第一章　三角形的证明及其应用 习题课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

4　线段的垂直平分线 第2课时　线段垂直平分线性质的应用 第一章　三角形的证明及其应用 01 基础进阶 02 素能攀升 目 录 1. 在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，且顶点在格点上，在 △ABC的内部有E，F，G，H四个格点，其中，到△ABC三个顶点的 距离相等的点是（　B　） A. E B. F C. G D. H （第1题） B 1 2 3 4 5 6 返回目录 2. 已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点 Q. 有如图所示的作法，其中，正确的是 　②③　（填序号）. （第2题） ②③　 1 2 3 4 5 6 返回目录 3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线. （1） 尺规作图：作△ABD的高线DE. 解：（1）如图所示. （第3题答案） 1 2 3 4 5 6 返回目录 （2） 在（1）的条件下，连接CE，求证：AD垂直平分CE. 解：（1） 如图所示. 解： （2） 如图.由（1），得DE是△ABD的高线. ∴ DE⊥AB. ∴ ∠AED＝90°.在△ABC中， ∵ ∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线， ∴ ∠AED＝∠ACD，∠CAD＝∠BAD. 在△ACD 和△AED中， ∴ △ACD≌△AED. ∴ AC＝AE，DC＝DE. ∴ 点A，D在CE的垂直平分线上.∴ AD垂直平分 CE. （第3题答案） （第3题答案） 1 2 3 4 5 6 返回目录 4. 如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连接BP， CP. 若∠BPC＝100°，则∠A的度数为（　B　） A. 40° B. 50° C. 60° D. 80° （第4题） B 1 2 3 4 5 6 返回目录 5. 如图，五边形ABCDE是正五边形，直线MN∥AB，点P在直线MN 上运动.当点P至少与正五边形的两个顶点距离相等时，警报器就会发 出警报.在直线MN上，会发出警报的点有 　5　个. （第5题） 5　 1 2 3 4 5 6 返回目录 6. 如图，在△ABC中，DF，EF分别垂直平分AC，BC，分别交AB于 M，N两点，连接MC，NC. （1） 若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数. 解：（1） ∵ DF，EF分别垂直平分AC，BC， ∴ AM＝CM，CN＝BN. ∴ ∠A＝∠ACM，∠B ＝∠BCN. ∴ ∠CMN＝∠A＋∠ACM＝2∠A，∠CNM＝∠B＋∠BCN＝2∠B. ∵ ∠ACB＝120°，∴ ∠A＋∠B＝180°－∠ACB＝60°.∴ ∠MCN＝180°－（∠CMN＋∠CNM）＝180°－2（∠A＋∠B）＝60°. 1 2 3 4 5 6 返回目录 9 （2） 若△CMN的周长为15 cm，求AB的长. 解：（2） 由（1），得AM＝CM，BN＝CN， ∴ △CMN的周长为CM＋MN＋CN＝AM＋MN ＋BN＝AB. ∵ △CMN的周长为15 cm，∴ AB＝ 15 cm. 1 2 3 4 5 6 返回目录 （3） 若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数. 解：（3） ∵ ∠MFN＝70°，∴ ∠NMF＋∠MNF ＝180°－∠MFN＝110°.∵ ∠AMD＝∠NMF， ∠BNE＝∠MNF，∴ ∠AMD＋∠BNE＝∠NMF ＋∠MNF＝110°.∵ DF，EF分别垂直平分AC， BC，∴ ∠ADM＝∠BEN＝90°.∴ ∠A＋∠B＝ 90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝180°－（∠AMD ＋∠BNE）＝70°.由（1），得∠MCN＝180°－2 （∠A＋∠B）＝40°. 1 2 3 4 5 6 返回目录 $4　线段的垂直平分线 第1课时　线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 第一章　三角形的证明及其应用 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 如图，某地拟在河岸m上建一个水厂以向村庄P，Q供水.若水厂到 村庄P，Q的距离相等，则水厂应建在（　B　） A. A地 B. B地 C. C地 D. D地 （第1题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 2. （2025•淄博高青期末）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC长为 半径作弧，交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，大于 BD的长为 半径作弧，两弧分别交于点M，N，连接MN交AB于点E，连接AD， DE. 若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　D　） A. 22 B. 20 C. 18 D. 16 （第2题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 3. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E， CD平分∠ACB. 若∠B＝30°，则∠A的度数为 　50°　. （第3题） 50°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 4. （2025•咸阳礼泉期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为△ABC 右侧一点，连接AD，CD，BD，AD＝CD，∠BAC＝60°.求证： BD是AC的垂直平分线. （第4题） 解：∵ AB＝AC，∠BAC＝60°，∴ △ABC是等边三角形.∴ AB＝ BC. ∵ AD＝DC，∴ 点B，D都在AC的垂直平分线上.∴ BD是AC的 垂直平分线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 5. 已知△ABC（AB＜AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上取一点 P，使PA＋PC＝BC，下列作法正确的是（　B　） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 6. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分 线交BC于点E，垂足分别为M，N. 若BD＝ ，DE＝2，EC＝ ，则 AC的长为（　D　） A. B. C. D. （第6题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 7. （2025•通化辉南模拟）如图，在△ABC中，∠A＝105°，AC的垂 直平分线l交BC于点M，AB＋BM＝BC，则∠B＝ 　50°　. （第7题） 50°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 8. 新考法•操作实践题　 （2025•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC ＝90°，AB＝1，BC＝2.以点A为圆心，AB长为半径作弧，以点C为 圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则 BD＝ 　 　. （第8题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 9. ★如图，AB＝CD，AC，BD的垂直平分线EM，EN相交于点E， 连接BC，BE，DE. 求证：∠ABE＝∠CDE. （第9题） 解：连接AE，CE. ∵ AC，BD的垂直平分线EM，EN相交于点E，∴ EA＝EC，EB＝ED. 在△ABE和△CDE中， ∴ △ABE≌△CDE. ∴ ∠ABE＝∠CDE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 10. 已知△ABC是等边三角形，过点C作CD∥AB，且CD＝AB，连 接BD交AC于点O. （1） 如图①，求证：AC垂直平分BD. 解：（1） ∵ △ABC是等边三角形，∴ AB＝BC，∠ABC＝∠ACB ＝∠CAB＝60°.∵ CD＝AB，∴ CD＝BC. ∵ CD∥AB，∴ ∠ACD ＝∠BAC＝60°.∴ ∠ACD＝∠ACB＝60°.∴ BO＝DO， CO⊥BD，即AC垂直平分BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 如图②，点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且ND＝ NM，连接BN. 求证：NB＝NM. 解：（2） 由（1），知AC垂直平分BD，∴ NB＝ND. ∵ ND＝NM， ∴ NB＝NM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB 的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE ＝CF，连接BF，DE. 线段DE和BF有什么数量和位置关系？请说明 理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 解：DE＝BF，DE⊥BF. 　理由：如图，连接BD， 延长BF交DE于点G. ∵ 点D在线段AB的垂直平分线 上，∴ AD＝BD. ∴ ∠ABD＝∠A＝22.5°.∴ ∠CDB ＝∠ABD＋∠A＝45°.∴ △BCD为等腰直角三角形. ∴ BC＝DC. 在△ECD和△FCB中， ∴ △ECD≌△FCB. ∴ DE＝BF，∠CED＝∠CFB. ∵ ∠CFB＋∠CBF＝90°，∴ ∠CED＋∠CBF＝ 90°.∴ ∠EGB＝90°，即DE⊥BF. （第11题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 $1　三角形内角和定理 第4课时　多边形的外角和 第一章　三角形的证明及其应用 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. （2025•遂宁）已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边 形的边数为（　A　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 2. （2025•长春南关模拟）如图，小明不小心将树叶遮盖住了数学作业 本中一个正n边形的一部分.若直线AM，BN所夹锐角为36°，则n的 值是（　C　） A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 （第2题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 3. （2025•榆树期末）如图，在五边形ABCDE中，∠A＝120°，则∠1 ＋∠2＋∠3＋∠4的度数是 　300°　. （第3题） 300°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 4. （2025•齐齐哈尔建华期中）若多边形的每一个外角都等于45°，则 从该多边形的一个顶点出发一共可以引出 　5　条对角线. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 5. ★（2025•邯郸涉县期末）已知一个正多边形的边数为n. （1） 若n＝8，求这个正多边形的内角和. 解：（1） （8－2）×180°＝1 080°. 答：这个正多边形的内角和为1 080°. （2） 若这个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的6倍还多12°， 求n的值. 解：（2） 设这个正多边形的每个外角的度数为x°，则每个内角的度 数为（6x＋12）°.∴ x°＋（6x＋12）°＝180°，解得x＝24.∴ n＝ 360°÷24°＝15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 6. 如图，六个正九边形中间可以拼接出一个美丽的图案，则图中 ∠ABC的度数为（　C　） A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° （第6题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 7. 一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶 点O，其摆放方式如图所示，则∠1的度数是（　D　） A. 70° B. 60° C. 50° D. 48° （第7题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 8. （2025•青岛市南期末）小明同学用如图①所示的六张全等纸片拼接 出图②，图②的外轮廓是正六边形.如果用若干张纸片按照图③所示的 方法拼接，外轮廓是正n边形，那么n的值为（　C　） 　 　 （第8题） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 9. 若一个正多边形的内角和与它的外角和之和　是1 260°，则这个正 多边形的边数是 　7　. 10. 如图，∠1，∠2，∠3为六边形ABCDEF的外角，点D在直线l上， AF的延长线交直线l于点O. 若∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝220°，则 ∠DOF的度数为 　40°　. （第10题） 7　 40°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 11. 将一张五边形纸片的一个内角剪去，所得多边形的内角和与外角和 的度数分别是多少？小亮说：“五边形有5个内角，剪去1个后剩4个内 角，也就是变成了四边形，故内角和与外角和均为360°.”你认为小亮 的说法全面吗？请说明理由. 解：小亮的说法不全面.　理由：五边形被剪去一个内角后可能变成三 种多边形：① 四边形，内角和为360°；② 五边形，内角和为540°； ③ 六边形，内角和为720°.而外角和都不变，仍为360°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 12. 如图，小东在体育场的中间位置，从点O出发，前进5米后向右 转15°，再前进5米后向右转15°……一直这样走下去，小东恰好走 回点O. （1） 在这个过程中，小东一共需走多少米？走过的路径是一个什 么图形？ 解：（1） ∵ 从O点出发，每走5米后向右转 15°，∴ 360°÷15°＝24.∵ 24×5＝120 （米），∴ 小东一共需走120米，走过的路径是一 个边长为5米的正二十四边形. （第12题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 （2） 求这个图形的内角和. 解：（2） 这个图形的内角和为（24－2）×180°＝3 960°. （第12题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 13. 转化思想　 如图，∠G＝40°，求∠H＋∠I＋∠J＋∠K＋∠L＋ ∠M＋∠N＋∠O＋∠P＋∠Q＋∠R的度数. （第13题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 解：由题意，得∠GAF＝∠G＋∠H，∠ABI＝∠I＋∠J，∠BCK＝∠K＋∠L，∠CDM＝∠M＋∠N，∠DEO＝∠O＋∠P，∠EFQ＝∠Q＋∠R. ∵ ∠GAF＋∠ABI＋∠BCK＋∠CDM＋∠DEO＋∠EFQ＝360°，∴ ∠G＋∠H＋∠I＋∠J＋∠K＋∠L＋∠M＋∠N＋∠O＋∠P＋∠Q＋∠R＝∠GAF＋∠ABI＋∠BCK＋∠CDM＋∠DEO＋∠EFQ＝360°.又∵ ∠G＝40°，∴ ∠H＋∠I＋∠J＋∠K＋∠L＋∠M＋∠N＋∠O＋∠P＋∠Q＋∠R＝360°－40°＝320°. （第13题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 14. 一个正m边形恰好被m个正n边形围住（无重叠、无间隙，如当m ＝4，n＝8时，如图所示）.若m＝3，求n的值. （第14题） 解：当m＝3时，正三角形每个外角的度数是360°÷3＝120°，每个内角的度数是180°－120°＝60°.∵ 正三角形恰好被3个正n边形围住，∴ 正n边形每个内角的度数是 ×（360°－60°）＝150°.∴ 正n边形每个外角的度数是180°－150°＝30°.∴ 正n边形的边数n＝360÷30＝12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 $2　等腰三角形 第1课时　等腰三角形的性质与等边三角形的性质 第一章　三角形的证明及其应用 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. （2025•扬州）在如图所示的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC 上.添加下列一个条件，不能证明AD⊥BC的是（　B　） A. ∠ADB＝∠ADC B. ∠B＝∠C C. BD＝CD D. AD平分∠BAC （第1题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 2. 如图，在等边三角形ABC中，BE，CD分别是边AC，AB上的高， 且相交于点O，则∠BOC的度数为（　B　） A. 100° B. 120° C. 150° D. 160° （第2题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 3. 易错题　 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为28°，则该等 腰三角形的底角的度数为 　59°或31°　. 59°或31°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 4. 新情境•现实生活　 （2025•焦作一模）如图所示为购物车装满物品 时的形状.在五边形ABCDE中，F，E，A三点在同一条直线上.若 EB∥CD，ED＝CD，∠D＝120°，则∠CEB的度数为 　30°　. （第4题） 30°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 5. 如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使CE＝ CD，连接DE. （1） 若AB＝10，求BE的长. 解：（1） ∵ △ABC是等边三角形，BD是中线，AB ＝10，∴ AC＝BC＝AB＝10，AD＝CD＝ AC＝5. ∵ CE＝CD，∴ CE＝5.∴ BE＝BC＋CE＝15. （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 求∠E的度数. 解：（2） ∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠ACB＝ 60°.∵ CE＝CD，∴ ∠E＝∠CDE＝ ∠ACB＝ 30°. （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的 长为半径作弧，交AC于点D，连接BD，则∠ADB的度数为（　B　） A. 100° B. 105° C. 110° D. 115° （第6题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 7. 如图，在等边三角形ABC中，BD平分∠PBC，且BD＝AD，BP＝ BC，则∠BPD的度数为（　B　） （第7题） A. 20° B. 30° C. 40° D. 无法确定 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 8. 如图，△ABC，△ADE均为等边三角形，AD平分∠BAC交BC于点 D，DE交AB于点F，连接BE. 有下列结论：① AD⊥BC；② EF＝ DF；③ BE＝BD；④ BE∥AC. 其中，正确的有（　D　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 （第8题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 9. 分类讨论思想　 过等腰三角形顶角的顶点的一条直线，将该等腰三 角形分成两个等腰三角形，则原等腰三角形底角的度数为 　36 °或. 36°或45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 10. 如图，△ABC是边长为6的等边三角形，AD⊥BC，垂足为D， E，F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE＋EF 的最小值为 　3 　. （第10题） 3 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 11. 如图，C为线段AB上一点，分别以AC，BC为底，在AB的同侧作 等腰三角形ACD和等腰三角形BCE，且∠A＝∠CBE，在线段EC上截 取EF，使得EF＝CD，连接BF，DE. （1） △DCE与△FEB全等吗？为什么？ 解：（1） △DCE≌△FEB. 由题意，得AD＝CD，EC ＝EB，∠A＝∠DCA. ∵ ∠A＝∠CBE，∴ ∠DCA＝ ∠CBE. ∴ CD∥BE. ∴ ∠DCE＝∠FEB. 在△DCE和 △FEB中， ∴ △DCE≌△FEB. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 若∠A＝66°，∠FBE＝35°，求∠DEB的度数. 解：（2） 由（1），知△DCE≌△FEB. ∴ ∠DEC＝ ∠FBE＝35°.∵ △BCE是等腰三角形，∴ ∠BCE＝ ∠CBE＝∠A＝66°.∴ ∠BEC＝180°－∠BCE－ ∠CBE＝48°. ∴ ∠DEB＝∠BEC＋∠DEC＝83°. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 12. 新考法•探究题　 如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝ AC，点D在BC上，AE＝AD，连接DE. （1） 当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数. 解：（1） ∵ AB＝AC，∠BAC＝90°，∴ ∠B＝∠C＝45°. ∵ ∠BAD＝60°，∴ ∠DAE＝30°.∵ AD＝AE，∴ ∠AED＝ × （180°－∠DAE）＝75°.∴ ∠CDE＝∠AED－∠C＝30°. （第12题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 当点D在BC（点B，C除外）上运动时，写出∠BAD与∠CDE 的数量关系. 解：（2） ∵ ∠BAC＝90°，AB＝AC，∴ ∠DAE＝90°－ ∠BAD，∠C＝45°.∵ AD＝AE，∴ ∠AED＝ （180°－∠DAE） ＝45°＋ ∠BAD. ∴ ∠CDE＝∠AED－∠C＝ ∠BAD. ∴ ∠BAD ＝2∠CDE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （第12题） 返回目录 （3） 如图②，当∠BAC≠90°时，其他条件不变，探究∠BAD与 ∠CDE的数量关系. 　　 解：（3） 设∠CDE＝x，∠C＝y.∵ AB＝AC，∠C＝y，∴ ∠B＝ ∠C＝y.∵ ∠CDE＝x，∴ ∠AED＝y＋x.∵ AD＝AE，∴ ∠ADE ＝∠AED＝y＋x.∵ ∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE， ∴ y＋∠BAD＝y＋x＋x. ∴ ∠BAD＝2∠CDE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 13. 如图①，△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，其中 ∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交边 AB，AC于点M，N，连接MN. （1） 探究线段BM，MN，NC之间的数量关系，并加以证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 解：（1）MN＝BM＋NC. 如图①，延长AC至点E，使得CE＝ BM，连接DE. ∵ △BDC为等腰三角形，∠BDC＝120°，∴ ∠DBC ＝∠DCB＝30°，BD＝CD. ∵ △ABC为等边三角形，∴ ∠ABC＝ ∠ACB＝60°.∴ ∠ABC＋∠DBC＝∠ACB＋∠DCB＝60°＋30°＝ 90°.∴ ∠MBD＝∠ECD＝90°.在△MBD和△ECD中， ∴ △MBD≌△ECD. ∴ MD＝ED，∠BDM＝∠CDE. （第13题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 ∵ ∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，∴ ∠BDM＋∠NDC＝60°.∴ ∠CDE＋∠NDC＝60°，即∠EDN＝60°.∴ ∠MDN＝∠EDN. 在 △DMN和△DEN中， ∴ △DMN≌△DEN. ∴ MN＝EN＝CE＋NC＝BM＋NC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （第13题答案） 返回目录 （2） 若M是AB延长线上的一点，N是CA延长线上的一点，其他条件 不变，请探究线段BM，MN，NC之间的数量关系，在图②中画出图 形，并说明理由. 解：（2） 如图②所示.MN＝NC－BM. 　 理由：在CA上取一点E，使得CE＝BM，连接DE. 由（1）易知，∠MBD＝∠ECD＝90°，BD＝CD. 在△BMD和△CED中， ∴ △BMD≌△CED. ∴ DM＝DE， ∠MDB＝∠EDC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 ∴ ∠MDE＝∠MDB＋∠BDE＝∠EDC＋∠BDE＝∠BDC＝120°.∵ ∠MDN＝60°，∴ ∠EDN＝60°. ∴ ∠MDN＝∠EDN. 在△MDN和△EDN中， ∴ △MDN≌△EDN. ∴ MN＝EN＝NC－CE＝NC－BM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 $专题特训一　构造等腰三角形解题的常用方法 第一章　三角形的证明及其应用 类型一　连接线段构造等腰三角形 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在BC，AB，AC 上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点.求证：DG⊥EF. （第1题） 解：连接DE，DF. ∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C. 在△BDE和△CFD 中， ∴ △BDE≌△CFD. ∴ DE＝FD. ∵ G是EF的中点，∴ DG⊥EF. 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的 一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M. 求证：M是BE的中点. （第2题） 解：连接BD. ∵ △ABC是等边三角形，D是AC的中点，∴ ∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝ ∠ABC＝30°.∵ CE＝CD，∴ ∠CDE＝∠E. ∵ ∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴ ∠E＝ ∠ACB＝30°.∴ ∠DBC ＝∠E. ∴ BD＝ED. 又∵ DM⊥BC，∴ M是BE的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 类型二　利用“三线合一”构造等腰三角形 3. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BP⊥AD于点P，AB＝5，BP ＝2，AC＝9，求证：∠ABP＝2∠C. （第3题） 解：延长BP交AC于点E. ∵ AD平分∠BAC，BP⊥AD， ∴ ∠BAP＝∠EAP，∠APB＝∠APE. 在△ABP和△AEP中， ∴ △ABP≌△AEP. ∴ BP＝EP，AB＝AE＝5， ∠ABP＝∠AEP. ∴ BE＝BP＋PE＝4.∴ CE＝AC－AE＝9－5＝4.∴ CE＝BE. ∴ △BCE是等腰三角形. ∴ ∠EBC＝∠C. ∵ ∠ABP＝∠AEB＝∠C＋∠EBC， ∴ ∠ABP＝2∠C. 1 2 3 4 5 6 7 8 类型三　作平行线构造等腰三角形 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线 上，且BD＝CE，DE交BC于点F. 求证：DF＝EF. 解：如图，过点D作DM∥AC，交BC于点M. ∴ ∠DMB＝ ∠ACB，∠FDM＝∠E. ∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠ACB. ∴ ∠B＝∠DMB. ∴ BD＝MD. ∵ BD＝CE，∴ MD＝CE. 在△DMF和 △ECF中， ∴ △DMF≌△ECF. ∴ DF＝EF. （第4题答案） （第4题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 类型四　利用倍角转化法构造等腰三角形 5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC. 求证：∠A＝90°. 解：如图，作∠ACB的平分线CD交AB于点D，过点 D作DE⊥BC于点E. ∴ ∠ACD＝∠BCD＝ ∠ACB，∠CED＝90°.∵ ∠ACB＝2∠B，∴ ∠B＝ ∠BCD＝ ∠ACB. ∴ BD＝CD. ∵ DE⊥BC，∴ BE ＝CE＝ BC. ∵ BC＝2AC，∴ AC＝CE. 在△ACD和 △ECD中， ∴ △ACD≌△ECD. ∴ ∠A＝∠CED＝90°. （第5题答案） （第5题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 6 类型五　利用“截长补短”法构造等腰三角形 6. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝2∠C. 求证：AB＋BD＝CD. 解：如图，在CD上取一点E，使ED＝BD，连 接AE. ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADE＝∠ADB＝90°. 在△ADE和△ADB中， ∴ △ADE≌△ADB. ∴ AE＝AB. ∴ ∠AEB＝∠B ＝2∠C. 又∵ ∠AEB＝∠C＋∠EAC， ∴ ∠EAC＝∠C. ∴ AE＝EC. ∴ AB＝EC. ∴ CD＝EC＋ED＝AB＋BD，即AB＋BD＝CD. （第6题答案） （第6题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝ 60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB. 解：如图，延长BD到点F，使BF＝BA，连接AF， CF. ∵ ∠ABD＝60°，∴ △ABF为等边三角形.∴ AF ＝AB＝AC＝BF，∠AFB＝60°.∴ ∠ACF＝∠AFC. 又∵ ∠ACD＝60°，∴ ∠AFB＝∠ACD. ∴ ∠DFC＝ ∠DCF. ∴ DC＝DF. ∴ BD＋DC＝BD＋DF＝BF＝ AB，即BD＋DC＝AB. （第7题答案） （第7题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 类型六　利用特殊角构造等边三角形 8. 如图，在四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝ 90°，∠ADC＝120°.求CD的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 解：如图，延长AD，BC交于点E. ∵ ∠A＝30°，∠B＝90°， ∴ BE＝ AE，∠E＝60°.∵ ∠ADC＝120°， ∴ ∠EDC＝60°.∴ 易得△EDC是等边三角形.设CD＝ CE＝DE＝x.∵ AD＝4，BC＝1，∴ AE＝4＋x，BE＝1＋x. ∴ 1＋x＝ （x＋4），解得x＝2.∴ CD＝2. （第8题答案） （第8题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 $5　角平分线 第2课时　角平分线的性质的应用 第一章　三角形的证明及其应用 01 基础进阶 02 素能攀升 目 录 1. 如图，某村要在三条公路围成的一块三角形平地（记作△ABC）上 修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应 建在△ABC的（　B　） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 以上都不对 （第1题） B 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 2. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线的交点P恰好在边BC 的高AD上，则△ABC一定是（　C　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 （第2题） C 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 3. 如图，△ABC的周长是20，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， OD⊥BC于点D，且OD＝3，△ABC的面积是 　30　. （第3题） 30　 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 4. 如图，N是△ABC内的一点，且点N到△ABC三边的距离相等，过 点N作EF⊥BN，分别交AB，BC于点E，F. 若∠BAN＝20°， ∠ENA＝30°，求∠FNC的度数. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 解：∵ 点N到△ABC三边的距离相等，∴ 易得AN平分∠BAC，CN 平分∠ACB，BN平分∠ABC. ∵ ∠BAN＝20°，∠ENA＝30°， ∴ ∠BEF＝∠BAN＋∠ENA＝50°.∵ BN平分∠ABC，BN⊥EF， ∴ ∠EBN＝∠FBN，∠ENB＝∠FNB＝90°.∴ ∠BEF＝∠BFE＝ 50°.∴ ∠EBF＝180°－2×50°＝80°.∵ AN平分∠BAC，CN平分 ∠ACB，∴ ∠BAC＝2∠BAN＝40°，∠BCN＝ ∠ACB. ∴ ∠ACB ＝180°－40°－80°＝60°.∴ ∠BCN＝ ∠ACB＝30°.∴ ∠FNC＝ ∠BFE－∠BCN＝20°. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 5. 如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC. 若 △OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确 的是（　C　） A. S1＞S2＋S3 B. S1＝S2＋S3 C. S1＜S2＋S3 D. 无法确定 （第5题） C 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AI平分 ∠CAB，BI平分∠ABC，过点I作IG⊥AB于点G. 若BG＝6，则 △ABI的面积为 　10　. （第6题） 10　 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝100°，点D在BC的延长线上， ∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且 ∠CEH＝50°. （1） 求∠ACE的度数. 解：（1） ∵ ∠ACB＝100°，∴ ∠ACD＝180°－ ∠ACB＝80°.∵ EH⊥BD，∠CEH＝50°， ∴ ∠DCE＝90°－∠CEH＝40°.∴ ∠ACE＝ ∠ACD－∠DCE＝40°. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 （2） 求证：AE平分∠CAF. 解：（2） 如图，过点E作EM⊥BF于点M，作 EN⊥AC于点N. ∵ BE平分∠ABC，EM⊥BF， EH⊥BD，∴ EM＝EH. 由（1）可知，∠ACE＝ ∠DCE＝40°，即CE平分∠ACD. ∵ EN⊥AC， EH⊥BD，∴ EN＝EH. ∴ EM＝EN. ∵ EM⊥BF，EN⊥AC，∴ AE平分∠CAF. （第7题答案） 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 （3） 若AC＋CD＝16，AB＝10，且S△ACD＝24，求△ABE的面积. 解：（3） 由（2），得EM＝EH＝EN. ∵ S△ACD＝ 24，∴ S△ACE＋S△DCE＝24.∴ AC•EN＋ CD•EH ＝24，即 EM•（AC＋CD）＝24.∵ AC＋CD＝ 16，∴ EM＝3.∵ AB＝10，∴ △ABE的面积为 AB•EM＝ ×10×3＝15. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 $1　三角形内角和定理 第1课时　三角形的内角 第一章　三角形的证明及其应用 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 一个三角形的三个内角的度数之比为2∶3∶7，则这个三角形一定 是（　D　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 2. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放（点A，O，B在同一条直线 上），连接CD. 若∠1＝40°，则∠2的度数为（　C　） A. 45° B. 55° C. 65° D. 75° （第2题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 3. （2025•重庆长寿期末）在△ABC中，如果∠A是∠B的两倍，且 ∠C的度数比∠A的度数大30°，那么△ABC是 　直角　三角形（填 “锐角”“直角”或“钝角”）. （第4题） 直角　 4. 如图，将△ABC分别沿DE，HG，EF翻折，使得三个顶点均落在 点O处.若∠1＝130°，则∠2的度数为 　50°　. 50°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 解：（1） ∵ AB∥DE，∴ ∠B＝∠DEF. ∵ BE＝ CF，∴ BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF. 在 △ABC和△DEF中， ∴ △ABC≌△DEF. ∴ ∠ACB＝∠F. ∴ AC∥DF. 　 （第5题） 5. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB ＝DE，AB∥DE，BE＝CF. （1） 求证：AC∥DF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数. 解：（2） 由（1），得∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F. ∴ ∠DEF＝∠B＝65°，∠ACB＝∠F＝35°.在△EOC中，∠EOC＝180°－∠DEF－∠ACB＝180°－65°－35°＝80°. （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 6. （2025•西安段考）如图，在△ABC和△ADE中，AC＝AE，∠C＝ ∠E. 添加下列一个条件，仍无法判定△ABC≌△ADE的是（　D　） A. ∠B＝∠D B. BC＝DE C. ∠1＝∠2 D. AB＝AD （第6题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 7. （2025•黔西南期末）将一副三角尺（∠C＝30°，∠F＝45°）按 如图所示的方式摆放，使点D落在边AC上，DF∥BC，则∠DGE的度 数是（　A　） A. 75° B. 70° C. 65° D. 60° （第7题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 8. 如图，在△ABC中，∠ABE＝∠EBD＝∠CBD，∠ACE＝∠ECD ＝∠BCD，BE与CE交于点E，BD与CD交于点D. 若∠BEC＝ 70°，则∠BDC的度数为（　B　） （第8题） B A. 100° B. 125° C. 142° D. 110° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 9. 转化思想　如图，∠A＝70°，∠B＝41°，∠C＝29°，则∠D＋ ∠E＝ 　40°　. （第9题） 40°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 10. 将一把含45°角的三角尺ABC和圆规按如图所示的方式摆放在同一 水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角尺的一组直角边.已知∠1＝ 16°，∠2＝31°，则∠3＝ 　43°　. （第10题） 43°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 11. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着 DE折叠，使点A落在点A′处. （第11题） （1） 若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠A的度数. 解：（1） ∵ ∠A＋∠B＋ ∠C＝180°， ∴ ∠A＝180°－（∠B＋∠C）＝180°－（50°＋60°）＝70°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 若∠1＋∠2＝130°，求∠A的度数 解： （2） 由折叠的性质，可知∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE. ∴ ∠AED＋∠ADE＝∠A′ED＋∠A′DE＝180°－∠A. ∴ ∠1＋∠2＝180°－∠AED－∠A′ED＋180°－∠ADE－∠A′DE＝360°－2（180°－∠A）＝2∠A. ∴ ∠A＝ （∠1＋∠2）＝65°. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 12. 如图，在△ABC中，∠ABC＝70°，∠C＝30°，AD⊥BC，垂足 为D，在边AC上取一点F，使AF＝AB，AE平分∠BAC，连接EB， EF. （1） 求证：FE＝BE. 解：（1） ∵ AE平分∠BAC，∴ ∠FAE＝∠BAE. 在 △AFE和△ABE中， ∴ △AFE≌△ABE. ∴ FE＝BE. （第12题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 求∠DAE的度数. 解：（2） 在△ABC中，∠ABC＝70°，∠C＝30°，∴ ∠BAC＝180°－（∠ABC＋∠C）＝80°.∵ AE平分∠BAC，∴ ∠BAE＝ ∠BAC＝40°.∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，∠ABC＝70°，∴ ∠BAD＝90°－∠ABC＝20°. ∴ ∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝20°. （第12题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 13. 新考法•探究题 （2025•佛山南海段考）（1） 如图①，线段AB， CD相交于点O，连接AC，BD，则∠A，∠C，∠B，∠D之间的数 量关系是 　∠A＋∠C＝∠B＋∠D　. （第13题） ∠A＋∠C＝∠B＋∠D　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 如图②，∠CAB，∠BDC的平分线AP，DP相交于点P，与 CD，AB分别交于点M，N. 探究∠B，∠C，∠P之间的数量关系， 并证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 解：（2） ∠B＋∠C＝2∠P. ∵ ∠CAB，∠BDC的平分线AP，DP 相交于点P，∴ 设∠CAP＝∠OAP＝α，∠BDP＝∠ODP＝β.由 （1），得在△ACM和△DPM中，∠C＋∠CAP＝∠P＋∠ODP，即 ∠C＋α＝∠P＋β①.在△BDN和△PAN中，∠B＋∠BDP＝∠P＋ ∠OAP，即∠B＋β＝∠P＋α②.①＋②，得∠B＋∠C＋α＋β＝2∠P ＋α＋β，即∠B＋∠C＝2∠P. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （3） 若∠CAB和∠BDC的三等分线AP和DP相交于点P，与CD，AB分别交于点M，N，AB，CD交于点O，其中∠CAP＝2∠PAO，∠ODP＝2∠PDB，则∠B，∠C，∠P之间又有怎样的数量关系？请说明理由. 解：（3） ∠C＋2∠B＝3∠P. 　理由：设∠PAO＝α，∠PDB＝β， 则∠CAP＝2α，∠ODP＝2β.由（1），得在△ACM和△DPM中， ∠C＋∠CAP＝∠P＋∠ODP，即∠C＋2α＝∠P＋2β.∴ ∠C－∠P ＝2（β－α）.由（1），得在△BDN和△PAN中，∠B＋∠PDB＝∠P ＋∠PAO，即∠B＋β＝∠P＋α.∴ β－α＝∠P－∠B. ∴ ∠C－∠P＝ 2（∠P－∠B），即∠C＋2∠B＝3∠P. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 $2　等腰三角形 第2课时　等腰三角形的判定与反证法 第一章　三角形的证明及其应用 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　D　） A. AB＝3，AC＝3，BC＝4 B. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶4 C. ∠B＝50°，∠C＝80° D. AB∶AC∶BC＝3∶6∶3 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 2. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，交AB于点E，AB ＝3，AD＝1，则△AED的周长为（　C　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 （第2题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 3. 用反证法证明：一条线段只有一个中点.先假设线段AB有两个中点 M，N，不妨设点M在点N的左边，则AM＜AN. 这与 　AM＝AN＝ AB　矛盾，所以一条线段只有一个中点. AM＝AN＝ AB　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC， 交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E. （1） 求∠ADB的度数. 解：（1） ∵ AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴ ∠ABC＝ ∠C＝ （180°－∠BAC）＝72°.∵ BD平分∠ABC， ∴ ∠DBC＝ ∠ABC＝36°.∴ ∠ADB＝∠C＋∠DBC ＝72°＋36°＝108°. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 求证：△ADE是等腰三角形. 解：（2） ∵ AE∥BC，∴ ∠EAC＝∠C＝72°. ∵ ∠C＝72°，∠DBC＝36°，∴ ∠ADE＝∠CDB＝ 180°－72°－36°＝72°.∴ ∠EAD＝∠ADE. ∴ AE＝DE. ∴ △ADE是等腰三角形. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 5. 新考法•操作实践题　 在如图所示的三角形中，均有AB＝AC，则经 过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角 形的是（　C　） A. ①③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④          （第5题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 8 6. 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作 DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E. 若AB＝5，AC＝3，∠A＝ 50°，则下列说法中，不一定正确的是（　B　） A. △DBI和△EIC是等腰三角形 B. I为DE的中点 C. △ADE的周长是8 D. ∠BIC＝115° （第6题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 7. （2025•开封通许期末）如图，D为△ABC内一点，AD⊥CD，AD 平分∠CAB，且∠DCB＝∠B. 如果AB＝10，AC＝6，那么CD ＝ 　2　. （第7题） 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 8. 分类讨论思想　 如图，△ABC的顶点A，C在直线l上，∠B＝ 120°，∠ACB＝40°.若点P在直线l上运动，则当∠ABP的度数 是 　10°或80°或20°或140°　时，△ABP为等腰三角形. （第8题） 10°或80°或20°或140°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 9. ★如图，在△ABC中，AB＝AC，∠APB≠∠APC. 求证：PB≠PC. （第9题） 解：假设PB＝PC. 在△ABP和△ACP中， ∴ △ABP≌△ACP. ∴ ∠APB＝∠APC. 这与已知条件 ∠APB≠∠APC矛盾，∴ 假设不成立. ∴ PB≠PC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 10. （2025•滁州凤阳期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝75°， ∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D，E为BC的中点， 连接DE. （1） 求证：△BCD为等腰三角形. 解：（1） ∵ ∠BAC＝75°，∠ACB＝35°， ∴ ∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝70°.∵ BD平 分∠ABC，∴ ∠DBC＝ ∠ABC＝35°.∴ ∠DBC＝ ∠ACB＝35°.∴ DB＝DC. ∴ △BCD为等腰三角形. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 求∠EDC的度数. 解：（2） ∵ ∠DBC＝∠ACB＝35°，∴ ∠BDC＝ 180°－35°－35°＝110°.∵ DB＝DC，E为BC的 中点， ∴ ∠EDC＝ ∠BDC＝55°. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC， CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE相交于点P，∠ABC的平分线 BF分别交AD，CE，AC于点M，N，F. （1） 试写出图中所有的等腰三角形，并予以证明. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 解：（1） △ADC，△AMB，△BNC，△MNP，△ABF. ∵ ∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，∴ ∠ACB＝45°.又∵ AD⊥BC，CE⊥AB，∴ 易知∠NCB＝∠BAM＝30°，∠DAC＝45°.∴ ∠ACB＝∠DAC. ∴ AD＝CD. ∴ △ADC为等腰三角形.∵ BF平分∠ABC，∴ ∠ABM＝∠NBC＝30°.∴ ∠ABM＝∠BAM. ∴ BM＝AM. ∴ △AMB为等腰三角形.∵ ∠NBC＝∠NCB＝30°，∴ BN＝CN. ∴ △BNC为等腰三角形.∵ AD⊥BC，∠NCB＝30°，∴ ∠MPN＝60°.∵ CE⊥AB，∠ABM＝30°，∴ ∠ENB＝60°.∴ ∠MPN＝∠MNP＝60°.∴ PM＝MN. ∴ △MNP为等腰三角形.∵ ∠BFA＝∠FBC＋∠FCB＝30°＋45°＝75°，∠BAC＝75°， ∴ ∠BAF＝∠BFA. ∴ AB＝FB. ∴ △ABF为等腰三角形. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 求证：CD＝BM＋DM. 解：（2） 由（1），可知AD＝CD，AM＝BM. 又∵ AD＝AM＋DM，∴ CD＝BM＋DM. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 $第一章整合拔尖 第一章　三角形的证明及其应用 01 知识体系构建 02 高频考点突破 03 综合素能提升 目 录 返回目录 考点一　多边形的内角与外角 典例1　（2025•新乡期末）若一个正多边形的内角和比另一个多边形的 外角和多360°，则这个正多边形有 　9　条对角线. 9　 返回目录 （1） 求这个外角的度数. 解：（1） 设与这个外角相邻的内角度数为x°，则这个外角的度数为 x°.根据题意，得x°＋ x°＝180°，解得x＝135.∴ x＝ ×135＝ 45.∴ 这个外角的度数为45°. ［变式］ 已知某个正多边形的一个外角的度数是与它相邻的内角度数 的 . 返回目录 （2） 嘉嘉猜想这个正多边形的内角和超过1 000°.请判断嘉嘉的猜想 是否正确，并说明理由. 解：（2） 正确.　理由：∵ 正多边形的外角和为360°，∴ 这个正多边 形的边数为360°÷45°＝8.∴ 这个正多边形的内角和为（8－2） ×180°＝1 080°.∵ 1 080°＞1 000°，∴ 嘉嘉的猜想正确. 返回目录 考点二　等腰三角形与等边三角形 典例2　（2025•聊城高唐期末）如图，在△ABC中，D是边AB上的一 个动点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，且DE平分∠ADC，在边 BC上取点F，使∠DFC＝45°. （1） 求证：△BCD为等腰三角形. 解：（1） ∵ DE平分∠ADC，∴ ∠ADE＝∠CDE. ∵ DE∥BC，∴ ∠CDE＝∠DCF，∠ADE＝∠B. ∴ ∠DCB＝∠B. ∴ △BCD为等腰三角形. （典例2图） 返回目录 （2） 若BC＝12，BF＝2，求DF的长. 解：（2） 过点D作DM⊥BC于点M. ∵ △BCD为等 腰三角形，∴ BM＝MC＝ BC＝6.∴ FM＝BM－ BF＝4.∵ ∠DFM＝45°，∴ ∠DFM＝∠MDF＝ 45°.∴ DM＝MF＝4.∴ DF＝ ＝4 . 返回目录 ［变式］ 如图，△ABC，△CDE都是等边三角形，AD，BE相交于点 O，M，N分别是线段AD，BE的中点，连接CM，MN，NC. （1） 求证：AD＝BE. 解：（1） ∵ △ABC，△CDE都是等边三角形， ∴ AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°. ∴ ∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，即∠ACD＝ ∠BCE. 在△ACD和△BCE中， ∴ △ACD≌△BCE. ∴ AD＝BE. 返回目录 （2） 求∠DOE的度数. 解：（2） ∵ △ACD≌△BCE，∴ ∠ADC＝∠BEC. ∵ △CDE是等边三角形，∴ ∠CED＝∠CDE＝ 60°.∴ ∠ADE＋∠BED＝∠ADC＋∠CDE＋ ∠BED＝∠BEC＋60°＋∠BED＝∠CED＋60°＝ 60°＋60°＝120°.∴ ∠DOE＝180°－（∠ADE ＋∠BED）＝180°－120°＝60°. 返回目录 （3） 求证：△MNC是等边三角形. 解：（3） ∵ △ACD≌△BCE，∴ ∠CAD＝∠CBE. ∵ M，N分别是线段AD，BE的中点，∴ AM＝ AD，BN＝ BE. ∵ AD＝BE，∴ AM＝BN. 在 △ACM和△BCN中， ∴ △ACM≌△BCN. ∴ CM＝CN，∠ACM＝∠BCN. 返回目录 又∵ ∠ACB＝60°，∴ ∠ACM＋∠BCM＝60°. ∴ ∠BCN＋∠BCM＝60°，即∠MCN＝60°.又∵ CM＝CN， ∴ △MNC是等边三角形. 返回目录 考点三　直角三角形全等的判定 典例3　在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点 D，CE⊥DE于点E. （1） 如图①，当点B，C在DE的同侧，且AD＝CE时， 求证：AB⊥AC. 解：（1） ∵ BD⊥DE，CE⊥DE，∴ ∠ADB＝∠CEA＝90°.在 Rt△ABD和Rt△CAE中， ∴ Rt△ABD≌Rt△CAE. ∴ ∠DBA＝∠EAC. ∵ ∠DAB＋∠DBA＝90°，∴ ∠DAB＋∠EAC ＝90°.∴ ∠BAC＝180°－（∠DAB＋∠EAC）＝90°.∴ AB⊥AC. （典例3图） 返回目录 （2） 如图②，当点B，C在DE的两侧，且AD＝CE时，其他条件不 变，AB与AC仍垂直吗？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理 由. 解：（2） AB⊥AC. 同（1），可得Rt△ABD≌Rt△CAE. ∴ ∠DAB ＝∠ECA. ∵ ∠CAE＋∠ECA＝90°，∴ ∠CAE＋∠DAB＝90°， 即∠BAC＝90°.∴ AB⊥AC. 返回目录 ［变式］ 如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，D是EF上一 点，AE⊥EF于点E，CF⊥EF于点F，AE＝CF，连接BD. 求证： Rt△ADE≌Rt△CDF. 返回目录 解：在Rt△ABD和Rt△CBD中， ∴ Rt△ABD≌Rt△CBD. ∴ AD＝CD. ∵ AE⊥EF，CF⊥EF，∴ ∠E＝∠F＝90°.在Rt△ADE和Rt△CDF中， ∴ Rt△ADE≌Rt△CDF. 返回目录 考点四　线段垂直平分线 典例4　如图，AD为线段BC的垂直平分线，在线段AD上取一点E，使 得∠ACE＝20°，在线段CE上取一点F，使得∠FBC＝10°，连接 BE，AF. 若∠ABC＝50°，求证：BE⊥AF. （典例4图） 返回目录 解：∵ AD为线段BC的垂直平分线，∴ AB＝AC，EB＝EC，∠ADB ＝90°.∴ ∠ABC＝∠ACB＝50°，∠EBC＝∠ECB. ∴ ∠ABE＝ ∠ACE. ∵ ∠ACE＝20°，∴∠ABE＝20°.∵ ∠FBC＝10°， ∴∠FBE＝∠ABC－∠ABE－∠FBC＝50°－20°－10°＝20°. ∴ ∠ABE＝∠FBE，∠EBC＝∠FBE＋∠FBC＝20°＋10°＝ 30°，∠ABF＝∠ABE＋∠FBE＝40°.∴ ∠FCB＝30°.∵ ∠BAE ＝90°－∠ABD＝40°，∠BFE＝∠FBC＋∠FCB＝10°＋30°＝ 40°，∴ ∠BAE＝∠BFE. 在△ABE和△FBE中， ∴ △ABE≌△FBE. ∴ BA＝BF. ∴ △BAF是等腰三角形.∵ ∠ABE＝ ∠FBE，∴ BE是∠ABF的平分线. ∴ BE⊥AF. 返回目录 ［变式］ 如图，在△ABC中，DE，DF分别为BC，AB的垂直平分 线，连接AD，CD. （1） 若∠ABC＝50°，求∠ACD的度数. 解：（1） 连接BD并延长，交AC于点H. ∵ DE，DF分别为BC，AB的垂直平分线，∴ DA＝DB，DC＝DB. ∴ ∠DAB＝∠DBA，∠DCB＝∠DBC. ∴ ∠ADH＝∠DAB＋∠DBA＝2∠DBA，∠CDH＝∠DCB＋∠DBC＝2∠DBC. ∴ ∠ADC＝2（∠DBA＋∠DBC）＝2∠ABC＝100°.∵ DA＝DB，DC＝DB，∴ DA＝DC. ∴ ∠ACD＝∠CAD＝ ×（180°－100°）＝40°. 返回目录 （2） 判断∠ABC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由. 解：（2） ∠ABC＋∠ACD＝90°.　理由：∵ ∠ACD＋ ∠CAD＋∠ADC＝180°，∴ 易得2∠ACD＋2∠ABC＝ 180°. ∴ ∠ABC＋∠ACD＝90°. 返回目录 考点五　角平分线 典例5　（2025•咸阳永寿段考）如图，在△ABC中，点D在边BC上， ∠BAD＝40°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，交 BA的延长线于点F，且∠AEF＝20°，连接DE. 返回目录 （1） 求证：DE平分∠ADC. 解：（1） 如图，过点E作EG⊥AD于点G， EH⊥BC于点H. ∵ BE是∠ABC的平分线，EF⊥AB，EH⊥BC，∴ EF＝EH. ∵ ∠AEF＝20°，∠F＝90°， ∴ ∠FAE＝90°－20°＝70°.∵ ∠BAD＝40°， ∴ ∠GAE＝180°－∠FAE－∠BAD＝70°. ∴ ∠GAE＝∠FAE. ∴ AE是∠FAG的平分线.又∵ EG⊥AD，EF⊥AB，∴ EF＝EG. ∴ EG＝EH. ∵ EG⊥AD，EH⊥BC，∴ DE平分∠ADC. （典例5图答案） 返回目录 （2） 若AB＝6，AD＝5，CD＝7，且S△ACD＝12，求△ABE的面积. 解：（2） ∵ S△ACD＝12，∴ CD•EH＋ AD•EG＝12.∵ AD＝5，CD＝7，EH＝EG， ∴ ×7EG＋ ×5EG＝12.∴ EH＝EG＝2.∴ EF ＝EH＝2.∴ S△ABE＝ AB•EF＝ ×6×2＝6. 返回目录 ［变式］ （2025•淮北期末）如图，在△ABC中，O为∠ABC，∠ACB 的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D， E，F，连接OA. （1） 求证：AO平分∠BAC. 解：（1） ∵ BO为∠ABC的平分线，OD⊥AB， OF⊥BC，∴ OD＝OF. ∵ CO为∠ACB的平分线， OE⊥AC，OF⊥BC，∴ OE＝OF. ∴ OD＝OE. 又∵ OD⊥AB，OE⊥AC，∴ AO平分∠BAC. 返回目录 （2） 若△ABC的周长是30，△ABC的面积为45，求OF的长. 解：（2） 由（1），知OD＝OE＝OF，∴ S△ABC＝ S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝ AB•OD＋ BC•OF＋ AC•OE＝ OF•（AB＋BC＋AC）.∵ S△ABC＝45， AB＋BC＋AC＝30，∴ 45＝ OF×30.∴ OF＝3. 返回目录 1. 如图，足球的表面由正五边形和正六边形组成.在折叠前的平面上， 拼接点O处的缝隙∠AOB的度数为（　B　） A. 10° B. 12° C. 14° D. 16° （第1题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 2. 如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长 线于点F，连接AF. 有下列结论：① AF＝DF；② S△ABD∶S△ACD＝ AB∶AC；③ ∠BAF＝∠ACF. 其中，正确的是（　C　） A. ①③ B. ①② C. ①②③ D. ②③ （第2题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 3. 如图，在△ABC中，∠B＝60°，BC＝18，点D在边AB上，CA＝ CD，BD＝7，则AD的长是 　4　. （第3题） 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 4. 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC，交 BC于点D，分别以点A，C为圆心、大于 AC 的长为半径作弧，两弧 相交于点M，N，作直线MN，交AD于点P，则DP的长为  　 　. （第4题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 5. 图①是一个水桶模型示意图，当∠B≥140°时，水桶提手才能从图 ①的位置转到图②的位置，这样的水桶提手才合格.现用金属材料做了 一个水桶提手（如图③），∠C＝∠D＝130°，∠B＝∠E，∠A＝ ∠F＝90°，则这个水桶提手 　合格　（填“合格”或“不合格”）. （第5题） 合格　 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边AB上一点，∠BCD＝∠A. （1） 求证：CD＝CB. 解：（1） ∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB. ∵ ∠BDC是 △ADC的一个外角，∴ ∠BDC＝∠A＋∠ACD. ∵ ∠ACB ＝∠BCD＋∠ACD，∠BCD＝∠A，∴ ∠BDC＝∠ACB. ∴ ∠ABC＝∠BDC. ∴ CD＝CB. （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 （2） 过点B作BE⊥AC，垂足为E，BE与CD相交于点F. ① 求证：∠BCD＝2∠CBE. ② 如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数. （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 解：（2） ① ∵ BE⊥AC，∴ ∠BEC＝90°.∴ ∠CBE＋∠ACB＝90°.设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°－α.∴ ∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°－α.∴ ∠BCD＝180°－∠BDC－∠ABC＝180°－（90°－α）－（90°－α）＝2α.∴ ∠BCD＝2∠CBE. ② ∵ ∠BFD是△CBF的一个外角，∴ ∠BFD＝∠CBE＋∠BCD＝α＋2α＝3α.分三种情况讨论：当BD＝BF时，∠BDC＝∠BFD＝3α.∵ ∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°－α，∴ 90° －α＝3α.∴ α＝22.5°.∴ ∠A＝∠BCD＝2α＝45°. 当DB＝DF时，∠DBE＝∠BFD＝3α.∵ ∠DBE＝∠ABC －∠CBE＝90°－α－α＝90°－2α，∴ 90°－2α＝3α. ∴ α＝18°.∴ ∠A＝∠BCD＝2α＝36°.当FB＝FD时， ∠DBE＝∠BDF. ∵ ∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴ 此种情况不存在.综上所述，∠A的度数为45°或36°. （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上 （不与点A，B重合），PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交 BC于点E，交BD于点F，连接DE. （1） 判断DE与DP的位置关系，并说明理由. 解：（1） DE⊥DP. 　理由：∵ PD＝PA，∴ ∠A＝ ∠PDA. ∵ EF是BD的垂直平分线，∴ EB＝ED. ∴ ∠B＝∠EDB. ∵ ∠C＝90°，∴ ∠A＋∠B＝ 90°.∴ ∠PDA＋∠EDB＝90°.∴ ∠PDE＝180°－ 90°＝90°.∴ DE⊥DP. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 （2） 若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长. 解：（2） 如图，连接PE. 设DE＝x，则EB＝ED＝ x，CE＝8－x.∵ AC＝6，PA＝2，∴ PC＝4，PD＝ 2.∵ ∠C＝∠PDE＝90°，∴ PC2＋CE2＝PE2＝PD2 ＋DE2.∴ 42＋（8－x）2＝22＋x2，解得x＝4.75.∴ DE＝4.75. （第7题答案） （第7题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 8. （2025•合肥庐江期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB， BD⊥AC于点D，E是BC上一点，连接AE，与BD相交于点O，连接 OC，DE，且OB＝OC. （1） 求证：AE垂直平分BC. 解：（1） ∵ ∠ABC＝∠ACB，∴ AB＝AC. ∵ OB＝ OC，∴ 点A，O在BC的垂直平分线上.∴ AE垂直平分BC. （第8题） （2） 当∠OED＝∠ODE时，求证：CO平分∠ACB. 解：（2） ∵ ∠OED＝∠ODE，∴ OD＝OE. 又∵ BD⊥AC，AE⊥BC，即OD⊥AC，OE⊥BC， ∴ CO平分∠ACB. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 （3） 若∠BAC＝60°，求证：△CDE是等边三角形. 解：（3） 由（1），知AB＝AC. ∵ ∠BAC＝60°， ∴ △ABC是等边三角形.∴ AB＝BC＝AC，∠ACB＝ 60°.由（1），知AE垂直平分BC，∴ EC＝ BC. ∵ BD⊥AC，∴ CD＝ AC. ∴ EC＝CD. ∵ ∠DCE＝60°， ∴ △CDE是等边三角形. （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 $3　直角三角形 第1课时　直角三角形的性质与判定 第一章　三角形的证明及其应用 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 新情境•现实生活　 如图①，小华新买了一根跳绳，将图①抽象成图 ②.若两手握住的绳柄两端的距离约为1米，小臂到地面的距离约为1.2 米，则这根跳绳的绳长约为（　D　） （第1题） A. 2.2米 B. 2.4米 C. 2.5米 D. 2.6米 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 2. 易错题　 有下列命题：① 在同一平面内，两直线平行，同位角相 等；② 全等三角形的对应角相等；③ 等角对等边；④ 等边三角形的 三个内角都相等.其中，原命题与逆命题均为真命题的个数是（　C　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 3. 已知a，b，c是△ABC的三边长.有下列条件：① a＝6，b＝10，c ＝8；② ∠C＝23°，∠B＝57°；③ ∠B－∠C＝∠A；④ a2∶b2∶c2＝4∶3∶1；⑤ a2＝（b－c）（b＋c）.其中，能够判断 △ABC为直角三角形的为 　①③④⑤　（填序号）. ①③④⑤　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 4. 如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD＝ 13，CD＝12，求四边形ABCD的面积. （第4题） 解：∵ ∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴ AC＝ ＝5.在△ACD中，AC2＋CD2＝25＋144＝169＝AD2，∴ △ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°.∴ S四边形ABCD＝ AB•BC＋ AC•CD＝ ×3×4 ＋ ×5×12＝36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 5. 如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC， AD＝AE，点C，D，E在同一条直线上，连接BD，BE. 有下列结 论：① BD＝CE；② BD⊥CE；③ ∠ACE＋∠DBC＝45°；④ BE2 ＝2（AD2＋AB2）.其中，正确的个数是（　C　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （第5题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 6. 新考法•操作实践题　 如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC＝ 90°，AB＝2，AC＝3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC 上的点D处；再折叠纸片，使点C，D重合，折痕与AC的交点为E， 则CE的长是（　A　） A. B. C. D. （第6题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 7. 新考向•数学文化　 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦 图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形.若GC＝2， ∠ADE＝30°，则正方形EFGH的面积为 　16－8 　. （第7题） 16－8 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 8. 如图，在正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上，小正方 形的边长都为1，则点C到线段AB所在直线的距离是 　 　. （第8题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 9. 新情境•现实生活　 某工厂计划生产一批自行车，如图所示为其车架 部分.经测量，AB＝64 cm，AD＝80 cm，∠BDC＝90°，CD＝ 55 cm，CB＝73 cm.根据设计要求，需保证 AB∥CD，请判断该车架是 否符合设计要求，并说明理由. （第9题） 解：该车架符合设计要求.　理由：∵ ∠BDC＝90°，CD＝55 cm，CB＝73 cm.∴ BD＝ ＝48 cm.∵ AB＝64 cm，AD＝80 cm，∴ AB2＋BD2＝AD2.∴ △ABD是直角三角形，∠ABD＝90°.∴ ∠ABD＝∠BDC. ∴ AB∥CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 10. 分类讨论思想　 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm， AC＝4 cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1 cm/s的速度运动，连接 AP. 设运动时间为t s. （1） 求边BC的长. 解：（1） 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝ 5 cm，AC＝4 cm，∴ BC＝ ＝3 cm. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 当△ABP为直角三角形时，求t的值. 解：（2） 由题意，得BP＝t cm，∠B≠90°.当 ∠APB＝90°时，点P，C重合.∴ t＝3.当∠PAB＝ 90°时，如图①所示.∴ CP＝BP－BC＝（t－3）cm. ∵ AC2＋CP2＝AP2＝BP2－AB2，∴ 42＋（t－3）2＝t2－52，解得t＝ .综上所述，当△ABP为直角三角形时， t＝3或t＝ . （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （3） 当△ABP为等腰三角形时，求t的值. 　 　 　 解：（3） 当AB＝AP时，如图②所示.∵ AC⊥BC，∴ BP＝2BC，即t＝2×3＝6.当AB＝BP时，如图③所示.∴ t＝5.当AP＝BP时，如图④所示.∴ CP＝BP－BC＝（t－3）cm，AP＝BP＝t cm.在Rt△APC 中，AC2＋CP2＝AP2，即42＋（t－3）2＝t2，解得t＝ .综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝6或t＝ . （第10题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 11. 细心观察如图所示的图形，认真分析下列各式，然后解答问题. O ＝22＋4＝8，S1＝2； ＝（ ）2＋4＝12，S2＝ ＝ ＝2 ； ＝（ ）2＋4＝16，S3＝ ＝ ＝2 ； … （1） Sn＝ 　2 　（用含n的代数式表示）. （2） 推算出OA10＝ 　2 　. 2 　 2 　 （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （3） 求 ＋ ＋ ＋…＋ 的值. 解：原式＝4＋8＋12＋…＋40＝ ＝220. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 $2　等腰三角形 第3课时 等边三角形的判定与含30°角的 直角三角形的性质 第一章　三角形的证明及其应用 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 下列条件中，不能判定△ABC为等边三角形的是（　B　） A. ∠A＝∠B＝60° B. ∠B＋∠C＝120° C. ∠B＝60°，AB＝AC D. ∠A＝60°，AB＝AC B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 2. 新考法•开放题　（2025•资阳）如图，在四边形ABCD中，∠A＝ ∠B，点E在线段AB上，CE∥DA. 要使△BCE成为等边三角形，可 增加的一个条件是 　∠BCE＝∠B　（写出一个即可）.（答案不唯 一） （第2题） ∠BCE＝∠B　 （答案不唯 一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D为BC的中点， DE⊥AB于点E. 若AE＝2，则BE的长为 　6　. （第3题） 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 4. 如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，点M，N在边OB上（点M 在点N的左边），连接PM，PN. （1） 若∠PNO＝60°，求证：△PON是等边三角形. 解：（1） ∵ ∠AOB＝60°，∠PNO＝60°，∴ ∠OPN ＝60°.∴ ∠PON＝∠PNO＝∠OPN. ∴ △PON是等边三 角形. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 若PM＝PN，OP＝12，MN＝2，求OM的长. 解：（2） 过点P作PH⊥MN于点H. ∴ ∠PHO＝90°. ∵ PM＝PN，∴ MH＝ MN＝1.在Rt△POH中，∵ ∠AOB＝60°，∴ ∠OPH＝30°.∴ OH＝ OP＝ ×12＝ 6. ∴ OM＝OH－MH＝5. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 5. 若一个三角形中有两个角的平分线分别垂直于该角所对的边，则这 个三角形是（　C　） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 6. 如图，AB＝AC，∠A＝60°，AE＝EC＝CD，连接DE并延长， 交AB于点F，连接BE. 若EF＝2，则DF的长为（　D　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 （第6题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 7. 如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分 别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有（　D　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 （第7题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 8. 新考法•操作实践题　 （2025•南充）如图，∠AOB＝90°，在射线 OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心， OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连接CD并延 长，交射线OA于点E. 设OC＝1，则OE的长是  　 　. （第8题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 9. 如图，甲、乙两车同时从点A出发，甲车沿南偏西60°方向行驶至 点C，乙车沿正西方向行驶至点B. 经测量，点C位于点B的南偏东 15°方向上.若AB＝300米，则点C到公路AB的距离为 　150　米. （第9题） 150　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 10. 如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为 D，E，AE，BD相交于点O，连接DE. （1） 判断△CDE的形状. 解：（1） ∵ △ABC是等边三角形，且BD⊥AC， AE⊥BC，∴ ∠C＝60°，CE＝ BC，CD＝ AC，BC ＝AC. ∴ CD＝CE. ∴ △CDE是等边三角形. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 若AO＝12，求OE的长. 解：（2） 由（1），知AE，BD分别是△ABC的中线. ∴ ∠BAE＝∠DBA＝∠OBE＝30°.∴ OA＝OB. ∵ ∠OBE＝30°，∴ OB＝2OE. ∴ AO＝2OE. ∴ OE＝ AO ＝ ×12＝6. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 11. 如图①，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分 ∠ABC. （1） 求证：AD＝DC. 解：（1）∵ DC∥AB，∴ ∠CDB＝∠ABD. 又∵ BD平分∠ABC， ∴ ∠CBD＝∠ABD. ∴ ∠CDB＝∠CBD. ∴ BC＝DC. 又∵ AD＝ BC，∴ AD＝DC. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 如图②，若∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接EF. 试判断△DEF的形状，并证 明. 解：（2） △DEF为等边三角形.∵ BC＝DC，CF⊥BD，∴ F是BD的中点.∴ DF＝ BD. ∵ BD平分∠ABC，∴ ∠DBE＝ ∠ABC＝30°.∵ DE⊥AB，∴ ∠DEB＝90°.∴ ∠BDE＝60°，DE＝ BD＝DF. ∴ △DEF为等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 12. 如图，在等边三角形ABC中，M为边AB上的任意一点，延长BC 至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，过点M作MH⊥AC于点 H. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 解：（1）如图，过点M作MQ∥BC，交AC于点Q. ∵ △ABC是等边 三角形，∴ ∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.∵ MQ∥BC， ∴ ∠AMQ＝∠B＝ 60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N. ∴ △AMQ是等边三角形. ∴ AM＝QM. ∵ AM＝CN，∴ QM＝CN. 在△QMP和△CNP 中， ∴ △QMP≌△CNP. ∴ MP＝NP. （第12题答案） （1） 求证：MP＝NP. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 若AB＝a，求线段PH的长（用含a的代数式表示）.解：（1） 如图，过点M作MQ∥BC，交AC于点Q. ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.∵ MQ∥BC，∴ ∠AMQ＝∠B＝ 60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N. ∴ △AMQ是等边三 角形.∴ AM＝QM. ∵ AM＝CN，∴ QM＝CN. 在△QMP和△CNP 中， ∴ △QMP≌△CNP. ∴ MP＝NP. 解： （2） ∵ △AMQ是等边三角形，且MH⊥AC， ∴ AH＝HQ＝ AQ. ∵ △QMP≌△CNP，∴ QP＝CP，即QP＝ QC. ∴ PH＝HQ＋QP ＝ （AQ＋QC）＝ AC. ∵ △ABC是等边三角形，∴ AC＝AB＝ a.∴ PH＝ a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 $3　直角三角形 第2课时　直角三角形全等的判定 第一章　三角形的证明及其应用 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 在Rt△ABC和 Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，有下列条件：① AC＝A′C′，∠A＝∠A′；② AC＝A′C′，BC＝B′C′；③ ∠A＝ ∠A′，∠B＝∠B′；④ ∠B＝∠B′，AB＝A′B′；⑤ AC＝A′C′，AB ＝A′B′.添加其中一个，能判定两个三角形全等的有（　C　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 2. 如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，AC＝BE. 再添加下列条 件中的一个，可证明Rt△ACD≌Rt△BEF. 其中，不是利用“HL”的 是（　B　） A. AD＝BF B. AC∥BE C. CD＝EF D. AF＝BD （第2题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 3. 如图，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，D， BD＝CF，BE＝CD. 若∠AFD＝155°，则∠EDF＝ 　65°　. （第3题） 65°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 4. 如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC 与BD相交于点O. （1） 求证：△ABC≌△DCB. 解：（1） 在Rt△ABC和Rt△DCB中， ∴ Rt△ABC≌Rt△DCB. （第4题） （2） 判断△OBC的形状，并证明. 解：（2） △OBC是等腰三角形. ∵ Rt△ABC≌Rt△DCB，∴ ∠ACB＝∠DBC. ∴ OB＝OC. ∴ △OBC是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 5. 如图，在△ABC和△DEC中，∠C＝90°，AB＝DE，AC＝DC. 有下列结论：① ∠A＝∠D；② ∠A＋∠DEC＝90°；③ AE＝DB； ④ OA＝OD. 其中，正确的个数为（　D　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （第5题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 6. 如图，P，Q分别是BC，AC上的点，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于 点S，AQ＝PQ，PR＝PS. 有下列结论：① AR＝AS；② QP∥AR； ③ △BRP≌△CSP. 其中，一定正确的是 　①②　（填序号）. （第6题） ①②　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 7. 证明命题：“一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个 直角三角形全等.”请根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求 证，写出证明过程. 解：已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝ 90°，AC＝A′C′，AD与A′D′分别为BC与B′C′边上的中 线，且AD＝A′D′.求证：△ABC≌△A′B′C′.在Rt△ADC和 Rt△A′D′C′中， （第7题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 ∴ Rt△ADC≌Rt△A′D′C′.∴ CD＝C′D′.∵ AD与A′D′分 别为BC与B′C′边上的中线，∴ BC＝2CD，B′C′＝2C′D′.· ∴ BC＝B′C′.在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△A′B′C′. （第7题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 8. 如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，P为BD上的点，∠ACP＝ 45°，AP＝BC. （1） 求证：AD＝BD. 解：（1） ∵ BD⊥AC，∠ACP＝45°，∴ ∠DPC＝ ∠DCP＝45°，∠ADP＝∠BDC＝90°.∴ DP＝DC. 在 Rt△ADP和Rt△BDC中， ∴ Rt△ADP≌Rt△BDC. ∴ AD＝BD. （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （2） 延长CP交AB于点M. 若∠APM＝60°，BC＝2，求PB的长. 解：（2） ∵ AD＝BD，BD⊥AC，∴ ∠DAB＝∠DBA ＝45°.又∵ ∠BPM＝∠CPD＝45°，∴ ∠PMB＝ 90°.∵ ∠APM＝60°，∴ ∠PAM＝30°.∴ PM＝ AP. ∵ Rt△ADP≌Rt△BDC，∴ AP＝BC＝2.∴ PM＝1. ∴ 易得PB＝ PM＝ . （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 9. 如图，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相 交于点F，连接CD，EB. （1） 图中还有哪几对全等三角形？ 解：（1） △ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF. （第9题） （2） 求证：CF＝EF. 解：（2） 连接AF. ∵ Rt△ABC≌Rt△ADE，∴ AB ＝AD，BC＝DE. 又∵ ∠ABF＝∠ADF＝90°，AF ＝AF，∴ Rt△ABF≌Rt△ADF. ∴ BF＝DF. ∴ BC －BF＝DE－DF，即CF＝EF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 10. 分类讨论思想　 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10 cm， BC＝5 cm，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM 上运动，且PQ＝AB. 当点P运动到AC上什么位置时，△ABC才能和 △APQ全等？ （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 解：① 当AP＝BC时，∵ AQ⊥AC，∴ ∠C＝∠QAP＝90°.在 Rt△ABC和Rt△QPA中， ∴ Rt△ABC≌Rt△QPA. ∴ BC＝AP. ∴ AP＝5 cm.∴ 此时点P在AC的中点处. ② 当AP＝AC时，在Rt△ABC和Rt△PQA中， ∴Rt△ABC≌Rt△PQA. ∴ 此时点P，C重合.综上所述，当点P位于 AC的中点处或当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 $1　三角形内角和定理 第3课时　多边形的内角和 第一章　三角形的证明及其应用 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. （2025•保定定兴期末）下列角度不可能是多边形内角和的为（　B　） A. 180° B. 270° C. 360° D. 900° B 2. （2025•邯郸丛台期末）菲菲为了推理出多边形的内角和，将多边形 的某一个顶点分别与其他各顶点相连，这样把原来的多边形分割成了5 个三角形，则这个多边形的内角和为（　B　） A. 720° B. 900° C. 1 800° D. 1 440° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 3. （2025•登封期末）如图，天坛祈年殿的圆形三重檐象征“天圆”， 其底座实际为十二边形，呼应我国传统历法中的“十二月”与“十二时 辰”.该底座所有内角之和为 　1 800°　.   （第3题） 1 800°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 4. 已知一个正十二面体的每个面都是正五边形，如图所示为其表面展 开图，则∠α为 　36°　. （第4题） 36°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 5. 如图，求∠A，∠B，∠C，∠D，∠E，∠F，∠G，∠H，∠I 的度数之和. 解：如图，连接BE，FI. ∵ ∠CBE＋∠DEB＝∠D＋∠C，∠HIF＋∠GFI＝∠G＋∠H，∴ ∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠GFE＋∠G＋∠H＋∠AIH＝∠A＋∠ABC＋∠CBE＋∠DEB＋∠DEF＋∠GFE＋∠HIF＋∠GFI＋∠AIH＝∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠EFI＋∠AIF＝（5－2）×180°＝540°. （第5题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 6. 新考法•操作实践题　 用“筝形”和“镖形”两种不同的瓷砖铺设地 面，如图①所示为铺设后的部分地面，则图②中“筝形”瓷砖中内角 ∠BCD的度数为（　C　） （第6题） C A. 120° B. 135° C. 144° D. 150° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 7. （2025•广元）如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线HB，AC 交于点K，则∠AKH的度数为（　D　） A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° （第7题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 8. 新考法•探究题　 把正五边形和正六边形按如图所示的方式放置，则 ∠α的度数是（　A　） A. 48° B. 42° C. 58° D. 52° （第8题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 9. ★若将一个多边形过其顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为 720°，则原多边形的边数是 　6或7　. 6或7　 10. （2025•吉林）如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于 点F，则∠F的度数为 　36°　. （第10题） 36°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 11. （2025•陕西模拟）如图，正六边形ABCDEF由3个全等的五边形无 缝隙、不重叠地拼接而成.已知∠OPB＝84°，则∠CQO的度数为 　 9. （第11题） 96°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 12. 小刚同学在进行多边形内角和的计算时，求得一个多边形的内角和 为1 125°. （1） 小芳同学看到他的计算结果后，马上就说小刚的计算肯定有误， 你能知道小芳是如何判断的吗？ 解：（1） ∵ 1 125°不是180°的倍数，∴ 小刚的计算肯定有误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 （2） 小刚重新检查后，发现自己真的少加了一个内角，请问这个内角 的度数是多少？ 解：（2） 设此多边形的内角和为x，则1 125°＜x＜1 125°＋180°， 即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°.∵ x为多边形的内角和， ∴ x是180°的倍数.∴ x＝180°×7＝1 260°.∵ 1 260°－1 125°＝135°，∴ 这个内角的度数是135°. （3） 小刚求的这个多边形是几边形？ 解：（3） 设这个多边形是n边形（n≥3且n是整数）.∴ （n－2） ×180°＝1 260°.∴ n＝9. ∴ 这个多边形是九边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 13. 如图，在七边形ABCDEFG中，与∠1，∠2，∠3，∠4 四个角相邻 的补角的和为180°，与∠5 相邻的补角为60°，BP，DP 分别平分 ∠ABC，∠CDE，求∠BPD 的度数. （第13题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 解：∵ 在七边形ABCDEFG中，与∠1，∠2，∠3，∠4 四个角相邻的 补角的和为180°，与∠5相邻的补角为60°，∴ ∠1＋∠2＋∠3＋∠4 ＝4×180°－180°＝540°，∠5＝120°.∴ ∠ABC＋∠CDE＝ （7－2）×180°－540°－120°＝240°.∵ BP，DP 分别平分∠ABC， ∠CDE，∴ ∠CBP＝ ∠ABC，∠CDP＝ ∠CDE. ∴ ∠CBP＋ ∠CDP＝ （∠ABC＋∠CDE）＝120°.∴ ∠BPD＝360°－∠5－ （∠CBP＋∠CDP）＝360°－120°－120°＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 14. （2025•南安期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°， BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F. （1） 若∠ADC＝130°，求∠CBE的度数. 解：（1） ∵ 四边形ABCD的内角和为（4－2）×180° ＝2×180°＝360°，即∠A＋∠ABC＋∠C＋∠ADC＝ 360°，∠A＝∠C＝90°，∠ADC＝130°，∴ ∠ABC ＝360°－∠A－∠C－∠ADC＝360°－90°－90°－ 130°＝50°.∵ BE平分∠ABC，∴ ∠CBE＝ ∠ABC＝ ×50°＝25°. （第14题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 （2） 探究DF与BE的位置关系，并说明理由. 解：（2） DF∥BE. 　理由：在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∴ ∠ABC＋∠ADC＝360°－90°－90°＝180°.∵ BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴ ∠ABE＝ ∠ABC，∠ADF＝ ∠ADC. ∴ ∠ABE＋∠ADF＝ （∠ABC＋∠ADC）＝ ×180°＝90°.∵ 在Rt△ADF 中，∠ADF＋∠AFD＝90°，∴ ∠AFD＝∠ABE. ∴ DF∥BE. （第14题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 $5　角平分线 第1课时　角平分线的性质定理及其逆定理 第一章　三角形的证明及其应用 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上.若PC＝ 2，OD＝5，则△POD的面积为（　C　） A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 （第1题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 3 2. 如图，下列各点中，到∠AOB两边的距离相等的是（　B　） A. 点P B. 点Q C. 点M D. 点N （第2题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝∠DAB＝∠B，BC＝ 24，则点D到AB的距离为 　8　. （第3题） 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 4. 如图，C是∠MON内一点，CA⊥OM于点A，CB⊥ON于点B，连 接AB，∠CAB＝∠CBA. 求证：OC平分∠MON. （第4题） 解：∵ ∠CAB＝∠CBA，∴ CA＝CB. ∵ CA⊥OM，CB⊥ON， ∴ 点C在∠MON的平分线上.∴ OC平分∠MON. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 5. 新考法•操作实践题　 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°.根据尺规 作图痕迹，有下列结论：① BD＝DE；② ∠CDE＝∠CAB；③ AB＋ EC＝AC. 其中，正确的是（　D　） A. ① B. ② C. ③ D. ①②③ （第5题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D， DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F. 若AE＝5，DF＝3，则 S△CDE的值为（　A　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 （第6题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 7. 如图，在△ABC中，∠B＝42°，AD⊥BC于点D，E是BD上一 点，EF⊥AB于点F. 若ED＝EF，则∠AEC的度数为 　66°　. （第7题） 66°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 8. 如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，延长CD至点E，使 DE＝ CD，连接BE. 若AC＝2BC，△BDE的面积为2，则△ABC的 面积是 　12　. （第8题） 12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 9. 如图，∠AOB＝60°，点C在OB上. （1） 尺规作图：在∠AOB内部作点P，使点P到∠AOB的两边OA， OB的距离相等，且PO＝PC（不写作法，保留作图痕迹）. 解： （1） 如图，点P即为所求. （第9题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 在（1）的条件下，点P到OA的距离是4 cm，求PC的长. 解： （2） ∵ OD平分∠AOB，∠AOB＝60°，点P到 OA的距离是4 cm，PE⊥OC，∴ PE＝4 cm，∠POE＝ ∠AOB＝30°.∴ 在Rt△POE中，PO＝2PE＝8 cm. ∵ PO＝PC，∴ PC＝8 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 10. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，DE平分 ∠ADC. 求证：AE是∠DAB的平分线. 解：如图，过点E作EH⊥AB于点H，延长HE交DC的 延长线于点G，过点E作EF⊥AD于点F. ∵ AB∥CD， EH⊥AB，∴ EG⊥DC. ∴ ∠CGE＝∠BHE＝90°.∵ E 是BC的中点，∴ CE＝BE. 在△CGE和△BHE中， ∴ △CGE≌△BHE. ∴ EG＝EH. ∵ DE平分∠ADC，EG⊥DC，EF⊥AD，∴ EG＝EF. ∴ EF＝EH. 又∵ EF⊥AD，EH⊥AB，∴ AE是∠DAB的 平分线. （第10题答案） （第10题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 13 11. 如图，在△ABC 中，∠BAC＝120°，AD，BE为△ABC的角平分 线，连接DE. （1） 求证：点E到DA，DC的距离相等. 解：（1）如图，过点E作EH⊥BA，交BA的延 长线于点H，EF⊥BC于点F，EG⊥AD于点G. ∵ AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，∴ ∠BAD ＝∠CAD＝60°，∠CAH＝180°－120°＝ 60°.∴ ∠CAH＝∠CAD，即AE平分∠HAD. 又 ∵ EH⊥BA，EG⊥AD，∴ EH＝EG. ∵ BE平 分∠ABC，EH⊥BA，EF⊥BC，∴ EH＝EF. ∴ EG＝EF，即点E到DA，DC的距离相等. （第11题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 求∠DEB的度数. 解：（2） 由（1），知EF⊥BC，EG⊥AD，EF＝EG. ∴ DE平分∠ADC. ∵ ∠EDC＝∠DEB＋∠DBE，∴ 易知 ∠CDA＝∠DEB＋ ∠ABC. 又∵ ∠CDA＝∠ABC＋∠BAD， ∴ ∠DEB＝ （∠CDA－∠ABC）＝ ∠BAD＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 12. 如图，△ABC的角平分线BD＝1，∠ABC＝120°，BC，AB的长 分别记为a，c. （1） 当c＝2时，求a的值. 解：（1） ∵ BD平分∠ABC，∠ABC＝120°， ∴ ∠ABD＝∠CBD＝60°.如图，过点D作 DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F. ∴ DE＝DF. ∵ BD＝1，∴ 易得BE＝BF＝ ，DE＝DF＝ . 过点A作AG⊥BC，交CB的延长线于点G. （第12题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 ∴ 易得AG＝ AB＝ c＝ .∵ S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，∴ BC•AG＝ AB•DE＋ BC•DF. ∴ × a＝ ×2× ＋ × a.∴ a＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （第12题答案） 返回目录 （2） 求△ABC的面积（用含a，c的代数式表示）. 解：（2） △ABC的面积＝ BC•AG＝ ×a× c＝ ac. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （3） 求证：a，c之和等于a，c之积. 解：（3） ∵ S△ABC＝S△ABD＋S△BCD， ∴ BC•AG＝ AB•DE＋ BC•DF. ∴ •a• c ＝ × （c＋a）.∴ ac＝a＋c.∴ a，c之和等于a，c之积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 $1　三角形内角和定理 第2课时　三角形的外角 第一章　三角形的证明及其应用 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 如图，∠AOB的度数可能是（　B　） A. 110° B. 65° C. 70° D. 80° （第1题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 2. 新情境•现实生活　 （2025•烟台）如图所示为一款儿童小推车的示 意图.若AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数为（　A　） （第2题） A. 40° B. 35° C. 30° D. 20° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 3. 如图，一艘轮船在海上向正东方向行驶，在A处测得灯塔C位于其北 偏东60°方向，在B处测得灯塔C位于其北偏东25°方向，则∠ACB ＝ 　35°　. （第3题） 35°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 4. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，BE 相交于点F. （1） 求证：∠AFB＞∠C. 解：（1） ∵ ∠AFB是△AEF的一个外角，∴ ∠AFB＞ ∠AEF. ∵ ∠AEF是△BCE的一个外角，∴ ∠AEF＞ ∠C. ∴ ∠AFB＞∠C. （第4题） （2） 若∠AFB＝150°，∠1＋∠2＝95°，求∠C的度数. 解：（2） 由题意，得∠AFB＝∠AEB＋∠1，∠AEB＝∠C＋∠2， ∴ ∠AFB＝∠1＋∠2＋∠C. ∵ ∠1＋∠2＝95°，∴ ∠C＝55°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 5. 新情境•科技民生　 如图所示为嘉禾在珠海航展上观察到的无人机简 易模型示意图，其中AB∥EF，CG⊥EF. 若∠ACD＝105°，∠B＝ 69°，则∠A＋∠BDC的度数是（　C　） A. 15° B. 21° C. 36° D. 48° （第5题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 6. （2025•承德期末）某零件的形状如图所示，按规定，当∠A， ∠B，∠D的度数分别为90°，20°和30°时，该零件才合格.王师傅 量得∠BCD＝150°.有下列结论：① 该零件不合格；② 若∠A＝ 90°，则当∠B与∠D的度数分别减少2°时，∠BCD的度数会减少 2°.下列判断中，正确的是（　A　） A. 只有①正确 B. 只有②正确 C. ①②都正确 D. ①②都不正确 （第6题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 7. 如图，∠ABD，∠ACD的平分线交于点P. 若∠A＝50°，∠D＝ 10°，则∠P的度数为（　B　） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° （第7题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 8. 转化思想　 如图，D，E，F分别是△ABC三边延长线上的点.若 ∠D＋∠E＋∠F＝107°，则∠1＋∠2＋∠3的度数为 　73°　. （第8题） 73°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 9. 如图，BD为∠ABC的平分线，点E在BC的延长线上，CD为∠ACE 的平分线，与BD交于点D. 若∠D＝28°，则∠A＝ 　56°　. （第9题） 56°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 10. 新情境•现实生活　 下图为可调躺椅的示意图，AE与BD的交点为 C，∠A＝50°，∠B＝60°，∠E＝30°，且∠A，∠B，∠E的度数 保持不变.∠D＝20°，为了舒适，需调整∠D的度数，使∠EFD＝ 108°，则∠D应怎样调整？ （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 解：延长EF交CD于点M. ∵ ∠ACM＝∠CAB＋∠CBA＝∠E＋ ∠CME，∠A＝50°，∠B＝60°，∠E＝30°，∴ ∠CME＝ 80°.∴ ∠DMF＝180°－∠CME＝100°.∴ ∠D＝∠EFD－∠DMF ＝8°. ∴ ∠D的度数应调整为8°. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 11. ★如图，在△ABC中，∠ACB＞∠B，AD平分∠BAC，P为线段 AD上一点，PE⊥AD，交BC的延长线于点E. （1） 若∠B＝30°，∠ACB＝80°，求∠E的度数. 解：（1） ∵ ∠B＝30°，∠ACB＝80°， ∴ ∠BAC＝180°－∠B－∠ACB＝70°.∵ AD平 分∠BAC，∴ ∠BAD＝ ∠BAC＝35°.∴ ∠ADE ＝∠B＋∠BAD＝65°.∵ PE⊥AD，∴ ∠DPE＝90°. ∴ ∠E＝180°－90°－65°＝25°. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 猜想∠E与∠B，∠ACB之间的数量关系，并加以证明. 解：（2） ∠E＝ （∠ACB－∠B）.设∠B＝n°，∠ACB＝m°， 则∠BAC＝180°－n°－m°.∵ AD平分∠BAC，∴ ∠BAD＝ （180°－n°－m°）.∴ ∠ADE＝∠B＋∠BAD＝n°＋ （180°－n°－m°）＝90°＋ n°－ m°. ∵ PE⊥AD，∴ ∠DPE＝90°. ∴ ∠E＝180°－90°－∠ADE＝ （m°－n°） ＝ （∠ACB－∠B）. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 12. 新考法•探究题　 如图①所示为五角形ABCDE. （1） 计算∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数. 解：（1） 如图①.∵ ∠A＋∠C＝∠1， ∠B＋∠E＝∠2，∴ ∠A＋∠B＋∠C ＋∠D＋∠E＝∠1＋∠2＋∠D＝180°. （第12题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 如图②，当点B向右移动到AC上时，请计算∠A＋∠EBD＋∠C ＋∠D＋∠E的度数. 解：（2） 如图②.∵ ∠A＋∠C＝∠1，∠EBD＋∠E＝∠2，∴ ∠A＋∠EBD＋∠C＋∠D＋∠E＝∠1＋∠2＋∠D＝180°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （3） 如图③，当点B向右移动到AC的另一侧时，（1）的结论成立 吗？ 解：（3） 如图③.∵ ∠A＋∠C＝∠2，∠B＋∠D＝∠1，∴ ∠A＋∠C＋∠B＋∠E＋∠D＝∠1＋∠2＋∠E＝180°.∴ （1）的结论成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （4） 如图④，当点B，E移动到∠CAD的内部时，（1）的结论成立 吗？ 解：（4） 如图④，连接CD. ∵ ∠B＋∠E＝∠1，∠1＝∠2＋∠3，∴ ∠2＋∠3＝∠B＋∠E. ∵ ∠A＋∠ACE＋∠2＋∠3＋∠ADB＝180°，∴ ∠A＋∠ACE＋∠B＋∠E＋∠ADB＝180°.∴ （1）的结论成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 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