4.3用乘法公式分解因式 自主学习同步练习题 2025-2026学年浙教版七年级数学下册

2025-2026学年浙教版七年级数学下册《4.3用乘法公式分解因式》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．多项式与的公因式是（  ） A． B． C． D． 3．若，则m的值是（   ） A． B．2 C． D．4 4．将因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（　　） A． B． C．1 D．2 6．已知为正整数，计算发现代数式能被某些正整数整除，这些正整数中最大的是（   ） A．6 B．12 C．24 D．36 7．亮亮是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条明码信息：，，3，，，，分别依次对应七个字：天，国，中，之，空，眼，桥．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．天空之桥 B．中国天眼 C．中国天空 D．天眼之桥 二、填空题 8．_________=(_________)2 9．分解因式：____________． 10．已知，则代数式的值为_____． 11．分解因式：______． 12．已知，则______． 13．已知，，，则______________． 14．如图，在综合实践课上，嘉淇用9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片，拼成了一个大正方形，则拼成的大正方形的边长是___________（用含的式子表示）． 三、解答题 15．因式分解： (1)； (2)； (3)． 16．简便运算： (1) (2) 17．【阅读理解】由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法“进行因式分解的公式：，示例：分解因式：． 【问题解决】分解因式： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 18．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解如下： 甲： （分成两组） （直接提公因式） 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解： (2)若，求式子的值． 19．下面是喜羊羊同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请写出因式分解的最后结果； (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 20．综合与实践 问题情境：数形结合思想是通过数与形的相互转化解决数学问题的思想方法，能将抽象问题直观化、复杂问题简化．我们可以利用几何图形验证乘法公式．某数学兴趣小组用图形进行验证等式成立． 实践操作：如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个长方形（如图②）． 问题解决： （1）上述操作能验证的等式是________；（填字母） A．B．C． 等式应用： （2）①若，，则的值为________； ②计算：． 参考答案 1．C 【分析】本题考查平方差公式因式分解的概念，掌握平方差公式的适用条件是解题关键． 根据平方差公式的结构特征，逐一判断多项式是否符合“二项式、两项符号相反、且两项均能表示为某个整式的平方”的条件． 【详解】解：可用平方差公式因式分解的结构是：二项式，两项符号相反，且两项均为平方形式， 选项：，两项符号相同，不符合； 选项：，非平方项，不符合； 选项：，符合平方差公式，可分解为； 选项：，两项符号相同，不符合． 故选：． 2．B 【分析】本题考查因式分解和公因式的概念，平方差和完全平方公式．先对每个多项式进行因式分解，即可找出公有的因式． 【详解】解：∵，， ∴ 公因式为． 故选：B 3．A 【分析】本题考查因式分解，把因式分解，然后根据对应系数相等解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，完全平方公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 展开原式并合并常数项，化为完全平方形式，再分解因式． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 5．C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，设，根据题意可得，则，根据非负数的性质求出t的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．C 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式化简代数式是解题关键． 利用平方差公式化简代数式，观察化简后的式子，判断其中恒定存在的正整数因数，即可判断出结果． 【详解】， 又∵n为正整数， ∴和为连续整数，其中必有一个数为偶数，即必为偶数，恒有因数2， ∴恒能被整除， 当时，原式，不能被36整除，故这些正整数中最大的是24， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握提公因式和公式法因式分解是解题的关键；先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，最后根据密码手册对应汉字即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 密码信息为“中国天眼”， 故选：． 8． 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 通过完全平方公式，比较系数求解空白处的值． 【详解】解：设空白处为常数 和数值 ，则有 ， ∴ ， 解得 ， 则 ． 故答案为： ； 9． 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式进行因式分解即可．观察多项式为平方差形式，应用平方差公式分解，分解后观察因式中还存在可因式分解的式子，故再次利用平方差公式进行分解，得出最后的表达式． 【详解】解：， 故答案为：． 10．13 【分析】本题考查了平方差公式的应用、代数式的化简与代入求值，掌握通过因式分解将代数式转化为含已知条件的形式，再代入求值是解题的关键． 由已知条件 ，将代数式 通过因式分解和代入求值． 【详解】解： ∵ ， 原式， ． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了因式分解的分组分解法与公式法，解题的关键是先将前三项分组为完全平方式，再与后一项结合用平方差公式分解． 先对多项式进行分组，将组合成完全平方式；再将得到的式子与结合，利用平方差公式继续分解． 【详解】解： 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值． 将原式因式分解得到，再代入已知条件计算即可． 【详解】解： ∴ ． 故答案为：． 13．7 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用和代入求值，熟记公式形式是解题的关键； 利用恒等式将原式转化为平方差形式，计算、、之间的差值并平方求和，最后乘以得到结果． 【详解】解：由恒等式，得， 已知，，， 设，则，，， 计算差值，得，，， 平方，得，，， 代入，得， ∴， 故答案为：7． 14． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，拼成的大正方形面积等于9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片的面积之和，因此求出9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片的面积之和，再利用完全平方公式把面积的表达式分解因式即可得到答案． 【详解】解：， ∴拼成的大正方形的边长为， 故答案为：． 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解； （2）将原式变形为平方差形式，用平方差公式分解后，再用完全平方公式因式分解； （3）先变形提取公因式，再用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 16．(1)4000 (2)4 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式对算式进行变形简化． （1）先根据平方差公式因式分解，然后再计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 17． 【分析】本题考查了十字相乘法，解题的关键是把常数项拆成两个数的积，而两个数的和正好等于一次项的系数． （1）根据，分解因式即可； （2）根据，分解因式即可； （3）根据，分解因式即可； （4）根据，分解因式即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ； 故答案为：； （3） ； 故答案为：； （4） ； 故答案为：． 18．(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解-分组分解法，此方法因式分解方法灵活，注意认真观察各项之间的联系． （1）原式前两项与第四项结合，利用完全平方公式变形，再利用平方差公式分解即可； （2）原式两项两项结合后，提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ； ， ， ， ∴原式． 19．(1)不彻底， (2) 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式，灵活运用完全平方公式分解因式是解题的关键． （1）中的还可以运用完全平方公式分解因式，即可得到答案； （2）设，原式可化为，根据完全平方公式可得，所以可化为，进一步运用完全平方公式即得到答案． 【详解】（1）解：不彻底，设， 原式 ； （2）设， 原式 ． 20．（1）A；（2）；（3） 【分析】本题考查了平方差公式的应用． （1）通过比较裁剪和拼接前后图形的面积，验证平方差公式； （2）利用平方差公式，代入已知值即可求； （3）将每个括号内的式子用平方差公式分解，再通过交叉约分简化计算． 【详解】解：（1）图①面积： 图②面积： 因为剪拼前后面积相等， 所以验证的等式是： 故选：A． 解：（2），， ， ． 解：（3）原式 学科网（北京）股份有限公司 $