山西晋中市榆次第二中学等校2025-2026学年高三下学期4月联考数学试题

数学 时间120分钟，满分150分 一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.复数：=|3+4il一6i的虚部为 A.-5 B.-6 c.5 D.6 2.若全集U=(x∈NI0<r≤7)，集合A=(1,3.4.5.6,7),B=(1,2,4,5),则B∩(CuA)= A.(1.2,4,S) B.(1,2) C.(2,3) D.(2) 3.一组从小到大排列的数据：2,8，x,18,22.若它们的第60百分位数比平均数大2，则x的 值为 A.10 B.11 C.12 D.13 4.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=1,A=135',则sinB+25inC b+2c 的值为 A22 B./2 c 唱 5.已知点P(cosa,sina)到点A(4m,3m一10)的距高为d,则d的最小值是 A.4 B.5 C.6 D.7 6.已知数列(a.)是等比数列，a,>0,则“对任意的正整数n都有a,<a.+:”是“数列{a,)是 单调递增数列”的 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D,既不充分也不必要条件 7.已知∫(x)是定义在R上的函数，∫(x+2)=∫(x十1)-∫(x),当0≤x<6时，∫(x)= 5-2x,则f(7)= A.-3 B.-1 c.1 D.3 8.已知函数∫(x)=abr2一rIn ax有两个极值点，则实数b的取值范围为 ^(0.) a.(.) c 第1页（共4页）②B 二、选择題：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已如函数/)=厄sim2z+引则 A.函数∫(x)的最小值为一√2 B点(-0是函数/：)图象的-个对称中心 c函数x)在区间后号}上单调递地 D.函数心x)的图象可由y=厄os2红的图象向左平移g个单位长度得到 10.已知FR,是椭圆C:x+兰=1(m>0的两个焦点，点A侵，万在椭圆C上：B是箱 圆C上的动点，BN⊥x轴，垂足为N,且点P为BN的中点，则 A.IAF+IAF:1=4 B精朋C的商心率为号 C.lAPI的最小值为 2 D.△POA面积的最大值为丽 11.已知棱长为2的正方体ABCD一A,B,C,D1中，M,H,N分别为CC,,AD,DD1的中 点，则 A.正方体ABCD-A,B,C,D,的外接球半径为3 D B.B,M,N,H四点共面 C,直线HN与HB,所成角的余弦值为 6 D.过直线HB,的平面截正方体ABCD一A,B,C,D,的外接球 所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(1,2)与向量b=(m,3)满足a∥b,则a·b= 13.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A,B都在抛物线C上，抛物线C的准线 与x轴交于点D,2DA=DB.若1AF|=2,则p= 第2页（共4页） 可 扫描全能王创建 14,将十进制整数转换为二进制整数采用除2取余，逆序排列法步骤是：用2整除十进制整 数，可以得到一个商和余数，再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行下去，直到 商小于1为止：最后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二 进铜数的高位有效位，依次排列起来 例如，将十进制数5转化成二进制数：5÷2=2…1,2÷2=1…0,1÷2=0…1，即十 进制数5转化成二进制数为101，十进制数13转化成二进制数，13÷2=6…1,6÷2= 3…0.3÷2=1…1.1÷2=0…1,即十进制数13转化成二进制数为1101. 记f(n)为十进制中正整数n的二进制表示中数字1的个数，例如5=101m,f(5)=2. 则∫(1)+∫(2)+∫(3)+…+∫(63)= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)袋中装有标有数字1到6的6个大小、形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每 个小球被取出的可能性都相等，用：表示取出的3个小球标号的最大数字 (1)求随机变量E的分布列及数学期望： (2)已知取出的3个小球的标号和为偶数，求=6的概率。 16.(15分)已知等差数列{a.)的公差为d,前n项和为S.,且a1=sin0,a:=cos0,S,=4, 其中9e0,引 (1)求公差d及0的值： (2)设数列b.=a,i血数列6.)的前n项和为T.求T 第3页（共4页）②B 17.(15分)已知函数∫(x)=xc一a(x+lnx),其中a∈R (1)当a=1时，求曲线y=∫(x)在点(1，∫(1)处的切线方程； (2)若∫(x)≥1，对任意x∈(0，十c∞)恒成立，求实数a的值. 18.(17分)如图1，AC为半径为2的圆0的直径，点D,B为圆0上的两点，且AD=2DC. AB=BC如图2，将圆0沿AC翻折，E为线段BD上的一点，连接OB.OD,OE,BD. (1)若BC⊥CD,E为BD的中点，证明：OE⊥BC; (2)若平面ADC⊥平面ABC,求二面角A一DB一O的余弦值： (3)求翻折过程中，直线OD与平面ABC所成角的最大值， D 图1 图2 19.(17分)若(3+22)=x.+y.√2(n∈N),点P.(x.y.),双曲线C:x2-2y2=1. (1)写出P,,P:的坐标： (2)证明：对任意n∈N”,点P.在双曲线C上： (3)设直线P.P.+1与双曲线C的两条渐近线分别交于点A,和点B.,记△OA.B.的面积 为S.(0为坐标原点)，求证：S.为定值 (参考公式：设三角形的三个顶点分别为A(x1y1),B(x:y:),C(x1y),则三角形的 面积S=21z:-x,-y)--yx,-xD 第4页（共4页） 扫描全能王创建数学参考答案及评分意见 1.B【解析】.x=5-6i,∴.之的虚部为一6.故选B. 2.D【解析】：CuA={2},∴B∩(CuA)={2}.故选D. 3.A【解析】：5×0.6=3，这5个数据的第60百分位数是第三个数据和第四个数据的平均数，即℃十18 21 十18_50十x+2,x=10.故选A. 2 5 4.B【解析】由正弦定理，得6。=c=b+2c a 1 sin Bsin C-sinB+2 sin C-sin Asin135=2.故选B. 5.D【解析】由题意得，点P的轨迹方程为x2十y2=1,点A的轨迹方程为3x-4y-40=0. “圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，d的最小值是一40 -1=7.故选D. √32+（-4)2 6.C【解析】：{am}是等比数列，a1>0,am<am+2, .a1q"-1<a1qm+1,.q"-1(1-q2)<0,q>0,1-q2<0,.q>1. ,{an}是等比数列，a1>0,{an}是单调递增数列，∴.q>1. ∴.“对任意的正整数n都有am<a+2”是“{am}是单调递增数列”的充分必要条件.故选C. 7.D【解析】.f(x十2)=f(x+1)-f(x),∴.f(x+1)=f(x)-f(x-1). 两式相加，得f(x十2)=-f(x-1),.f(x-1)=-f(x-4),.f(x十2)=f(x-4),.f(x)=f(x-6), ∴.f(x)是周期函数，且T=6.∴.f(7)=f(1)=5-2×1=3.故选D. 8.A【解析】由题意f'(x)=2abx-lnax-1. ,f(x)有两个极值点，∴.f'(x)有两个异号零点，即2abx-lnax一1=0有两个根. 令ax=t,则2bt-lnt-1=0,∴直线y=2bt-1与g(t)=lnt的图象有两个交点. 若直线y=2b1与g④=1nt的图象相切，则设切点为，no.由于g0),则切线的斜率为青 六切线方程为y-ln。=(a-o),即y=1-1+1no,ln,=0,解得。=12b==1. to to to :要使直线y=2bt-1与g(t)-lnt的图象有两个交点，∴0<2b<1,0<b<2故选A. 1 9.AB【解析】对于A,当2x+-爱+2，k∈Z时，函数了(x)取得最小值，为-厄，故A正确 对于B,当=-时(-Em(-)=0,故B正角， 8 对于C令2x+4,“x∈（日，）∈（任函数fx)在区间（低智）上单润递减，故c错误 对于Dy=V厄cos2x的图象向左平移营个单位长度得到y=Eco2x+)-厄c0(2x+受一) 一2sim2z一)，故D错误故选AB 1ABD【解析]对于AB,:点A(合v3在椭园C上号十，是-1，解得m-2,:椭圆C的标准方程为：十 y2 4=1.即a=2,∴c2=a2-b2=4-1=3,即c=3,e三g-2,AF1+AF2=2a=4,故A,B正确。 数学第1页（共6页）②B 对于C,设点P(x,y),则B(x,2y).将点B的坐标代入椭圆方程x+ 4=1,得x2+(2y) 4 -=1,即x2+y2= 1,.点P的轨迹方程为x2+y2=1,.|AP|的最小值为点A到圆心的距离减去半径，即|OA|一1= √份+(-1零-1，故c结误 2 对于D,由C可知，0P=1,OA1-空，则当OPL0A时，△POA的而积最大，为S-号0P10A-号× 1X否-军，放D正角放选AD 1.AC【解析】对于A,正方体ABCD-A,B,C,D,的外接球半径R=4干在-5，故A正确 2 对于B,设BC的中点为P.因为H,N,M,P四点共面，点B不在平面HNMP内，所以B,M,N,H四点不共 面，故B错误. 对于C,如图，连接NB1,HB,DB1,则HN=√HD+DN=√2，HB1=√HB+BB= √AH+AB2+BB=√1+4+4=3，NB1=√D1B+D1N=√D1C+B1C+D1N=√4+4+I-3,∴.在 △HNB,中，cos∠NHB,=HB+HN-NB-9+2-9=V区 2HB,·HN 2x3X26,故C正确. D B 52- 对于D,如图，连接DB1,记O为DB1的中点，过点O作HB:的垂线，交HB1于点E. 在△HDB,中，HD=1,DB1=23,B1H=3,则coS∠HB1D= +B,D-HD=53,所以EB,=3X 2HB1·B1D 53_5 931 过直线HB,的平面藏正方体ABCD-A,B,CD,的外接球所得的所有栽面圆中，半径最小为EB,-?,所以 半径最小的圆的面积为？，放D错误放选AC 号 【解析】a/,2m=3,解得m=受a·b=十6- 15 21 18,【解标】：AF=2,∴点A到准线的距离为2.：2D-D店，∴点A是线段BD的中点 .点B到准线的距离为4，.|BF|=4. :O为线段DF的中点，∴.OA为△BDF的中位线，|OA|=2|BF=2. 在等腰三角形A0F中，点A[?一)将点A的坐标代人被物线的方程，得4一后-多， p=gp>0p= 数学第2页（共6页）②B 14.192【解析】数1表示成二进制为1(2，出现数字1的个数为1； 数1,2,3表示成二进制为12,102)，112)，出现数字1的个数和为4=2×2； 数1,2,3,4,5,6,7表示成二进制为1(，10(2,11(2)，1002,1012,110c2,1112,出现数字1的个数和为12= 3×22; …; 数1,2,3，…，2一1表示成二进制，所有出现数字1的个数和为n·2”-1. 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(63)=6×26-1=192. 15.解：(1)随机变量的所有可能取值为3,4,5,6， C%3 则P(-3)C20,P(-4)-C20' P(5=5)= 200,P(g=6)= C_6_3 C号101 Cg20-2· …4分 所以：的分布列为 3 4 5 6 1 3 1 …5分 P 20 20 10 2 1 3 1_21=5.25.…… 所以E=3X20+4X20十5X。+6X21 …7分 (2)记事件A为“取出的3个球的标号和为偶数”，事件B为“E=6”. 由题意得，P(A)= C+CgC3_101 C 202’… …9分 P(AB)-C+C-4-1 C%20-5 …11分 1 由条件概率公式，得P(BA)=PCAB)_5_2 P(A)1 …13分 16.解：(1)，d=a2-a1=cos20-sin0=cos29, ∴.S4=4a1+6d=4sin0+6cos20=2+4cos20=4, ……2分 1 1 心c0s202=2……4分 0<0<2os20=2, 1 429=写0=8 6· ……6分 (2)由(1)得，a1=sin2=1 6-4, 46,=2m- a-+m-1)- nrπ 4 ·sin 2 ……8分 又“y=sin2的周期T=2红=4， 2 2 nπ=一1 当m=4级+1时，sin2=1:当n=4级+2时，sin2罗-0；当n=4+3时，sin 数学第3页（共6页）②B 当n=4k十4时，sin=0,其中k∈N w....................... …11分 .在一个周期内， b4+1三 2(4k+1)-1.1=86+1 4 8168=0,6+-246+3)-1.（-1)=86+5 4 4 ，b4+4=0, b十b2十bt十b4=8k十1_8k十5三1.…13分7 4 4 数列{bn}的前20项为5个完整的周期，.T0=5X(一1)=一5.… ……15分 12解：当a=1时，fx)=xe-+1nx),则有x)-(+10e-(1+》 …1分 f'(1)=2e-2,f(1)=e-1.…3分 ∴.曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y-(e-1)=(2e-2)(x-1),即y=(2e-2)x一e+1. …5分 (2)若f(x)=xe-a(x十lnx)≥l,对Hx∈(0，十∞)恒成立， 则有e+lhx-a(x十lnx)≥1，对/x∈(0，十∞)恒成立.…6分 令t=x十lnx,t∈R,则e-at≥1，对t∈R恒成立.…7分 令h(t)=e一at-l,即h(t)≥0对Ht∈R恒成立，.h'(t)=e-a.…8分 ①若a≤0，则h'(t)=e-a>0恒成立，∴.h(t)在R上单调递增， 当t→一∞时，h(t)→一∞，不成立，舍去.… …10分 ②若a>0,则令h'(t)=0,解得t=lna. 当t∈(-∞，lna)时，h'(t)<0,h(t)单调递减；当t∈(lna,十∞)时，h'(t)>0,h(t)单调递增， .h(t)mn=h(lna)=a-alna-l>0.…l2分 令p(a)=a-alna-1,a>0,则p'(a)=-lna. 当a∈(0，l)时，p'(a)>0,p(a)单调递增；当a∈(1，+o∞)时，p'(a)<0,p(a)单调递减. p(a)≤p(l)=0,即a-alna-l≤0.… …14分 又.a-alna-1≥0，.a-alna-1=0,即a=1. 综上，实数a的值为1.……15分 18.(1)证明：如图，取BC的中点F,连接EF,OF. ,E,O分别为DB,AC的中点， .EF∥DC,OF∥AB.… …2分 又，AC是圆O的直径，∴AB⊥BC,.OF⊥BC BCLDC,EF∥DC,EF⊥BC.……3分 又EF∩OF=F,EF,OFC平面OEF,.BCL平面OEF.…4分 OEC平面OEF,BC⊥OE.…5分 (2)解：：AB=BC,∴OB⊥AC. 数学第4页（共6页）②B 故以O为坐标原点，以OB,OC所在直线，过点O且垂直于平面ABC的直线分别为x,y,之轴，建立如图所示 的空间直角坐标系.…………………6分 AD=2DC,∠DOC=60°.则A(0,-2,0),B(2,0,0),D(0,1W3),0(0,0,0), .AB=(2,2,0),AD=(0,3,W3),OB=(2,0,0),OD=(0,1,3).…7分 设平面ABD的法向量为n=(x,y,之)， AB·n=0,2x+2y=0, 则 即 令x=1,则y=-1,之=√3， AD.n=0,3y十3之=0 n=(1,-1,W5).…8分 设平面OBD的法向量为m=(x1,y1,之1)， 1OB·m=0,2x1=0, 即 令之1=1，则x1=0,y1=-3, 0D·m=0,y1+3z1=0 m=(0,-5,1).… …9分 n·m 0+√3+√3 √15 .cos(n,m)-nm13x031 …10分 5 由图知二面角A一DB一O为锐二面角，二面角A一DB一O的余弦值为】 5 …11分 (3)解：同(2)中的建系，则平面ABC的一个法向量p=(0,0,1). 设两个半圆面所成的角为0，则D(3cos0,1,W3sin0), OD=(3cose,13sin 0).. …14分 设直线OD与平面ABC所成的角为a, 则sina= oi·p_lW3sin0ls3 ODIp 2 2 当0=时，sine取得最大值，为 2 …16分 0≤a≤2，a= ……17分 19.(1)解：当n=1时，x1十y1√2=3+2√2， P1(3,2）.…2分 当n=2时，x2十y2√2=(3十22)2=17+122， ∴.P2(17,12).……………4 …4分 (2)证明：：xm+1十ym+W2=(xn十ym√2)(3十2√2)=3xm十4yn+(2xm十3ym)W2, 数学第5页（共6页）②B 21=3z.+4y., …7分 yn+1=2xn十3yn, .x+1-2y+1=(3xm十4yn)2-2(2xm十3yn)2=x只-2y=x员-1-2y只-1==x号-2y=1, 任意n∈N*,点Pn在双曲线C:x2一2y2=1上.…9分 xm+1=3xn十4yn, (3)证明：由(2)知 yn+1=2xn+3yn. 设直线PnP+1的斜率为k, 则直线P.P+1的方程为y-y.=k(x-x),且=y1y:=2x.十3y,一y=x,十y2 xn+1一xn3xm十4yn-xnxn十2yn …11分 不妨令A.(xA,yA,)是直线PnPm+1与直线x一√2y=0的交点， Bn(xB.yBn)是直线PnP+1与直线x十√2y=0的交点. 联立-2y=0, 、得A-一 ……12分 y-yn=k(x-xn), 1-√2k 联立+2y=0, 、得y= ，…13分 y-yn=k(x-xn), 1+√2k 歌 _2y-x2=-1 2 F.十2y..+21-22=1=2十. -1 n+2yn (xn十2yn)2’ ya·ya.=义-.y。-x:-y,-z,) =-1. 1-√2k1+√2k1-2k2 …15分 ,xAm=√2yAm,xBn=一√2yBn, S.-lzyn.-tny-yy+Zyn.y.I-. 即△OAnB的面积Sn为定值.…17分 数学第6页（共6页）②B