精品解析：辽宁省鞍山市千山区2024-2025学年九年级下学期数学3月月考试卷

初中阶段性教学成果评估 九年级数学学科试卷 （试卷满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图的定义，从左边看到的图形是左视图，即可判断． 【详解】解：根据立体图可知该左视图是底层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形． 故选：B． 【点睛】本题考查了三视图，解题的关键是明确左视图是从物体的左边观察得到的图形． 2. 下表是几种液体在标准大气压下的沸点： 液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氦 沸点/ 则沸点最高的液体是（ ） A. 液态氧 B. 液态氢 C. 液态氮 D. 液态氦 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数的大小比较可直接进行求解． 【详解】解：由“两个负数比较，绝对值越大反而小”可知：， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握两个负数的大小比较是解题的关键． 3. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示形式． 利用科学记数法的表示形式，为小数点移动的位数，可得答案． 【详解】解：依题意，3240万， 故选：C． 4. 如图，在中，是对角线，当是等边三角形时，为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质． 利用等边三角形的性质求出度数，利用平行四边形性质可求的度数． 【详解】解：是等边三角形， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ． 故选：D． 5. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘多项式的运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：A. ，计算错误，故此选项不符合题意； B. ，计算错误，故此选项不符合题意； C. ，计算正确，故此选项符合题意； D. ，计算错误，故此选项不符合题意； 故选C． 6. 某班级计划举办手抄报展览，确定了“时代”“ ”“豆包”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用概率公式求概率，掌握概率所求情况数与总情况数之比是银师的关键． 直接由概率公式求解即可． 【详解】解：从“时代”“”“豆包”三个主题，选择其中一个主题有3种情况，选中“”的只有1种情况， 所以恰好选中“”的概率是． 故选：C． 7. 下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误； 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，理解基本定义是解题关键． 8. 在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图表示的方程组是，类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图形，结合题目所给的运算法则列出方程组即可； 【详解】解：由题意可得， 图②所示的算筹图可以表述为：， 故选：B． 9. 如图，矩形的对角线相交于点， ，，若，则四边形的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定及性质定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质． 利用矩形的性质得出和它们的长度，根据条件判定四边形为菱形，即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形，且 ， 又，， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为8． 故选：C． 10. 如图，直线y＝﹣x＋4与x轴、y轴分别交于点A、B、C是线段AB上一点，四边形OADC是菱形，则OD的长为（　　） A 4.2 B. 4.8 C. 5.4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的解析式可求出点B、A的坐标，进而可求出OA、OB的长，再利用勾股定理即可求出AB的长，由菱形的性质可得OE⊥AB，OE=DE，再根据直角三角形的面积可求出OE的长，进而可求出OD的长. 【详解】解：∵直线y＝﹣x＋4与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴点A（3,0）、点B（0,4）， ∴OA=3，OB=4， ∴AB=， ∵四边形OADC是菱形, ∴OE⊥AB，OE=DE， 由直角三角形的面积得， 即3×4=5×OE. 解得：OE=2.4， ∴OD=2OE=4.8. 故选B. 【点睛】本题考查了菱形的性质和一次函数与坐标轴的交点问题，难度不大，题目设计新颖，解题的关键是把求OD的长转化为求直角△AOB斜边上的高OE的长的2倍. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．按照解分式方程的步骤进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 检验：当时，， 是原方程的解． 故答案为：． 12. 点按照一个方向平移后，点M的对应点的坐标是，则点N的对应点是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可． 【详解】点 M(1,−2) 按照一个方向平移后，点M(1,−2)的对应点的坐标是 (3,2) ，而，， 所以则点N(−3,4)的对应点是(，),即 . 故答案为：. 【点睛】本题考查了坐标点的平移规律，解题的关键是掌握点的平移规律“左减右加，上加下减”． 13. 如图，已知，和相交于点，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先证明，利用相似三角形的性质可，再证明可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知抛物线经过，则该抛物线与x轴的另一个交点是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将点代入抛物线即可求出解析式，进而可求该抛物线与x轴的另一个交点． 【详解】解：将点代入抛物线得： ，解得 ∴抛物线的解析式为： 令，则 解得： ∴该抛物线与x轴的另一个交点是 故答案为： 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，求出抛物线的解析式是解题关键． 15. 如图，在矩形中，，．连接，在和上分别截取，使，分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点H，则线段的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】过H作于Q，根据勾股定理求出设，列方程,求出的值即可求出解． 【详解】解：过H作于Q，如图， 在矩形中，，，, ∴， 由作图得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，设，有， 即：， 解得：， ∴, ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，矩形的性质，角平分线性质，勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 三、解答题（共8道题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式加减，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据乘方的意义、有理数的除法、二次根式的性质、绝对值的意义化简，再算加减； （2）先把括号内通分，并把除法转化为乘法，再约分化简即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，将转盘分为6等份，分别写上数字1~6，转动一次转盘，指针指向的数字即为该次的得分，甲、乙两人每人转动m次转盘． （1）若，甲转得了2次1分，若要甲的总分不低于26分，求其他次数转得分数的平均分至少是多少？ （2）若乙转得了3次6分，其他次数转得分数的平均分为2分，甲的平均得分为4分，甲、乙两人得分相等，求m的值． 【答案】（1）其他次数转得分数的平均分至少是4分 （2）m的值为6 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式和一元一次方程的实际应用，根据题意找到不等关系与相等关系列出不等式与方程是解题的关键． （1）设甲在其他次数转得分数的平均分为x，根据“甲的总分不低于26分”列出不等式，求解即可； （2）根据“甲、乙两人得分相等”列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设甲在其他次数转得分数的平均分为x， 根据题意得：， 解得， 答：其他次数转得分数的平均分至少是4分； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得， 即m的值为6． 18. 为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、象棋、足球和农艺五个社团活动，每个学生必选且只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表． 参加五个社团活动人数统计表 社团活动 舞蹈 篮球 象棋 足球 农艺 人数 40 80 请根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的学生共有______人，______； （2）从篮球社团的学生中抽取了部分学生，他们的身高(单位：)如下： 190，172，180，184，168，188，174，184，则他们身高的中位数是______； （3）若该校有2000人，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？ 【答案】（1）200；40 （2）182 （3）400 【解析】 【分析】本题考查统计表，扇形统计图，求中位数，用样本估计总体等知识，将舞蹈和足球看出整体，并用它们的总数和占比求抽取的学生总数是解题的关键． （1）根据统计表得出舞蹈和足球的总人数，根据扇形统计图得出舞蹈和足球的总占比，再作除法即可得出总人数，继而求出m； （2）将数据按大小关系重新排序，再求中间两数的平均数即可； （1）用全校人数乘以样本中参加舞蹈社团活动的学生占比即可得解． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为：， ∴参加足球社团活动的学生占比为：， ∴， 故答案为：200；40； 【小问2详解】 他们身高按从小到大排列得：168，172，174，180，184，184，188，190， 中间两数是：180，184， ∴他们身高的中位数是：， 故答案为：； 小问3详解】 (人)， 答：估计全校参加舞蹈社团活动的学生有400人． 19. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由． 【答案】（1） （2）该商品日销售额不能达到1000，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的解析式，二次函数解决实际问题等知识点，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式和利用二次函数的解析式分析最值． （1）利用待定系数法即可求出一次函数的函数解析式； （2）根据题目要求列出二次函数解析式，整理出二次函数顶点式解析式，分析二次函数的图象和顶点，得出最值可得结果． 【小问1详解】 解：设， 将，代入得， 解得： ； 【小问2详解】 解：不能．理由如下： 设日销售额为元． 则可得 ， 函数开口向下，有最高点，当时，取最大值为 所以，该商品日销售额不能达到1000． 20. 如图，一个盛了水的长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边点A处向水面上的点O入射，折射后照到水槽底部的点D，已知，测得，，水槽高，，若A，O，B三点在同一条直线上（直线为法线，为入射光线，为折射光线），请依据相关材料回答以下问题： （1）求的长. （2）求点B，D之间的距离（结果精确到）.（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）的长约为 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，等腰直角三角形的判定与性质，理解题意是关键； （1）证明，，利用，结合三角函数求解即可； （2）证明，可得，再进一步解答即可； 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴. 21. 如图，是的外接圆，，点D是上一点，，连接，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为2，且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长，根据圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理得到，根据是直径，证明，根据平行线的性质得到，由，得到，根据切线的判定定理证明； （2）求出，根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 又， ， 即是等边三角形， ， ， 的长． 【点睛】本题考查了圆的综合，圆心角定理，圆周角定理，切线的判定定理，全等三角形判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长的计算，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 22. 折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． （1）操作判断： 在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，过作交、、于点、、，连接并延长交于点，连接，如图，当为中点时，是______三角形． （2）迁移探究： 如图，若，且，求正方形的边长． （3）拓展应用： 如图，若，直接写出的值为______． 【答案】（1）等边； （2）正方形的边长为； （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠可证 ，从而可证，再证，即可求解． （2）可证（），可得，再证，可求，即可求解； （3）设，则有，设，则，由，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形为正方形， ，， 根据折叠的性质可得，，， ， ， ， ， ， 为的中点，， 为的中点，， ， ， 为等边三角形； 故答案为：等边； 【小问2详解】 解：四边形为正方形， ，， 根据折叠的性质可得，，， ，， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 在中，， ， ， ，即正方形的边长为； 【小问3详解】 解：设， 若， ， ，， 设，则， ， ， ， 整理得：， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形中的折叠综合问题，折叠的性质，正方形的性质，等边三角形的判定，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，勾股定理，面积转化法等，掌握相关的判定方法及性质，折叠问题的解法是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，若某函数的图象与矩形对角线的两个端点相交，则定义该函数为矩形的“友好函数” （1）如图，矩形，轴，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”，求一次函数的解析式； （2）已知第一象限内矩形的两条边的长分别为2和4，轴，经过点D和点B的反比例函数是矩形的“友好函数”，求矩形距原点最近的顶点坐标； （3）若是矩形的“友好函数”且经过A，C两点，点B的坐标为，点D的坐标为，轴． ①若的图象与矩形有且只有两个交点，求a的取值范围； ②点是图象上一点，且，当时，的最大值和最小值的差是3，求a的值． 【答案】（1） （2）或 （3）a的取值范围为或； 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式； （2）分为，或，设点D的坐标为，表示点B的坐标，代入反比例函数求出x的值，即可解题； （3）①先得到点A和C的坐标，代入二次函数解析式得到顶点坐标为，然后分为和两种情况列不等式组解题即可； ②根据函数的增减性求出最大值和最小值，根据题意列方程求出a的值即可． 【小问1详解】 解：一次函数经过点和点， ．解得：． ； 【小问2详解】 解：①如图，当，时， 设点D的坐标为，则点B的坐标为． ． 解得：，（不合题意，舍去）． 点D坐标为，点B的坐标为． 矩形的两条边的长分别为2和4， 点A的坐标为，点C的坐标为， 矩形距原点最近的顶点坐标A的坐标为； ②如图当，时， 设点D的坐标为，则点B的坐标为． ． 解得：，（不合题意，舍去）． 点D的坐标为，点B的坐标为． 矩形ABCD的两条边的长分别为2和4， 点A的坐标为，点C的坐标为， 矩形距原点最近的顶点坐标A的坐标为； 综上，矩形距原点最近的顶点坐标为或． 【小问3详解】 解：①，，且轴， ，， 将A和C代入得， ，解得， 顶点坐标为， 当时，如图， 此时，解得； 当时，如图， 此时，解得， 综上，a的取值范围为或． ②由①知， ， ， 当时，最小， 当时，最大， 的最大值和最小值的差是3， ， 解得． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数的性质，理解“友好函数”的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中阶段性教学成果评估 九年级数学学科试卷 （试卷满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下表是几种液体在标准大气压下沸点： 液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氦 沸点/ 则沸点最高的液体是（ ） A 液态氧 B. 液态氢 C. 液态氮 D. 液态氦 3. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，是对角线，当是等边三角形时，为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式运算正确是（ ） A. B. C. D. 6. 某班级计划举办手抄报展览，确定了“时代”“ ”“豆包”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图表示的方程组是，类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形的对角线相交于点， ，，若，则四边形的周长为（ ） A 4 B. 6 C. 8 D. 16 10. 如图，直线y＝﹣x＋4与x轴、y轴分别交于点A、B、C是线段AB上一点，四边形OADC是菱形，则OD的长为（　　） A. 4.2 B. 4.8 C. 5.4 D. 6 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解为________． 12. 点按照一个方向平移后，点M的对应点的坐标是，则点N的对应点是_______． 13. 如图，已知，和相交于点，，则______． 14. 已知抛物线经过，则该抛物线与x轴的另一个交点是__________． 15. 如图，在矩形中，，．连接，在和上分别截取，使，分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点H，则线段的长是________． 三、解答题（共8道题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，将转盘分为6等份，分别写上数字1~6，转动一次转盘，指针指向的数字即为该次的得分，甲、乙两人每人转动m次转盘． （1）若，甲转得了2次1分，若要甲的总分不低于26分，求其他次数转得分数的平均分至少是多少？ （2）若乙转得了3次6分，其他次数转得分数的平均分为2分，甲的平均得分为4分，甲、乙两人得分相等，求m的值． 18. 为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、象棋、足球和农艺五个社团活动，每个学生必选且只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整统计图表． 参加五个社团活动人数统计表 社团活动 舞蹈 篮球 象棋 足球 农艺 人数 40 80 请根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的学生共有______人，______； （2）从篮球社团的学生中抽取了部分学生，他们的身高(单位：)如下： 190，172，180，184，168，188，174，184，则他们身高的中位数是______； （3）若该校有2000人，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？ 19. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由． 20. 如图，一个盛了水的长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边点A处向水面上的点O入射，折射后照到水槽底部的点D，已知，测得，，水槽高，，若A，O，B三点在同一条直线上（直线为法线，为入射光线，为折射光线），请依据相关材料回答以下问题： （1）求的长. （2）求点B，D之间的距离（结果精确到）.（参考数据：，，） 21. 如图，是的外接圆，，点D是上一点，，连接，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为2，且，求的长． 22. 折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． （1）操作判断： 在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，过作交、、于点、、，连接并延长交于点，连接，如图，当为中点时，是______三角形． （2）迁移探究： 如图，若，且，求正方形的边长． （3）拓展应用： 如图，若，直接写出的值为______． 23. 在平面直角坐标系中，若某函数的图象与矩形对角线的两个端点相交，则定义该函数为矩形的“友好函数” （1）如图，矩形，轴，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”，求一次函数的解析式； （2）已知第一象限内矩形的两条边的长分别为2和4，轴，经过点D和点B的反比例函数是矩形的“友好函数”，求矩形距原点最近的顶点坐标； （3）若是矩形的“友好函数”且经过A，C两点，点B的坐标为，点D的坐标为，轴． ①若的图象与矩形有且只有两个交点，求a的取值范围； ②点是图象上一点，且，当时，的最大值和最小值的差是3，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $