期中复习讲义02 复数8大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册重难点讲义与测试

期中复习讲义02 复数 【考点一】 复数的坐标表示 【考点五】 复数的三角表示 【考点二】 求复数的模 【考点六】 复数范围内方程的根 【考点三】 复数的加减运算及其几何意义 【考点七】 复数的除法运算 【考点四】 复数的乘法运算 【考点八】 共轭复数的概念及计算 一、复数的基本概念（基础必考点） 1. 定义 形如 的数叫复数， 为虚数单位，满足。 实部： 虚部：（注意：虚部是实数 ，不是 ） 2. 复数分类（高频选择/填空） 易错点：纯虚数必须满足 且 ，缺一不可。 3. 复数相等 应用：求参数、解方程 4. 共轭复数 若 ，则其共轭复数 性质：； 5. 复数的模 向量 的长度叫复数的模： 性质：； 二、复数的几何意义（重难点） 1. 复平面 横轴：实轴（表示实数） 纵轴：虚轴（表示虚数，原点除外） 2. 一一对应关系 3. 几何意义应用 点的象限判断：根据 坐标判断 两点距离： 表示复平面内两点 间距离 轨迹问题：如 表示以 为圆心、 为半径的圆 三、复数的四则运算（核心计算） 设 1. 加减运算 2. 乘法运算（多项式乘法） i 的幂周期：（周期为4） 3. 除法运算（分母实数化，必考） 关键：分子分母同乘分母的共轭复数 【考点一】复数的坐标表示 1．（23-24高一下·山西太原·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东青岛·期中）在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 3.（多选）（23-24高一下·江苏南通·期中）在复平面内，，对应的复数分别为，，且，则可能是（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）已知复数在复平面上对应的点在实轴负半轴上，则实数__________． 5.（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知i为虚数单位，复数 (1)若z是实数，求m的值； (2)若z是纯虚数，求m的值； (3)若复数z与在复平面上对应的向量分别为 ，且的夹角为钝角，求m的取值范围. 【考点二】求复数的模 6．（23-24高一下·甘肃庆阳·期中）已知虚数是关于的方程的一个根，且，则（    ） A．3 B．2 C．4 D．7 7．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）设复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 8.（多选）（24-25高一下·云南昆明·期中）已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（    ） A．，两点在以原点为圆心的同一个圆上 B．，两点之间的距离为 C．满足的复数z对应的点Z形成的图形的周长是25π D．满足的复数z对应的点Z形成的图形的面积是4π 9.（24-25高一下·甘肃金昌·期中）在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 10.（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知复数. (1)若m = 0，求|z|； (2)若z是纯虚数，求m的值； (3)若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围. 【考点三】复数的加减运算及其几何意义 11．（24-25高一下·河北唐山·期中）若复数，（为虚数单位），则（  ） A．2 B．3 C． D．1 12．（23-24高一下·湖北武汉·期中）复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·河北·期中）如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量，对应的复数分别为，，则（    ）    A． B．17 C．5 D． 15．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，，，若为纯虚数，则实数的值为______. 16．（23-24高一下·贵州·期中）已知复数，且，则__________． 17．（24-25高一下·新疆·期中）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为_____． 18．（23-24高一下·浙江·期中）已知复数满足（为虚数单位），则______． 【考点四】复数的乘法运算 19.（24-25高一下·甘肃金昌·期中）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 20．（24-25高一下·广东深圳·期中）（    ） A． B． C． D． 21.（24-25高一下·广东湛江·期中）若是纯虚数，则______． 22．（24-25高一下·吉林·期中）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数是实数，求实数的值； 【考点五】复数的三角表示 23．（23-24高一下·浙江·期中）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 24．（多选）（23-24高一下·湖北·期中）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．若，且，则 25．（24-25高一下·广东揭阳·期中）欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则的实部为_____． 26．（23-24高一下·内蒙古乌海·期中）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的.利用欧拉公式可知在复平面内对应的点位于第____象限. 27．（23-24高一下·福建莆田·期中）法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为______． 28．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.②方程（为正整数）有个不同的复数根； (1)求证：； (2)设，求； (3)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 【考点六】复数范围内方程的根 29.（24-25高一下·山西·期中）已知复数是关于x的方程（）的一个根，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 30．（24-25高一下·河北·期中）已知复数是关于的方程的一个根，则（    ） A．7 B．3 C． D． 31.（24-25高一下·广东·期中）一元二次方程的两个虚根为______. 32．（23-24高一下·广东东莞·期中）已知是关于x的方程的一个根．则实数______． 33.（24-25高一下·贵州毕节·期中）设关于的方程是． (1)若方程有实数根，求锐角和实数根； (2)证明：对任意，方程无纯虚数根． 【考点七】复数的除法运算 34.（24-25高一下·福建福州·期中）复数的虚部为（    ） A． B．3 C． D． 35．（24-25高一下·甘肃平凉·期中）=（    ） A． B． C． D． 36．（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）已知复数，若，则（    ） A． B． C． D．2 37．（24-25高一下·广东佛山·期中）复数的实部是_______. 38．（24-25高一下·四川成都·期中）已知，则______． 39.（23-24高一下·云南丽江·期中）若复数为纯虚数，则实数_______. 40．（24-25高一下·重庆·期中）已知复数z满足，则的值为________． 41.（24-25高一下·广东揭阳·期中）（1）已知，，且，求； （2）已知是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【考点八】共轭复数的概念及计算 42.（24-25高一下·青海西宁·期中）已知为虚数单位，若，则（ ） A． B． C． D． 43．（24-25高一下·广东·期中）设（i为虚数单位），则的虚部是（    ） A．3 B． C．4 D． 44.（多选）（24-25高一下·山西吕梁·期中）设，为复数，下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 45.（23-24高一下·福建福州·期中）若复数满足，则的共轭复数为__________. 46.（24-25高一下·安徽池州·期中）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)求实数的值； (2)设复数，求； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习讲义02 复数 【考点一】 复数的坐标表示 【考点五】 复数的三角表示 【考点二】 求复数的模 【考点六】 复数范围内方程的根 【考点三】 复数的加减运算及其几何意义 【考点七】 复数的除法运算 【考点四】 复数的乘法运算 【考点八】 共轭复数的概念及计算 一、复数的基本概念（基础必考点） 1. 定义 形如 的数叫复数， 为虚数单位，满足。 实部： 虚部：（注意：虚部是实数 ，不是 ） 2. 复数分类（高频选择/填空） 易错点：纯虚数必须满足 且 ，缺一不可。 3. 复数相等 应用：求参数、解方程 4. 共轭复数 若 ，则其共轭复数 性质：； 5. 复数的模 向量 的长度叫复数的模： 性质：； 二、复数的几何意义（重难点） 1. 复平面 横轴：实轴（表示实数） 纵轴：虚轴（表示虚数，原点除外） 2. 一一对应关系 3. 几何意义应用 点的象限判断：根据 坐标判断 两点距离： 表示复平面内两点 间距离 轨迹问题：如 表示以 为圆心、 为半径的圆 三、复数的四则运算（核心计算） 设 1. 加减运算 2. 乘法运算（多项式乘法） i 的幂周期：（周期为4） 3. 除法运算（分母实数化，必考） 关键：分子分母同乘分母的共轭复数 【考点一】复数的坐标表示 1．（23-24高一下·山西太原·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标是. 故选：B. 2．（23-24高一下·山东青岛·期中）在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，故对应的复数为. 故选：B 3.（多选）（23-24高一下·江苏南通·期中）在复平面内，，对应的复数分别为，，且，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，，且， 即，所以， 即，又， 则或， 所以或. 故选：AC 4.（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）已知复数在复平面上对应的点在实轴负半轴上，则实数__________． 【答案】1 【详解】复数在复平面上对应的点， 依题意，，所以. 故答案为：1 5.（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知i为虚数单位，复数 (1)若z是实数，求m的值； (2)若z是纯虚数，求m的值； (3)若复数z与在复平面上对应的向量分别为 ，且的夹角为钝角，求m的取值范围. 【答案】(1)3或1 (2)5 (3)或，且. 【详解】（1）因为 是实数， 所以，解得或； （2）因为 是纯虚数， 所以，解得； （3）因为复数z与在复平面上对应的向量分别为 ，且的夹角为钝角， 所以，且， 解得或，且. 【考点二】求复数的模 6．（23-24高一下·甘肃庆阳·期中）已知虚数是关于的方程的一个根，且，则（    ） A．3 B．2 C．4 D．7 【答案】D 【详解】法一：设，由 则 则解得； 法二：由有虚数根，可知且， 又由，有，解得． 故选：D． 7．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）设复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示： 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以， 所以，又， 故选：A. 8.（多选）（24-25高一下·云南昆明·期中）已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（    ） A．，两点在以原点为圆心的同一个圆上 B．，两点之间的距离为 C．满足的复数z对应的点Z形成的图形的周长是25π D．满足的复数z对应的点Z形成的图形的面积是4π 【答案】BD 【详解】对A：由题意得，， 所以，，所以， 所以，两点不在以原点为圆心的同一个圆上，故A错误； 对B：，两点之间的距离为，故B正确； 对C：满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，以5为半径的圆，所以其周长为，故C错误； 对D：满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心， 分别以，为半径的两个圆所夹的圆环， 所以其面积为，故D正确． 故选：BD. 9.（24-25高一下·甘肃金昌·期中）在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 【答案】 【详解】由题意可设对应的向量为对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则解得. 故答案为： 10.（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知复数. (1)若m = 0，求|z|； (2)若z是纯虚数，求m的值； (3)若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围. 【详解】（1）因为，所以；则； （2）若是纯虚数，则，解得或且且，即； （3）若z对应复平面上的点在第四象限，则，解得， 所以m的取值范围是. 【考点三】复数的加减运算及其几何意义 11．（24-25高一下·河北唐山·期中）若复数，（为虚数单位），则（  ） A．2 B．3 C． D．1 【答案】C 【详解】， 故选：C. 12．（23-24高一下·湖北武汉·期中）复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】复数， 由此复数在复平面内对应的点在第四象限，有，解得. 故选：A. 13．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，所以． 故选：A. 14．（24-25高一下·河北·期中）如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量，对应的复数分别为，，则（    ）    A． B．17 C．5 D． 【答案】A 【详解】在复平面内每个小方格的边长均为1，由图可得，， 所以，则． 故选：A． 15．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，，，若为纯虚数，则实数的值为______. 【答案】0 【详解】由题意，，， 所以， 因为为纯虚数， 所以，解得. 故答案为：0. 16．（23-24高一下·贵州·期中）已知复数，且，则__________． 【答案】2 【详解】由，则， 所以，解得， 所以． 故答案为：2. 17．（24-25高一下·新疆·期中）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为_____． 【答案】2 【详解】由复数，， 可得为纯虚数， 则，解得． 故答案为：2． 18．（23-24高一下·浙江·期中）已知复数满足（为虚数单位），则______． 【答案】 【详解】设， 由，得， 所以，解得（舍去） 所以. 故答案为：. 【考点四】复数的乘法运算 19.（24-25高一下·甘肃金昌·期中）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】因为在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选:C. 20．（24-25高一下·广东深圳·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 21.（24-25高一下·广东湛江·期中）若是纯虚数，则______． 【答案】2 【详解】由复数是纯虚数，可得，解得． 故答案为：. 22．（24-25高一下·吉林·期中）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数是实数，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）易知， 若复数为纯虚数，可得， 解得； （2）由可得， 所以， 若复数是实数，可得， 解得； 【考点五】复数的三角表示 23．（23-24高一下·浙江·期中）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，由， 可得 . 故虚部为. 故选：C 24．（多选）（23-24高一下·湖北·期中）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．若，且，则 【答案】BCD 【详解】对于A项，当时，而故A项错误； 对于B项，设其中， 则，则； 而 ，故B项正确； 对于C项，设其中， ，则，而，故C项正确； 对于D项，设其中，,依题，不全为零， 则由可得，化简得 ，即 因不全为零，不妨设，则有，即, 故得，即，故D项正确. 故选：BCD. 25．（24-25高一下·广东揭阳·期中）欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则的实部为_____． 【答案】 【详解】依题意，， 所以的实部为． 故答案为： 26．（23-24高一下·内蒙古乌海·期中）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的.利用欧拉公式可知在复平面内对应的点位于第____象限. 【答案】四 【详解】由题意得， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故答案为：四. 27．（23-24高一下·福建莆田·期中）法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为______． 【答案】 【详解】， 故其虚部为. 故答案为：. 28．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.②方程（为正整数）有个不同的复数根； (1)求证：； (2)设，求； (3)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 【详解】（1）证明： . （2）依题意，， 所以 . （3）设，则， 因此，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 【考点六】复数范围内方程的根 29.（24-25高一下·山西·期中）已知复数是关于x的方程（）的一个根，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】由题知， 整理得，即解得 所以在复平面内的对应点为，位于第二象限. 故选：B. 30．（24-25高一下·河北·期中）已知复数是关于的方程的一个根，则（    ） A．7 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】因为是关于的方程的一个根，所以， 即，所以且，解得，， 所以． 故选：D． 31.（24-25高一下·广东·期中）一元二次方程的两个虚根为______. 【答案】和 【详解】，所以，所以，得， 所以方程的两个虚根为和. 故答案为：和. 32．（23-24高一下·广东东莞·期中）已知是关于x的方程的一个根．则实数______． 【答案】12 【详解】由是关于x的方程的一个根， 得该方程的另一根为，则， 所以. 故答案为：12 33.（24-25高一下·贵州毕节·期中）设关于的方程是． (1)若方程有实数根，求锐角和实数根； (2)证明：对任意，方程无纯虚数根． 【详解】（1）原方程可化为，方程有实数根，设为， ∴. 又θ是锐角，故． （2）假设方程有纯虚数根，可设根为，，， 则化为， 即，可得， 因为，所以方程无实根. 故假设不成立，所以方程无纯虚数根． 【考点七】复数的除法运算 34.（24-25高一下·福建福州·期中）复数的虚部为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】将复数化简即：，所以复数的虚部是. 故选：A. 35．（24-25高一下·甘肃平凉·期中）=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 . 故选：B 36．（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）已知复数，若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】方法一： 由题意，， 所以，. 方法二： 已知，则. 已知，则. 因为，根据复数模的性质，可得： . 故选：B. 37．（24-25高一下·广东佛山·期中）复数的实部是_______. 【答案】 【详解】复数的实部是. 故答案为：. 38．（24-25高一下·四川成都·期中）已知，则______． 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：． 39.（23-24高一下·云南丽江·期中）若复数为纯虚数，则实数_______. 【答案】5 【详解】由为纯虚数， 可得且，解得. 故答案为：5 40．（24-25高一下·重庆·期中）已知复数z满足，则的值为________． 【答案】1 【详解】根据复数模的性质，得：. 故答案为：1. 41.（24-25高一下·广东揭阳·期中）（1）已知，，且，求； （2）已知是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【详解】（1）由，得． （2）由于是方程的一根，则， 即， 所以， 解得，，． 【考点八】共轭复数的概念及计算 42.（24-25高一下·青海西宁·期中）已知为虚数单位，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以，所以. 故选：B. 43．（24-25高一下·广东·期中）设（i为虚数单位），则的虚部是（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】因为（i为虚数单位），则， 所以则的虚部是3. 故选：A. 44.（多选）（24-25高一下·山西吕梁·期中）设，为复数，下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】设，，，，，， 对于选项A，例如，则，，两者不相等，故A错误； 对于选项B，因为， ， 又，，则，即，故B正确； 对于选项C，若，则，， 所以，故C正确； 对于选项D，令，，则，， 所以，此时，故D错误． 故选：BC. 45.（23-24高一下·福建福州·期中）若复数满足，则的共轭复数为__________. 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以的共轭复数为. 故答案为： 46.（24-25高一下·安徽池州·期中）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)求实数的值； (2)设复数，求； 【详解】（1）因为，则， 所以，又为纯虚数， 所以，解得； （2）， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $