宁夏银川外国语学校2026年九年级一模考试数学试卷

银川外国语学校2026届初三一模考试 数学试卷 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题（每题3分，共24分） 1.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（) (与原题类似) A.a>-2 B.b-a<0 C.a<b D.a+b>0 3 “春季是甲流的高发期，甲流是种由.病毒引起的流行性感冒.为 预防感染；同学们应增强自身免疫力.：”甲流病毒的直径约为0.000000081m, 用科学记数法表示该数据为() A.0.81X107B.8.1X108 C.8.1X109 D.81X1010 3.据统计，某校七个班了解并使用过Deepseek（人工智能AI软件)的同学 人数分别为：25,26,27,28,30,30,30.那么这组数据的中位数和众数 分别是() A.25和29 B.25和30 C.28和29 D.28和30 4.如图是一个正五棱柱，则它的俯视图是（) 正面 B C 第1页共40页 2x+y=k-2 5.若关于x、y的二元一次方程组 的解满足+y>1,则实数k 3x+2y=-4 的取值范围是（) A.k<0 B.k<-1 C.k<-2 D.k<-3 6.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径，连接AC.若 ∠ADC=115°，则∠BAC的度数为() A.159 B.23° C.25° D. 30° 7.如图，在△AED中，AE=8,将△AED饶点A逆时针旋转60°得到 △ABC:则△4BE的面积为（） A.8 B.16 C.24 D.165 B如图是三次函数yEa+h+da≠0图象的一部分，对称猫为x,日 经过点(2,0).下列说法： 第2页共40页 ①abc<0; ②-2b+c=0; ③4a+2b+c<0 5 ④若(2)，兮)是抛物线上的两点，则<乃： ⑤2b>m(am+)(其中m≠). 其中结论正确的有（)（与原题类似) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（每题3分，共24分） 9.分解因式：2m3-12m2+18m= 10.函数y=+中，自变x的取值范围是 x-2 11.已知关于X的一元二次方程X-3x+k=0有实数根，则k的取值范围为 12.工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠40B是一个任 OA OB OM=ON 意角，在边 上分别取 ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度 分别与点M,N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，由此 作法可得△OC≌ 其依据是“ M B 13.关于x的方程三=2+，m无解，则如的值为 x-3 3-x 14.如图，在△A0C中，AD、AE分别是边C上中线和高，A=2, SADD =15 ,则 的长是 第3页共40页 B D E 15.如图，在矩形ABCD中，点E在D边上，连接BE并延长，交CD的延 AB=2 BC=45=2 长线于点F若 .DE ，则的长为 B 16.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x和y=ax+2相交于点A(m1), ax+2>0 则不等式组 的解集为 ax+2<-2x VA 三、解答题 1n.(6分)计算：-10+(x-3.14°+(-2+2sin45+W5-2 18.(6分)先化简，再求值： m2-4m+4÷( m-1 m-一m-少，其中m=2-2. 第4页共40页 19.（6分)如图，△ABC三个顶点的坐标分别是1,3)，B3,4),C1,4). P 6 5 4 3 1 0 1 23456x (1)将△ABC向下平移2个单位长度得△ABC,画出平移后的图形，并直接 写出点B的坐标； (2)将△4BG绕点乃逆时针旋转90°得△4BC.画出旋转后的图形，并求点 C运动到点C所经过的路径长 20.（6分)某校为了解学生的劳动教育情况，对九年级学生寒假期间“参加家 务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A:x<60; B:60≤x<80;C:80≤x<100;D:x≥100，单位：分钟)进行统计， 绘制了如下不完整的统计图. 第5页共40页 人数 条形统计图 扇形统计图 2 D 15 10% A 10 B 7m% 5 C ABCD组别 ()求出本次抽样的学生人数并补全条形统计图； (2)已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时 间在60到100分钟（含60分钟）的学生有多少人？ (3)若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受， 请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概 率 21.（6分)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O,E为线段OD 上一点，且AE=CE (1)求证：四边形BCD是菱形： 第6页共40页 ②若AB=BE=5,tam∠C4E=,求AC的长. 22.(6分)如图，现有一根长为100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点0 30cm ION Lcm 并将其吊起来.在O点左侧 处挂一个重 的物体，在点O的右侧 处用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态。弹簧秤的示数F(单位：N) 与相应的L的部分实验数据如下表： 1 2 2 N 0 6 0 3 2 ◇ a 0 0 (1)填空：表中a的值为 (2)猜想并验证F与L之间的函数关系式. 第7页共40页 (3)保持木杆处于水平状态，移动弹簧秤到什么位置时，弹簧秤的示数F最小？ 是多少？ 23.(8分)如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，F为C的中点，过点C 作⊙O的切线交OF的延长线于点E,连接BE,BC,BC交OF于点D. (1)求证：BE是⊙O的切线； (2)若DF=2,∠EOB=60°，求线段OE的长； (3)在（2)的条件下，求阴影部分的面积. 第8页共40页 24.（8分)数学实践小组在研学时提出问题：山上信号塔的高度约为多少米？ 实践小组利用已学知识和工具测量数据解决问题，具体研究方案如下： 问题 山上信号塔的高度约为多少米？ 工具 皮尺、测倾器等测量工具 图形 ------ E 图1 图2 根据实际问题画出示意图（图2)，小组成员首先在山 脚平地上的C处测得∠ACN=37°，再往信号塔方向前 说明 进至山脚平地上的D处，测得CD=150m,在D处测 得∠ADN=45°，∠BDN=42°，AB交CN于点E. 根据上述信息，请你帮助实践小组解答下列问题： (1)求信号塔顶到山脚平地的距离AE(结果精确到1m); 2求信号塔AB的高度（结果确到lm) （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90) 第9页共40页 25.（10分)如图，已知抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1, 且抛物线与x轴交于A、B两点，与V轴交于C点，其中A1,0),C(0,3). D (1)若直线y=mx+n经过B,C两点，求直线BC和抛物线的表达式： (2)在抛物线的对称轴上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标： (3)点Q为BC上一动点，过Q作x轴垂线交抛物线于点P（点P在第二象 限)，求线段PQ长度最大值. 第10页共40页 26.（10分)（综合与实践)在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸 片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片ABCD,AB=4,BC=3. D B M 图1 图2 图3 ()操作发现：操作一：将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为 F,然后展平得到图1，则四边形ACE是什么特殊四边形？（不用说明理 由) 实践探究：操作二：如图2，在矩形纸片ABCD中，点G为AB的中点，将 嘉影绕生生 ①判断 ②求B的长. 3)拓展应用：如图3，若M为AB上任意一点，将纸片沿CM折叠，使点B落 在点B处，连接AB,当点A与点B距离最小时，求BM的长 第11页共40页 银川外国语学校2026届初三一模考试 数学试卷解析 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题（每题3分，共24分） 1.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是() (与原题类似) 43201232 A.a>-2 B.b-a<0 C.a<b D.a+b>0 【答案】c 【分析】首先观察数轴上点的位置比较a,b的大小，判断A,C,再计算 B,D,并判断即可. 【详解】观察数轴可知-3<a<-2,且a<b, ∴.A不正确，C正确； :a是负数，b是正数，a>, .b-a>0,atb<0, B,D不正确. 故选：C “春季是甲流的高发期，甲流是一种由.T病毒引起的流行性感冒.为 预防感染；同学们应增强自身免疫力.”甲流病毒的直径约为0.000000081m, 用科学记数法表示该数据为() A.0.81X107B.8.1X108 C.8.1X109 D.81×1010 第12页共40页 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×I0”,其中 1≤a<I0,确定a与n的值是解题的关键， 绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为aI0指数由原数 左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此来解答即可. 【详解】0.000000081=8.1×108， 故选：B 3.据统计，某校七个班了解并使用过Deepseek（人工智能AI软件)的同学 人数分别为：25,26,27,28,30,30,30.那么这组数据的中位数和众数 分别是（) A.25和29 B.25和30 C.28和29 D.28和30 【答案】D 【分析】本题主要考查了中位数和众数的定义，根据中位数和众数的定义求解 即可 【详解】解：一共7个数据，按从小到大排列，最中间的数为28， 故中位数为：28， 其中30出现的次数最多， 故众数为30， 故选：D 4.如图是一个正五棱柱，则它的俯视图是（) 第13页共40页 正面 B 【答案】c 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形结合几何体是特征即可作出判断，注 意不可见的是虚线， 【详解】 解： 它的俯视图是 2x+y=k-2 5.若关于x、y的二元一次方程组 的解满足+y>1,则实数k 3x+2y=-4 的取值范围是() A.k<0 B.k<-1 C.k<-2 D.k<-3 【答案】D 【分析】先解二元一次方程组，用k表示出x、y,再由+y>1建立关于k的 不等式求解即可 【详解】解：由2x+=k-2,得=k-2-2x③， 把③代人3x+2=-4,得 3x+2(k-2-2x)=-4.解得X=2k. 把x2k代入③，得 =-2-3k. 由+y>1,得 2k-2-3k>1. 解得k<-3, 第14页共40页 故选D. 6.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径，连接AC.若 ∠ADC=115°，则∠BAC的度数为() 0 A.15 B. 23° C.25° D.30° 【答案】c 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理；根据圆内接四边形对 角互补，直径对直角求解即可」 【详解】解：四边形ABCD内接于⊙O, :.∠B=180°-∠ADC=180°-115°=65° AB为⊙O的直径， ∴.∠ACB=909 ·.∠BAC=90°∠B=90°-65°=25° 故选：C 7.如图，在△AED中，AE=8,将△AED绕点A逆时针旋转60°得到 △4BC则△4BE 的面积为() A.8 B.16 C.24 D.16V5 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理。 第15页共40页 根据题意易证明个4是等边三角影：由等淳显色的性质可得答案 【详解】解：由旋转的性质可得 :.4BE是等边三角形。 作BFL花垂足为点F 、AF=EF=AE=4, 2 ∴BF=V82-42=4√3， △16E的面积为2×A6xBF=】8X4v5=165, 故选：D. 8、如图是二次函数y=2+6r+4a≠0)图象的-部分，对称轴为X一，且 经过点(2,0).下列说法： ①abc<0; ②-2b+c=0; ③4a+2b+c<0 ④诺》，号)是抛物线上的两点。则万< 5 ⑤2b>(a+b)(其中m≠). 第16页共40页 其中结论正确的有()（与原题类似) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【分析】本题考查根据函数图象判断式子符号，根据抛物线开口方向、与y轴 的交点位置、对称轴位置可判断①；将点(2,0)代入二次函数的解析式可判断 结论②3：根器》，(5)到称轴的E离。书合开口向可为断： 根据二次函数的性质可求出其最大值，由此可判断⑤. 【详解】解：由图可知，二次函数图象开口向下，与y轴的交点位于正半轴， .a<0,c>0, 1 ,对称轴为直线x=。 b1 2a2' .∴.b=-a>0 ∴.abc<0,故①正确； :y=ax+br+c(a≠0)图象经过点(2,0) ∴.22a+2b+c=0,即4a+2b+c=0,故③错误； .4a+2b+c=0b=-a>0 ..-4b+2b+C=0, .∴-2b+C=0,故②正确； 子3，尽-之，次数家开向下， 5 若())，（)是抛物线上的两点，则了<乃，故④正确： b=-a,-2b+C=0, 第17页共40页 .∴.a=-b,c=2b, 对称轴为直线x 图象开口向下， 函数的最大值为2a+1b+c=.↓b+b+2b=9b, 4 42 4 9 ∴.当m≠5时，an1+mb+c=nmam++2b≤b, 当m≠时，子>n(m+),散⑤正确： 综上可知，正确的有①②④⑤，共4个， 故选D 二、填空题 9.分解因式：2m3-12m2+18m= 【答案】 2m(m-3)2 10.函数y=+中，自变量x的取值范围是 x-2 【答案】≥-1且x+2 11.已知关于X的一元二次方程入-3x+k=0有实数根，则k的取值范围为 【答案】≤4 【分析】根据根的判别式大于或等于零求解即可. 【详解】解：由题意得 △=9-4k20, 9 解得 4 第18页共40页 9 故答案为：k≤ 4 12.工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠40B是一个任 OA OB OM=ON 意角，在边 上分别取 ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度 分别与点M,N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，由此 作达可得△MOC≌ 其依据是“ N 【答案】 △MOC SSS 【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角 形的判定是解题的关键. 利用SSS证出△OC心△M0C即可解答 【详解】解：由题意可得：在△OC和△MOC中： MO=NO MC=NC, OC=OC .△OC≌△od(sss), 故答案为：△MOC;SSS 13.关于x的方程，=2+ 一无解，则m的值为 x-3 3- 【答案】-2 14,如图，在△4BC中，AD、AE分别是边BC上中线和高，AE=2 5m=v5,则D 长是 第19页共40页 B D E 【答案】⑤ 【点晴】本题考查三角形的中线和高线。熟练掌握三角形的中线是三角形的顶 点到对边中点的连线，是解题的关键。 15.如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，连接BE并延长，交CD的延 AB=2 BC=4 AE =2 长线于点F若 DE BE ,则的长为 【答案】5 【分析】结合矩形的性质，证明△4B5△DE,即可得AB=4柜 DEDE 即可求 出DF=1,再利用勾股定理即可求解， 【详解】解：在矩形ABCD中，AB∥CD,AB=CD=2,∠C=90°， AB//CD 、△4BE△DFE AB AE DEDE AE =2, DE 2 =2,即DF=1, DE ∴.C℉=3， BC=4 第20页共40页 ∴在Rt△BCF中，BF=VFC+BC2=5, 故答案为：5. 16.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x和y=ax+2相交于点A(m1), ax+2>0 则不等式组 的解集为 ax+2<-2x 【答案】-1<X<2 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，解一元一次不等式组，解题的关键 在于求出交点坐标 先根据两直线的交点为A(m),将交点分别代入两直线解析式，求出a=2, 再解一元一次不等式组即可. 【详解】解：在平面直角坐标系中，直线y=-2x和y=ax+2相交于点 A(m1), ∴.-2m=1, 解得：m={ A 将小方代入y=a+2得：aX引+21， 第21页共40页 解得：a=2, ax+2>0 2x+2>0 .不等式组 ax+2<-2x 即为： 2x+2<-2x 解得：-1<X<- 故答案为：-1<x<- 1 三、解答题 17.(6分)计算： -16+(π-3.14°+(-y2+2sin45+2-2 【详解】解：一+-34旷++2sm45+小5-习 =-1+1+9+2× 2 +2-2 2 =-1+1+9+2+2-5 =11. 18.(6分)先化简，再求值： m2-4m+4÷(3 m-1 ，种m=5-2 赋（六 2 当m5时.原式 522 2-2+2 m-用-1 -2m2-可 m-1 、.54 m-l =.m-2 m+夏 =1+25 25- 19.（6分)如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A1,3),B3,4),C1,4) 6 5 4 A 2 0123456x (1)将△ABC向下平移2个单位长度得△ABG,画出平移后的图形，并直接 写出点B的坐标； 第22页共40页 (2)将△ABC绕点B逆时针旋转90°得△4BC.画出旋转后的图形，并求点 C运动到点G所经过的路径长 【答案】(1)作图见解析，(3,2) (2)作图见解析，T 【分析】本题考查了作图一平移变换和旋转变换，弧长公式，解题的关键熟练 掌握平移和旋转的性质， (1)利用平移的性质作出对应点，再连线即可， (2)利用旋转的性质分别作出对应点，再连线，C运动到点C所经过的路径 长即为弧长即可可求解 【详解】(1)解：△ABC如下图所示： 6 5 3 2 1C2 0 123456x 由图可知：B(3,2); (2):△4BC如上图所示： G运动到点G所经过的路径为： πXBGX90°π×2x90° ·三元 180 180 20.(6分)某校为了解学生的劳动教育情况，对九年级学生寒假期间“参加家 务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组(A：x<60； B:60≤x<80;C:80≤x<100;D:x≥100，单位：分钟)进行统计， 绘制了如下不完整的统计图. 第23页共40页 人数个 条形统计图 扇形统计图 20 D 15 10% A 10 B m%o ABCD组别 (1)求出本次抽样的学生人数并补全条形统计图； (2)已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时 间在60到100分钟（含60分钟）的学生有多少人？ (3)若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受， 请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概 率 【答案】(1)50（人)，补全图形见解析； (2)420人； 3 【分析】(1)根据条形统计图中D组有5人，扇形统计图中D组人数占总人数 的10%，计算出抽查的学生的总人数为50人，用总人数减去A组、B组、D 组的人数，求出一组的人数，根据。组的人数补全条形统计图； (2)根据条形统计图可知被抽查到的学生中参加家务劳动的时间在60到100分 钟的人数共有15+20=35人，占被抽查的，总人数的35 =70%,利用样本估计 50 总体，可得：全校参加家务劳动的时间在60到100分钟的人数有 600X15+20 =420人； 50 第24页共40页 (3)利用列表法把所有可能出现的情况表示出来，共有20种等可能的结果，其 中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有12种，所以可知抽取 3 的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为 5 【详解】（1)解：本次抽样的学生人数为5÷10%=50（人)， C组的人数为50-10-15-5=20（人）， 补全条形统计图如下图所示； 条形统计图 人数 20 15 10 5 0 AB C D组别 15+20 (2)解：600 =420(人)， 50 ,'.估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在60到100分钟（含60分钟） 的学生约420人； (3)解：由题意得，有3名女生，2名男生， 列表如下： 男 男 女 女 女 (男， (男， (男， (男， 男 男) 女) 女) 女) (男， (男， (男， (男， 男 男) 女) 女) 女) 第25页共40页 （女， (女， （女， （女， 女 男) 男) 女) 女) （女， （女， （女， (女， 女 男) 男) 女) 女) (女， (女， (女， （女， 女 男) 男) 女) 女) 共有20种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的 结果有12种， .∴抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为 2=3 205 【点睛】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、用样本的数据估计总体数 据、列表法求概率.解决本题的关键是先求出样本数据，再利用样本数据估计 总体数据 21.（6分)如图，在ABCD中，对角线AOBD交于点O,E为线段OD 上一点，且AE=CE. (1)求证：四边形ABCD是菱形： ②若AB=BE=5,m∠CME=},求AC的长 【答案】(1)见解析； (2)AC=6 【分析】(1)由平行四边形的性质得OA=OC,即可证明△AEO≌△CEO, 第26页共40页 则可得∠AOE=∠COE=90°，从而由菱形的判定即可证明； (2)由正切函数值设OE=x,则AO=3x,BO=5-x,在Rt△AOB中， 由勾股定理建立方程即可求解 【解以)证明：四边形4BCD为平行四边形， AE=CE,OE=OE, .·.△AEO≌△CEOSSS). ∴.∠AOE=∠COE, .∠AOE+∠COE=180°， .∠AOE=∠COE=90°， ∴.AC⊥BD 一平行四边形ABCD为菱形； (2)解： tan∠CAE=OE-1 A0 3' .设OE=X,则AO=3x,BO=BE-OE=5-X, AC⊥BD 在Rt△AOB中，由勾股定理有AO+BO=AB, 即(3x}+(5-x}=25, X=1 解得0-3x3 AC=2A0=6 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性 质，勾股定理，正切函数关系等知识，题目较易，但用到了较多的知识点，熟 练运用是关键， 22.(6分)如图，现有一根长为100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点0 30cm 10N Icm 并将其吊起来.在O点左侧 处挂一个重 的物体，在点O的右侧 处用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态。弹簧秤的示数F(单位：N) 第27页共40页 与相应的L的部分实验数据如下表： 2 2 L 0 5 0 5 3 2 个 c2 … 0 0 5 (1)填空： 表中a的值为 (2)猜想并验证F与L之间的函数关系式， (3)保持木杆处于水平状态，移动弹簧秤到什么位置时，弹簧秤的示数F最小？ 是多少？ 【答案】(1)12 (2)猜想：F= 300 见解析； (3)距离为50cm时，弹簧秤的示数最小，为6N 【分析】本题考查的是反比例函数的应用； (1)由LF的乘积为定值，再列式计算可得a的值； (2)先猜想F= 300 再进行验证即可； L (3)根据反比例函数的性质可得答案。 【详解】(1)解：a=20×15 12; 25 第28页共40页 300 (2)解：猜想：F= L 验证： 10×30=300,15X20=300,20X15=300 ·.10×30=15×20=20×15 ·.F与L成反比例函数关系，且k=300（求三个点的乘积确定定值k) 猜想F= 300 正确； (3)解： F=300 ，k=300>0, :当>0时，'随的增大而减小， X 当乙取最大值时，取最小值， 木杆长100cm,O为木杆的中点，故L最大=50cm, 300 当L=50时，最小= 50 6, ·距离为50cm时，弹簧秤的示数最小，为6N. 23.(8分)如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，F为BC的中点，过点C 作⊙O的切线交OF的延长线于点E,连接BE,BC,BC交OF于点D, (1)求证：BE是⊙O的切线； (2)若DF=2,∠EFOB=60°，求线段OE的长； (3)在（2)的条件下，求阴影部分的面积. 【答案】(1)见解析 (2)OE=8 第29页共40页 (3)16V3.16m 3 【分析】本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理， 全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，扇形面积的计算等知识，熟练 掌握切线的判定与性质是解题的关键 （1)连接OC,如图，根据垂径定理由F为BC的中点，得到OE为BC的垂 直平分线，所以EB=FC,证明△OCE≌△OBESSS),得出 ∠OBE=∠OCE=90°，根据切线的判定定理得BE与⊙O相切； (2)设00的半径为X,则0D=心2.0B=X,得出2号，解得 求出OE的长； (3)由扇形的面积公式可得出答案 详解】(1)证明：如图，连接0C, 为胜。 ∠OCE=90° :F为BC的中点， OD垂直平分BC, ∴.EC=EB, 在△OCE和△OBE中， 第30页共40页 OC=OB OE=OE, EC=EB ·.△OC≌△OBE(SSS). ∠OBE=∠OCE=90° OBL BE QOB是⊙O的半径， .BE是⊙O的切线； （2)解：设⊙O的半径为x,则OD=OF-DF=x-2,OB=x, 在Rt△OBD中，∠EOB=60°， :OD=I BO, 即x2=2X, 解得=4 ∴.OD=2,OB=4, ∠EOB=60°， .∠OEB=30°， ∠OBE=90°， OE=20B=8 （3)解：BOE=60°，∠OBE=90°， ∴在Rt△OBE中，BE=√5OB=4V3, 8s=5amc5m=2xX445.120XX4-16V5.1 360 3 24.（8分)数学实践小组在研学时提出问题：山上信号塔的高度约为多少米？ 实践小组利用已学知识和工具测量数据解决问题，具体研究方案如下： 第31页共40页 问题 山上信号塔的高度约为多少米？ 工具 皮尺、测倾器等测量工具 ---- 图形 C E 图1 图2 根据实际问题画出示意图（图2），小组成员首先在山 脚平地上的C处测得∠ACN=37°，再往信号塔方向前 说明 进至山脚平地上的D处，测得CD=150m,在D处测 得∠ADN=45°，∠BDN=42°，ABN CN于点E. 根据上述信息，请你帮助实践小组解答下列问题： (1)求信号塔顶到山脚平地的距离AE(结果精确到1m); 2)求信号塔AB的高度（结果精确到lm). (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90) 【答案】（①）信号塔顶到山脚平地的距离AE约为450m (2)信号塔AB的高度约为45m 【分析】（1)分别在Rt△ACE和Rt△4DE中，利用解直角三角形求出 CE≈。，5，DE=X,再由CE.DE=CD,列出方程，即可求解； (2)在Rt△BDE中，利用BE=DE·tan42°，再利用AB=AE-BE即可求 解. 第32页共40页 【详解】（1)解：设AE=m, 在Rt△ACE中，∠ACE=37°， ·CE=AE tan37°0.75 在Rt△ADE中，∠ADN=45°， AE .DE=- tan45° =X, CE-DE=CD, X -x=150, 0.75 解得x=450, 信号塔顶到山脚平地的距离AE约为450m; (2)解：由（1)可知DE=AE=450m, 在Rt△BDE中，∠BDN=42°， BE=DEtan42°≈450×0.90=405(m), .AB=AE-BE=450-405=45(m), 即信号塔AB的高度约为45m. 25.(10分)如图，已知抛物线y=a?+br+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1, 且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A1,0),C(0,3). 第33页共40页 (1)若直线ymx+n经过B,C两点，求直线BC和抛物线的表达式： (2)在抛物线的对称轴上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标： (3)点Q为BC上一动点，过Q作x轴垂线交抛物线于点P（点P在第二象 限)，求线段PQ长度最大值 【答案】(1)+3；y=-2+3(2)M1,2)；(3)9 【分析】（1)先把点A,C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b,c的关 系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解 方程组，求出a,b,c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入 直线y=x+n解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式： (2)设直线BC与对称轴X=-l的交点为M,此时MA+MC的值最小，把 X=-1 y=x+3 V 代入直线 得的值，即可求出点M坐标； （3)根据题意，设Qt,+3)则代t--21+3),进而根据PQ的长度列出函数 关系式，根据配方法即可求得PQ的最大值， 第34页共40页 二1 2a 【详解】解：(1)由题意得： a+b+c=0, c=3 a=-1 解得 b=-2, c=3 ∴抛物线解析式为：y=-X2-2x+3, ·对称轴为X=-1 且抛物线经过点A、B, ·B点坐标为(3,0 ∴.把B-3,0)、C(0,3)分别代人y=x+n中， -31m+n=0 得 n=3 m=1 解得 0=3 ∴.直线BC的解析式为y=x+3; （2)如图， :点A,B在抛物线对称轴的两侧， A B关于对称轴对称， MA-MB .MA+MC=MB+MC, 第35页共40页 由两点之间线段最短，所以使MA+MC最小的点M在线段BC上，即为直线 BC与对称轴X=-1的交点M 直线BC的解析式为y=x+3, ∴.当X=-1时，y=2, ∴.M(-1,2): （3)点Q为BC上一动点，直线BC的解析式为y=x+3,抛物线解析式为： y=--2x+3 设Qt,t+3)则Pt,--2t+3) 点P在第二象限，由图象可知>% 9、9 .PQ=--2t+3-(t+3)=-f-3t=-(2-3t+)+ 99 =-(t- 41 4 4-4 线段PQ张度最大值〉 【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数的解析式、 利用轴对称性质确定线段的最小长度，掌握二次函数的性质是解题的关键 26.（10分)（综合与实践)在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸 片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片AB(D,AB=4,BC=3. D B B 图1 图2 图3 (1)操作发现：操作一：将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为 EF,然后展平得到图1，则四边形AFCE是什么特殊四边形？（不用说明理 由) 2)实践探究：操作二：如图2，在矩形纸片ABCD中，点C为AB的中点，将 纸片沿CC折叠，使点B落在点B处，连接AB ①判 AB与折痕℃的位置关系，并说明理由： U 第36页共40页 ②求AB的长 3)拓展应用：如图3，若M为AB上任意一点，将纸片沿CM折叠，使点B落 在点B处，连接AB当点A与点B距离最小时，求BM的长 【答案】(1)四边形A5C7 是菱形 ②0AB∥CC,理由见解析，②AB-8v 13 3)BM=3 【分析】(1)连接AE,CF,设EF与AC交于点O,由翻折可知AE=CE, AF=CF,EF是AC的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得 AO=CO,EF⊥AC,由矩形的性质可得AB∥CD,推出∠OCE=∠OAF, ∠OEC=∠OFA,证明△COE≌△4OF(AAS)得出OE=OF,即可得证； (2)①连接BB交CG于点E,由翻折可知CG垂直平分BB,由线段垂直平 分线的性质可得BE=BE'BLCG证明GD是△4BB的中位线，得出 GEAB,即可得解；②连接BB交CG于点E,由翻折可知CG垂直平分 BB,由线段垂直平分线的性质可得BB=2BE,BB⊥CG,求出BG=2,由 勾股定理可得CG=V13,由等面积法求出BE=6 3,得出BB=12 ,最 后再由勾股定理计算即可得解； (3)连接AC,由勾股定理可得AC=5,AC≤AB+BC,得出当A,B, C在同一条直线上时，点与点B距离最小，最后由勾股定理求解即可。 【详解】（1)解：以点A,F,C,E为顶点的四边形是菱形. 理由如下：如图，连接AE,CF,设EF与AC交于点O, 第37页共40页 D 由翻折可知：AE=CE,AF=CF,EF是AC的垂直平分线， 即有AO=CO,EF⊥AC, 因为四边形ABCD是矩形，有ABCD, 所以∠OCE=∠OAF,∠OEC=∠OFA 所以△COE≌△4OF(AAS), 于是OE=OF,所以四边形AECF是平行四边形. 又因为AE=CE,因此四边形AECF是菱形 (2)解：①AB∥CG, 理由如下：连接BB交CG于点E, D B 由翻折可知：CG垂直平分BB, 所以BE=BE BB⊥CG 学 所以 因此GE∥AB,即AB∥CG; ②如图，连接BB交CG于点E, D 第38页共40页 由翻折可知：CG垂直平分BB, 所以BB=2BE、BB⊥CG 在矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=3, 因为点G为AB的中点，所以BG=号AB=2, 在R△CBG冲，CG=VBC+BG=V32+22=√13， 因为SG=2 BG.BC=I CG-BE, 所以BE= BG·BC_2X36 CG V13√13' 而BB=2BE=12 3 又因为AB∥CG,CGL BB,所以AB⊥BB, 所以AB2=AB.BB2=42- 12 264 13 13 所以AB=83 13 3)解：如图，连接AC, B M B 在矩形ABCD中，AB=4,BC=3, 于是AC=VAB+BC=V4?+32=5, 因为AC≤AB+BC, 当A,B,C在同一条直线上时，点A与点B距离最小， 第39页共40页 D B影 A M B 此时AB=ACBC=5-3=2, 设BM=X,则M三AB-BM=4-X 由翻折可知： BM=BM AB+BM=AM, 22+2=(4-x)2, 解得：X即/ 第40页共40页