精品解析：辽宁省鞍山市千山区2025-2026学年九年级下学期阶段性教学成果评估数学试卷

初中阶段性教学成果评估 九年级数学学科试卷 （试卷满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列立体图形中，主视图和左视图均为三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图的识别，解决本题的关键是熟练掌握三视图的识别． 根据圆柱，四棱柱，圆锥以及三棱柱的几何特征判断主视图和左视图即可． 【详解】解：A选项，主视图为矩形，左视图为矩形，故A选项错误； B选项，主视图为矩形（或正方形），左视图为矩形（或正方形），故B选项错误； C选项，主视图为三角形，左视图为三角形，故C选项正确； D选项，主视图为矩形，左视图为矩形，故D选项错误． 故选：C ． 2. 下表记录了1月份某日我国四个城市10点时的气温： 城市 北京 哈尔滨 盐城 上海 气温（） 3 7 此时气温最低的城市是（ ） A. 北京 B. 哈尔滨 C. 盐城 D. 上海 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较． 比较四个城市的气温即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴气温最低的城市是哈尔滨． 故选：B． 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：∵ 科学记数法要求，原数， 将小数点向左移动11位，得到， ∴ ． 4. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、积的乘方、同底数幂相乘及完全平方公式； 根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、同底数幂相乘的法则及完全平方公式逐项判断即得答案. 【详解】解：A、，故本选项运算错误； B、，故本选项运算错误； C、，故本选项运算正确； D、，故本选项运算错误； 故选：C. 5. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过去分母将分式方程转化为整式方程，然后再检验即可解答． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得： 展开整理得： 移项得： 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 6. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少?设每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意找出两个等量关系，即可列出对应的方程组. 【详解】∵五只雀、六只燕共重一斤，每只雀重斤，每只燕重斤， ∴得到第一个方程 . 互换其中一只后，一侧剩余4只雀和1只燕，另一侧剩余5只燕和1只雀，此时两侧重量相等， ∴得到第二个方程 . 因此可列方程组为 . 7. 数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据全等三角形的判定定理“”解答即可． 【详解】解：在和中， ， ， ， 此方案依据的数学定理或基本事实是“”， 故选：A． 8. 如图, 平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则四边形ABCD的周长为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先证明，再由AE+EO=4，推出AB+BC=8即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC， ∵AE=EB， ∴ ∵AE+EO=4， ∴2AE+2EO=8， ∴AB+BC=8， ∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16， 故选B 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型． 9. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别解出每个不等式的解集，再根据同大取大的原则求公共部分． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，， ， ， 不等式组的解集为． 10. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【详解】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个使在实数范围内有意义的的值：______________． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，以及解不等式，熟练掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义得到求解，取恰当的值即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴使在实数范围内有意义的的值可以为； 故答案为：3（答案不唯一）． 12. 从甲、乙两块试验田各随机抽取100株麦苗测量高度（单位：cm），计算它们的平均数和方差，结果为：，，，．则麦苗长势比较整齐的试验田是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据题意可得：，即可求解． 【详解】解：∵，，，． ∴， ∴甲试验田麦苗长势比较整齐． 故答案为：甲 【点睛】本题主要考查了利用方差判断稳定性，熟练掌握一组数据方差越小越稳定是解题的关键． 13. 如图是扫雷游戏的示意图．点击中间的按钮，若出现的数字是2，表明数字2周围的8个位置有2颗地雷，现任意点击这8个按钮中的一个，则会出现地雷的概率为____． 【答案】#### 【解析】 【分析】由题意可知数字2周围的8个位置有2颗地雷，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：由题意得，数字2周围的8个位置有2颗地雷， 任意点击这8个按钮中的一个，则会出现地雷的概率为． 14. 某树苗原始高度为，如图是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，用代数式表示这段时间内，该树苗生长n个月时的高度（单位：）应为_______（用含n的代数式表示，n为自然数）． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得树苗每个月增长的高度是，进而得出答案． 【详解】解：根据题意可得，树苗每个月增长的高度是， 用式子表示生长个月时，它的高度应为：． 15. 如图，分别是的边上的点，，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，从而得到，再根据相似三角形的判定与性质可得，最后再根据可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，两个相似三角形的面积比关于相似比的平方，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题（共8道题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）原式先化简绝对值、二次根式以及立方根，然后再进行外挂； （2）原式先计算括号内的，再把除法转化为乘法，再进行约分即可． 【详解】解：（1） = = =； （2） = = =． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算以及分式的加减乘除混合运算，掌握运算法则是解答本题的关键． 17. 如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． （1）求和的值： （2）若点与点关于轴对称，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求解函数解析式，轴对称的性质，直线与坐标轴的交点问题等知识点． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出一次函数解析式，然后求出点坐标，根据轴对称的性质求出点，再由求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与双曲线相交于，两点， ∴将，两点代入，则， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：将点，代入， 则， 解得， ∴一次函数解析式为， 令，则， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴． 18. 某校举行科技节，科技小组为了解学生使用智能软件的情况开展了统计活动． 【收集数据】 科技小组设计了如下调查问卷，在全校随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题1”和“问题2”的数据．（被调查学生两个问题全部按要求作答并提交） 调查问卷 问题1：你使用智能软件的主要目的是（ ）．（单选） A．学习管理 B．健康 C．时间管理 D．其他 问题2：你每周使用智能软件的时间是____分钟． 【整理和表示数据】 第一步：将“问题1”的数据进行整理后，绘制成如下的人数统计表； 第二步：将“问题2”中每周使用智能软件的时间（分钟）整理分成4组：①，②，③，④，并绘制成如下的频数直方图． 学生使用智能软件主要目的的人数统计表 目的 人数累计 人数 A 正正正正正正 30 B 正正丅 12 C 正正正 15 D 3 学生每周使用智能软件时间的频数直方图 （1）若将“问题1”的数据绘制成扇形统计图，则目的“B”对应的扇形圆心角的度数为____°； （2）补全频数直方图； 【分析数据，解答问题】 （3）已知“”这组的数据是：60，60，62，62，63，65，65，65，70，70，75，75，75，75，75，80，80，80，80，85．被调查的全部学生每周使用智能软件时间的中位数为____分钟； （4）全校共有1200名学生，请你估计使用智能软件主要用于“学习管理”的人数． 【答案】（1）72； （2）补全频数分布直方图为： （3）61； （4）600人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和频数分布直方图，求中位数，求扇形统计图的圆心角，用样本估计总体等知识点，正确理解题意，读懂统计图是解题的关键． （1）由目的“B”的人数除以总数求出占比，再乘以即可； （2）用总人数减去其余三组的人数求出使用智能软件的时间在这一组的人数，即可补全频数分布直方图； （3）由中位数的定义求解； （4）用样本估计总体的方法解即可． 【详解】（1）解：由题意得，目的“B”对应的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：； （2）解：由（1）知总人数为（人）， ∴每周使用智能软件的时间在这一组的人数为：， ∴补全频数分布直方图为： （3）由于每周使用智能软件的时间在和人数分别为，而总人数为人，则中位数为第人使用智能软件的时间的平均数，由“”这组的数据可得第人使用智能软件的时间为分钟， ∴中位数为， 故答案为：61； （4）（人）， 答：估计使用智能软件主要用于“学习管理”的人数为人． 19. 如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径和的长． 【答案】（1） 证明：连接，则， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， 平分； （2）的半径长为5，的长为 【解析】 【分析】（1）连接，由等边对等角得到，由切线的性质得，而，则，再由平行线的性质以及等量代换即可证明平分． （2）作于点，因为，，所以，则，求得，可证明，得，求得，则，即可求解半径和． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 的半径长为5，的长为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 20. 2025年全运会吉祥物“喜羊羊”玩偶颇受消费者欢迎．某店售卖一款进价为20元的“喜洋洋”玩偶，规定单个玩偶销售利润不低于5元，且不高于15元，试销期间发现，当销售单价定为25元时，每天可售出250个，销售单价每上涨1元，每天的销售量减少10个． （1）设销售单价为x元，每天的销售数量为y个，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每日的销售利润为2000元？ 【答案】（1），自变量x的取值范围是 （2）30元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据销售单价变化与销售量变化的数量关系列出函数关系式，再结合单个玩偶的利润限制确定自变量的取值范围； （2）利用“单个玩偶利润×每天销售数量=每日总利润”列一元二次方程求解，结合自变量取值范围舍去不符合题意的解 【小问1详解】 解 由题意得，销售单价为元时，相比25元上涨了元 每天销售量减少个， 所以，  因为单个玩偶销售利润不低于5元且不高于15元， 所以，即； 【小问2详解】 解：设销售单价定为x元时，每日销售利润为2000元 单个玩偶利润为元，每天销售数量为个 根据题意得 ， 解得，  因为， 所以不符合题意，舍去， ∴，即销售单价定为30元 答：当销售单价定为30元时，每日的销售利润为2000元． 21. 一个小球在平地上以一定的初始速度（单位：）开始向前滚动，并且均匀减速．已知小球滚动的速度（单位：）与滚动时间（单位：）的函数解析式是． （1）直接写出小球的初始速度：__________． （2）已知在匀变速直线运动中，小球滚动的距离平均速度时间，每个时间段内的平均速度（其中是初始速度，是滚动秒后的速度），求小球向前滚动的运动路程． （3）设小球向前滚动的路程为（单位：），求出关于的函数解析式，并求出的最大值． 【答案】（1） （2） （3）当时，取最大值，最大值为 【解析】 【分析】（）把代入函数式计算即可求解； （）求出时的速度，即可得小球的平均速度，进而即可求解； （）用表示出平均速度，根据可得函数解析式，再根据二次函数的性质解答即可求解；本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时，， ∴小球的初始速度， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， ∴小球的平均速度， ∴小球向前滚动的运动路程为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为． 22. 综合与探究 问题情境：如图，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，． ①如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②当直线与直线垂直时，直线分别与直线，交于点，，直线与线段交于点．若，，直接写出四边形的面积． 【答案】 （1）四边形为矩形．理由如下： ， ， 四边形为菱形， ∴， ∴， ， ∴， 四边形为矩形． （2）①，理由如下： ∵四边形为菱形， ， 旋转得到， ， ， ， ， ， ， ． ②或 【解析】 【分析】（1）由和菱形性质得，．可证四边形为矩形； （2）①由菱形和旋转得性质证，可证； ②分情况讨论：当点在线段上时，当点在线段延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：（1）略 （2）①略 ②解：如图所示，当点N在线段上时，过点A作于P， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 由旋转知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴ ； 当点N在线段延长线上时，在上，过点A作于K，连接，如图所示： 由旋转知：，，，， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ， ∴，， ∵， ∴ 四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 综上，四边形的面积是或． 【点睛】本题是正方形，菱形综合题，主要考查正方形的判定与性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，解直角三角形的应用，四边形的面积等知识，熟练掌握特殊图形的性质与判定，添加正确的辅助线是解题关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． （1）求，的值及点的坐标． （2）点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． （3）直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 【答案】（1）， （2）不能，理由： ∵点在（第一象限）上，到轴的距离为．则 ∴当时， 解得：或 ∴或 ∵抛物线经过点，对称轴为直线 ∴经过点和 ∴不能经过点, （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意得出，代入抛物线解析式得出或，而经过点和，即可得出结论； （3）①先求得，和代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； ②根据题意得出直线的解析式为，根据经过点，得出，联立直线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，将代入，得出①，根据点为直线与的唯一公共点，得出②，联立解得的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，，顶点为 ∴ 解得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①∵， 当重合时，则 ∵是的中点， ∴, ∵点恰好落在上，经过点 ∴ 解得：； ②∵直线交于点，， ∴， ∴直线的解析式为， ∵经过点， ∴， ∴， ∴ 联立 消去得， ∴，则 ∵点的横坐标是点横坐标的一半． ∴即， 将代入， ∴①， 整理，得， ， 由， 则， 整理得，， 则或， ∵点为直线与的唯一公共点， ∴② 则或， 当时，代入②解得， 或， 当时，交点不在公共点不在第一象限，不符合题意， ∴． 当时，代入②解得，不符合题意， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中阶段性教学成果评估 九年级数学学科试卷 （试卷满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列立体图形中，主视图和左视图均为三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下表记录了1月份某日我国四个城市10点时的气温： 城市 北京 哈尔滨 盐城 上海 气温（） 3 7 此时气温最低的城市是（ ） A. 北京 B. 哈尔滨 C. 盐城 D. 上海 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少?设每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（ ） A. B. C. D. 8. 如图, 平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则四边形ABCD的周长为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 9. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 10. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个使在实数范围内有意义的的值：______________． 12. 从甲、乙两块试验田各随机抽取100株麦苗测量高度（单位：cm），计算它们的平均数和方差，结果为：，，，．则麦苗长势比较整齐的试验田是________（填“甲”或“乙”）． 13. 如图是扫雷游戏的示意图．点击中间的按钮，若出现的数字是2，表明数字2周围的8个位置有2颗地雷，现任意点击这8个按钮中的一个，则会出现地雷的概率为____． 14. 某树苗原始高度为，如图是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，用代数式表示这段时间内，该树苗生长n个月时的高度（单位：）应为_______（用含n的代数式表示，n为自然数）． 15. 如图，分别是的边上的点，，若，则_______． 三、解答题（共8道题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． （1）求和的值： （2）若点与点关于轴对称，求的面积． 18. 某校举行科技节，科技小组为了解学生使用智能软件的情况开展了统计活动． 【收集数据】 科技小组设计了如下调查问卷，在全校随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题1”和“问题2”的数据．（被调查学生两个问题全部按要求作答并提交） 调查问卷 问题1：你使用智能软件的主要目的是（ ）．（单选） A．学习管理 B．健康 C．时间管理 D．其他 问题2：你每周使用智能软件的时间是____分钟． 【整理和表示数据】 第一步：将“问题1”的数据进行整理后，绘制成如下的人数统计表； 第二步：将“问题2”中每周使用智能软件的时间（分钟）整理分成4组：①，②，③，④，并绘制成如下的频数直方图． 学生使用智能软件主要目的的人数统计表 目的 人数累计 人数 A 正正正正正正 30 B 正正丅 12 C 正正正 15 D 3 学生每周使用智能软件时间的频数直方图 （1）若将“问题1”的数据绘制成扇形统计图，则目的“B”对应的扇形圆心角的度数为____°； （2）补全频数直方图； 【分析数据，解答问题】 （3）已知“”这组的数据是：60，60，62，62，63，65，65，65，70，70，75，75，75，75，75，80，80，80，80，85．被调查的全部学生每周使用智能软件时间的中位数为____分钟； （4）全校共有1200名学生，请你估计使用智能软件主要用于“学习管理”的人数． 19. 如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径和的长． 20. 2025年全运会吉祥物“喜羊羊”玩偶颇受消费者欢迎．某店售卖一款进价为20元的“喜洋洋”玩偶，规定单个玩偶销售利润不低于5元，且不高于15元，试销期间发现，当销售单价定为25元时，每天可售出250个，销售单价每上涨1元，每天的销售量减少10个． （1）设销售单价为x元，每天的销售数量为y个，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每日的销售利润为2000元？ 21. 一个小球在平地上以一定的初始速度（单位：）开始向前滚动，并且均匀减速．已知小球滚动的速度（单位：）与滚动时间（单位：）的函数解析式是． （1）直接写出小球的初始速度：__________． （2）已知在匀变速直线运动中，小球滚动的距离平均速度时间，每个时间段内的平均速度（其中是初始速度，是滚动秒后的速度），求小球向前滚动的运动路程． （3）设小球向前滚动的路程为（单位：），求出关于的函数解析式，并求出的最大值． 22. 综合与探究 问题情境：如图，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，． ①如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②当直线与直线垂直时，直线分别与直线，交于点，，直线与线段交于点．若，，直接写出四边形的面积． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． （1）求，的值及点的坐标． （2）点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． （3）直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $