第五章 分式与分式方程 习题课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第五章 分式与分式方程 第9课 分式方程(3) 1． 某校为了丰富大课间活动，分两次采购同款跳绳，第一次购买 跳绳花费960元，第二次购买跳绳花费1 800元，第二次所购的数量是第 一次所购数量的2倍，但第二次购买的单价比第一次购买的单价少了0.5 元，设该学校第一次购进的跳绳的单价是x元．根据题意，列方程 为 ⁠． × 2． (2025自贡)去年暑假，小张和小李同学主动帮刘大爷掰玉米， 他们各掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多 掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？ 解：设小李平均每小时掰玉米x筐，则小张平均每小时掰玉米(x＋2)筐． 根据题意，得 ＝ .解得x＝10. 经检验，x＝10是所列方程的根，且符合题意． 答：小李平均每小时掰玉米10筐． 3． (2025长春)小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速 度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的 平均速度． 解：设小林跑步的平均速度为x米/秒，则小吉的平均速度为1.25x 米/秒． 由题意，得 - ＝40.解得x＝4. 经检验，x＝4是原方程的根，且符合题意． 答：小林跑步的平均速度为4米/秒． 4． 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独做需要3个月完 成，当甲队单独施工1个月后，乙队加入共同施工，又工作了半个月， 总工程全部完成．若乙队单独施工，需要多少个月完成全部工程？ 解：设乙队单独做需要x个月完成． 由题意，得 + ×(+ )＝1.解得x＝1. 经检验，x＝1是原方程的根，且符合题意． 答：乙队单独施工，需要1个月完成全部工程． 5． (2025杭州模拟)某商店经销一种旅游纪念品，4月份的销售额为 2 000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打九折销售，结果 销量增加20件，营业额增加了700元． (1)求这种纪念品4月份的销售价格； 解：(1)设该种纪念品4月份的销售价格为x元． 根据题意，得 ＝ －20.解得x＝50. 经检验x＝50是原分式方程的根，且符合题意． 答：这种纪念品4月份的销售价格是50元． (2)若5月份每件纪念品盈利50%，6月份以5月份的售价继续销售这 种纪念品，且这3个月的销售利润不低于2 450元，求6月份至少销售这 种纪念品多少件？ (2)由(1)，得该种纪念品4月份的销售价格是50元，5月份的销售价 格是50×0.9＝45(元)． ∵5月份每件纪念品盈利50%， ∴设进价为a元，则a(1＋50%)＝45. 解得a＝30，即每件纪念品进价为30元． 故4月份的利润为 ×(50－30)＝800(元)， 5月份的利润为 ×(45－30)＝900(元)． 设6月份销售这种纪念品b件． 根据题意，得800＋900＋(45－30)b≥2 450. 解得b≥50. 答：6月份至少销售这种纪念品50件． $第五章 分式与分式方程 第3课 分式的运算(1) 1． 计算： (1) · ＝ 　 　； (2)2x2y÷ ＝ 　 　； (3) ＝ 　 　． 2． 如果 ÷ 的运算结果为整式，那么被遮挡的式子可能是 (　B　) A． B． 3xy C． 5y D． x＋y B 3． 计算 · 的结果为(　A　) A． x B． 3x C． x2 D． x3 A 4． 计算： (1) · ； 解：原式＝ · ＝ . (2) ÷(xy－x2)； 解：原式＝ · ＝ · ＝－ . (3) ÷ · . 解：原式＝ ÷ · ＝ · · ＝ ＝ . 5． 已知a2－a＝0，求 · ÷ 的值． 解：原式＝ · ·(a＋1)(a－1) ＝(a＋1)(a－2)＝a2－a－2. ∵a2－a＝0，∴原式＝0－2＝－2. 6． 应用意识某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田各产粮500 kg.其中“丰收1号”小麦种植在边长为a m(a>1)的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的试验田中(如图1)，“丰收2号”小麦种植在边长为(a－1)m的正方形试验田中(如图2)．哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 解：由题意，得“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为 kg，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为 kg. ∵a>1，∴a2－1－(a－1)2＝a2－1－(a2－2a＋1)＝2a－2＝2(a－1)>0. ∴a2－1>(a－1)2>0.∴ < . ∴“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高． ÷ ＝ · ＝ . ∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的 倍． $第五章 分式与分式方程 第2课 分式及其基本性质(2) 1． 下列等式一定成立的是(　C　) A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝ C 2． 下列分式是最简分式的是(　A　) A． B． C． D． A 3． 小丽在化简分式 时，“*”部分不小心滴上了墨水．若化简 的正确结果为 ，则“*”部分的式子可能是(　A　) A． x2－2x＋1 B． x2＋2x＋1 C． x2－1 D． x2－2x－1 A 4． 把分式 中的x和y都扩大2倍，分式的值(　A　) A． 不变 B． 扩大4倍 C． 缩小 D． 扩大2倍 A 5． 化简下列分式： (1) ； (2) ； (1)解：原式＝ ＝- . (2)解：原式＝ ＝ . (3) . 解：原式＝ ＝ ＝ . 6． (北师八下P131习题T6改编)先化简，再求值： ， 其中a＝2，b＝ . 解：原式＝ ＝ ＝ . 当a＝2，b＝ 时，原式＝ ＝7+4 . 7． 如果 ＝－1，那么x的取值范围是 ⁠． 8． 若不改变分式的值，使分子、分母各项的系数都化为整数，则 ＝ 　 　， ＝ 　 　． x＜1 9． 已知等式 ＝ ，则m的值为 ⁠． －2 10． 一题多解已知 ＝3，求 的值． 解：由题意知xy≠0. ∴原式＝ ＝ . ∵ ＝3，∴ ＝ . ∴原式＝ ＝ ＝ . $第五章 分式与分式方程 第8课 分式方程(2) 1． (2025湖南)将分式方程 ＝ 去分母后得到的整式方程为(　A　) A． x＋1＝2x B． x＋2＝1 C． 1＝2x D． x＝2(x＋1) A 2． (2025海南)分式方程 ＝0的解是(　C　) A． x＝－3 B． x＝3 C． x＝2 025 D． x＝－2 025 C 3． 已知关于x的分式方程 -1＝ 的增根是x＝2，则m的值 为(　A　) A． 8 B． 4 C． －8 D． －4 A 4． 解方程： ＝ －5. 解：方程两边都乘y－1， 得－3＝y－5(y－1)．解得y＝2. 检验：当y＝2时，y－1＝2－1＝1≠0. 所以y＝2是原方程的根． 5． 解方程： - ＝1. 解：方程两边都乘x(x－3)， 得x(x－1)－6＝x(x－3)．解得x＝3. 检验：当x＝3时，x(x－3)＝0. ∴原方程无解． 6． (易错题)分式方程 ＝1- 的解为正数，则m的取值范围为 (　B　) A． m>－3 B． m>－3且m≠－2 C． m<3 D． m<3且m≠－2 B 7． (2025遂宁)若关于x的分式方程 ＝ －1无解，则a的值 为(　D　) A． 2 B． 3 C． 0或2 D． －1或3 D 8． 对于实数a，b，定义一种新运算“&”为a&b＝ ，例如： 1&2＝ ，则x&(－2)＝ －2的解是 　x＝- 　． x＝- 9． 已知关于x的分式方程 + ＝5. (1)若分式方程无解，求m的值； 解：(1)原方程的两边都乘3x－6， 得x＋mx＝5(3x－6)．整理，得(14－m)x＝30. ①当14－m＝0，即m＝14时，原方程无解． ②当分母3x－6＝0，即x＝2时，原方程无解． ∴2(14－m)＝30.解得m＝－1. 综上所述，m＝14或－1时，方程无解． (2)若分式方程的解是非负数，求m的值． (2)原方程化简，得(14－m)x＝30. 当m≠14时，x＝ ≥0.∴m＜14. 由(1)，得当m＝－1时原方程无解． ∴m＜14且m≠－1时，方程的解为非负数． $第五章 分式与分式方程 第4课 分式的运算(2) 1． 计算 + 的结果为(　A　) A． B． C． － D． A 2． 化简 - 的结果是(　B　) A． m－3 B． －m－3 C． D． B 3． (2025深圳)计算： - ＝ ⁠． a－1 4． 计算 + 的结果是 ⁠． －ab 5． 若 ＝A- ，则A是(　B　) A． －3 B． 2 C． 3 D． －2 B 6． 计算： (1) - ； 解：原式＝ ＝ ＝x. (2) + ； 解：原式＝ ＝ ＝ . (3) + . 解：原式＝ - ＝ ＝ ＝ . 7． 计算： - - . 解：原式＝ + - ＝ ＝ ＝－1. 8． 已知x≠y，y＝－x＋8，求代数式 + 的值． 解：原式＝ - ＝ ＝ ＝x＋y. 当x≠y，y＝－x＋8时，原式＝x＋(－x＋8)＝8. 9． 推理能力观察下面的一列数：a1＝ ， + ， ＝ + ， ＝ + + + ，…… (1)尝试：a2－a1＝ ；a3－a2＝ 　 　； a4－a3＝ ⁠． (2)归纳：an＋1－an＝ ⁠． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 解：an＋1＝ + +…+ ＝ ＝ ＝ . an＝ + +…+ ＝ ＝ ＝ . ∴an＋1－an＝ - ＝ . $第五章 第6课 分式与分式方程 分式的运算(4) A 基础演练帅 1.计算：a+b-a2-b2 a-b· 解：原式=a十b一a+b)a-b a-b =a+b-(a+b)=a+b-a-b=0 固双基 2.计算： (}:要 解：原式= xx =y3-4x2 8y4 三 x x2 8y 2y4 (226÷6x. 解：原式-2：9) 2x-6 .x2-6x+9 X X =2(x-3). X (x-3)2 2 二 X-3 3.(2025宿迁)先化简， 解：原式=245.x2 X-2 x-3 (x+3)(x-3)x-2 X-2 X-3 =x十3. 当x=一4时，原式= 再求值：(+25) 4十3=-1. x-3 其中x=一4. X-2 4. 已知日 =2, B 综合运用”提能力 则0 的值为一2 5.(整体思想)先化简再求值： -5=0. ] 解：原式=[3x-1 x-9 x2-9-(x2-x),x+3 x(x+3)2 x-9 X-9 X+3 1 x(x+3)2x-9 x2+3x ,x2+3x-5=0,,.x2+3x= ∴原式= 326片g x-3 x-1 其中x2十3x 5. C 精英乐园*优素养 6.(2025滨州)已知A=x+y,B=x2一y2, C 光丹-日，求cC的值： 1 51 ∴y=C=÷2-g (x-y)2 :2y X 1 x-Y 1-5 (2)当y=1,且3C为整数时，求 2)当y=1时，3C= 3 x-1 ,3C为整数，.x一1=±1或土3. .整数x的值为0或2或一2或4. ,x0且x夫1， .整数x的值为2或一2或4. c的整数值.第五章 分式与分式方程 第7课 分式方程(1) 1． 下列式子是分式方程的是(　C　) A． ＝ B． + C． + ＝1 D． +2＝ C 2． 下列关于x的方程：① ＝ + ；② - ＝0；③mx＝ x＋ 1(m，n均为常数)； ；⑤ ＝ ；⑥ + (a为常 数)．其中整式方程是 ，分式方程是 ⁠． ②③④⑥ ①⑤ 3． (数学文化)《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其 中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到800里外的城 市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定 时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马的速度．若设慢马的 速度为x里/天，则可列方程为(　D　) A． ＝ ×2 B． +1＝ －3 C． ×2＝ D． -1＝ ＋3 D 4． 根据题意列分式方程，不求解． 某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣 60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同．已知小王每 小时比小李多分拣8个物件，求小李每小时分拣多少个物件． 解：设小李每小时分拣x个物件，则小王每小时分拣(x＋8)个物 件． 根据题意，得 ＝ . 5． (2025德州)如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程 - ＝5进行解答．则被墨水污染部分的文字为(　　) A． 这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B． 这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C． 这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D． 这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 D 6． 数学课上，甲、乙、丙、丁四位同学对于题目“甲、乙两地相 距360 km，张老师、王老师分别从甲地乘早7时出发的普通客车和8时 15分出发的豪华客车去乙地，两车恰好同时到达．已知豪华客车与普通 客车的平均速度的比是4∶3，两车的平均速度分别是多少？”列出了如 下方程： ①设豪华客车的平均速度是x km/h，则甲列的方程为 - ＝ ；乙列的方程为 - ＝ ；②设普通客车的平均速度是x km/h，则 丙列的方程为 - ＝ ；丁列的方程为 - ＝ .则四位同学列出 的方程正确的是 ⁠． 甲、丁 $第五章 分式与分式方程 第5课 分式的运算(3) 1． 分式 和 的最简公分母为(　D　) A． 3x2 B． 4x2 C． 6x2 D． 12x2 D 2． 若将分式 与 通分，则分式 的分子应变为(　A　) A． 4a(a－b) B． 4(a－b) C． 2(a－b) D． 2(a－b)(a＋b) A 3． 计算： (1) - ＝ 　 　； (2) - ＝ 　 　． 4． 计算： (1) - ； (2) - . (1)解：原式＝ - ＝ - ＝ ＝- . (2)解：原式＝ - ＝ - ＝ ＝ . 5． 下面是某同学分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． - 解：原式＝ - ① ＝ - ② ＝ - ③ ＝ .④ 任务： (1)以上化简过程中，第 ⁠步是分式的通分，通分的依据 是 ⁠； (2)第 ⁠步开始出现错误； (3)该分式化简后的正确结果是 ⁠． ③ 分式的基本性质 ④ - 6． 现有大小两艘轮船，小船每天运x(x＞40)吨货物，大船比小船 每天多运10吨货物．现在让大船完成运送100吨货物的任务，小船完成 运送80吨货物的任务． (1)大船完成任务所用的时间为 ⁠天，小船完成任务所用的时 间为 ⁠天； (2)哪艘轮船完成任务所用的时间少？ 解： - ＝ . ∵x＞40，∴ ＞0，即 ＞ . ∴小船完成任务所用的时间少． 7． 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式 的和的形式，则称这个分式为“快乐分式”．如： ＝ ＝ + ＝1+ ，则 是“快乐分式”. (1)下列式子：① ；② ；③ ；④ ，其中是“快乐分 式”的是 (填序号)； (2)延伸：化简： ＝ 　a-1+ 　． ①②③ a-1+ $第五章 分式与分式方程 第1课 分式及其基本性质(1) 1． 下列各式：① ；② ；③－ ；④ ； ；⑥ ；⑦ xy＋x2y.其中是分式的有 ，是整式的有 ⁠ ．(填序号) ①④⑤ ②③⑥⑦ 2． 若分式 的值为0，则x的值为(　C　) A． 3 B． 6 C． －3 D． ±3 C 3． 要使分式 有意义，则x的取值应满足(　D　) A． x＝－2 B． x≠2 C． x>－2 D． x≠－2 D 4． 一位作家先用a天写完了一部小说的上集，又用b天写完下 集，这部小说(上、下集)共100万字，则这位作家写这部小说时平均每 天的写作量为 ⁠万字． 5． 当x＝3时，分式 无意义，则a的值为 ⁠． 6 6． (开放性试题)已知整式π，2，a＋5，a－5，从中任选两个整式分别作为分子和分母组成一个分式，则这个分式可以是 .(写出一个即可) (答案不唯一) 7． (北师八下P131习题T3改编)求下列分式的值： (1) ，其中a＝3； 解：原式＝ ＝3. (2) ，其中x＝2，y＝－1. 解：原式＝ ＝ ＝1. 8． 甲、乙两人分别从A，B两地出发，相向而行．已知甲的速度 为v1 km/h，乙的速度为v2 km/h，A，B两地相距20 km，若甲先出发1 h，求乙出发多少小时后与甲相遇．(用含v1，v2的代数式表示) 解：设乙出发x h后与甲相遇，相遇时，甲走了(x＋1)h. 由题意，得v1·(x＋1)＋v2x＝20. 解得x＝ . 答：乙出发 h后与甲相遇． 9． (阅读理解)分式的定义告诉我们：“一般地，用A，B表示两个 整式，A÷B可以表示成 的形式．如果B中含有字母，那么称 为分 式”，我们还知道：“两数相除，同号得正，异号得负”．请运用这些知 识解决问题： (1)若分式 的值是整数，求整数x的值； 解：(1)∵分式 的值是整数， ∴x＋1＝±1.解得x＝0或－2. (2)若分式 的值为正数，求x的取值范围． (2)∵分式 的值为正数， ∴ 或 解得x＞0或x＜－1. ∴x的取值范围是x＞0或x＜－1. $