18.2勾股定理的逆定理 教学设计2025-2026学年沪科版数学八年级下册

18.2勾股定理的逆定理 教学目标： 1.体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理.2.探究勾股定理的逆定理的证明方法. 2.通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发现、发展和形成的过程； 3.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用. 5.通过对勾股定理的逆定理的探索，培养了学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度.同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值. 教学重点： 证明勾股定理的逆定理；用勾股定理的逆定理解决具体的问题. 教学难点： 理解勾股定理的逆定理的推导. 教学过程： 1、 新课导入 前面我们学习了勾股定理，同学们能说一说它的条件和结论吗？ 如果一个三角形是直角三角形，那么这个直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 对于直角三角形，我们可以由形状特征推导出数量关系；那么反过来，能否通过这样的数量关系，反推出对应的形状特征呢？ 【实验观察】 在古代，没有直尺、圆规等作图工具，人们是怎样画直角三角形的呢？ 用一根打了13个等距离结的细绳子，在小黑板上，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起．然后用三角板量出最大角的度数．可以发现这个三角形是直角三角形.（这是古埃及人画直角的方法）为什么这样画出来的三角形是直角三角形呢？ 【教学说明】：通过实验观察，使学生对所要学习的内容有一个直观的了解，也使学生感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣. 【动手操作】 用圆规、刻度尺作△ABC，使AB=5cm，AC=4cm,BC=3cm,量一量∠C. 再画一个三角形，使它的三边长分别是2.5cm、6cm、6.5cm，这个三角形有什么特征？换成三边长分别为 4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试. 教师引导：为什么用上面的三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？它们的三边有怎样的关系？（学生分组讨论，教师适当指导） 学生猜想：如果一个三角形的三边长a、b、c满足关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 【教学说明】：学生画图还是有一定的困难，教师要让学生先打草稿，确定画图的方法和步骤，再按要求画图，然后通过测量得出结论，教师再及时予以总结. 二、探究新知 想一想：我们如何证明这个命题？(提示：用三角形全等的方法） 已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，并且a2+b2=c2，求证：∠C=90°. 证明：作△A′B′C′，使∠C′=90°， ∵A′C′=b，B′C′=a ∴A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2（勾股定理）A′ C′ B′ b a A C B b a c 又∵a2+b2=c2（已知） ∴A′B′2=c2（等量代换），∴A′B′=c(A′B′＞0)c 在△ABC和△A′B′C′中， BC=a=B′C′，CA=b=C′A′，AB=c=A′B′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS) ∴∠C=∠C′=90°， ∴△ABC是直角三角形. 小结：勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 几何语言:在 △ABC 中， a2 + b2 = c2，∴ ∠C = 90°. 【教学说明】这个证明有一定的难度，教师要先逐步进行讲解，使学生能够理解，然后教师再进行强调，使学生能够充分掌握勾股定理的逆定理. 三、例题精析 例1 根据下列三角形的三边a,b,c的值，判断△ABC是不是直角三角形.如果是，指出哪条边所对的角是直角. (1)a=7,b=24,c=25; (2)a=7,b=8,c=11. 解：（1）∵最大边是c=25,c2=625, a2+b2=72+242=625,∴a2+b2=c2. ∴△ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角. (2)∵最大边是c=11,c2=121,a2+b2=72+82=113. ∴a2+b2≠c2 ∴△ABC不是直角三角形. 小结：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数. 比如: 3，4，5；5，12，13. 四、练习巩固 1.如果三条线段长a,b,c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？ 2.下列各组数能否作为一个直角三角形的三边长？ （1）a = 4，b = 5，c = 6； （2）a = 2.5，b = 0.7，c = 2.4； （3） （4） 3.如图，以 △ABC 的三边为直径，分别画三个半圆， 三个半圆的面积分别为 S1，S2，S3. 若 S1 + S2 = S3，判断△ABC 是不是直角三角形，并说明理由. 4.四边形 ABCD 的各边长如图所示，对角线 BD = 10，求四边形 ABCD 的面积． 【教学说明】了解学生学习的效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，体会勾股定理逆定理的妙用. 五、结 通过这节课的学习，你有什么收获？还有什么困惑？这节课我们学习了： 1.勾股定理的逆定理. 2.如何证明勾股定理的逆定理. 3.利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形. 【教学说明】 学生自主对本节课知识进行回顾，进一步加深理解和记忆. 课后作业： 1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题. 学科网（北京）股份有限公司 $