4.3 用乘法公式分解因式（9大题型提分练）（题型专练）数学新教材浙教版七年级下册

4.3 用乘法公式分解因式 题型一 完全平方式的辨析、求参及证明 1．下列多项式中是完全平方式有（　　） ①9a2﹣12a+4；②16x2﹣8y2+1；③x2y2+2xy+y2；④9m2+16n2﹣20mn． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知x2+（m+2）x+25是完全平方式，则实数m的值为（　　） A．3 B．3或﹣7 C．8 D．8或﹣12 3．若4x2+mx+9是完全平方式，则m的值为（　　） A．6 B．12 C．﹣12 D．12或﹣12 4．如图，在正方形ABCD中放入两张边长分别为a和b的正方形纸片，已知HK＝c，正方形ABCD的面积记为S，阴影部分面积分别记为S1，S2． （1）用含a，b，c的代数式分别表示KI，GD； （2）若c＝2，且S1＝S2，求2a+2b﹣ab的值； （3）若a＝b，试说明S﹣3（S1﹣S2） 是完全平方式． 题型二 用乘方公式分解因式有关的辨析 1．对下列多项式分解因式正确的是（　　） A．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） B．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1 C．x2y2﹣1＝（xy+1）（xy﹣1） D．a2+b2＝（a+b）2 2．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2y+1 D．﹣x2﹣4y2 3．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（　　） A．4x2﹣1 B．4x2+4x﹣1 C．x2﹣x D．x2﹣xy+y2 4．下列各式：①﹣x2﹣y2；②；③a2+ab+b2；④x2+2xy+y2；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型三 用乘方公式分解因式——单次使用公式 1．因式分解：9x2﹣4＝　　． 2．分解因式：﹣x2+4x﹣4＝　　． 3．因式分解： （1）； （2）． 4．因式分解： （1）a2﹣81； （2）a2+2a（b+c）+（b+c）2． 5．因式分解： （1）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2； （2）4（a+b）2﹣12（ab+b2）+9b2． 6．因式分解：（1）25（x﹣2y）2﹣4（2y﹣x）2； （2）9（2x﹣1）2﹣6（2x﹣1）+1． 题型四 用乘方公式分解因式——多次使用公式 1．因式分解：（x2+y2）2﹣4x2y2；． 2．因式分解：4a2b2﹣（a2+b2﹣c2）2． 3．因式分解：（m2﹣4m）2+8（m2﹣4m）+16． 4．因式分解： （1）（m2﹣6）2﹣6（m2﹣6）+9； （2）． 5．因式分解：9x2﹣y2+2y﹣1． 题型五 提公因式法与公式法综合分解因式 1．因式分解：ab3+4ab﹣4ab2＝　　． 2．因式分解：8x2﹣2（x﹣y）2． 3．因式分解： （1）﹣8x3+8x2y﹣2xy2； （2）4m2（a﹣b）+16n2（b﹣a）． 4．因式分解：a5a3b2ab4． 5．因式分解： （2）﹣2a4+4a2﹣2； （3）25（a+3b）2（x+y）+9（3a﹣b）2（﹣x﹣y）． 题型六 利用因式分解求值 1．已知xy＝﹣1，x+y＝2，则（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 2．若x+y+z＝2，x2﹣（y+z）2＝8时，x﹣y﹣z＝　　． 题型七 利用因式分解辨析整除或比较大小 1．对于任何整数a（a≠0），多项式（3a+5）2﹣4都能（　　） A．被9整除 B．被a整除 C．被a+1整除 D．被a﹣1整除 2．下列各数中，不能整除803﹣80的是（　　） A．78 B．79 C．80 D．81 3．已知a≠c，若M＝a2﹣ac，N＝ac﹣c2，则M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不能确定 题型八 利用因式分解简便运算 1．利用分解因式简便运算：99.72﹣0.32． 2．利用分解因式简便运算：20242﹣2022×2026． 3．利用分解因式简便运算：3.282﹣1.28×6.56+1.282． 题型九 实数范围内分解因式 1．在实数范围内因式分解：x2﹣5＝　　． 2．在实数范围内分解因式：2a2﹣4＝　　． 1．若20222022﹣20222020＝2021×2022n×2023，求n的值． 2．【观察】（2+3）2﹣22＝（2+3+2）（2+3﹣2）＝7×3，（4+3）2﹣42＝（4+3+4）（4+3﹣4）＝11×3，（6+3）2﹣62＝（6+3+6）（6+3﹣6）＝15×3，…… 【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除． 【验证】 （1）若这个偶数是10，通过计算说明13和10的平方差能否被3整除； （2）若设这个偶数为2n，试说明比2n大3的数与2n的平方差能否被3整除； 【延伸】 （3）试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除． 3．先阅读材料，再回答问题： 分解因式：（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1， 解：设a﹣b＝M，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2， 再将a﹣b＝M还原，得到：原式＝（a﹣b﹣1）2． 上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题： （1）分解因式：（x+y）（x+y﹣4）+4； （2）若a为正整数，则（a﹣1）（a﹣2）（a﹣3）（a﹣4）+1为整数的平方，试说明理由． 4．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的　　； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　　； （3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解． 5．小林和小王碰到了一个难题：将a4+4因式分解． 小林：这题既不能提取公因式，也不能用乘法公式，不能进行因式分解的吧． 小王：我们可以尝试先将它配上中间项，如a4+4b4＝a4+4b4+4a2b2﹣4a2b2，使其前面三项变成一个完全平方式，得到（a2+2b2）2﹣4a2b2，再尝试用平方差公式因式分解． （1）根据小王说的方法将a4+4因式分解． （2）依照上述方法将m4﹣m2n2+16n4因式分解． 6．材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1） 材料2：分解因式（a+b）2+2（a+b）+1． 解：设a+b＝x，则原式＝x2+2x+1＝（x+1）2＝（a+b+1）2． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： （1）根据材料1将x2+4x+3因式分解； （2）根据材料2将（x﹣y）2﹣10（x﹣y）+25因式分解； （3）结合材料1和材料2，将（m2﹣2m）（m2﹣2m﹣3）﹣4因式分解． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3 用乘法公式分解因式 题型一 完全平方式的辨析、求参及证明 1．下列多项式中是完全平方式有（　　） ①9a2﹣12a+4；②16x2﹣8y2+1；③x2y2+2xy+y2；④9m2+16n2﹣20mn． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：9a2﹣12a+4＝（3a﹣2）2是完全平方式，故①符合题意； 16x2﹣8y2+1不是完全平方式，故②不合题意； x2y2+2xy+y2不是完全平方式，故③不合题意； 9m2+16n2﹣20mn＝（3m﹣4n）2+4mn不是完全平方式，故④不合题意； 综上，是完全平方式的只有①． 故本题选：A． 2．已知x2+（m+2）x+25是完全平方式，则实数m的值为（　　） A．3 B．3或﹣7 C．8 D．8或﹣12 【详解】解：∵关于x的二次三项式x2+（m+2）x+25是一个完全平方式， ∴m+2＝2×1×5或m+2＝﹣2×1×5， ∴m＝8或﹣12． 故本题选：D． 3．若4x2+mx+9是完全平方式，则m的值为（　　） A．6 B．12 C．﹣12 D．12或﹣12 【详解】解：∵4x2+mx+9＝（2x）2±2x×3+32， ∴mx＝±2×2x×3，解得：m＝±12． 故本题选：D． 4．如图，在正方形ABCD中放入两张边长分别为a和b的正方形纸片，已知HK＝c，正方形ABCD的面积记为S，阴影部分面积分别记为S1，S2． （1）用含a，b，c的代数式分别表示KI，GD； （2）若c＝2，且S1＝S2，求2a+2b﹣ab的值； （3）若a＝b，试说明S﹣3（S1﹣S2） 是完全平方式． 【详解】解：（1）KI＝HI﹣HK＝b﹣c，GD＝AD﹣AG＝a+b﹣c﹣a＝b﹣c； （2）S1＝GD×GL＝（a﹣c）（b﹣c）＝ab﹣ac﹣bc+c2，S2＝c2， ∵S1＝S2， ∵ab﹣bc﹣ac＝0， ∴ab＝c（a+b）， ∴2a+2b﹣ab＝2（a+b）﹣c（a+b）＝2（a+b）﹣2（a+b）＝0； （3）当a＝b时，S1﹣S2＝ab﹣ac﹣bc＝a2﹣2ac，S＝AD2＝（a+b﹣c）2＝（2a﹣c）2， ∴S﹣3（S1﹣S2）＝（2a﹣c）2﹣3a2+6ac ＝4a2﹣4ac+c2﹣3a2+6ac ＝（a+c）2， ∴S﹣3（S1﹣S2）是完全平方式． 题型二 用乘方公式分解因式有关的辨析 1．对下列多项式分解因式正确的是（　　） A．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） B．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1 C．x2y2﹣1＝（xy+1）（xy﹣1） D．a2+b2＝（a+b）2 【详解】解：A、应为x2﹣4y2＝x2﹣（2y）2＝（x+2y）（x﹣2y），故本选项错误； B、应为4a2﹣4a+1＝（2a）2﹣4a+1＝（2a﹣1）2，故本选项错误； C、x2y2﹣1＝（xy）2﹣1＝（xy+1）（xy﹣1），正确； D、∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2≠（a+b）2，故本选项错误． 故本题选：C． 2．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2y+1 D．﹣x2﹣4y2 【详解】解：A．x2+4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式； B．﹣x2+4y2是2y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式； C．x2﹣2y+1是三项不能用平方差公式分解因式； D．﹣x2﹣4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式． 故本题选：B． 3．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（　　） A．4x2﹣1 B．4x2+4x﹣1 C．x2﹣x D．x2﹣xy+y2 【详解】解：A．4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），故不合题意； B．4x2+4x﹣1无法运用完全平方公式分解因式，故不合题意； C．x2﹣x（x）2，故符合题意； D．x2﹣xy+y2无法运用完全平方公式分解因式，故不合题意． 故本题选：C． 4．下列各式：①﹣x2﹣y2；②；③a2+ab+b2；④x2+2xy+y2；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【详解】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故本题答案为：B． 题型三 用乘方公式分解因式——单次使用公式 1．因式分解：9x2﹣4＝　　． 【详解】解：9x2﹣4＝（3x﹣2）（3x+2）． 故本题答案为：（3x﹣2）（3x+2）． 2．分解因式：﹣x2+4x﹣4＝　　． 【详解】解：﹣x2+4x﹣4 ＝﹣（x2﹣4x+4） ＝﹣（x﹣2）2． 故本题答案为：﹣（x﹣2）2． 3．因式分解： （1）； （2）． 【详解】解： ＝（x）2+2x×y+y2 ＝（x+y）2； （2） ． 4．因式分解： （1）a2﹣81； （2）a2+2a（b+c）+（b+c）2． 【详解】解：（1）a2﹣81＝（a+9）（a﹣9）； （2）a2+2a（b+c）+（b+c）2＝（a+b+c）2． 5．因式分解： （1）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2； （2）4（a+b）2﹣12（ab+b2）+9b2． 【详解】解：（1）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2 ＝[4（a﹣b）﹣3（a+b）][4（a﹣b）+3（a+b）] ＝（a﹣7b）（7a﹣b）； （2）4（a+b）2﹣12（ab+b2）+9b2 ＝4（a+b）2﹣12b（a+b）+9b2 ＝[2（a+b）﹣3b]2 ＝（2a﹣b）2． 6．因式分解：（1）25（x﹣2y）2﹣4（2y﹣x）2； （2）9（2x﹣1）2﹣6（2x﹣1）+1． 【详解】解：（1）25（x﹣2y）2﹣4（2y﹣x）2； ＝[5（x﹣2y）+2（2y﹣x）][5（x﹣2y）﹣2（2y﹣x）] ＝（3x﹣6y）（7x﹣14y） ＝3（x﹣2y）×7（x﹣2y） ＝21（x﹣2y）2； （2）9（2x﹣1）2﹣6（2x﹣1）+1 ＝[3（2x﹣1）﹣1]2 ＝（6x﹣4）2 ＝4（3x﹣2）2． 题型四 用乘方公式分解因式——多次使用公式 1．因式分解：（x2+y2）2﹣4x2y2；． 【详解】解：（1）（x2+y2）2﹣4x2y2； ＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy） ＝（x+y）2（x﹣y）2． 2．因式分解：4a2b2﹣（a2+b2﹣c2）2． 【详解】解：4a2b2﹣（a2+b2﹣c2）2 ＝[2ab﹣（a2+b2﹣c2）][2ab+（a2+b2﹣c2）] ＝[﹣（a2+b2﹣2ab）+c2][（a+b）2﹣c2] ＝[c2﹣（a﹣b）2][（a+b）2﹣c2] ＝（c﹣a+b）（c+a﹣b）（a+b﹣c）（a+b+c）． 3．因式分解：（m2﹣4m）2+8（m2﹣4m）+16． 【详解】解：（m2﹣4m）2+8（m2﹣4m）+16 ＝（m2﹣4m+4）2 ＝[（m﹣2）2]2 ＝（m﹣2）4． 4．因式分解： （1）（m2﹣6）2﹣6（m2﹣6）+9； （2）． 【详解】解：（1）（m2﹣6）2﹣6（m2﹣6）+9 ＝（m2﹣6﹣3）2 ＝（m2﹣9）2 ＝[（m+3）（m﹣3）]2 ＝（m+3）2（m﹣3）2； （2） ＝2x2﹣1﹣x4 ＝﹣（x4﹣2x2+1） ＝﹣（x2﹣1）2 ＝﹣（x+1）2（x﹣1）2． 5．因式分解：9x2﹣y2+2y﹣1． 【详解】解：9x2﹣y2+2y﹣1 ＝9x2﹣（y2﹣2y+1） ＝（3x）2﹣（y﹣1）2 ＝（3x+y﹣1）（3x﹣y+1）． 题型五 提公因式法与公式法综合分解因式 1．因式分解：ab3+4ab﹣4ab2＝　　． 【详解】解：ab3+4ab﹣4ab2 ＝ab（b2+4﹣4b） ＝ab（b﹣2）2． 故本题答案为：ab（b﹣2）2． 2．因式分解：8x2﹣2（x﹣y）2． 【详解】解：8x2﹣2（x﹣y）2 ＝2[4x2﹣（x﹣y）2] ＝2（3x﹣y）（x+y）． 3．因式分解： （1）﹣8x3+8x2y﹣2xy2； （2）4m2（a﹣b）+16n2（b﹣a）． 【详解】解：（1）﹣8x3+8x2y﹣2xy2 ＝﹣2x（4x4﹣4xy+y2） ＝﹣2x（2x﹣y）2； （2）4m2（a﹣b）+16n2（b﹣a） ＝4m2（a﹣b）﹣16n2（a﹣b） ＝4（a﹣b）（m2﹣4n2） ＝4（a﹣b）（m+2n）（m﹣2n）． 4．因式分解：a5a3b2ab4． 【详解】解：a5a3b2ab4 ． 5．因式分解： （2）﹣2a4+4a2﹣2； （3）25（a+3b）2（x+y）+9（3a﹣b）2（﹣x﹣y）． 【详解】解：（1）15a2b4+5a2b2 ＝5a2b2（3b2+1）； （2）﹣2a4+4a2﹣2 ＝﹣2（a4﹣2a2+1） ＝﹣2（a2﹣1）2 ＝﹣2（a+1）2（a﹣1）2； （3）25（a+3b）2（x+y）+9（3a﹣b）2（﹣x﹣y） ＝25（a+3b）2（x+y）﹣9（3a﹣b）2（x+y） ＝（x+y）[25（a+3b）2﹣9（3a﹣b）2] ＝（x+y）[5（a+3b）+3（3a﹣b）][5（a+3b）﹣3（3a﹣b）] ＝（x+y）（14a+12b）（18b﹣4a） ＝4（x+y）（7a+6b）（9b﹣2a）． 题型六 利用因式分解求值 1．已知xy＝﹣1，x+y＝2，则（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【详解】解：∵xy＝﹣1，x+y＝2， ∴ xy（x2+2xy+y2） xy（x+y）2 ＝﹣2． 故本题选：A． 2．若x+y+z＝2，x2﹣（y+z）2＝8时，x﹣y﹣z＝　　． 【详解】解：∵x2﹣（y+z）2＝8， ∴（x﹣y﹣z）（x+y+z）＝8， ∵x+y+z＝2， ∴x﹣y﹣z＝8÷2＝4， 故本题答案为：4． 题型七 利用因式分解辨析整除或比较大小 1．对于任何整数a（a≠0），多项式（3a+5）2﹣4都能（　　） A．被9整除 B．被a整除 C．被a+1整除 D．被a﹣1整除 【详解】解：∵（3a+5）2﹣4＝（3a+5+2）（3a+5﹣2）＝3（3a+7）（a+1）， ∴对于任何整数a，多项式（3a+5）2﹣4都能被a+1整除． 故本题选：C． 2．下列各数中，不能整除803﹣80的是（　　） A．78 B．79 C．80 D．81 【详解】解：∵803﹣80 ＝80×（802﹣1） ＝80×（80+1）×（80﹣1） ＝80×81×79， ∴不能整除803﹣80的是78． 故本题选：A． 3．已知a≠c，若M＝a2﹣ac，N＝ac﹣c2，则M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不能确定 【详解】解：∵a≠c， ∴a﹣c≠0， ∴M﹣N＝a2﹣2ac+c2＝（a﹣c）2＞0， ∴M＞N． 故本题选：A． 题型八 利用因式分解简便运算 1．利用分解因式简便运算：99.72﹣0.32． 【详解】解：99.72﹣0.32． ＝（99.7+0.3）（99.7﹣0.3） ＝100×99.4 ＝9940． 2．利用分解因式简便运算：20242﹣2022×2026． 【详解】解：20242﹣2022×2026 ＝20242﹣（2024﹣2）×（2024+2） ＝20242﹣（20242﹣22） ＝20242﹣20242+4 ＝4． 3．利用分解因式简便运算：3.282﹣1.28×6.56+1.282． 【详解】解：3.282﹣1.28×6.56+1.282 ＝（3.28﹣1.28）2 ＝4． 题型九 实数范围内分解因式 1．在实数范围内因式分解：x2﹣5＝　　． 【详解】解：x2﹣5＝x2﹣（）2＝（x）（x）． 故本题答案为：（x）（x）． 2．在实数范围内分解因式：2a2﹣4＝　　． 【详解】解：2a2﹣4＝2（a2﹣2）＝2（a）（a）． 故本题答案为：2（a）（a）． 1．若20222022﹣20222020＝2021×2022n×2023，求n的值． 【详解】解：（1）20222022﹣20222020 ＝20222020×20222﹣20222020 ＝20222020×（20222﹣1）， 2021×2022n×2023 ＝（2022﹣1）×2022n×（2022+1） ＝（20222﹣1）×2022n， ∵20222022﹣20222020＝2021×2022n×2023， ∴（20222﹣1）×2022n＝20222020×（20222﹣1）， ∴n＝2020． 2．【观察】（2+3）2﹣22＝（2+3+2）（2+3﹣2）＝7×3，（4+3）2﹣42＝（4+3+4）（4+3﹣4）＝11×3，（6+3）2﹣62＝（6+3+6）（6+3﹣6）＝15×3，…… 【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除． 【验证】 （1）若这个偶数是10，通过计算说明13和10的平方差能否被3整除； （2）若设这个偶数为2n，试说明比2n大3的数与2n的平方差能否被3整除； 【延伸】 （3）试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除． 【详解】解：（1）132﹣102＝（13+10）（13﹣10）＝69， 69÷3＝23， ∴能被3整除； （2）（2n+3）2﹣（2n）2＝（2n+3+2n）（2n+3﹣2n）＝3（4n+3）， ∴能被3整除； （3）设这个数为n，比n大9的数为n+9． （n+9）2﹣n2＝（n+9+n）（n+9﹣n）＝9（2n+9）， ∴能被9整除． 3．先阅读材料，再回答问题： 分解因式：（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1， 解：设a﹣b＝M，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2， 再将a﹣b＝M还原，得到：原式＝（a﹣b﹣1）2． 上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题： （1）分解因式：（x+y）（x+y﹣4）+4； （2）若a为正整数，则（a﹣1）（a﹣2）（a﹣3）（a﹣4）+1为整数的平方，试说明理由． 【详解】解：（1）设M＝x+y， 则原式＝M（M﹣4）+4＝M2﹣4M+4＝（M﹣2）2， 将M＝x+y代入还原可得原式＝（x+y﹣2）2； （2）原式＝（a﹣1）（a﹣4）（a﹣2）（a﹣3）+1 ＝（a2﹣5a+4）（a2﹣5a+6）+1 令N＝a2﹣5a+4， ∵a为正整数， ∴N＝（a﹣1）（a﹣4）＝a2﹣5a+4也是整数， 则原式＝N（N+2）+1 ＝N2+2N+1 ＝（N+1）2， ∵N为整数， ∴原式＝（N+1）2即为整数的平方． 4．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的　　； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　　； （3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解． 【详解】解：（1）第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法， 故本题选：C； （2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9， 设x2﹣4x＝y， 原式＝（y+1）（y+7）+9， ＝y2+8y+16， ＝（y+4）2， ＝（x2﹣4x+4）2， ＝（x﹣2）4， 故本题答案为：（x﹣2）4； （3）设x2+2x＝y， 原式＝y（y+2）+1， ＝y2+2y+1， ＝（y+1）2， ＝（x2+2x+1）2， ＝（x+1）4． 5．小林和小王碰到了一个难题：将a4+4因式分解． 小林：这题既不能提取公因式，也不能用乘法公式，不能进行因式分解的吧． 小王：我们可以尝试先将它配上中间项，如a4+4b4＝a4+4b4+4a2b2﹣4a2b2，使其前面三项变成一个完全平方式，得到（a2+2b2）2﹣4a2b2，再尝试用平方差公式因式分解． （1）根据小王说的方法将a4+4因式分解． （2）依照上述方法将m4﹣m2n2+16n4因式分解． 【详解】解：（1）a4+4 ＝a4+4a2+4﹣4a2 ＝（a2+2）2﹣4a2 ＝（a2+2+2a）（a2+2﹣2a）； （2）m4﹣m2n2+16n4 ＝m4+8m2n2+16n4﹣9m2n2 ＝（m2+4n2）2﹣9m2n2 ＝（m2+4n2+3mn）（m2+4n2﹣3mn）． 6．材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1） 材料2：分解因式（a+b）2+2（a+b）+1． 解：设a+b＝x，则原式＝x2+2x+1＝（x+1）2＝（a+b+1）2． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： （1）根据材料1将x2+4x+3因式分解； （2）根据材料2将（x﹣y）2﹣10（x﹣y）+25因式分解； （3）结合材料1和材料2，将（m2﹣2m）（m2﹣2m﹣3）﹣4因式分解． 【详解】解：（1）x2+4x+3 ＝x2+4x+4﹣1 ＝（x+2）2﹣1 ＝（x+2+1）（x+2﹣1） ＝（x+3）（x+1）； （2）设x+y＝a， 则原式＝a2﹣10a+25 ＝（a﹣5）2 ＝（x+y﹣5）2； （3）m2﹣2m＝a， 则（m2﹣2m）（m2﹣2m﹣3）﹣4 ＝a（a﹣3）﹣4 ＝a2﹣3a﹣4 ＝（a+1）（a﹣4） ＝（m2﹣2m+1）（m2﹣2m﹣4） ＝（m﹣1）2（m2﹣2m﹣4）． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$