专题01二元一次方程组复习讲义(15大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年鲁教版五四制七年级数学下册

专题01二元一次方程组复习讲义(不含应用) 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透二元一次方程（组）及解的核心定义，精准判断 2.掌握代入 / 加减消元法，理解消元化归思想 3.规范解方程组步骤，能根据系数选最优解法 1.提升概念辨析与代数运算能力 2.学会二元转一元的转化思维 3.练就规范书写、精准计算的基本功 1.概念题秒判，选择填空不丢分 2.解方程组快准稳，步骤完整无失误 3.轻松搞定含参数的基础综合题 题型01.二元一次方程定义及解 题型02.二元一次方程组与解的判定 题型03.由二元一次方程组的解求参数 题型04.代入消元法 题型05.加减消元法 题型06.二元一次方程组的特殊解法 题型07.错解复原问题 题型08.构造方程组求解 题型09.由二元一次方程组解的情况求参数 题型10.方程组相同解问题 题型11.两直线交点与方程组的解 题型12.图象法解二元一次方程组 题型13.求直线围成的图形面积 题型14.三元一次方程组的定义及解 题型15.三元一次方程组的应用 解答题8题 基础概念三剑客，辨清才不慌 1. 二元一次方程 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式：ax+by=c（a0,b0） 解的特征：二元一次方程有无数个解，每个解都是一对有序数对 (x,y)。 2. 二元一次方程组 定义：由两个二元一次方程（或一个二元一次方程与一个一元一次方程）组成的方程组。 3.方程组的解：使方程组中两个方程都成立的未知数的值，即两个方程的公共解，通常只有唯一一组解。 解的检验：将 (x,y) 代入两个方程，若都成立，则是方程组的解。 两大解法秘籍，解方程组超轻松 秘籍 1：代入消元法 ——“挑软柿子捏，代进去就成” 适用场景：其中一个方程能轻松用一个未知数表示另一个（如 x=2y、y=3x-1）。 核心思路：用一个未知数表示另一个未知数，代入另一方程消去一个未知数，转化为一元一次方程。 秘籍 2：加减消元法 ——“系数凑成相反数 / 相等，加减就消元” 适用场景：方程组中某个未知数的系数有倍数关系，或能快速凑成相等 / 互为相反数。 步骤： 1.化：将方程组整理成标准形式 2.乘：给方程两边同乘适当的数，使某未知数系数互为相反数或相等； 3.加减：将两方程相加 / 减，消去一个未知数； 4.解：解一元一次方程，求出一个未知数； 5.回代：代入原方程求另一个未知数； 6.写：写出方程组的解。 核心结论与拓展 解的情况（期中拓展） 对于方程组 ： 若 ，则有唯一解； 若 ，则无解； 若 ，则有无数组解。 .三元一次方程组及其解法 1. 三元一次方程 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫做三元一次方程。 一般形式：ax+by+cz=d（a、b、c、d为常数，a0，b0，c0）。 2. 三元一次方程组 定义：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 3. 解法（核心：消元→二元→一元） 基本思路：通过代入法或加减法，消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再解二元一次方程组，最后回代求出第三个未知数。 步骤： 1 消：利用代入或加减，消去一个未知数，得到二元一次方程组； ② 解：解二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③ 回代：将这两个值代入原方程组中较简单的方程，求出第三个未知数的值；④ 写：写出三元一次方程组的解（用大括号联立三个未知数的值）。 避坑指南，踩雷零次 1. 判断二元一次方程，切记先化简再判定 2.代入消元时，不能代入变形的原方程，否则会得到恒等式 3.加减消元时，等式两边要同时乘除，不能只乘一边 4.方程组的解要成对写，不能漏写其中一个未知数的值。 题型01.二元一次方程定义及解 【典例】下列属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二元一次方程需满足：是整式方程，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，根据二元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：A项：中含未知数的项的次数为2，不符合定义，不是二元一次方程，故A错误； B项：只含有1个未知数，不符合定义，不是二元一次方程，故B错误； C项：整理得，是整式方程，含有两个未知数x，y，且含未知数的项的次数都是1，符合定义，是二元一次方程，故C正确； D项：中是分式，方程不是整式方程，不符合定义，不是二元一次方程，故D错误． 【跟踪专练1】已知方程的其中一个解为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入方程中，解方程即可得解． 【详解】解：方程的其中一个解为， ，解得． 3．【跟踪专练1】若是二元一次方程，则_____________． 【答案】7 【分析】根据二元一次方程的定义，可得和的次数都为，由此得到关于，的一元一次方程，求解得到，的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是二元一次方程． ，． 解得，． 将，代入得． ． 【跟踪专练2】二元一次方程的正整数解有______个． 【答案】3 【分析】写出使二元一次方程成立的所有符合条件的正整数解即可． 【详解】解：∵二元一次方程， ∴方程组的正整数解为， ∴二元一次方程的正整数解有3个． 【跟踪专练3】长沙某学校为了响应“双减”政策，大力推行课后服务课程，丰富学生的课后生活，开设了剪纸、戏曲、舞龙、武术、围棋个特色传统文化课程，每位同学至少选择一门特色课程，但是每位同学不能重复选择同一门课程．现对甲、乙、丙、丁、戊位同学的选课情况进行统计发现，甲、乙、丙、丁、戊分别选了、、、、门课程，而在这位同学中剪纸、戏曲、舞龙、武术、围棋分别被选了、、、、次，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．通过两种角度计算选课总次数建立等式，结合、的取值范围确定其值，进而求出的值即可． 【详解】解：按同学选课数统计总次数为， 按课程被选次数统计总次数为， 又两种统计方式的总次数相等， ，即， 单门课程最多被位同学各选次，故， ，得， 又每位同学至少选门课程，故， ，代入得， ， 故选：． 题型02.二元一次方程组与解的判定 【典例】下列方程组中，不是二元一次方程组的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程组需满足三个条件：①所有方程都是整式方程；②方程组总共只含两个未知数；③每个方程都是一次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A. ，共含x、y两个未知数，都是一次整式方程，是二元一次方程组，不符合题意； B. ，共含x、y、z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，符合题意； C. ，共含x、y两个未知数，都是一次整式方程，是二元一次方程组，不符合题意； D. ，共含x、y两个未知数，都是一次整式方程，系数为分数不改变次数，是二元一次方程组，不符合题意． 【跟踪专练1】若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能使方程组中两个方程都成立的未知数的值就是方程组的解，将代入各选项方程组验证即可． 【详解】解：A. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； B. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， 再代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴是该方程组的解，符合题意； C. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； D. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意． 【跟踪专练2】下列方程组是二元一次方程组的有（    ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．据此逐个判断即可． 【详解】①符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； ②中，未知数的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故不是二元一次方程组； ③方程组含x，y，z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故不是二元一次方程组； ④符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； 故是二元一次方程组的有①④，一共2个． 【跟踪专练3】若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解，把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解，即是方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； 故选：B． 题型03.由二元一次方程组的解求参数 【典例】小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★这个数，★=______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，熟练掌握“方程组的解满足方程组中的每一个方程”是解题的关键．利用方程组的解满足方程组中的方程，将已知的值代入对应的方程，求解的值． 【详解】解：∵方程组的解为，且， ∴将代入，得， ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【跟踪专练1】小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（    ） A．， B．，8 C．1， D．，1 【答案】A 【详解】解：设●，※两处分别代表的是，， ∵， ∴， 解得． 【跟踪专练2】已知方程组的解是，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】将已知解代入原方程组得到系数的关系，再将待求方程组与该关系对比，得到对应未知数的值． 【详解】解：把代入已知方程组， 得 ， ∵题目中方程组为， ∴其解为． 【跟踪专练3】小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（   ） A．3、 B．1、5 C．、3 D．5、1 【答案】D 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，将代入第一个方程求出y，再代入第二个方程求． 【详解】解：将代入，得：， 解得，即 将，代入，得：， 故和代表的数分别是5和1， 故选：D． 题型04.代入消元法 【典例】对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将①中的表达式代入②式，去括号整理即可得到结果． 【详解】解：，将其代入②式， 得， 去括号得． 【跟踪专练1】在二元一次方程中，若x、y互为相反数，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，相反数的定义，根据相反数的定义得到，再把代入原方程得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】已知二元一次方程组：①②③④解以上四个方程组比较适合的方法是（   ） A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法 C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法 【答案】B 【分析】当方程组中有一个方程直接给出一个未知数用另一个未知数表示的形式时，适合用代入消元法；当同一未知数的系数相同或互为相反数，或易化为相同/相反数时，适合用加减消元法，据此解答即可． 【详解】解：观察四个方程组： ∵①中已用直接表示，③中已用直接表示， ∴①③适合选用代入法； ∵②中同一未知数的系数可快速化为相同或相反数，④中的系数相等，可直接减法消元， ∴②④适合选用加减法． 题型05.加减消元法 【典例】已知有理数x，y满足，则xy的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题利用非负数的性质，多个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此列出二元一次方程组，求解x，y后计算即可． 【详解】解：∵ ，，且， ∴， 将两个方程相加，得，解得． 把 代入，得，解得． ∴． 【跟踪专练1】若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为________． 【答案】 【分析】将看作已知数求出方程组的解与，代入中计算即可得到的值． 【详解】解：， ①+②得：，即， 将代入①得：，即， 将，代入得： 解得：． 【跟踪专练2】若无论取何值，关于的二元一次方程组都有解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程组解的情况，先通过加减消元法消去，得到关于和的方程，再根据方程组有解的条件确定的值. 【详解】解：二元一次方程组， ②-①，得， 整理得， 即， ∵无论取何值，关于的二元一次方程组都有解， ∴， 解得：， ∴， 解得； 故选：C ． 题型06.二元一次方程组的特殊解法 【典例】已知、满足方程组，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：， 由①②得， 则． 【跟踪专练1】已知方程组，则的值为_________． 【答案】6 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，解题的关键在于运用整体思想简化运算，无需单独解出x、y的具体值．通过将方程组两式相加，直接凑出目标式的整体值，再代入即可求解． 【详解】解： 将，得 两边同时除以，得 ， ． 【跟踪专练2】已知关于的二元一次方程组的解为，关于的二元一次方程组的解为_____． 【答案】 【分析】根据题意易得关于的二元一次方程组的解满足，进行求解即可. 【详解】解：由题意，关于的二元一次方程组的解满足， 解得. 【跟踪专练3】已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（    ）个． ①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组．熟练掌握以上知识是解题关键．由，可得原方程组为，求解即可判断①；由原方程组可得出，结合，即得出，求解即可判断②；由原方程组可得出，即说明取任意实数，的值始终不变，可判断③；由原方程组可得出，整理，得：．结合，即可求出，，从而可求出，即存在实数，使成立，可判断④． 【详解】解：①当时，原方程组为， 解得：，故该项正确； ②， 由，得：． ∵，即， ∴， 解得：，即的最大值为2，故该项错误； ③， 由，得：， ∴取任意实数，的值始终不变，故该项正确； ④原方程组可改为：， ∴， 整理，得：． ∵，即， ∴， 解得：， ， ∴，即存在实数，使成立，故该项错误． 综上可知正确的有2个． 故选B． 题型07.错解复原问题 【典例】两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组中的错解问题的方法是解题的关键，甲的正确解代入原方程组得到关于的方程，乙的解因抄错，仅满足第一个方程，由此联立方程求解． 【详解】解：将代入原方程组， 得， 得， 将代入， 得， 化简为， 则， 解得：， 综上，，，， 故选：D． 【跟踪专练1】在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 【答案】 【分析】甲看错方程组中的，其得到的解满足方程组，代入求解可求出，乙看错方程组中的，其得到的解满足原方程，据此求出，最后计算的值即可． 【详解】解：∵甲求得的解是方程组的解， ∴将代入方程组得：， 解得； ∵乙看错了方程组中的，求得的解满足原方程， ∴将，代入得：， 解得：， ∴． 【跟踪专练2】解方程组时，小郑正确解得，而小童只看错了，解得，则的值是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】正确解满足原方程组所有方程，小童只看错c，因此其解满足第一个方程，据此列出方程求解、、，再计算即可． 【详解】解：∵小郑的解是原方程组的正确解， ∴代入原方程组得， 解得，， ∵小童只看错，因此满足， ∴代入得， 整理得， 联立得方程组， 解得：，， ∴． 题型08.构造方程组求解 【典例】如果与是同类项，那么_________． 【答案】0 【分析】本题考查同类项及二元一次方程组的应用，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 根据“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项”，求出a，b的值即可． 【详解】解：单项式与是同类项， ， 解得， ， 故答案为：0． 【跟踪专练1】在等式中，当时，；当时，，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知两组，的对应值代入等式，得到关于，的二元一次方程组，解方程组求出，的值，即可得到所求等式． 【详解】解：当时，；当时，， 代入，得， 得， 解得， 把代入得， 解得， 把，代入得． 【跟踪专练2】对于有理数、，定义新运算：，其中、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，则的值是______． 【答案】 【分析】根据新定义的运算法则，列出关于常数、的二元一次方程组，解方程组得到、的值，再代入计算即可． 【详解】解：根据题中的新定义化简已知条件得， 解得， 则． 【跟踪专练3】若的结果中不含项和项，则、的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式法则展开，再根据结果中不含项和项可知，项和项的系数为0，即可得解． 【详解】解： ； ∵结果中不含项和项， ∴，解得． 题型09.由二元一次方程组解的情况求参数 【典例】如果关于，的二元一次方程的解，满足，那么的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中两个方程相加得到，再由题意可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∵关于，的二元一次方程的解，满足， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】关于x，y的方程组的解中，x减去y的差等于5，则k的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】两方程相减得出，进而求出k的值． 【详解】解：， 得：， ∵x减去y的差等于5， ， 解得：． 【跟踪专练2】若方程组无解（其中），则的值为___________． 【答案】/0.5 【分析】先将二元一次方程组化为关于x的一元一次方程，由二元一次方程组无解，得到，求出k的值即可． 【详解】解：由方程组，得 ， ， ∵原方程组无解，且， ∴， 解得． 【跟踪专练3】若关于，的方程组有正整数解，则符合条件的整数的和为（   ） A．8 B．7 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组的解的情况求参数，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 通过消元法得到，由y为正整数可知为6的正约数，代入验证x是否为正整数，从而确定符合条件的a值，并求其和． 【详解】解：原方程组为： 得： 得：， ， ∵ y为正整数， ∴为6的正约数，即， ∴ a的值为：， 分别代入求x： 当时，，代入：，解得，为正整数，符合； 当时，，代入：，解得，非整数，不符合； 当时，，代入：，解得，为正整数，符合； 当时，，代入：，解得，非整数，不符合． ∴符合条件的整数a为0和2，其和为． 故选：D． 题型10.方程组相同姐问题 【典例】若方程组和同解，则a的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，由于所给两个方程组的解相同，那么先利用加减消元法对第二个方程组进行求解，从而得到x和y的值； 再将所得x和y的值代入含有a的方程中，进而通过解方程组就能得到a的值． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为， ∵方程组和同解， ∴把代入，得， 解得：， 故选：B． 【跟踪专练1】已知方程组的解是，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】令，，则方程组变形为，结合题意可得方程组的解是，从而得出，，由此计算即可得出结果． 【详解】解：令，，则方程组变形为， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴，， ∴，， ∴方程组的解为． 【跟踪专练2】已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个方程组有相同的解，说明该解同时满足所有方程，因此先联立不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，得到关于的方程组即可求解． 【详解】解：根据题意，联立不含参数的方程得 ， ①+②得，解得， 把代入①得 ，解得， 把代入和得： ， 将代入得，解得 把代入得 ， 所以，即选项A符合题意． 题型11.两直线交点与方程组的解 【典例】如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴点的坐标同时满足两个直线的解析式， ∴方程组的解是． 【跟踪专练1】如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【分析】先将交点的纵坐标代入求出横坐标，确定交点的坐标；再根据二元一次方程组的解与两直线交点坐标的对应关系，得出方程组的解． 【详解】解：∵ 点在直线上， ∴ 把代入，得， 解得， ∴ 点的坐标为， ∵ 二元一次方程组可变形为， ∴ 该方程组的解就是直线与交点的坐标， ∵ 直线与的交点为 ∴方程组的解是． 【跟踪专练2】已知一次函数与的图象的交点为，则关于的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的交点与二元一次方程组解的关系，根据一次函数的交点坐标就是以一次函数解析式所构成的二元一次方程组的解，即可求解，掌握一次函数的交点与二元一次方程组解的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数与的图象的交点为， ∴关于的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 题型12.图象法解二元一次方程组 【典例】.如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是__． 【答案】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，即可进行解答． 【详解】解：把代入得：， ∴， ∵点P为一次函数与的图象交点， ∴方程组的解是； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两个一次函数的交点的横坐标和纵坐标的值等于对应二元一次方程组的解． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可． 【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2）， ∴方程组的解是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 【跟踪专练2】已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的综合问题． 二元一次方程组无解的条件是两条直线平行，即x的系数相等但b不等，通过令k相等求解k的值． 【详解】解：由方程组无解，得直线与直线平行，故x的系数相等，即 ． 解方程： ， 移项得： ， 即：， 解得：． 故答案为：． 题型13.求直线围成的图形面积 【典例】如图，已知直线与直线相交于点C，与y轴别相交于点A，B，则的面积是____________． 【答案】2 【分析】本题考查了两直线相交问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解，也考查了三角形面积公式． 先求出，，从而得出，联立方程组即可求出点C的坐标，再根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】直线中，令，则 直线中，令，则 ， 将与联立 解得： 点C的坐标为 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴的正半轴于两点，且的面积为． （1）的值为__________； （2）为第二象限内的一点，连接，交轴于点，且，连接，则的面积为___________． 【答案】 6 【分析】本题考查一次函数的图象与性质及三角形面积的计算，关键是利用一次函数与坐标轴的交点坐标及三角形面积公式求解参数，再通过直线解析式确定点的坐标，进而利用割补法计算三角形面积． （1）先根据直线与轴的交点求出的长度，结合的面积求出的长度，得到点的坐标，将点坐标代入直线解析式即可求出的值； （2）先根据的长度确定点的坐标，利用、两点坐标求出直线的解析式，代入点的纵坐标求出点的横坐标，最后将的面积拆分为两个以为底的三角形面积之和，计算得出结果． 【详解】（1）解：∵直线交轴正半轴于点， ∴， ∴． ∵，且在轴正半轴， ∴，解得， ∴． 将代入得，解得； 故答案为：． （2）解：∵在轴上，， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入得：，解得， ∴直线的解析式为． ∵在直线上， ∴，解得， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练2】在同一个平面直角坐标系内，三条直线所对应的一次函数如图所示（其中），分别作直线与这三条直线相交形成的图中所有7块阴影部分面积和为（   ） A． B．14.7 C． D．7.35 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数和几何的综合题．根据一次函数的图像和性质依次求出7块阴影部分面积，求和即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴直线，之间的阴影部分面积为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴直线，之间的阴影部分面积为， 同理可得，其余阴影部分面积分别为， ∴图中所有7块阴影部分面积和为， 故选：D 题型14.三元一次方程组的定义及解 【典例】三元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用代入消元法，逐步消元求解三元一次方程组即可． 【详解】解：， 将①代入②，得 解得， 将①和代入③，得 解得， 将代入①，得， 原方程组的解为． 【跟踪专练1】三元一次方程组的解是______． 【答案】 【详解】解： 将三个方程左右两边分别相加，得：， 整理得：， 用④分别减去①②③消元： 得：； 得：； 得：； 所以原方程组的解为． 【跟踪专练2】若关于x的多项式的一个因式是，则的值为（   ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，三次多项式含有一个二次因式，因此另一个因式为一次因式，用待定系数法设出因式后展开，对比对应项系数求出a和b的值，再计算即可． 【详解】解：∵关于x的三次多项式的一个因式是， ∴设另一个一次因式为， 可得， ∴， ∴ 解得， ∴． 题型15.三元一次方程组的应用 【典例】现有A，B，C三箱橘子，其中A，B两箱共100个橘子，A，C两箱共102个橘子，B，C两箱共106个橘子，求每箱各有多少个橘子．在该问题中，若设A，B，C三个箱子中的橘子分别有x个、y个、z个，则可列方程组为______． 【答案】 【分析】题目主要考查三元一次方程组的应用，理解题意是解题关键． 根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设A，B，C三个箱子中的橘子分别有x个、y个、z个， 根据题意得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（    ）张 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次不定方程的应用．根据题意列出三元一次方程组是解题的关键． 设三种票分别买了张．则根据题意列出关于的三元一次方程组，然后解的值即可． 【详解】解：分别设三种票买了张． 则根据题意，得， 由②得③ 将③代入①，得：． 故选：A． 【跟踪专练2】为迎国庆，沙乡街道办摆放花盆，有塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆三种．其中塑料花盆由15朵红花、24朵黄花、25朵粉花组合而成，陶瓷花盆由10朵红花、12朵黄花组合而成，木制花盆由10朵红花、18朵黄花、25朵粉花组合而成．这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花，则黄花一共用了____朵． 【答案】4380 【分析】设塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆的数量分别为、、个，根据“这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花”列方程化简得出，，再根据黄花总数代入求解即可． 【详解】解：设塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆的数量分别为、、个， 根据题意可得红花总数量：，化简得：①， 粉花总数量：，化简得：②， 把②代入①：， 整理得：， 则黄花总数（朵）． 解答题 1．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得， ∴原方程组的解是； （2）解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入②得， ∴原方程组的解是． 2．在解方程组时，小明解得，求的值． 【答案】 【详解】解：把代入方程组， 得， 解得， 所以． 3．请用合适的方法解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由加减消元法求解即可； （2）把看作整体未知数，可得，，再利用加减消元法可得答案. 【详解】（1）解： 由得，，解得， 将代入①得， ∴原方程组的解为； （2）解： 由②得：③ ①-③得： 解得：④ 把④代入①得：⑤ ④+⑤得： 解得， 把代入④得： 所以方程组的解为 4．解关于的方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，先把代入原方程组得到；再利用小刚看错但解满足第一个方程的条件，将其解代入方程得到，联立两个关于的方程求出，最后代入算出结果为． 【详解】解：由题意得：是方程组的解， ∴， 解得：，， ∵小刚只看错了，解得， ∴是方程的解， ∴， ∴联立， 解得：， ∴． 5．对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如：． (1)填空： （用含，的代数式表示）； (2)若，． ①求与的值； ②若，求出此时的值． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）根据题干中的计算规则进行计算即可； （2）①根据题干中的计算规则可列方程组，解方程组即可求出、的值； ②根据，可得关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：； （2）①解：，， ， 整理得：， 解得：； ②解：，， ， 解得：． 6．若关于的方程组和方程组有相同的解，请分别求出的值． 【答案】的值为，的值为． 【分析】本题考查了同解方程组的知识，解答此题的关键是熟知方程组有公共解的含义．方程组有相同的解，所以只需求出方程组的解，再代入方程组，即可求出未知数的值． 【详解】解：根据题意得：方程组 ①②得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴ 把代入方程组， 得， 解得： ∴的值为，的值为． 7．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用加减消元法求解； （2）先将原方程组两个方程化简，再利用加减消元法求解； （3）先将原方程组两个方程化简，再利用加减消元法求解； （4）先消去一个未知数转化为二元一次方程组，再依次求解． 【详解】（1）解： 得：， 将代入得：， 解得， 因此该方程组的解为； （2）解： 整理得 得：， 解得， 将代入得：， 解得， 因此该方程组的解为； （3）解： 整理得 得：， 解得， 将代入得：， 解得， 因此该方程组的解为； （4）解： 得：， 得：， 得：， 解得， 将代入得：， 解得， 将代入得：， 解得， 因此该方程组的解为． 8．已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得x，y的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，即由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)（类比探究）已知方程组请用整体思想求的值． (2)（解决问题）某文具店售卖笔记本、中性笔和便利贴：买14本笔记本、4支中性笔和3本便利贴共需41元；买27本笔记本、7支中性笔和5本便利贴共需73元．则购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需多少元？ (3)（拓展延伸）对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数）．已知，，求的值． 【答案】(1) (2)购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需元 (3) 【分析】（1）由可得，由计算即可得出结果； （2）设笔记本的单价为元，中性笔的单价为元，便利贴的单价为元，由题意可得，求出，即可得出结果； （3），由可得，即可得出结果． 【详解】（1）解：， 由可得：， 由可得：， ∴； （2）解：设笔记本的单价为元，中性笔的单价为元，便利贴的单价为元， 由题意可得：， 由可得：， 由可得：， ∴， ∴（元）， 故购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需元； （3）解：∵对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数），已知，， ∴， 由可得：， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二元一次方程组复习讲义(不含应用) 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透二元一次方程（组）及解的核心定义，精准判断 2.掌握代入 / 加减消元法，理解消元化归思想 3.规范解方程组步骤，能根据系数选最优解法 1.提升概念辨析与代数运算能力 2.学会二元转一元的转化思维 3.练就规范书写、精准计算的基本功 1.概念题秒判，选择填空不丢分 2.解方程组快准稳，步骤完整无失误 3.轻松搞定含参数的基础综合题 题型01.二元一次方程定义及解 题型02.二元一次方程组与解的判定 题型03.由二元一次方程组的解求参数 题型04.代入消元法 题型05.加减消元法 题型06.二元一次方程组的特殊解法 题型07.错解复原问题 题型08.构造方程组求解 题型09.由二元一次方程组解的情况求参数 题型10.方程组相同解问题 题型11.两直线交点与方程组的解 题型12.图象法解二元一次方程组 题型13.求直线围成的图形面积 题型14.三元一次方程组的定义及解 题型15.三元一次方程组的应用 解答题8题 基础概念三剑客，辨清才不慌 1. 二元一次方程 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式：ax+by=c（a0,b0） 解的特征：二元一次方程有无数个解，每个解都是一对有序数对 (x,y)。 2. 二元一次方程组 定义：由两个二元一次方程（或一个二元一次方程与一个一元一次方程）组成的方程组。 3.方程组的解：使方程组中两个方程都成立的未知数的值，即两个方程的公共解，通常只有唯一一组解。 解的检验：将 (x,y) 代入两个方程，若都成立，则是方程组的解。 两大解法秘籍，解方程组超轻松 秘籍 1：代入消元法 ——“挑软柿子捏，代进去就成” 适用场景：其中一个方程能轻松用一个未知数表示另一个（如 x=2y、y=3x-1）。 核心思路：用一个未知数表示另一个未知数，代入另一方程消去一个未知数，转化为一元一次方程。 秘籍 2：加减消元法 ——“系数凑成相反数 / 相等，加减就消元” 适用场景：方程组中某个未知数的系数有倍数关系，或能快速凑成相等 / 互为相反数。 步骤： 1.化：将方程组整理成标准形式 2.乘：给方程两边同乘适当的数，使某未知数系数互为相反数或相等； 3.加减：将两方程相加 / 减，消去一个未知数； 4.解：解一元一次方程，求出一个未知数； 5.回代：代入原方程求另一个未知数； 6.写：写出方程组的解。 核心结论与拓展 解的情况（期中拓展） 对于方程组 ： 若 ，则有唯一解； 若 ，则无解； 若 ，则有无数组解。 .三元一次方程组及其解法 1. 三元一次方程 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫做三元一次方程。 一般形式：ax+by+cz=d（a、b、c、d为常数，a0，b0，c0）。 2. 三元一次方程组 定义：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 3. 解法（核心：消元→二元→一元） 基本思路：通过代入法或加减法，消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再解二元一次方程组，最后回代求出第三个未知数。 步骤： 1 消：利用代入或加减，消去一个未知数，得到二元一次方程组； ② 解：解二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③ 回代：将这两个值代入原方程组中较简单的方程，求出第三个未知数的值；④ 写：写出三元一次方程组的解（用大括号联立三个未知数的值）。 避坑指南，踩雷零次 1. 判断二元一次方程，切记先化简再判定 2.代入消元时，不能代入变形的原方程，否则会得到恒等式 3.加减消元时，等式两边要同时乘除，不能只乘一边 4.方程组的解要成对写，不能漏写其中一个未知数的值。 题型01.二元一次方程定义及解 【典例】下列属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知方程的其中一个解为，则等于（   ） A． B． C． D． 3．【跟踪专练1】若是二元一次方程，则_____________． 【跟踪专练2】二元一次方程的正整数解有______个． 【跟踪专练3】长沙某学校为了响应“双减”政策，大力推行课后服务课程，丰富学生的课后生活，开设了剪纸、戏曲、舞龙、武术、围棋个特色传统文化课程，每位同学至少选择一门特色课程，但是每位同学不能重复选择同一门课程．现对甲、乙、丙、丁、戊位同学的选课情况进行统计发现，甲、乙、丙、丁、戊分别选了、、、、门课程，而在这位同学中剪纸、戏曲、舞龙、武术、围棋分别被选了、、、、次，那么等于（    ） A． B． C． D． 题型02.二元一次方程组与解的判定 【典例】下列方程组中，不是二元一次方程组的是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列方程组是二元一次方程组的有（    ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪专练3】若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（   ） A． B． C． D． 题型03.由二元一次方程组的解求参数 【典例】小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★这个数，★=______． 【跟踪专练1】小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（    ） A．， B．，8 C．1， D．，1 【跟踪专练2】已知方程组的解是，则方程组的解为______． 【跟踪专练3】小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（   ） A．3、 B．1、5 C．、3 D．5、1 题型04.代入消元法 【典例】对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在二元一次方程中，若x、y互为相反数，则___________． 【跟踪专练2】已知二元一次方程组：①②③④解以上四个方程组比较适合的方法是（   ） A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法 C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法 题型05.加减消元法 【典例】已知有理数x，y满足，则xy的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【跟踪专练1】若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为________． 【跟踪专练2】若无论取何值，关于的二元一次方程组都有解，则（    ） A． B． C． D． 题型06.二元一次方程组的特殊解法 【典例】已知、满足方程组，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练1】已知方程组，则的值为_________． 【跟踪专练2】已知关于的二元一次方程组的解为，关于的二元一次方程组的解为_____． 【跟踪专练3】已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（    ）个． ①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 题型07.错解复原问题 【典例】两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪专练1】在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 【跟踪专练2】解方程组时，小郑正确解得，而小童只看错了，解得，则的值是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 题型08.构造方程组求解 【典例】如果与是同类项，那么_________． 【跟踪专练1】在等式中，当时，；当时，，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】对于有理数、，定义新运算：，其中、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，则的值是______． 【跟踪专练3】若的结果中不含项和项，则、的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 题型09.由二元一次方程组解的情况求参数 【典例】如果关于，的二元一次方程的解，满足，那么的值是________． 【跟踪专练1】关于x，y的方程组的解中，x减去y的差等于5，则k的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【跟踪专练2】若方程组无解（其中），则的值为___________． 【跟踪专练3】若关于，的方程组有正整数解，则符合条件的整数的和为（   ） A．8 B．7 C．3 D．2 题型10.方程组相同姐问题 【典例】若方程组和同解，则a的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．不存在 【跟踪专练1】已知方程组的解是，则方程组的解为______． 【跟踪专练2】已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 题型11.两直线交点与方程组的解 【典例】如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 【跟踪专练2】已知一次函数与的图象的交点为，则关于的二元一次方程组的解为______． 题型12.图象法解二元一次方程组 【典例】.如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是__． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为_____． 题型13.求直线围成的图形面积 【典例】如图，已知直线与直线相交于点C，与y轴别相交于点A，B，则的面积是____________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴的正半轴于两点，且的面积为． （1）的值为__________； （2）为第二象限内的一点，连接，交轴于点，且，连接，则的面积为___________． 【跟踪专练2】在同一个平面直角坐标系内，三条直线所对应的一次函数如图所示（其中），分别作直线与这三条直线相交形成的图中所有7块阴影部分面积和为（   ） A． B．14.7 C． D．7.35 题型14.三元一次方程组的定义及解 【典例】三元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】三元一次方程组的解是______． 【跟踪专练2】若关于x的多项式的一个因式是，则的值为（   ） A．17 B．18 C．19 D．20 题型15.三元一次方程组的应用 【典例】现有A，B，C三箱橘子，其中A，B两箱共100个橘子，A，C两箱共102个橘子，B，C两箱共106个橘子，求每箱各有多少个橘子．在该问题中，若设A，B，C三个箱子中的橘子分别有x个、y个、z个，则可列方程组为______． 【跟踪专练1】电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（    ）张 A．10 B．11 C．12 D．13 【跟踪专练2】为迎国庆，沙乡街道办摆放花盆，有塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆三种．其中塑料花盆由15朵红花、24朵黄花、25朵粉花组合而成，陶瓷花盆由10朵红花、12朵黄花组合而成，木制花盆由10朵红花、18朵黄花、25朵粉花组合而成．这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花，则黄花一共用了____朵． 解答题 1．解下列方程组： (1) (2) 2．在解方程组时，小明解得，求的值． 3．请用合适的方法解方程组： (1)； (2)． 4．解关于的方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得，求的值． 5．对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如：． (1)填空： （用含，的代数式表示）； (2)若，． ①求与的值； ②若，求出此时的值． 6．若关于的方程组和方程组有相同的解，请分别求出的值． 7．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 8．已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得x，y的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，即由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)（类比探究）已知方程组请用整体思想求的值． (2)（解决问题）某文具店售卖笔记本、中性笔和便利贴：买14本笔记本、4支中性笔和3本便利贴共需41元；买27本笔记本、7支中性笔和5本便利贴共需73元．则购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需多少元？ (3)（拓展延伸）对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数）．已知，，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $