18.2 第2课时 勾股定理的逆定理的应用-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(沪科版·新教材)  安徽专版

该教案聚焦勾股定理逆定理的应用，通过回顾勾股定理及其逆定理导入课题，搭建旧知与新知的联系，以问题驱动引导学生思考逆定理在实际中的应用，形成学习支架。 以航海、建房地基检验等实际案例为载体，引导学生从现实情境抽象几何模型，培养数学眼光（几何直观、空间观念），通过分析问题、构建模型、应用定理的步骤发展数学思维（推理能力），帮助学生体会数学应用价值，为教师提供清晰教学流程与实例，提升教学效率。

18.2 勾股定理的逆定理 第2课时 勾股定理的逆定理的应用 课题 勾股定理的逆定理的应用 课型 新授课 教学内容 教材第60-61页的内容 教学目标 1.熟练掌握勾股定理及其逆定理. 2.能灵活运用勾股定理及其逆定理解决实际问题．. 教学重难点 教学重点：灵活应用勾股定理的逆定理解决实际问题. 教学难点：灵活应用勾股定理的逆定理解决实际问题. 教 学 过 程 备 注 1.回顾复习，引入课题 问题：前面我们学习了勾股定理及其逆定理，你能回忆一下它们的具体内容吗？ 预设答案： 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.. 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 【教师活动】教师提出问题，师生共同回忆前两节课学习的勾股定理、勾股定理的逆定理的内容. 2.观察探究，学习新知 【思考】我们已经学会用勾股定理解决实际问题，那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢？ 【教师活动】教师提出问题，启发学生联系生活实际思考. 预设答案： 在军事和航海上经常要确定方向和位置，常用到勾股定理的逆定理. 【探究1】 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【教师活动】带领学生读题，引导学生分析题意，明确已知条件、所求问题、如何求解.带领学生分析完思路后，让学生先尝试自行解决，完成答题过程.然后选派代表回答，教师汇总，并规范书写过程. 【学生活动】学生读题，根据教师提问，找出题目中的已知信息，并尝试用勾股定理逆定理计算并解决问题. 【问题1】题目已知了哪些信息？ “远航”、“海天”号的速度，运行时间，QR30，“远航”号的航向. 【问题2】由题目信息，可以得出什么？ PQ，PR， QR的长度，QPN45°(即图中∠145°). 【问题3】需要解决的问题是什么？ 求出两艘船航向所成的角∠QPR，结合图形，∠1已知，所以求∠QPR就可以转化为求∠2. 【问题4】已知线段的长度求角的度数，可以用什么知识呢？ 勾股定理的逆定理 【师生活动】根据老师的分析，学生尝试书写解题过程，教师巡视学生做题情况。老师找学生复述解题步骤，针对学生回答情况进行补充，并呈现规范步骤，学生整理. 解：由题意，得 PQ161.524，PR121.518，QR30 ∵242182302，即PQ2PR2QR2 ∴QPR90° 由“远航”号沿东北方向航行可知145° ∴245° 即“海天”号沿西北方向航行. 【归纳】 解决实际问题的步骤： 1.标注有用信息，明确已知和所求； 2.构建几何模型——从整体到局部； 3.应用数学知识求解. 【追问】除了航海领域，勾股定理的逆定理在实际生活中还有哪些应用呢？ 【探究2】 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现ABDC8m，ADBC6m，AC9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格. 解：∵ABDC8，ADBC6， ∴AB2BC28262100 又∵AC29281 ∴AB2BC2AC2 ∴ABC90° ∴该农民挖的不合格. 3.学以致用，应用新知 【例1】如图，营地A与哨所B相距10 km，东侧有条南北走向的河流PQ、哨兵先从营地A骑马沿南偏东34°的方向走6 km到达河边C处让马饮水，再走8 km到达哨所B处执勤，最后返回营地A、你知道哨兵C处是沿哪个方向到达哨所B吗？ 解：由题意，得 AB=10 km，AC=6 km，BC=8 km， ∵6282102，即AC2BC2AB2， ∴ACB90°， 又∵AD∥PQ， ∴ACP=∠DAC34° ∴BCQ=180°-90°-34°56°. 答：哨兵在C处是沿南偏西56°的方向到达哨所B处. 【例2】工厂生产一批零件，如图所示，当BAD、BDC均为直角时才合格，经测量AD3，AB4，BD5，DC12，BC13，这批零件是否合格？ 【教师活动】教师提出问题，学生先独立思考、解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨， 最终教师展示答题过程. 解：∵AD3，AB4，BD5 易得AD2AB2BD2 ∴由勾股定理的逆定理得，△ABD是直角三角形BAD90°. 又∵BD5，DC12，BC13 可得BD2DC2BC2 ∴△BCD为直角三角形，BDC90°. ∴这批零件合格. 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长BD为4米，中午测得它的影长AD为1米，则A、B、C三点 构成直角三角形(填“能”或“不能”). 答：能. （2）如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC10海里，BC8海里，AB6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？ 解：∵AC10，BC8，AB6， ∴AC2AB2BC2 即△ABC是直角三角形， 而S△ABC 解得BD. 在Rt△BCD中， 又∵该船只的速度为12.8海里/时， 6.412.80.5(小时) 0.5小时30分钟 ∴最早晚上10时58分进入我领海. 5.课堂小结，自我完善 通过本节学习，有哪些收货？（请学生自己总结） （1）勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用? （2）利用勾股定理解决实际问题的步骤？ 6.布置作业 教科书第60页习题习题18.2第3-4题 回忆所学知识，加深对知识的理解，以便能灵活运用所学知识解决问题. 结合生活实际，体会勾股定理的逆定理在生活中的应用. 初步体会用勾股定理的逆定理解决实际问题. 归纳利用勾股定理的逆定理解决实际问题的步骤，培养学生的良好的学习习惯及语言组织能力.并通过追问，再次让学生体会到勾股定理的逆定理在生活中的广泛应用.进一步培养学生解决问题的能力. 通过例题巩固所学知识，加深对知识的理解，提高学生分析问题、解决问题的能力. 通过随堂练习巩固勾股定理的逆定理，学生通过练习，可以更好的理解和运用所学知识，进一步提高分析问题和解决问题的能力. 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 板书设计 第2课时 勾股定理逆定理的应用 1.勾股定理逆定理的实际应用：航海、测量.... 2.利用勾股定理解决实际问题的步骤： ①标注有用信息，明确已知和所求； ②构建几何模型——从整体到局部； ③应用数学知识求解. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 本节课教学过程中不断帮助学生构建知识体系，所以本节课对知识的归纳总结不仅没有局限于本章所学内容，而且还引导学生对直角三角形的性质和判定方法做了归纳总结．由于学生对于两个定理的直接应用有了一定的基础，所以本节课的安排以灵活应用为主，循序渐进、由易到难设计例题和练习，收到了较好的教学效果. 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $