第16章函数与图像：一次函数与反比例函数几何综合 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

2026年八年级下学期第16章函数与图像：一次函数与反比例函数几何综合 一、解答题 1．如图，反比例函数与一次函数相交于，两点． (1)求反比例函数的解析式及m的值； (2)连接，求的面积． 2．如图，反比例函数（）的图象经过点和点，直线经过点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)连接，，求的面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数与x轴，y轴分别交于，B两点，与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数解析式； (2)如图，在反比例函数的图象上取一点P，当的面积等于50时，求P点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（k为常数，）在第一象限内的图象相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向上平移m个单位长度后与反比例函数的图象在第一象限内交于点，与y轴交于点C，连接，求的面积． 5．如图，的顶点分别为，直线与交于点D，点D在反比例函数（）的图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)把向右平移a（）个单位，再向上平移b（）个单位，得到点，且同时落在反比例函数（）的图象上． ①求a，b的值； ②求所在直线的解析式． 6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标． (3)直接写出的自变量的取值范围． 7．如图，直线 与反比例函数交于点，与坐标轴分别交于点和．过点作轴的垂线交反比例函数于点，连接并延长交轴于点 (1)求反比例函数的解析式及点的坐标 (2)求的面积 8．如图，已知，是一次函数和反比例函数 的图象的两个交点． (1)求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式 的解集： (3)求的面积． 9．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式． (2)结合图形，请直接写出不等式的解集． (3)若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点和点，已知，求的值． 10．如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 11．已知、两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)已知点P在x轴上，且的面积是面积的2倍，求点P的坐标． 12．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请你根据图象直接写出不等式的解集； (3)点E为y轴上一个动点，若，试求点E的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数的图象交于点，且过点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)如果点Q是x轴上的一点，且的面积是3，求点Q的坐标； (3)若P在x轴上一点，求取最小值时P点的坐标． 14．直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12，若点在点的左侧，求点的坐标． 15．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于， 两点． (1)求a的值； (2)根据图象，直接写出满足 时x的取值范围； (3)点P在线段上，连接，交反比例函数的图象于点Q，若，求点P的坐标． 16．如图，反比例函数 与一次函数的图像相交于 A和B两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)如图，直线与反比例函数交于另一点C，若y轴上有一点M，使的面积为12，求点M的坐标； (3)请结合图像回答，x为___________时，； (4)在x轴上有一点N， 若满足最大， 则点N的坐标为：___________． 若满足最小， 则点N的坐标为___________； 若满足最小，则点N的坐标为___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年八年级下学期第16章函数与图像：一次函数与反比例函数几何综合》参考答案 1．(1)； (2) 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数，求得k的值，即可得反比例函数的解析式；将点B的坐标代入一次函数，即可求得m的值； （2）先求得一次函数与x轴、y轴的交点，然后根据三角形面积的和差解答即可． 【详解】（1）解：将点代入，得 ∴反比例函数解析式为； 将点代入，得 解得． （2）解：如图，设一次函数分别与x轴，y轴相交于点，， 对于，令，则；令，， ∴，， ∴，， ∵，， ． 2．(1)， (2)9 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，坐标系中点的坐标的特点，三角形的面积公式； （1）将点代入直线解析式可求出，把代入直线解析式可求出，再代入即可求出； （2）过点作轴于点，交于点，利用反比例函数解析式先求出点坐标，再由三点坐标可求出的底和高，最后利用三角形的面积公式即可求出面积． 【详解】（1）解：将点代入直线，得， ， 一次函数的表达式为， 把代入，得， ， 把代入，得， ， 反比例函数的表达式为． 综上所述：一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． （2）解：如图，过点作轴于点，交于点， 点在反比例函数的图象上， ， ， 轴，， ， ，即， . 3．(1)； (2)或． 【分析】（1）根据题意先求得一次函数解析式，从而求得点N的坐标，进而可求得反比例函数解析式； （2）根据一次函数解析式先求得，然后连接，，设P的横坐标为x，过P作轴于点M，则，据此即可解答． 【详解】（1）解：在的图象上， 把代入到，得， 解得， 一次函数解析式为， 把代入到，得， ， 将代入到中，得， 反比例函数的解析式为． （2）解：由（1）可知，一次函数解析式为，令时，， ∴， ， 如图，连接，，设P的横坐标为x，过P作轴于点M， 则， ∴， 解得 ， 把分别代入到中，得， 或 4．(1) (2) 【分析】（1）将点坐标代入直线中求出的值，确定出的坐标，将的坐标代入反比例解析式中求出的值，即可确定出反比例函数的解析式； （2）根据直线的平移规律设直线的解析式为，再利用待定系数法求解，求出，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入中，得， 解得， ∴点， 把点代入中， 得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：将代入中，得， ∴， 由题意知，直线向上平移m个单位长度后的函数表达式为， 将点代入中，得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 将代入中，得， 即， ∴． 5．(1) (2)①，；② 【分析】（1）利用待定系数法进行求解； （2）①根据平移的性质求出点的坐标，得出，然后根据反比例函数列出方程求解； ②利用待定系数法求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得， ∴， 令， 解得， ∴D点坐标为， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：①∵将向右平移a个单位，再向上平移b个单位， ∴的坐标为，的坐标为， ∵同时落在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， 将代入， 解得，或(舍去)， ∴； ②设所在直线的解析式为， 由①知，的坐标为，的坐标为， 将的坐标代入， 得， 解得， ∴所在直线的解析式为． 6．(1) (2) (3)或 【分析】（）利用一次函数解析式求出点坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）联立函数解析式求出方程组的解即可求解； （）根据函数图象解答即可求解； 【详解】（1）解：把代入一次函数式中，得， ∴， 把代入反比例函数，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由，解得或， ∴点的坐标为； （3）解：由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， ∴的自变量的取值范围是或． 7．(1)反比例函数的解析式为， (2)的面积为2 【分析】（1）设反比例函数解析式为，把点代入，求出，得；由求出，得出点的坐标为，把代入反比例函数解析式，求得，可得； （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，令，得，得，再根据三角形面积公式可求出的面积． 【详解】（1）解：∵点在直线 上， ∴， ∴， 设反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 对于直线 ，当时，， 解得， ∴， ∵过点作轴的垂线交反比例函数于点， ∴点的横坐标为， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为， 把、代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴, ∵， ∴， ∴的面积． 8．(1)； (2)或； (3) 【分析】（1）先根据点的坐标求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，两个、两点的坐标代入一次函数解析式中，求出一次函数解析式； （2）根据图象求出不等式的解集； （3）先求一次函数与轴交点，从而可求得，利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解： ，是一次函数和反比例函数 的图象的两个交点， ， 反比例函数解析式为， ， ， 将，代入得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：由函数图象得，的解集为或； （3）解：一次函数的解析式为， 当时，， 解得， ， ， ． 9．(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，求反比例函数的解析式，掌握待定系数法求解析式，图象法求不等式的解集是关键． （1）将代入，可求出反比例函数表达式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入，即可求解； （2）观察图象得到一次函数的图象在反比例函数图象的上方时，x的取值范围，即可求解； （3）由题意可知，点N坐标为点M的坐标为，再由且，可得，即可求解． 【详解】（1）解：（1）∵反比例函数的图象过点, ∴, ∴反比例函数关系式为：． ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴点B坐标为． ∵一次函数的图象过点和， ∴， ∴， ∴一次函数关系式为． （2）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和， ∴不等式的解集为或． （3）解：设点N坐标为点M的坐标为， ∵且， ∴， 解得（不合题意），． 经检验，为方程的解， ∴． 10．(1)； (2)存在， 、、、 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、勾股定理的应用，解题的关键是联立函数解析式求交点坐标，利用勾股定理列方程分析直角三角形的存在性． （1）联立一次函数解析式求出交点A的坐标，将A点代入反比例函数解析式求出k值； （2）设出x轴上点P的坐标，利用两点间距离公式表示出、、，分三种直角情况列方程求解，判断方程是否有解以确定P点坐标． 【详解】（1）解：依题得解得，即 将代入得，即反比例函数解析式为：； （2）解：如图，假设在x轴上存在使为直角三角形， 联立解得：或， 即，， ， ，． 分三种直角情况讨论： 情况1：为直角 ∵， 化简得 ，即 ， 解得 ，对应点 、． 情况2：为直角 则，即 化简得 ，解得 ，对应点 ． 情况3：为直角 则，即， 化简得 ，解得 ，对应点 ． ∴x轴上存在点 、、、，使为直角三角形． 11．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了求一次函数解析式，由直线与坐标轴的交点求不等式的解集，求直线围成的图形面积，已知比例系数求特殊图形的面积，求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先根据A点的坐标求出反比例函数的比例系数，从而可得反比例函数的解析式，再求出B点的横坐标，从而可根据反比例函数与一次函数交于A、B两点，转化为关于k，b的方程组求解； （2）根据反比例函数与一次函数交于A、B两点，求不等式的解集； （3）先求得面积，再根据点P在x轴上，且的面积是面积的2倍，列出关于p的方程求解． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵、是一次函数和反比例函数图象的两个交点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为； （2）不等式，可化为， ∵一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， ∴不等式为， 这个不等式表示一次函数的值比反比例函数的值大， 结合图象可知点A的左边符合，原点O到点B之间也符合， ∵、， ∴这个不等式的解集为或． （3）一次函数的解析式为， 当时，， 当时，， 解得：， ∴一次函数交x轴于，交y轴于， ∵、， ∴的面积为， ∵点P在x轴上， ∴设， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， ∴P点的坐标为或． 12．(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点，求一次函数关系式，求反比例函数关系式，根据交点求不等式的解集， 对于（1），将点代入反比例函数关系式求出m，再将点代入反比例函数关系式求出点B的坐标，然后根据待定系数法求出直线关系式； 对于（2），根据反比例函数图像在直线上方时反比例函数值大于一次函数值，结合交点坐标可得解集； 对于（3），设交点，求出直线与y轴交点的坐标，再根据求出答案即可. 【详解】（1）解：将点代入反比例函数关系式，得， ∴反比例函数. ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点. ∵点在直线的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数关系式为； （2）解：或. 观察图象，当时，； 当时，. 所以答案为：或； （3）解：如图所示， 当时，， ∴点. 设点，则， ∴， 解得或， ∴点或. 13．(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)点Q的坐标为或 (3)P点的坐标为 【分析】本题考查一次函数，反比例函数，对称求最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）反比例函数的图象交于点，代入得反比例函数解析式，再代入，求出坐标后，将代入一次函数解析式即可求解； （2）作轴交于，设，则，分类讨论在之间时，在左侧时，在B右侧时，根据的面积是3列方程求解即可． （3）作关于轴对称点，连接交轴于，求出解析式，在求其与轴交点即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象交于点，代入得： ， ∴反比例函数的表达式为， 反比例函数的图象过点， ， ， ， 一次函数的图象过点和， ， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）解：作轴交于，设，则 当在之间时， ， ， ， ， ， 当在左侧时， ， ， ， （舍去）， 当在B右侧时， ， ， ， ， ， 综上所述，或； （3）解：作关于轴对称点，连接交轴于， 则， 设解析式为，代入，得： 解得：， 一次函数的表达式为， 令时，， 解得， ∴． 14．(1)， (2)12 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，函数图象的交点问题，与面积的综合问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用割补法求解； （3）设，连接并延长交y轴于点N，可求直线表达式为，则，即，由，得到，解方程即可． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴， ∴， ∴一次函数表达式为． ∵反比例函数过点， ∴， ∴， ∴反比例函数表达式为． （2）解：在一次函数中，时，， ∴，即， 解方程组得， 经检验均是方程组的解， ∴， ∴． （3）解：设，连接并延长交y轴于点N， ∵点M在第一象限，且点M在点A左侧， ∴， 设直线表达式为， ∵直线过点， ∴， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当， ∴，即， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴． 15．(1)a的值为8 (2)的取值范围为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用（包括解析式求解、图象与不等式关系）、线段比例的坐标转化（利用共线点坐标比例关系）．解题的关键是：（1）利用反比例函数过已知点求参数，进而求未知点纵坐标；（2）结合两函数交点横坐标与图象位置判断不等式解；（3）通过“共线于原点的点横纵坐标成比例”转化线段比例，结合反比例函数性质求点坐标． （1）将代入反比例函数求，再将代入反比例函数求； （2）根据两交点、的横坐标，观察图象确定反比例函数在一次函数上方时的范围； （3）先求一次函数解析式，设，由得，结合、、共线得的横纵坐标为的，代入反比例函数求，进而得坐标． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得， 解得， ∴反比例函数解析式为， 又∵点在的图象上， ∴将代入，得． ∴a的值为8． （2）解：由（1）知两函数交点为、，观察图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，的取值范围为或． （3）解：∵一次函数过、， ∴代入得， 用第一个方程减第二个方程：，即， 解得， 将代入，得，即， 解得， ∴一次函数解析式为， 设点的坐标为（，因在线段上）， ∵，且、、在同一直线上， ∴，即， ∵点在上，且为原点， ∴的横、纵坐标分别为点横、纵坐标的（共线于原点的点，坐标成比例）， ∴的坐标为， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得， 化简右边：，方程变为， 两边同乘去分母：， 即， 两边除以得， 因式分解：， 解得或， 当时，，此时； 当时，，此时，均在线段上， 故点的坐标为或． 16．(1)， (2)M点坐标或 (3) 或 (4)，， 【分析】（1）将A代入反比例函数求出反比例函数解析式，进而求得B点坐标，将点A和点B坐标代入一次函数求解，即可得到一次函数的解析式； （2）利用反比例函数关于原点对称得到点C的坐标，设点M坐标为，根据的面积为12，建立方程求解，即可解题； （3）根据一次函数与反比例函数图像的交点坐标，图形结合分析即可求解； （4）根据三角形三边关系推出，得到当三点共线时，最大，再结合求解，即可得到满足最大， 点N的坐标；根据绝对值性质得到，设点N坐标为，利用勾股定理建立等式求解，即可得到满足最小， 点N的坐标；作关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，结合轴对称性质，以及一次函数与轴交点情况，即可得到满足最小，点N的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数 与一次函数的图像相交于 A和B两点， ， 则反比例函数解析式为， ， 即B， 将A和B代入中， 得：， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：直线与反比例函数交于另一点C，且A， C， 点M在 y轴上， 设点M坐标为， 的面积为12， ， 解得或， M点坐标为或； （3）解：反比例函数 与一次函数的图像相交于 A和B两点， 结合函数图象可知，x为 或 时，； 故答案为： 或 ； （4）解： ， 当三点共线时，最大， ， 当时，， 若满足最大， 则点N的坐标为； 设点N坐标为， A，B， ，， 要满足最小，且， 即， 解得， 若满足最小， 则点N的坐标为； 作关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， ， ， 当三点共线时，最小，即满足最小， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 即若满足最小，则N的坐标为． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数综合，根据函数图象求不等式解集，线段和差的最值问题，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 答案第1页，共2页 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