精品解析：宁夏银川唐徕中学2026届高三二模数学试卷

银川唐徕中学2026届高三二模数学试卷 本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.在试卷上作答无效． 3.非选择题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上． 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数z满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 2. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 3. 已知直线，圆，则“”是“直线 与圆 相交”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知平面向量．若，求向量在向量上的投影向量为（     ）． A. B. C. D. 5. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数单调递增，记，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 如图，长方体的长、宽、高分别为，且分别为上底面、下底面（含边界）内的动点，当最小时，以 为球心，的长为半径的球面与上底面的公共点的轨迹长度为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3 B. 若随机变量，，则 C. 某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105，方差为24，随机抽取5名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15名学生的数学成绩的方差为25 D. 一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为 10. 关于函数有如下四个结论，其中正确的结论有（　　） A. 的最大值为1 B. 将的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到 C. 在单调递增 D. 图象的对称中心为 11. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，， 是 上异于，的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线和的斜率之积为定值 B. 的最小值为-1 C. 若的面积为5，则 D. 若的角平分线与 轴交于点，则内切圆的半径为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡相应位置上． 12. 假设某次数学考试成绩服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A，B，C，D四个等级，那么A等级的分数线约为____________分及以上（精确到1）． （参考数据：若，则．） 13. 在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，且AC边上的中线长为4，则 的面积为______． 14. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则的值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯某研究小组为研究学生上课是否转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校的全部学生中随机抽取 名学生进行调查，其中上课转笔的有人得到这 名学生近期考试的成绩分数均在内的频率分布直方图如图所示分组区间为）， 记总成绩不低于分的为优秀，其余为合格. 成绩 转笔 合计 上课转笔 上课不转笔 合格 25 优秀 10 合计 100 （1）请完成上面的列联表（写在答题卡上），依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的成绩是否优秀与上课是否转笔有关联.（单位：人） （2）现按成绩采用比例分配的分层随机抽样的方法从这 人中抽取 人，再从这 人中随机抽取 人进行进一步调查，记抽到的 人中成绩合格的人数为，求的分布列和均值； 附：参考公式：，其中. 参考数据： 16. 设数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 17. 如图，在几何体中，，四边形 是边长为1的正方形，，点 是棱 上与不重合的点． （1）证明：平面平面； （2）若，且，求直线 与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数，其中a为常数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，求证：当时，. 19. 已知抛物线 的顶点为原点，焦点（）到直线 ：的距离为 ． （1）求抛物线 的方程； （2）设为直线 上的点，过点 作抛物线 的两条切线，，其中 ， 为切点． （ⅰ）证明：直线 的方程为； （ⅱ）求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川唐徕中学2026届高三二模数学试卷 本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.在试卷上作答无效． 3.非选择题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上． 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数z满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 所以. 2. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由集合，， 根据集合并集的定义与运算，可得. 3. 已知直线，圆，则“”是“直线 与圆 相交”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 因为方程表示圆，所以，解得. 所以圆 的圆心为，半径为， 所以圆心 到直线的距离为， 若直线 与圆 相交可得，则可得，解得. 所以“”是“直线 与圆 相交”的充分不必要条件. 4. 已知平面向量．若，求向量在向量上的投影向量为（     ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线（平行）可得向量的坐标，进而根据数量积的几何意义可求投影向量. 【详解】由，且，，所以，可得. 所以，，, 所以向量在向量上的投影向量． 5. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】对曲线求导，结合已知求切点横坐标，进而得到，再应用“1”的代换及基本不等式求目标式的最小值． 【详解】由于直线与曲线相切，设切点为，且，所以， 所以切点的横坐标，将其代入直线方程和曲线方程，则有，即， 又，所以， 即，当且仅当时取等号，所以的最小值为2． 6. 已知函数单调递增，记，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于 ，由 ，则 ，即 ， 对于 ，由 ，则 ，即 ， 对于 ，由 ，得 ， 对于 ，由 ，则 ，即 ， 所以 ， 又因为函数 在区间 上单调递增，所以 . 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题可求得，进而得到，即，进而得到，再代入求即可． 【详解】，即， ， ， 由解得， ， ，则， ，又， ，即， 则，即， 解得或（舍去）． 故选：B． 8. 如图，长方体的长、宽、高分别为，且分别为上底面、下底面（含边界）内的动点，当最小时，以 为球心，的长为半径的球面与上底面的公共点的轨迹长度为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由最小时，得到分别为的三等分点，得到以 为球心，的长为半径的球面与上底面的交线对应的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，结合扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】由题意得，要使得最小，则要在同一个平面内，即平面内， 如图（1）所示，可得， 所以， 当最小时为， 此时，即分别为的三等分点， 因为，所以， 分别在取点，使得， 可得， 则以 为球心，的长为半径的球面与上底面的交线对应的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，如图（2）所示， 所以轨迹的长度为. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3 B. 若随机变量，，则 C. 某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105，方差为24，随机抽取5名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15名学生的数学成绩的方差为25 D. 一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，由百分位数的定义进行求解；B选项，利用二项分布的期望和方差公式进行求解；C选项，利用总体方差和样本方差的关系进行求解；D选项，利用超几何分布求解相应的概率 【详解】A选项，，故从小到大选取第2和第3个数的平均数作为第25百分位数， 即，故数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3.5，A错误； B选项，随机变量，，即，解得， 所以则，B正确； C选项，这15名学生的数学成绩的平均数为， 故这15名学生的数学成绩的方差为，C正确； D选项，2罐中有奖券的概率为，D错误. 10. 关于函数有如下四个结论，其中正确的结论有（　　） A. 的最大值为1 B. 将的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到 C. 在单调递增 D. 图象的对称中心为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角恒等变换得到，根据正弦函数的性质可判断ACD，根据图象的变换可判断B. 【详解】 ， 所以当，即时，取得最大值，最大值为 ，故A正确； 将的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到 ，故B错误； 当时，，函数在上单调递增， 所以在单调递增，故C正确； 令，解得， 所以图象的对称中心为，故D错误. 11. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，， 是 上异于，的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线和的斜率之积为定值 B. 的最小值为-1 C. 若的面积为5，则 D. 若的角平分线与 轴交于点，则内切圆的半径为 【答案】ACD 【解析】 【详解】由题可得，，，. 设，则，，A正确； ，，，B不正确； 若的面积为5，则， 根据对称性，不妨令 位于第一象限，可得， 则，，， 由，得，C正确； 由点可得，，因为平分，所以； 又，所以，， 在中，以为底，点到的距离为， 所以的面积为， 设内切圆的半径为 ，则，解得，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡相应位置上． 12. 假设某次数学考试成绩服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A，B，C，D四个等级，那么A等级的分数线约为____________分及以上（精确到1）． （参考数据：若，则．） 【答案】85 【解析】 【详解】设A等级的分数线为a，则应该满足． 又由题知， 因此． 13. 在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，且AC边上的中线长为4，则 的面积为______． 【答案】## 【解析】 【详解】设 中点为 ，在和中，分别使用余弦定理可得 ①， ②， 又，所以， 联立①②可得③， 又在 中，根据余弦定理有即④， 联立③④可得，所以． 14. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求出函数的周期，利用函数的周期和赋值法进行求解即可. 【详解】由为奇函数，所以， 即，所以函数关于点中心对称， 由为偶函数，可得， 所以函数关于直线对称， 所以，从而得， 所以函数是周期为4的周期函数， 因为， 所以在中，令，得， 令，得， 令，得， 所以，于是 . 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯某研究小组为研究学生上课是否转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校的全部学生中随机抽取 名学生进行调查，其中上课转笔的有人得到这 名学生近期考试的成绩分数均在内的频率分布直方图如图所示分组区间为）， 记总成绩不低于分的为优秀，其余为合格. 成绩 转笔 合计 上课转笔 上课不转笔 合格 25 优秀 10 合计 100 （1）请完成上面的列联表（写在答题卡上），依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的成绩是否优秀与上课是否转笔有关联.（单位：人） （2）现按成绩采用比例分配的分层随机抽样的方法从这 人中抽取 人，再从这 人中随机抽取 人进行进一步调查，记抽到的 人中成绩合格的人数为，求的分布列和均值； 附：参考公式：，其中. 参考数据： 【答案】（1）列联表如下表所示单位：人 成绩 转笔 合计 上课转笔 上课不转笔 合格 优秀 合计 能认为学生成绩是否优秀与上课是否转笔有关联； （2）故的分布列为 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图补全列联表，计算后，对照临界值即可得出答案； （2）由题意计算可得这名学生中抽取的人中，成绩合格的有 人，成绩优秀的有 人，的可能取值为，求出相应的概率，写出分布列，从而求出数学期望； 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，抽取的名学生中成绩合格的有人， 则成绩优秀的有人.        列联表如下表所示单位：人 成绩 转笔 合计 上课转笔 上课不转笔 合格 优秀 合计 零假设为：学生成绩是否优秀与上课是否转笔无关联， 计算得， 依据小概率值的独立性检验， 我们推断不成立，可以认为学生成绩是否优秀与上课是否转笔有关联； 【小问2详解】 根据频率分布直方图可知，这名学生中成绩优秀的频率为， 成绩合格的频率为， 故从这名学生中抽取的人中，成绩合格的有人，成绩优秀的有人， 则的可能取值为， ， 故的分布列为 . 16. 设数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式进行整理得到数列通项公式即可. （2）通过对所需要的数列的通项公式进行裂项，运用裂项相消的方法求和即可. 【小问1详解】 当时，，得． 当时，， ， 两式相减得，则． 当时，符合上式， 所以． 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 故． 17. 如图，在几何体中，，四边形 是边长为1的正方形，，点 是棱 上与不重合的点． （1）证明：平面平面； （2）若，且，求直线 与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 由， 得，所以． 又，所以． 在正方形 中，， 因为，所以． 又平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）可由线面垂直推出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，转化成求直线方向向量与平面的法向量所成角来求解. 【小问1详解】 （1）略 【小问2详解】 （2）解：由（1）得 ， ，两两垂直， 以点 为原点， ， ，所在直线分别为 轴，轴，轴建立空间直角坐标系 如图所示， 则， 所以， 设，则， 所以，解得，即． 设平面的一个法向量为，则即 取，得． 设直线 与平面所成角为，则， 即直线 与平面所成角的正弦值为． 18. 已知函数，其中a为常数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，求证：当时，. 【答案】（1）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为 （2） （3）证明：令， 则， 因为，，则，， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则， 因为，则，可得， 即，所以当时，. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的符号判断函数的单调区间； （2）根据题意分析可知，利用导数分析可知在内单调递减，结合恒成立问题运算求解即可； （3）令，利用导数分析的单调性可得，结合，可得，即可得结果. 【小问1详解】 当时，则的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【小问2详解】 因为， 若，当 趋近于时，趋近于，不合题意，所以， 因为， 且，则，，则， 可知在内单调递减，则， 可得，解得， 所以实数a的取值范围为. 【小问3详解】 略 19. 已知抛物线 的顶点为原点，焦点（）到直线 ：的距离为 ． （1）求抛物线 的方程； （2）设为直线 上的点，过点 作抛物线 的两条切线，，其中 ， 为切点． （ⅰ）证明：直线 的方程为； （ⅱ）求面积的最小值． 【答案】（1） （2） (i)设切点，由得 ，. 则抛物线在 点处的切线斜率为，切线方程为且， 整理得， 因为在切线上，代入切线方程得， 同理，对切点 可得. 说明两点都满足方程，由两点确定一条直线得，直线 的方程就是得证. (ii) 【解析】 【分析】（1）根据抛物线性质求解即可； （2）结合导数的几何性质整理出切线方程，再利用两点确定一条直线即可证明；利用弦长公式，点到直线距离公式表示出三角形面积即可求解最小值. 【小问1详解】 由已知可知抛物线开口向上，标准形式设为， 焦点到直线的距离为，解得， 因此抛物线 的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）联立直线 与抛物线 的方程， 消去得，判别式， 由韦达定理得， 弦长， 点到直线 的距离， 因此的面积. 因为，当即时， 取得最小值， 因此面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $