解三角形（期中复习讲义）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

解三角形期中复习讲义 知识点1 正弦定理 1、正弦定理 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，外接圆半径为R，则：R 2、正弦定理的推广及常用变形公式 在 中，若角 、、 所对边的边长分别为 、、 ，其外接圆半径为 R ，则 （1）（边到角的转化）． （2） （角到边的转化）． （3） （4） （5） 知识点2 余弦定理 1、余弦定理 在 △ABC 中，设角A、B、C所对边的边长分别为 a、b、c ，则有 2、 余弦定理的推论 知识点3 三角形的面积公式 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则 （1），其中 R 为 的外接圆的半径． （2） 表示边 上的高）． （3） 是三角形内切圆的半径）． （4），其中 c）为△ABC的半周长． 知识点4 三角形中常用结论 1、内角和及相关的结论 , , ,C 2、边角关系 (1) 大边对大角，大角对大边 (2) 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 3、三角形解的个数 在△ABC中，已知a，b和A时，△ABC解的情况如下： 若为锐角时： 若A为直角或者钝角时： 知识点5 三角形中的中线与角平分线的相关结论 1、中线 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， （1）向量形式： 结论： （2）角形式： 在中有：;在中有：; 2、角平分线 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， （1）内角平分线定理： 或 （2）等面积法 （3）角形式： 在中有：; 在中有：; 知识点6 测量角度问题 （1）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 （2）方位角是从指北方向线顺时针转到目标方向线的角 （3）方向角：相对于某一正方向的水平角．例：北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向． （4）坡角与坡度：坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数；坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比．坡度又称为坡比 （5）测量角度的核心思想是： 将待测角置于一个或一系列三角形中，通过测量足够数量的边和其他角，利用三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理反推出目标角 题型一、正弦定理解三角形 【例1】在中，角的对边分别为，若，则角__________． 【变式1】在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则(    ) A. B. 或 C. D. 或 【变式2】的内角，，的对边分别为，，，若，则(    ) A. B. C. D. 【变式3】在中，，，，则(    ) A. B. C. D. 题型二、正弦定理判定三角形解的个数 【例2】在中，已知，，，则满足条件的三角形个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 无法确定 【变式1】满足下列条件的三角形中，有1解的个数是（    ） （1）    （2） （3）    （4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为_____. 【变式3】在中，内角，，的对边分别为，，，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 题型三、余弦定理解三角形 【例3】在中，，，，则(    ) A. B. C. D. 【变式1】在中，为的角平分线，若，，，则(    ) A. B. C. D. 【变式2】已知在中，，则等于(    ) A. B. C. D. 题型四、正余弦定理判定三角形形状 【例4】已知在中，，则的形状为(    ) A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【变式1】在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是(    ) A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【变式2】在中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“为锐角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【变式3】的内角，，的对边分别为，，，下列说法错误的是(    ) A. 若，则一定为钝角三角形 B. 若，，，则解此三角形必有一解 C. 若，则一定为等腰三角形 D. 若是锐角三角形，则 题型五、三角形面积公式及其应用 【例4-1】的内角，，的对边分别为，，，已知，．求；求周长的最大值． 【例4-2】 已知中，，，分别为角，，的对边，且．求角若，，为角的平分线，求的长；若，求锐角面积的取值范围． 【变式1】在中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，．求角 ；若外接圆的半径为，求面积的最大值． 【变式2】在锐角中，内角、、所对的边分别为，，，，，向量，的夹角为．求角若，求周长的取值范围． 【变式3】由于年月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响．月初政府在个别地区推行地摊经济、小店经济以刺激消费和促进就业．某商场经营者吴某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意．已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界，的距离分别为，，为长度单位吴某准备过点修建一条长椅点，分别落在，上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计，以供购买冷饮的人休息．求线段的长；为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值． 【变式4】在中，，，分别为角，，所对的边在；这三个条件中任选一个，作出解答．求角的值；若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 【变式5】的内角，，的对边分别为，，，且．求的值；若，，，求的取值范围． 【变式6】在锐角中，，，分别是内角，，所对的边，若，且．求角的大小．求的取值范围． 【变式7】在中，设角，，的对边长分别为，，，已知．求角的值Ⅱ若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 【变式8】在中，角，，所对的边分别为，，，且．若，，求角设的角平分线交于点，若面积为，求长的最大值． 2 / 30 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解三角形期中复习讲义 知识点1 正弦定理 1、正弦定理 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，外接圆半径为R，则：R 2、正弦定理的推广及常用变形公式 在 中，若角 、、 所对边的边长分别为 、、 ，其外接圆半径为 R ，则 （1）（边到角的转化）． （2） （角到边的转化）． （3） （4） （5） 知识点2 余弦定理 1、余弦定理 在 △ABC 中，设角A、B、C所对边的边长分别为 a、b、c ，则有 2、 余弦定理的推论 知识点3 三角形的面积公式 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则 （1），其中 R 为 的外接圆的半径． （2） 表示边 上的高）． （3） 是三角形内切圆的半径）． （4），其中 c）为△ABC的半周长． 知识点4 三角形中常用结论 1、内角和及相关的结论 , , ,C 2、边角关系 (1) 大边对大角，大角对大边 (2) 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 3、三角形解的个数 在△ABC中，已知a，b和A时，△ABC解的情况如下： 若为锐角时： 若A为直角或者钝角时： 知识点5 三角形中的中线与角平分线的相关结论 1、中线 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， （1）向量形式： 结论： （2）角形式： 在中有：;在中有：; 2、角平分线 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， （1）内角平分线定理： 或 （2）等面积法 （3）角形式： 在中有：; 在中有：; 知识点6 测量角度问题 （1）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 （2）方位角是从指北方向线顺时针转到目标方向线的角 （3）方向角：相对于某一正方向的水平角．例：北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向． （4）坡角与坡度：坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数；坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比．坡度又称为坡比 （5）测量角度的核心思想是： 将待测角置于一个或一系列三角形中，通过测量足够数量的边和其他角，利用三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理反推出目标角 题型一、正弦定理解三角形 【例1】在中，角的对边分别为，若，则角__________． 【答案】 【解答】由正弦定理得，，因为，所以为锐角，则， 所以， 【变式1】在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则(    ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】A  【解答】因为  ，  ，  ，由正弦定理可得  ，即  ， 因为  ，所以  或  ，当  时，  ，不满足， 所以  ． 【变式2】的内角，，的对边分别为，，，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解答】解：由于的内角，，的对边分别为，，，当， 利用正弦定理可得：，即，整理得． 【变式3】在中，，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解答】解：，，利用余弦定理，，， 利用正弦定理，，， 题型二、正弦定理判定三角形解的个数 【例2】在中，已知，，，则满足条件的三角形个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 无法确定 【答案】A  【解答】解：由，，，由正弦定理得，即，则， 又，所以，所以． 【变式1】满足下列条件的三角形中，有1解的个数是（    ） （1）    （2） （3）    （4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】（1）又∵,∴为锐角，故有唯一解，∴满足（1）中的条件的三角形有唯一解；（2）又∵,∴,∴为锐角，故有唯一解，∴满足（2）中的条件的三角形有唯一解；（3）无解，∴满足（3）中的条件的三角形无解；（4）又∵,∴,∴为锐角或钝角，故有两解，∴满足（4）中的条件的三角形有两解； 【变式2】已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为_____. 【答案】 【详解】在中，由及正弦定理可得：.∵有两解，，即. 【变式3】在中，内角，，的对边分别为，，，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B  【解答】解：对于，已知三角形三边，且满足任意两边之和大于第三边， 从而可由余弦定理求内角，故只有一解，故A错误；对于，根据正弦定理 得，即，解得：，因为，所以可为锐角也可为钝角，此时有两解，故B正确；对于，因为和已确定，所以只能等于，且，故只有唯一解，故C错误；对于，根据正弦定理 得，即，解得：，因为，所以只能为锐角，此时只有一解，故D错误． 题型三、余弦定理解三角形 【例3】在中，，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解答】解：在中，，，，由余弦定理可得，故AB，． 【变式1】在中，为的角平分线，若，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解答】解：由，得   ，所以 ，则，所以，故由余弦定理得 【变式2】已知在中，，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解答】解：：：：：，由正弦定理知：：：：，可设，，，，由余弦定理得，， 题型四、正余弦定理判定三角形形状 【例4】已知在中，，则的形状为(    ) A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D  【解答】解：方法一：，由正弦定理得， 又，，．在中，，，或，或，为等腰三角形或直角三角形故选D． 方法二：，由正弦定理、余弦定理得，，，或，即或， 为等腰三角形或直角三角形 【变式1】在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是(    ) A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B  【解答】解因为，所以，即，所以，又因为，故． 【变式2】在中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“为锐角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B  【解答】解：，当为锐角三角形时，， 所以，即，所以；而由，结合余弦定理可得，， 化简得，则，即，无法确定角，是否也为锐角，故并不能得出为锐角三角形，所以“”是“为锐角三角形”的必要不充分条件． 【变式3】的内角，，的对边分别为，，，下列说法错误的是(    ) A. 若，则一定为钝角三角形 B. 若，，，则解此三角形必有一解 C. 若，则一定为等腰三角形 D. 若是锐角三角形，则 【答案】C  【解答】解：对于，由得：，即，即，由正弦定理得，由余弦定理得，因此角是钝角，一定是钝角三角形，A正确对于，由正弦定理可得，因为，所以，故此三角形有唯一解，B正确；对于，因为，所以由余弦定理得，所以，即，得，所以或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于，因为是锐角三角形，所以，即，又在上单调递增，所以，同理，所以，D正确． 题型五、三角形面积公式及其应用 【例4-1】的内角，，的对边分别为，，，已知，．求；求周长的最大值． 【答案】解：由．结合正弦定理可得，整理得， 所以，因为，所以，因为，所以，所以，又因为，所以．又，所以； 由余弦定理，得，所以，则， 所以，当且仅当“”时取得等号，所以周长的最大值为．  【例4-2】 已知中，，，分别为角，，的对边，且．求角若，，为角的平分线，求的长；若，求锐角面积的取值范围． 【答案】解：由，得，， ，．，； 设，由，得，解得，即角平分线的长度为； 设外接圆半径为，由，可得，即，，的面积，，，，，，，，，，，  【变式1】在中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，．求角 ； 若外接圆的半径为，求面积的最大值． 【答案】解：由  得，  ，所以  ，又  ，所以  ，所以  ，因为  ，所以  ； 由  外接圆的半径为  ，则得  ，由余弦定理得，  ，即  ，所以  ，解得  ，当且仅当时取等号，所以  ，故  面积的最大值为  ． 【变式2】在锐角中，内角、、所对的边分别为，，，，，向量，的夹角为．求角若，求周长的取值范围． 【答案】解：由，，有，由，可得，有； 由和正弦定理可知，可得，又由为锐角三角形，可得 由，有，可得，有故周长的取值范围为 【变式3】由于年月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响．月初政府在个别地区推行地摊经济、小店经济以刺激消费和促进就业．某商场经营者吴某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意．已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界，的距离分别为，，为长度单位吴某准备过点修建一条长椅点，分别落在，上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计，以供购买冷饮的人休息．求线段的长；为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值． 【答案】解：连接，在中，， 由余弦定理知，，，，，在中，由正弦定理知，，即，，连接，在中，，，故点到点的距离为 由三角形面积公式知，，，，，当且仅当，即，时，等号成立， 此时，故当等于时，该三角形区域面积最小，面积的最小值为．  【变式4】在中，，，分别为角，，所对的边在；这三个条件中任选一个，作出解答．求角的值；若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 【答案】解：若选择条件，由正弦定理得：，即，又，可得，，． 若选择条件，，，，，，可得． 若选择条件，，，可得，，， 由正弦定理得：，， ，锐角三角形，，，．  【变式5】的内角，，的对边分别为，，，且．求的值；若，，，求的取值范围． 【答案】解：在中，，由正弦定理得：，即：．由余弦定理可知：，则得．，故． ，，．由知，，由正弦定理得，，则，，．在中，，，，故， 所以的范围是． 【变式6】在锐角中，，，分别是内角，，所对的边，若，且．求角的大小．求的取值范围． 【答案】解：因为，，，，，，而，，由正弦定理得：，，，，， 因为为锐角三角形，； 当时，由得，为锐角三角形，，即，得为等边三角形，．故的取值范围是．  【变式7】在中，设角，，的对边长分别为，，，已知．求角的值Ⅱ若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 【答案】解：Ⅰ，由正弦定理得，即，即， 即，由余弦定理得，， Ⅱ，，即，又，由正弦定理得，，为锐角三角形，从而， 【变式8】在中，角，，所对的边分别为，，，且．若，，求角设的角平分线交于点，若面积为，求长的最大值． 【答案】解：因为，依据正弦定理，所以， 即由余弦定理变形知，因为，所以． 因为，，则在中，由正弦定理得：又，因为，所以． 法一：因为，是的角平分线，而，所以即，所以，因为，，，且，故AD当且仅当取等， 所以最大值为．答：当时，最大值为． 法二：设，，在，中由正弦定理知：， ，因为，所以得，令，，由于，所以，所以当时，最大值为．  2 / 30 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $