体数值。 ● 数字问题:两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字；多位数类似；注意数位变换后的等量关系。 ● 年龄问题:年龄差不变，每人年龄随时间同步增加。 ● 分配问题:如物资分配、人员调配，根据总量和部分量关系列方程。 ● 销售利润问题:售价 = 进价 + 利润；利润率 = 利润 ÷ 进价；打折、提价、降价后的等量关系。 ● 和差倍分问题:直接根据 “和”“差”“倍”“分” 列方程。 ● 图表信息题:从表格、图形中提取数据，转化为方程组。 避坑锦囊（高频错题 “避雷区”，记牢不丢分） 1.设未知数忘带单位，答语漏单位，等式两边单位不统一； 2.配套问题比例搞反（如 3 个 A 配 1 个 B，错列成 A=3B，正确应为 A=3B→1×A=3×B）； 3.行程问题忽略 “顺逆速”“相遇 / 追及的时间同步”； 4.解完不验证，答案不符合实际（如人数为小数、产量为负数）； 5.找等量关系时，混淆 “倍分”（如 “甲比乙的 2 倍多 3” 错列成 2 (x+3)=y）。 一句话总结 解二元一次方程组应用题，关键就 3 点：找准两个未知量，抓牢两个等量关系，踩稳五步解题法，所有题型都是这 3 点的灵活变形！ 题型01.行程问题(难点+重点) 【典例】甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，如果甲比乙先走，那么他们在乙出发后相遇；如果乙比甲先走，那么他们在甲出发后相遇，则甲、乙两人的速度比为_____． 【跟踪专练1】从甲地到乙地的路有一段上坡，一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需要，从乙地到甲地需．则从甲到乙地的全程是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇．设甲的骑行速度为每小时，乙的骑行速度为每小时， (1)列出关于，的二元一次方程； (2)问题（1）中的方程的解不唯一，请你适当增加题目中的条件：_____，使，有唯一的解，并列出方程组解答你改编后的问题． 【跟踪专练3】骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 题型02.销售利润问题(重点高频) 【典例】甲、乙、丙、丁四人一起到冷饮店去买红豆与奶油两种棒冰．四人购买的数量及总价如表所示．但其中有一人把总价算错了，则此人是（   ） 甲 乙 丙 丁 红豆棒冰/支 3 6 9 4 奶油棒冰/支 4 2 11 7 总价/元 18 20 51 29 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【跟踪专练1】小辰用80元购买甲、乙两款中性笔，甲款中性笔每支5元，乙款中性笔每支4元，这80元刚好用完．若设购买甲款中性笔支，则的值为_____．（写出所有符合题意的值） 【跟踪专练2】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． 【跟踪专练3】茶叶促销活动前后，两种茶叶的销量（单位：两）和销售额（单位：元）对比情况如下表．已知促销时A茶叶是按原价的八折销售，其打折后的价格与B茶叶打折前的价格相同． A茶叶销量 B茶叶销量 销售额 打折前 300 200 6900 打折后 500 400 9360 (1)每两茶叶的原价分别是多少？ (2)B茶叶打几折销售？ (3)促销期间，王阿姨带了96元要买A茶叶和打折后为8元的C茶叶（两种茶叶的销量均为正整数），若所带的钱刚好用完，请通过计算说明她有几种购买方案． 题型03.工程问题(常考点高频) 【典例】某公司有新员工和老员工若干名．已知1名新员工每天制造的零件个数比1名老员工少30，1名新员工与2名老员工每天共可制造180个零件，则1名新员工与1名老员工每天各能制造多少个零件？设1名新员工每天能制造个零件，1名老员工每天能制造个零件．根据题意可列方程组为（） A． B． C． D． 【跟踪专练1】春末夏初， 正是枇杷成熟之际， 某枇杷基地的枇杷大量成熟， 于是安排了 20 个工人分三个小组分别对 三种枇杷进行采摘， 每人每天固定只采摘同一品种的枇杷， 每天采摘 三种枇杷的时间之比为 ， 采摘 三种枇杷的速度之比为 ． 第一次采摘用了 5 天时间； 第二次采摘时， 从原来采摘 种枇杷的工人中抽调了部分工人加入采摘 种枇杷的小组中， 由于不熟悉 种枇杷采摘， 新加入的工人的采摘速度为原有采摘 种枇杷工人采摘速度的 ， 第二次采摘也用了 5 天时间， 两次采摘的三种枇杷的总量比为 ；第三次采摘时，需要采摘的枇杷总量是前两次总量的和的 ． 为了加快采摘速度，决定在第二次的采摘人员安排的基础上（此时第二次采摘时新加入 种枇杷采摘组的工人采摘速度和 种枇杷采摘组其他工人一样）， 在总人数 20 人以外另再添加 人去采摘 种枇杷， 新加入的 人的采摘速度是原来采摘 种枇杷工人速度的 2 倍， 最终， 第 3 次用了整数天完成采摘任务． 则 的值至少为_____________． 【跟踪专练2】某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 【跟踪专练3】修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 题型04.和差倍分问题(基础高频) 【典例】某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为_________万元． 【跟踪专练2】甲乙两数的和是25，甲数比乙数的2倍大4．求甲乙两数各是多少？ （列方程组求解） 【跟踪专练3】七年级（2）班选出部分同学参加夏令营，分成红、蓝两队，红队戴红帽子，蓝队戴蓝帽子．一个红队队员说：“我看见红队人数与蓝队人数相等．”一个蓝队队员说：“我看见红队人数是蓝队人数的2倍．”求红队人数和蓝队人数． 题型05.方案选择问题(重点) 【典例】九年级某班为奖励学习进步的学生，购买了单价为12元/本的笔记本和单价为8元/支的签字笔两种文具，正好花费120元，则购买方案共有（   ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【跟踪专练1】李康用20元全部购买羽毛球和乒乓球，并且两种球都需购买，已知羽毛球每个4元，乒乓球每个2元，则李康的购买方案有______种． 【跟踪专练2】某校400名师生参加迎元旦环湖跑，学校计划租用大客车、小客车若干辆将师生送往活动地点．已知租用的大客车、小客车满员载客数量如下表格所示： 大客车（辆） 小客车（辆） 共计载客人数 1 3 105 3 2 175 (1)求每辆小客车与每辆大客车满员分别能坐的人数？ (2)若租用小客车辆，租用大客车辆，保证大小客车均要有且满员，同时将师生运送完毕，请设计出所有的租车方案． 【跟踪专练3】三月，我校班超联赛火热开赛！为丰富同学们的课余生活、满足运动需求，学校计划采购一批足球和篮球．负责采购的老师在团购群中看到了如下对话信息： (1)根据对话信息，求足球和篮球的单价各是多少元？ (2)若学校一次性采购总金额为700元．两种球都至少购买1个且采购资金正好用完，请给出所有购买方案． 题型06.列二元一次方程组(实际应用) 【典例】《九章算术》中有一个“牛羊各值多少‘金’”的问题，题目大意：5头牛，2只羊共值10两“金”；2头牛，5只羊共值8两“金”．设每头牛值x两“金”，每只羊值y两“金”，根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一块长方形菜园，长是宽的3倍，如果长减少3米，宽增加4米，这个长方形就变成一个正方形，设这个长方形菜园的长为x米，宽为y米，根据题意，得方程组________． 【跟踪专练2】《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三：人出六，不足五．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同购买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱：每人出6钱，还差5钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为x人，物品的价格为y钱，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】列方程组解应用题：某镇区年与年小学入学人数之比为，且年入学人数的倍比年入学人数的倍少人，求该镇区年、年入学人数． 题型07.列二元一次方程组(几何). 【典例】把三个能够重合的长方形如图排列在一个大长方形中，若大长方形的周长为，则一个小长方形的周长等于_________． 【跟踪专练1】如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________． 【跟踪专练3】用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案（不重叠），已知点的坐标为，求一个长方形纸片的长与宽． 题型08.分配问题(常考点) 【典例】某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．每副太阳镜需要2片镜片和1个镜架配成一套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为______． 【跟踪专练2】某宾馆客房部三人间300元/间/天，双人间280元/间/天，为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团体优惠期间到宾馆入住，本着“每间客房均正好住满人”的原则，租了一些三人间和双人间客房，若旅游团体一天共花去3020元，则租了三人间和双人间客房各多少间？ 【跟踪专练3】.某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？ 题型09.数字问题(常考点) 【典例】宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造，在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值分别是（    ） 3 2 A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 【跟踪专练1】如图，这是工作表的一部分，字母依次表示列，数依次表示行．该表中每一列中的数都比前一列相应的数大，每一行中的数都比前一行相应的数大n．若，x与a的数量关系为：________． 【跟踪专练2】列二元一次方程组解应用题： 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下： 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9时看到的两位数中间多了个0 设：时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，回答下列问题： (1)用含x，y代数式表示：时里程碑上的数字______；时看到里程表上的数______；时看到里程表上的数______； (2)列方程组并求出时里程碑上的数． 【跟踪专练3】某旅游爱好者骑着摩托车在公路上匀速行驶，他每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，十位与个位上的数字之和为6 十位与个位数字与9：00看到的正好颠倒了 比9：00看到的两位数中间多了一个0 求他10：00看到的两位数． 题型10.古代问题(常考点) 【典例】《九章算术》中记载了一个问题，大意为：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．若设共有x人，该物品售价为y元，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”．诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的有_________个． 甲：设客房有x间，则； 乙：设客人有y人，则； 丙：设客房有x间，客人有y人，则． 【跟踪专练2】列二元一次方程组解应用题： 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木绳各几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子比木条长7尺；将绳子对折再量木条，（对折后的绳子）比木条短1尺，问木条和绳子各长多少尺？” 【跟踪专练3】明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空一间房. (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费10钱，且每间客房最多入住3人，一次性订客房25间以上（含25间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 题型11.图表信息问题 【典例】如图，根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是（    ） A．36元 B．32元 C．4元 D．8元 【跟踪专练1】如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则___________． 【跟踪专练2】为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如下表： 捐书（本） 3 5 8 10 人数（人） 4 9 表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由． 【跟踪专练3】某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 题型12.年龄问题 【典例】小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（    ） A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁 【跟踪专练1】一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【跟踪专练2】5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 【跟踪专练3】根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 题型13.几何问题 【典例】在一块长方形广场上有3个大小完全相同的长方形花坛，如图中阴影部分即为花坛，已知长方形广场的长为，宽为，则每个花坛面积为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_________． 【跟踪专练2】如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形． (1)求每一个小长方形的长与宽． (2)求阴影部分的面积． 【跟踪专练3】某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要______张长方形铁片，______张正方形铁片． (2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒，现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成______个铁盒． 题型14.其他实际应用问题 【典例】王莹把含糖6%和12%的两种饮料兑在一起，配成了含糖8%的混合饮料240g，那么含糖6%和12%的两种饮料分别用了（   ） A．80g，100g B．160g，80g C．120g，120g D．200g，40g 【跟踪专练1】有一根长的金属棒，将其截成根长的小段和根长的小段，剩余部分作为废料处理，若使废料最少，则______． 【跟踪专练2】为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人／辆） 45 60 租金（元／辆） 1200 1800 参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ 【跟踪专练3】如图，点为数轴原点，点和点是数轴上的两个动点，且点所表示的数比点所表示的数大6．    (1)当点所表示的数是时，点所表示的数是________；线段的长是________． (2)点是线段上一点（不与点、点重合），且满足， ①当点在线段上时，如果，求此时点所表示的数； ②当时，直接写出所有满足条件的点所表示的数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $