2.6 “用单摆测重力加速度”实验的数据处理 导学案-2025-2026学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

该高中物理导学案聚焦“用单摆测重力加速度”实验的数据处理，核心知识点包括摆长确定、周期测量及两种数据处理方法。课堂导入通过回顾单摆周期公式，结合知识梳理中摆长（摆线长加球半径）、公式法（多次测量求平均周期）和图像法（L-T²图像斜率计算），构建前后知识联系，形成学习支架。 该资料特色在于练习题设计丰富，涵盖传统实验、改进方案（如双线摆、手机测量）及图像分析，通过误差讨论、操作细节（摆线选择、计时起点）等环节，培养学生科学思维（模型建构、科学推理）和科学探究能力，提升实验数据处理与问题解决素养。

2.6“用单摆测重力加速度”实验的数据处理 【素养目标】 1.会用单摆周期公式计算重力加速度； 2.能结合图像研究周期与摆长之间的关系并求解重力加速度. 【知识梳理】 1.摆长的确定：摆长等于摆线长度加上小球的半径，即L=l+r. 2.处理数据的两种方法 (1)公式法：测出 30次或50 次全振动的时间t，利用 求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式 求重力加速度. (2)图像法：由单摆周期公式不难推出 因此，分别测出一系列摆长L 对应的周期T，作出 L-T² 的图像，图像应是一条通过原点的直线，如图1所示，求出图线的斜 即可利用 求重力加速度. 1．如图甲所示，某学习小组在实验室做“探究周期与摆长的关系”的实验． （1）若用秒表测出单摆完成n次全振动所用的时间t．请写出周期的表达式T＝_____ （2）若利用拉力传感器记录拉力随时间变化的关系，由图乙可知，该单摆的周期T＝_____s （3）在多次改变摆线长度测量后，根据实验数据，利用计算机作出周期与摆线长度的关系（T2﹣L）图线，并根据图线拟合得到方程T2＝kL+b，由此可以知当地的重力加速度g＝_____，摆球半径r＝_____（用k、b、π表示） 2．某同学在家利用手机测定当地重力加速度，实验情境如图甲所示，用软布包住手机中部，两侧用铁夹固定；将铁架台放置在水平桌面上，用两条细线穿过铁夹尾部，上方系于铁架台横梁，组成一个“双线摆”；调整好平衡，使手机能够平稳地进行小幅度的摆动.点击软件“力学”下的“摆”项目，点击“开始”，让摆进行小幅度（摆角小于5°）的摆动。 （1）现有以下材质的细线，实验中应选用________。 A．棉线    B．丝线    C．铁丝 （2）用最小分度为1mm的刻度尺，测量摆线的长度，将刻度尺“0”刻度线对齐细线上端，测量摆线的长度如图乙所示，则长度________cm。 （3）实验获得的振动图线如图丙所示，则当地重力加速度________（结果保留两位有效数字）。 3．在利用单摆测量重力加速度的大小的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g＝，只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2-l图像，就可以求出当地的重力加速度，理论上T2-l图像是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图像如图甲所示： （1）由图像求出的重力加速度g＝________m/s2（取π2＝9.87）。 （2）由于图像没有通过坐标原点，求出的重力加速度g值与当地真实值相比________（选填“偏大”“偏小”或“不变”）；若利用g＝，采用公式法计算，则求出重力加速度g值与当地真实值相比________（选填“偏大”“偏小”或“不变”）。 4．某兴趣小组在利用单摆测量当地重力加速度的过程中发现：用单根线的摆进行实验时，容易出现圆锥摆的情况，进而导致测量结果出现较大误差。于是该组同学改进了实验方案，利用图甲所示的双线摆进行实验。 （1）装置组装：将两段长度相等且不可伸长的细绳一端分别固定在两个竖直墙壁上，固定点记为A、B（A、B点在同一水平面上），另一端与一小钢球相连，连接点记为C。 （2）摆长测量：用刻度尺测出一根细绳的长度为l， A、B两点的间距为a，用游标卡尺测出小球的直径为d，则摆长_________。 （3）周期测量：将摆垂直纸面方向拉开一个小角度（小于5°），静止释放，待摆动稳定后，利用秒表测量摆的周期，请简述利用秒表测量单摆周期的过程_________。 （4）重力加速度计算：多次改变细绳的长度，重复实验，根据实验数据绘制得到如图乙所示的图像，可知当地重力加速度_________（用图乙中字母表示）。 5．某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素。 (1)如图组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图甲所示。这样做的目的是 （填选项前字母）。 A．保证摆动过程中摆长不变 B．需要改变摆长时便于调节 C．保证摆球在同一竖直平面内摆动 D．可使周期测量得更加准确 (2)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L=1.0000m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图所示，则该摆球的直径为_______mm，单摆摆长为________________m（该空结果保留五位有效数字）。 (3)下列振动图像真实地描述了该单摆进行周期测量的四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始， A、B、C均为30次全振动的图像，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是 （填字母代号）。（已知，） A． B． C． D． 6．单摆实验装置如图1所示。 (1)根据图2所示，已知悬点对齐零刻度，测得的摆长=__________cm； (2)小张为减小实验误差，多次改变摆长，测量对应的单摆周期，用多组实验数据绘制得到如图3的图像，由图可知当地重力加速度=__________（用图中字母表示）。 (3)小刘同学将一个摆长未知的单摆挂在测力传感器的探头上，用测力探头和计算机组成的实验装置来测定单摆动过程中摆线受到的拉力（摆角小于5°），计算机屏幕上得到如图所示的F-t图像，由图像可确定此单摆的周期为______s。 7．某同学利用单摆测量重力加速度． （１） 为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是________ A．组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球     B．组装单摆须选用轻且不易伸长的细线 C． 实验时须使摆球在同一竖直面内摆动      D．摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大 （２）用最小刻度为1mm的刻度尺测量摆线长，如图甲所示，单摆的摆线长为______cm；用游标卡尺测量摆球的直径，如图乙所示，则球的直径为______cm；    （３）如图所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约为1m的单摆，实验时，由于仅有量程为20cm、精度为1mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL。用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g =______．    8．在做“用单摆测重力加速度”的实验时，用游标卡尺测量摆球直径如图所示： (1)摆球直径为__________mm； (2)某同学用单摆装置测量的当地重力加速度g值比真实的g值略小，可能的原因是（单选）（　　） A．计算时误将摆线长加小球直径视为摆长 B．开始计时时，秒表过早按下 C．测摆线长时摆线拉得过紧 (3)为提高实验精度，在实验中多次改变摆长L，并测出相应的周期T，再以T2为横坐标、L为纵坐标描绘L−T2图像，将所得数据拟合成直线，并求得该直线的斜率k。则重力加速度g=________________（用k和π表示）。 9．某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中： （1）用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图甲所示，则该摆球的直径为________ cm．摆动时偏角满足的条件是偏角小于5°，为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应是经过最________（填“高”或“低”）点的位置，且用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间，求出周期．图乙中停表示数为一单摆全振动50次所需时间，则单摆振动周期为________． （2）用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆长，测量情况如图丙所示， O为悬挂点，从图丙中可知单摆的摆长为________ m． （3）若用L表示摆长， T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝________． （4）考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，学生A说：“因为空气浮力与摆球重力方向相反，它对球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大．”学生B说：“浮力对摆球的影响好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变”，这两个学生中________． A．学生A的说法正确 B．学生B的说法正确 C．两学生的说法都是错误的 （5）某同学用单摆测量当地的重力加速度．他测出了摆线长度L和摆动周期T，如图丁（a）所示．通过改变悬线长度L，测出对应的摆动周期T，获得多组T与L，再以T2为纵轴、L为横轴画出函数关系图象如图丁（b）所示．由图象可知，摆球的半径r＝________ m，当地重力加速度g＝________ m/s2；由此种方法得到的重力加速度值与实际的重力加速度值相比会________（选填“偏大”“偏小”或“一样”）． 10．某实验小组利用单摆测当地的重力加速度，实验装置如图甲所示。 (1)实验时用螺旋测微器测量小球直径，示数如图乙所示，则读数为________mm。 (2)关于该实验，下列说法正确的是________。 A．摆线要选择细些的、伸缩性大些的，并且适当长一些 B．测量摆长时应将摆线长加上小球半径作为摆长 C．为了使单摆的周期大一些，方便测量，开始时要拉开摆球，使摆角较大 D．摆球振动稳定后，当摆球运动至最低点处开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间t，则单摆周期 (3)实验中，若直接使用公式计算重力加速度，发现某次测得的重力加速度的值偏大，其原因可能是________。 A．摆线具有弹性，摆动时绳子伸长 B．以摆线的长度作为摆长来进行计算 C．把次全振动时间误当成n次全振动时间 D．在加速上升的电梯中做此实验 (4)通过改变摆线的长度，该小组测得多组摆长L和对应的周期的平方，画出的图像如图丙所示，若图像的斜率为k，纵截距为b，可得当地的重力加速度大小为________。 11．某物理实验小组在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的操作： (1)以下关于本实验的措施中正确的是_____。 A．摆角应尽量大些 B．摆线应适当长些 C．摆球应选择密度较大的实心金属小球 D．用停表测量周期时，应从摆球摆至最高点时开始计时 (2)实验小组的甲同学用游标卡尺测摆球的直径，示数如图所示，则摆球直径是_____。 (3)该实验小组实验时，测得摆线长为，小球的直径甲同学已经在第(2)问中测出，单摆完成50次全振动所用的时间为（）则重力加速度大小_____。（结果保留三位有效数字） (4)实验小组中乙同学和丙同学在运用图像法处理实验数据时，乙同学实验后方才发现自己测量摆长时忘了加上摆球的半径，已知图中虚线②、③与平行，则乙同学当时作出的图象应该是图中虚线_____。 12．某研究性学习小组采用图甲装置做“用单摆测定重力加速度”的实验。 (1)（单选）以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有___________ A．拉开摆球，使摆线相对平衡位置偏角越大，周期测量越准确 B．单摆经过平衡位置时开始计时，一次全振动后停止计时，用此时间作为单摆周期 C．不测量摆球直径，利用周期的平方与摆线长的图像也能测定重力加速度 (2)改变摆线长度，测量出多组周期、摆长的数据后，画出图像如图乙所示，则当地重力加速度__________（取9.86，计算结果保留三位有效数字）。 (3)（单选）该学习小组测出摆线长，摆球直径，根据求得的值比实际的当地重力加速度偏大，则下列原因可能的是___________ A．摆线上端在实验过程中出现松动，使摆线长度增加了 B．实验中误将50次全振动记为49次 C．开始计时时，秒表按下过晚 13．某实验小组利用如图所示装置测量当地重力加速度，用一块外形不规则的小金属挂件代替摆球做了一个如图所示的单摆，实验操作如下： (1)用刻度尺测出摆线长度为l，将挂件拉开一个小于5°的角度，然后由静止释放，从单摆运动到最低点开始计时且计数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t，则单摆周期T=________（用t、n表示）。 (2)先后做了两次实验，准确记录细线的长度及单摆对应的周期分别为l1、T1和l2、T2，已知l1小于l2，由此测得的重力加速度为________（用l1、T1、l2、T2表示），测量的重力加速度________（选填“大于”、“等于”、或“小于”）真实值。 二、解答题 14．下面是用单摆测定重力加速度实验中获得的有关数据 摆长 l/m 0.5 0.6 0.8 1.1 周期T2/s2 2.2 2.5 3.2 4.5 (1)利用上述数据在坐标图中描出l－T2图像； （2）利用图像，取T2＝0.1×4π2s2＝3.95 s2，求重力加速度。 试卷第8页，共8页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 《2.5 “用单摆测重力加速度”实验的数据处理》参考答案 1． 2.0 【详解】第一空.单摆完成n次全振动所用的时间t，则周期的表达式T； 第二空.单摆摆动过程中，每次经过最低点时拉力最大，每次经过最高点时拉力最小，拉力变化的周期为1.0s，故单摆的摆动周期为2.0s； 第三空.根据T＝2π 得：T2′，知图线的斜率： k，因此g；而L′＝L+r，图线拟合得到方程T2＝kL+b，因此摆球半径r． 2． B 49.00 9.9 【详解】（1）[1]单摆的摆线是一条没有弹性和质量的线，丝线更符合条件，故选B。 （2）[2]刻度尺读数时，应估读到最小分度值1mm的下一位。则长度 L=49.00cm （3）[3]根据丙图可知，摆的周期为 T=1.40s 根据，解得 3． 9.87 不变 偏小 【详解】（1）[1]由 变式可得 对照图像，可得图像的斜率 解得重力加速度 （2）[2]根据单摆的周期公式 得 根据数学知识可知， T2-l图像的斜率 k＝ 可得当地的重力加速度 g＝ 若图像不通过原点，如题图甲所示，则 T2＝＝＋ 根据数学知识可知，对于T2-l图像来说两种情况下图像的斜率不变，所以测得的g值不变； [3]由题意可知，图像不过坐标原点的原因是摆长测量值偏小，若利用g＝，采用公式法计算，则求出重力加速度g值与当地真实值相比偏小。 4． 当摆球运动到最低点时开始计时，并开始计数，数出个全振动，停止计时，读出秒表时间为，则单摆的周期为 【详解】[1]摆长为摆球中心到悬点的距离，即 [2]当摆球运动到最低点时开始计时，并开始计数，数出个全振动，停止计时，读出秒表时间为，则单摆的周期为 [3]根据单摆的周期公式，可得 即在图像中，图像的斜率 解得 5．(1)AB (2) 16.4 0.99180 (3)A 【详解】（1）在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，是为了防止运动过程中摆长发生变化，如果需要改变摆长来探究摆长与周期关系时，方便调节摆长。 故选AB。 （2）[1]10分度游标卡尺的精确值为，由图可知该摆球的直径为 [2]单摆摆长为 （3）当摆角小于等于5°时，单摆可认为做简谐运动，所以振幅约为 当小球摆到最低点开始计时，误差较小，测量周期时要让小球做30次全振动，求平均值，所以A合乎实验要求且误差最小。 故选A。 6．(1)98.50 (2) (3) 【详解】（1）摆长是绳长与小球半径之和，刻度尺的分度值为1mm，读数为98.50cm （2）根据单摆周期公式有 变形可得 根据图像的斜率可知 解得 （3）由图可知，每个周期内小球两次经过最低点，摆线受到两次最大拉力，所以单摆的周期为 7． BC/CB 99.15 2.075 【详解】（1）[1]A．组装单摆须选用密度大和直径较小的摆球，故A错误； B．组装单摆须选用轻且不易伸长的细线，故B正确； C．实验时须使摆球在同一竖直面内摆动，故C正确； D．摆长一定的情况下，摆的振幅尽量小，故D错误。 故选BC。 （2）[2]单摆的摆线长为99.15cm； [3]球的直径为 （3）[4]根据单摆周期公式，有 又 解得 8．(1)20.30 (2)B (3) 4π2k 【详解】（1）摆球的直径为 （2）AC．由得 若计算时误将摆线长加小球直径视为摆长，或测摆线长时摆线拉得过紧，则摆长的测量值偏大，会导致g的测量值偏大，故AC错误； B．若开始计时时，秒表过早按下，则周期的测量值偏大，根据可知，会导致g的测量值偏小，故B正确。 故选B。 （3）由得 则L−T2图像的斜率 求得 9． 0.97 低 2.05 0.997 0 A 1.0×10-2 π2 一样 【详解】（1）摆球的直径为： 0.9 cm+0.1 mm×7=0.97 cm；计时开始时，在摆球经过最低点时开始计时，产生的时间误差较小；由秒表读出时间t=90 s+12.50 s=102.50 s，则单摆的周期为． （2）刻度尺的最小刻度为1 mm，则由图乙读出悬点到球心之间的距离为0.997 0 m，则单摆摆长的测量值为L=0.9970m． （3）单摆的周期公式T=2π得：． （4）考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，物体不只受重力了，加速度也不是重力加速度，实际加速度要减小，因此振动周期变大，学生A说法正确，故A正确． （5）T2与L的图象，应为过原点的直线，由横轴截距得，球的半径应为1.0×10-2 m；图象斜率，而，故g==π2，根据以上推导，斜率不变，重力加速度不变，故对g的没有影响，得到的重力加速度值与实际的重力加速度值一样． 10．(1)11.700/11.699/11.701 (2)BD (3)CD (4) 【详解】（1）读数为。 （2）A．摆线不能有伸缩性，应适当细些、长些，故A错误； B．摆长为摆线长加小球半径，故B正确； C．单摆测重力加速度的前提是摆角小于5°，故C错误； D．当摆球运动至最低点处开始计时，误差最小，50次全振动所用的时间$t$，则单摆周期，故D正确。 故选BD。 （3）根据，得 A．摆线具有伸缩性，则摆长测量值偏小，则g的测量值偏小，故A错误； B．以摆线的长度作为摆长来进行计算，摆长测量值偏小，则g的测量值偏小，故B错误； C．把次全振动时间误当成n次全振动时间，T的测量值偏小，则g的测量值偏大，故C正确； D．在加速上升的电梯中做此实验，等效重力加速度大于g，则g的测量值偏大，故D正确。 故选CD。 （4）[1][2]图丙中，图像交纵轴于正半轴，这是由于把摆线长当成摆长造成的，但这并不会改变图像的斜率，由，得 则 得 11． BC 20.4 9.70 ③ 【详解】(1)[1]A．摆角不应过大，否则单摆就不是简谐振动，一般不超过5°，选项A错误； B．摆线应适当长些，有利于减小实验误差，选项B正确； C．摆球应选择密度较大的实心金属小球，以减小振动中的相对阻力，选项C正确； D．用停表测量周期时，应从摆球摆至最低点时开始计时，选项D错误； 故选BC。 (2) [2]摆球直径是2cm+0.1mm×4=20.4mm； (3)[3]单摆振动的周期为 摆长 根据 解得 (4) [4]若测量摆长时忘了加上摆球的半径，则T2-L关系为 则乙同学当时作出的图象应该是图中虚线③。 12．(1)C (2)9.86 (3)C 【详解】（1）A．单摆的摆角不应该超过5°，否则就不是简谐振动，A错误； B．单摆经过平衡位置时开始计时，然后测量单摆至少30次全振动的时间，求得周期的平均值作为单摆周期，B错误； C．不测量摆球直径，根据 可得 利用周期的平方与摆线长的图像的斜率也能测定重力加速度，C正确。 故选C。 （2）根据 可得 由图像可知 则当地重力加速度 （3）A．摆线上端在实验过程中出现松动，使摆线长度增加了，则摆长偏大，则周期偏大，则值比实际的当地重力加速度偏小，A错误； B．实验中误将50次全振动记为49次，则周期测量值偏大，则值比实际的当地重力加速度偏小，B错误； C．开始计时时，秒表按下过晚，则周期测量值偏小，则值比实际的当地重力加速度偏大，C正确。 故选C。 13．(1) (2) 等于 【详解】（1）t时间内全振动的次数为 因此单摆的周期为 （2）[1]根据单摆的周期公式可得， 联立解得 [2]由以上分析可知，重力加速度的大小与小球半径无关，所以测量的重力加速度等于真实值。 14．（1） ；（2）9.48 m/s2 【详解】（1）根据描点法可知图像如图所示 （2）由单摆的周期公式，解得 所以图中的图线斜率 根据图像可知 故重力加速度为 答案第6页，共6页 答案第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $