第五章　分式与分式方程 习题课件　2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第五章　分式与分式方程 3分式方程 第3课时　分式方程的应用 1 1．甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9 km，乙工程队需要修12 km。已知乙工程队每个月比甲工程队多修1 km，最终用的时间比甲工程队少半个月。若设甲工程队每个月修x km，则可列方程为(　　) A 返回 1 星题 夯实四基 2 2．西安铁一中月考一艘货轮在静水中的航速为40 km/h，它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等，则江水的流速为(　　) A．5 km/h B．6 km/h C．7 km/h D．8 km/h 返回 D 1 星题 夯实四基 3 3. 《千里江山图》是宋代画家王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4 m，宽为1.4 m的长方形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8∶13，且四周边衬的宽度相等。设边衬的宽度为x m，根据题意 可列方程为________________。 返回 1 星题 夯实四基 4 4．[教材P146“复习题”第12题变式]为了缓解交通压力，提高道路的通行效率，太原市对某一路段实行交通灯智能化改造，驾驶员只要控制好车速，便能实现“一路绿灯”。据了解，该路段总长约5.4 km，改造后车辆通过该路段的平均速度提高了50%，平均行驶时间减少了3 min，则改造前车辆通过该路段的平均速度为________km/h。 返回 36 1 星题 夯实四基 5 1 星题 夯实四基 6 返回 1 星题 夯实四基 1 星题 夯实四基 8 (1)甲同学所列方程中的x表示__________________________，乙同学所列方程中的y表示__________________________； 这种瓶装饮料每瓶的原价 这种瓶装饮料每箱的数量 1 星题 夯实四基 9 (2)选择甲同学或乙同学的方法解答这个问题。 返回 解：选择甲。方程两边都乘0.9x， 得36－36×0.9＝1.8x，解得x＝2， 经检验，x＝2是方程的解。 36÷2＝18(瓶)。 答：该超市销售这种瓶装饮料每 瓶的原价是2元，每箱18瓶。 1 星题 夯实四基 10 7．为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施。如图，y1，y2分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y(元)与行驶路程s(km)的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍 少0.1元，则燃气汽车每千米所需的费 用为________元。 返回 0.2 2 星题 提升四能 11 8．(8分)重庆中考某厂生产甲、乙两种文创产品。每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个。 (1)求该厂每天生产的甲、乙两种文创产品的数量分别是多少个； 2 星题 提升四能 12 解：设该厂每天生产的乙种文创产品的数量是x个，则每天生产的甲种文创产品的数量是(x＋50)个， 由题意得3(x＋50)＝4x＋100， 解得x＝50，所以x＋50＝100。 答：该厂每天生产的乙种文创产品的数量是50个，甲种文创产品的数量是100个。 2 星题 提升四能 (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进。改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍。若生产甲、乙两种文创产品各1 400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量。 2 星题 提升四能 14 返回 2 星题 提升四能 9．(8分) 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射成功。某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型。已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，用200元购进“天宫”模型的数量与用250元购进“神舟”模型的数量相同。 (1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？ 3 星题 发展素养 16 3 星题 发展素养 3 星题 发展素养 18 返回 3 星题 发展素养 A.－＝ B.－＝ C.－＝ D.－＝ ＝ 5．(4分)扬州中考某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价。 解：设乙款书签的单价为x元，则甲款书签的单价为x元， 由题意得＝－3，解得x＝16， 经检验，x＝16是原方程的解。 所以x＝20。 答：乙款书签的单价为16元，甲款书签的单价为20元。 6．(8分)某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，元旦期间对该瓶装饮料进行促销，买一箱送两瓶，相当于每瓶按原价九折销售，求该超市销售这种瓶装饮料每瓶的原价及每箱的数量。甲同学所列的方程为－＝2；乙同学所列的方程为×0.9＝。 解：设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个，则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个， 由题意得－＝10， 解得y＝20，经检验，y＝20是原方程的解。 答：每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个。 解：设“天宫”模型的进价是每个x元，则“神舟”模型的进价是每个(x＋5)元， 依题意得＝，解得x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解，所以x＋5＝25。 答：“神舟”模型的进价是每个25元，“天宫”模型的进价是每个20元。 (2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元。设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元。若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解：易知a≤(100－a)，所以a≤20， 依题意得w＝(35－25)a＋(28－20)(100－a)＝2a＋800， 因为2>0，所以w随a的增大而增大， 所以当a＝20时，w取得最大值， 最大值为2×20＋800＝840。 答：购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是840元。 $第五章　分式与分式方程 1分式及其基本性质 第2课时　分式的基本性质及约分 1 D 返回 1 星题 夯实四基 2 返回 D 1 星题 夯实四基 3 返回 C 1 星题 夯实四基 4 返回 c 10xy 2x2 x＋y 1 星题 夯实四基 5 返回 1 星题 夯实四基 6 返回 B 1 星题 夯实四基 7 返回 D 1 星题 夯实四基 8 返回 B 1 星题 夯实四基 9 返回 D 1 星题 夯实四基 10 返回 B 1 星题 夯实四基 11 返回 1 星题 夯实四基 12 返回 A 2 星题 提升四能 13 返回 C 2 星题 提升四能 14 返回 a<0 2 星题 提升四能 15 2 星题 提升四能 16 返回 2 星题 提升四能 17 返回 2 星题 提升四能 18 17．(8分) 已知a>3，代数式：A＝2a2－8，B＝3a2＋6a，C＝a3－4a2＋4a。 (1)因式分解代数式A； 解： A＝2a2－8＝2(a2－4)＝2(a＋2)(a－2)。 2 星题 提升四能 (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成分式，并化简该分式。 返回 2 星题 提升四能 3 星题 发展素养 3 星题 发展素养 返回 3 星题 发展素养 1．使得等式＝成立的a的取值范围是(　　) A．a＝0 B．a＝1 C．a＝0或a＝1 D．a≠0 2．下列变形从左到右一定正确的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 3．根据分式的基本性质，分式可变形为(　　) A. B. C．－ D．－ 4．[教材P126“随堂练习”第1题变式]填空： (1)＝； (2)＝(y≠0)； (3)＝(x≠0)； (4)＝。 原式＝＝。 原式＝－＝。 5．(16分)不改变分式的值，使下列分式的分子和分母第一项都不含“－”号： (1)－； (2)－； (3)； (4)－。 解：原式＝。 原式＝－。 6.的分子与分母的公因式是(　　) A．4ab B．2ab C．4a2b2 D．2a2b2 7．计算的结果为(　　) A．a－5 B．a＋5 C．5 D．a 8．下列分式是最简分式的是(　　) A. B. C. D. 9．下列分式的约分正确的是(　　) A.＝ B.＝－1 C.＝ D.＝ 10．[河北中考]若a＝－3，则等于(　　) A．－3 B．－1 C．3 D．3 原式＝－。 原式＝。 11．(16分)教材P126“随堂练习”第2题变式化简： (1)； (2)； (3)； (4)。 解：原式＝－。 原式＝。 12．不改变分式的值，把分子和分母中的小数都化为整数，则所得结果为(　　) A. B. C. D. 13.若把a，b的值同时扩大为原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是(　　) A. B. C. D. 14．[西安高新一中期中]若＝，则a的取值范围是________。 15．(8分)先化简，再求值： (1)，其中x＝3，y＝1； 解：＝＝－2x＋y， 当x＝3，y＝1时，原式＝－2×3＋1＝－5。 (2)，其中x＝5，y＝－1。 解：＝＝。 当x＝5，y＝－1时，原式＝＝－。 16．(4分)[北京中考]已知a＋b－3＝0，求分式的值。 解：原式＝＝＝， 因为a＋b－3＝0，所以a＋b＝3，所以原式＝。 解：选择A，B：＝＝＝， ＝＝＝。(答案不唯一) 18．(8分) 阅读下列材料： 已知－＝2，求分式的值。 解：由题意知xy≠0， 所以将分式的分子与分母同时除以xy，得 原式＝＝＝， 因为－＝2，所以－＝－2， 所以原式＝＝－。 根据上面的解题方法解决下面的问题： 若－＝2，求分式的值。 解：由题意知mn≠0，所以将分式的分子与分母同时除以mn， 得原式＝＝＝， 因为－＝2，所以原式＝＝－。 $第五章　分式与分式方程 章末整合练 1 温馨提示：点击 进入讲评 1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12 B A 答 案 呈 现 13 14 B A D D 5 2或－1 习题链接 B 返回 1 星题 夯实四基 3 返回 A 核心考点巩固 4 返回 B 核心考点巩固 5 返回 A 核心考点巩固 6 返回 D 核心考点巩固 7 返回 ② 丢了分母 核心考点巩固 8 返回 核心考点巩固 9 核心考点巩固 10 返回 核心考点巩固 返回 D 核心考点巩固 12 返回 5 核心考点巩固 13 返回 2或－1 核心考点巩固 14 解：方程两边都乘(x＋2)(x－2)， 得3(x－2)＋(x＋2)(x－2)＝x(x＋2)， 去括号，得3x－6＋x2－4＝x2＋2x，解得x＝10。 经检验，x＝10是原方程的解。 核心考点巩固 15 返回 解：方程两边都乘x2－1，得(x＋1)2－4＝x2－1， 解得x＝1，检验：当x＝1时，x2－1＝0， 所以x＝1是增根，所以原方程无解。 核心考点巩固 16 返回 13．[江西中考]小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6 000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费 1 000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费。设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为____________。 核心考点巩固 17 核心考点巩固 18 (1)求每个A种挂件的价格； 核心考点巩固 19 (2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件。 核心考点巩固 20 返回 核心考点巩固 1．代数式m，，，x2－，，中，属于分式的有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．分式的值为0，则x的值是(　　) A．0 B．－1 C．1 D．0或1 3．下列分式中，是最简分式的是(　　) A. B. C. D. 4．下列式子从左边至右边变形错误的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝－ 5．下列计算正确的是(　　) A.·＝ B.＝ C.＝ D.÷＝ 6．阅读下面题目的计算过程： －＝－……① ＝x－3－2x＋2……② ＝－x－1。……③ 上面计算过程中开始出现错误的步骤的序号是________，错误原因是__________，本题的正确结果是________。 － 7.(4分)化简：÷。 解：原式＝· ＝· ＝。 8．(4分)遂宁中考先化简，再求值：(a＋1＋)÷，其中a满足a2－4＝0。 解：原式＝÷＝·＝。 因为a满足a2－4＝0，所以a＝±2。 又因为a－2≠0，所以a≠2，所以a＝－2。 当a＝－2时，原式＝＝。 9．下列关于x的方程是分式方程的是(　　) A.＝1－ B.＝2＋x(a是常数) C.＋＝1 D.＝1 10．[西安交大附中期末]若关于x的分式方程 ＋＝1有增根，则 m＝________。 11．已知关于x的分式方程－2＝无解，则k的值为________。 12．(8分)解方程： (1)[福建中考]＋1＝； (2)[西安高新一中期中]－＝1。 ＝ 14．(8分) [成都中考]2025年8月7日至17日，第12届世界运动会在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱。某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个。 解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为x元。 根据题意，得－＝7，解得x＝25， 经检验，x＝25是原方程的解。 答：每个A种挂件的价格为25元。 解：设该游客购买y个A种挂件，则购买(y＋5)个B种挂件，由(1)得每个B种挂件的价格为×25＝20(元)。 根据题意，得25y＋20(y＋5)≤600，解得y≤。 因为y为正整数，所以y最大取11， 所以该游客最多购买11个A种挂件。 $第五章　分式与分式方程 2分式的运算 第3课时　异分母分式的加减 1 D 返回 1 星题 夯实四基 2 返回 (x－5)(x＋3) 12abc x2－4 2(m－5)2 1 星题 夯实四基 3 1 星题 夯实四基 4 返回 1 星题 夯实四基 5 返回 D 1 星题 夯实四基 6 返回 D 1 星题 夯实四基 7 返回 A 1 星题 夯实四基 8 返回 1 星题 夯实四基 9 8．[教材P134“例6”变式]已知某船从甲港口到乙港口的距离为s km，船速为v km/h，返回时的速度是去时的2倍，则船往返的总时间为________h。 返回 1 星题 夯实四基 10 1 星题 夯实四基 11 1 星题 夯实四基 12 返回 1 星题 夯实四基 13 2 星题 提升四能 14 返回 B 2 星题 提升四能 15 返回 B 2 星题 提升四能 16 返回 2 2 星题 提升四能 17 返回 1 2 星题 提升四能 18 2 星题 提升四能 19 返回 2 星题 提升四能 20 > 3 星题 发展素养 21 【探究论证】(2)请证明(1)中的结论正确； 3 星题 发展素养 22 【知识迁移】(3)已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为v1，v2，水流速度为v0(v1>v2>v0>0)，两船同向航行1 h后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为t1，t2，请利用(1)(2)中探究的结论，直接得出哪艘船先返回A港。 3 星题 发展素养 23 解：若甲、乙两船返航时在逆流航行，则t1<t2，即甲船先返回A港，若甲、乙两船返航时在顺流航行，则t1>t2，即乙船先返回A港。 返回 3 星题 发展素养 1．分式与的最简公分母是(　　) A．5x B．5x2 C．6x D．6x2 2．写出下列各组分式的最简公分母： (1)与：______________； (2)与：________； (3)与：________； (4)与：________。 3．(16分)通分： (1)与； (2)与； 解：最简公分母是24ab2，＝，＝。 最简公分母是x－3y，＝。 (3)与； (4)与。 解：最简公分母是(n＋2)2，＝。 最简公分母是2(x2－16)， ＝，＝－。 4．计算＋的结果为(　　) A. B. C. D. 5．计算－的结果为(　　) A.－ B. C. D.－ 6．[天津中考]计算＋的结果等于(　　) A. B. C. D．1 7．计算： (1)＋＝________； (2)＋＝________； (3)－＝_____________。 9．(20分)计算： (1)＋； (2)－； 解：原式＝＋＝。 原式＝－＝＝。 (3)－； (4)＋； 解：原式＝－＝＝＝－。 原式＝＋＝＝。 (5)－。 解：原式＝－＝＝。 10．学完分式的加减法后，老师出了一道题： 化简：＋。 小明的做法：原式＝－＝＝；　 小芳的做法：原式＝－＝－＝＝1。其中做法正确的是(　　) A．小明 B．小芳 C．都正确 D．没有正确的 11．[西安西咸新区月考]已知A＝，B＝－，则代数式A与B之间的关系是(　　) A．A＝B B．A＋B＝0 C．AB＝0 D．A＝2B 12．[教材P145“复习题”第5题第(3)问变式]对于任意的x值都有＝＋，则M＋N＝______。 13. 已知实数a，b满足ab＝1，那么＋的值为________。 14．(4分)化简分式：＋，并求值(请从小宇和小丽的对话中确定a，b的值)。 解：依题意得a＝－3，b＝2。 原式＝＋＝＋＝， 当a＝－3，b＝2时，原式＝＝－。 15．(12分) 将a g糖放入水中，得到b g糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为(b>a>0)。 【操作发现】(1)再往杯中加入m(m>0)g糖，生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为________(填“>”“<”或“＝”)； 证明：－＝＝＝。因为b>a>0，m>0，所以b－a>0，b＋m>0，所以>0，所以－>0，所以>。 $第五章　分式与分式方程 2分式的运算 第1课时　分式的乘除 1 C 返回 1 星题 夯实四基 2 返回 A 1 星题 夯实四基 3 返回 A 1 星题 夯实四基 4 1 星题 夯实四基 5 返回 1 星题 夯实四基 6 返回 D 1 星题 夯实四基 7 返回 D 1 星题 夯实四基 8 返回 1 星题 夯实四基 9 返回 1 星题 夯实四基 10 9．(4分)教材P130“尝试·交流”变式公园普通景观灯a天耗电m kW·h。改用LED节能景观灯后，同样m kW·h的电量可多用5天。普通景观灯每天的耗电量是LED节能景观灯每天耗电量的多少倍？ 1 星题 夯实四基 11 返回 1 星题 夯实四基 返回 D 1 星题 夯实四基 13 返回 1 星题 夯实四基 14 返回 D 2 星题 提升四能 15 返回 C 2 星题 提升四能 16 14. 老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四名同学用合作的方式完成分式化简。规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，整个化简过程如图所示， 2 星题 提升四能 17 接力中，自己负责的一步出现错误的同学是(　　)  A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 B 返回 2 星题 提升四能 18 返回 2 星题 提升四能 19 2 星题 提升四能 20 返回 2 星题 提升四能 21 返回 2 星题 提升四能 返回 2 星题 提升四能 3 星题 发展素养 返回 3 星题 发展素养 1．计算·的结果是(　　) A. B. C. 　D.1 2．计算(－a)2·的结果为(　　) A．b B．－b C．ab 　 D. 3．计算·的结果为(　　) A. B. C. 　D.2 4．(16分)计算： (1)·； (2)·； 解：原式＝－＝－6ab。 原式＝·＝。 (3)(x2y－xy2)·； (4)·。 解：原式＝xy(x－y)·＝。 原式＝·＝。 5．计算÷，正确结果是(　　) A. B. C. D. 6．计算÷的结果是(　　) A. B. C. D. 原式＝－x(x－2y)·＝－x2y。 7．(12分)计算： (1)÷； (2)÷(x－2)； (3)(2xy－x2)÷。 解：原式＝·＝。 原式＝·＝。 8．(4分)[安徽中考]先化简，再求值：÷，其中x＝3。 解：原式＝÷＝·(x＋1)(x－1)＝＝，当x＝3时，原式＝＝＝1。 解：由题意得普通景观灯每天的耗电量为 kW·h， LED节能景观灯每天的耗电量为 kW·h， 所以普通景观灯每天的耗电量是LED节能景观灯每天耗电量的＝倍。 10．[西工大附中模拟]计算的结果是(　　) A．－ B．－ C. D．－ 11．计算：·＝________。 12. 计算÷y×正确的是(　　) A．－ B. C．－ D. 13．[西安铁一中期中]使式子÷有意义的x的值可以是(　　) A．3 B．4 C．5 D．－5 15. 八年级三名同学在一起讨论一个分式乘法的题目。甲：它是一个整式与分式相乘；乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解；丙：计算结果为，请你写一个符合上述条件的题目：__________________________。 (x＋1)·(答案不唯一) 16．(8分)计算： (1)÷(4x2－y2)·； 解：原式＝··＝。 (2)÷·(a－b)。 解：原式＝··(a－b)＝··(a－b)＝。 17．(4分)先化简，再求值：·÷，其中a为整数且满足－1<a<2。 解：原式＝··(a＋1)(a－1)＝a(a＋1)＝a2＋a。 因为当a＝±1或a＝－2时，原式无意义，且a为整数且满足－1<a<2，所以a＝0。当a＝0时，原式＝02＋0＝0。 18．(4分)已知x＋2y＝4，x－2y＝－1，先化简，再求值：÷。 解：原式＝·＝。 因为x＋2y＝4，x－2y＝－1，所以原式＝－。 19．(8分) 如图，将4张完全相同的长、宽分别为a，b的长方形硬纸片拼成一个中间带小正方形孔的大正方形，已知拼成的大正方形的面积为49，中间的小正方形的面积为1。求(a4－b4)÷÷(6a－6b)的值。 解：由题意得(a＋b)2＝49，(a－b)2＝1， 且a>b>0，所以(a＋b)2－(a－b)2＝48，a＋b＝7， 所以a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2＝4ab＝48，所以ab＝12，所以原式＝(a2＋b2)·(a＋b)(a－b)··＝＝＝14。 $第五章　分式与分式方程 1分式及其基本性质 第1课时　认识分式 1 C 返回 1 星题 夯实四基 2 返回 B 1 星题 夯实四基 3 返回 A 1 星题 夯实四基 4 返回 C 1 星题 夯实四基 5 返回 A 1 星题 夯实四基 6 返回 A 1 星题 夯实四基 7 返回 1 星题 夯实四基 8 1 星题 夯实四基 9 返回 1 星题 夯实四基 返回 A 1 星题 夯实四基 11 10．某校组织a名师生到红旗渠风景区开展红色教育活动。租用的旅游车每辆可乘坐b人(不包含司机)，师生全部上车后还剩1个座位，由此可知租用的旅游车的辆数为________。 返回 1 星题 夯实四基 12 返回 C 2 星题 提升四能 13 返回 B 2 星题 提升四能 14 返回 13．[教材P124“随堂练习”第3题变式]把x kg橘子糖、y kg椰子糖、z kg奶糖混合成什锦糖。已知橘子糖的价格为每千克28元，椰子糖的价格为每千克32元，奶糖的价格为每千克48元，则这种什锦糖的价格可以表示为 _____________________。 2 星题 提升四能 15 返回 一项工程，甲单独完成需要(n＋ 2)天，求甲单独工作m天的工程量是多少(答案不唯一) 2 星题 提升四能 16 2 星题 提升四能 17 返回 2 星题 提升四能 1．[西安雁塔区期中]下列式子中，是分式的是(　　) A.－ B. C. D. 2．在＋1，，，中，是分式的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．[常州中考]若分式有意义，则实数x的取值范围是(　　) A．x≠－1 B．x＝－1 C．x≥－1 D．x>－1 4．当x＝－3时，下列分式没有意义的是(　　) A. B. C. D. 5．当x＝－2时，分式的值是(　　) A．3 B．－3 C．2 D．－2 6．[贵州中考]若分式的值为0，则实数x的值为(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－3 7．[教材P127“习题5.1”第3题变式]当m＝2，n＝3时，分式的值为________。 8．(4分)教材P124“例1(1)”变式当x＝－1，1，2时，分别求分式的值。 解：当x＝－1时，＝＝－。 当x＝1时，＝＝0。 当x＝2时，＝＝。 9．小明妈妈买x kg苹果花费y元，则买5 kg这种苹果花费(　　) A.元 B.元 C.元 D.元 11．当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是(　　) A. B. C. D. 12. 若分式的值为0，则x的值为(　　) A．2 B．－2 C．2或－2 D．0 元/kg 14．请赋予分式实际意义：__________________________ _______________________________________________。 15．(4分)对于分式，当x＝－1时，分式无意义；当 x＝4时，分式的值为0，求的值。 解：因为当x＝－1时，分式无意义， 所以3×(－1)＋b＝0，解得b＝3。 因为当x＝4时，分式的值为0， 所以2×4－a＝0，解得a＝8，所以＝。 $第五章　分式与分式方程 2分式的运算 第2课时　同分母分式的加减 1 C 返回 1 星题 夯实四基 2 返回 A 1 星题 夯实四基 3 返回 A 1 星题 夯实四基 4 返回 D 1 星题 夯实四基 5 返回 1 a－1 1 星题 夯实四基 6 1 星题 夯实四基 7 返回 1 星题 夯实四基 8 返回 1 星题 夯实四基 9 返回 B 1 星题 夯实四基 10 返回 A 1 星题 夯实四基 11 返回 1 星题 夯实四基 12 1 星题 夯实四基 13 返回 1 星题 夯实四基 14 返回 1 星题 夯实四基 15 返回 D 2 星题 提升四能 16 返回 B 2 星题 提升四能 17 返回 D 2 星题 提升四能 18 返回 B 2 星题 提升四能 19 2 星题 提升四能 20 返回 2 星题 提升四能 21 2 星题 提升四能 返回 (2)若正方形的边长为a，且它的面积为9，求T的值。 2 星题 提升四能 3 星题 发展素养 ①②③ 3 星题 发展素养 3 星题 发展素养 3 星题 发展素养 返回 3 星题 发展素养 1．计算＋的结果为(　　) A. B. C. D. 2．计算－的结果为(　　) A．－1 B．0 C．－a D．a－2 3．计算－的结果为(　　) A．3 B．x C. D. 4．如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的是(　　) A. B. C．2 D．1 5．计算： (1)＋＝________； (2)[深圳中考]－＝________； (3)－＝________。 6．(16分)计算： (1)＋； (2)－； 解：原式＝＝＝。 原式＝＝＝－2。 (3)－； (4)＋。 解：原式＝＝＝＝。 原式＝＝＝a－2b。 7． (4分)[教材P136“习题5.2”第3题变式]先化简，再求值：－，其中x＝。 解：原式＝＝＝x2， 因为x＝，所以原式＝()2＝2。 8．[潍坊中考]计算＋的结果是(　　) A．1 B．－1 C．0 D. 9．[河南中考]化简－的结果是(　　) A．x＋1 B．x C．x－1 D．x－2 10．[达州中考]化简：－＝__________。 11．(8分)计算： (1)－； 解：原式＝＋＝＝＝m－n。 (2)＋。 解：原式＝－＝＝＝＝。 12．(4分)西工大附中模拟先化简，再求值：＋，其中a＝10，b＝25。 解：原式＝－＝＝＝2a＋b。当a＝10，b＝25时，原式＝2×10＋25＝45。 13．若□的运算结果为x，则在“□”中添加的运算符号为(　　) A．＋ B．－ C．＋或× D．－或÷ 14．化简＋的结果为(　　) A. B. C. D. 15．若a，b互为倒数，则分式＋的值为(　　) A．0 B．1 C．－2 D．－1 16．已知P＝，Q＝，其中a>b>0，则P，Q的大小关系是(　　) A．P＝Q B．P>Q C．P<Q D．不能确定 17．(8分)计算： (1)＋－； 解：原式＝＋－＝＝＝＝。 (2)＋－。 解：原式＝－－＝＝ ＝＝－。 18．(8分)已知T＝＋。 (1)化简T； 解： T＝＋＝＋＝ ＋＝＝＝。 解：由题意得a＝＝3，所以T＝。 19．(12分) 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“快乐分式”。如：＝＝＋＝1＋，则是“快乐分式”。 (1)下列式子中①；②；③；④，属于“快乐分式”的是________(填序号)； (2)求分式(x≥0)的最小值； 解：＝＝2－，要求原式的最小值x，则的值应最大，当x＝0时，取最大值，且最大值为6，所以2－的最小值为2－6＝－4。 (3)已知x为整数，求能使分式的值为整数的所有x值的和。 解：＝＝x＋1－＝x＋1－＝x＋1－4＋＝x－3＋。要使结果为整数，则为整数，所以x＋1＝±1或x＋1＝±3，所以x＝－4或x＝－2或x＝0或x＝2，所以满足条件的所有x值的和为－4－2＋0＋2＝－4。 $第五章　分式与分式方程 3分式方程 第2课时　解分式方程 1 C 返回 1 星题 夯实四基 2 返回 A 1 星题 夯实四基 3 返回 A 1 星题 夯实四基 4 返回 x＝2 1 星题 夯实四基 5 返回 1 1 星题 夯实四基 6 解：方程两边都乘(x＋1)(x－1)，得3(x－1)－(x＋1)＝0，解得x＝2， 检验：当x＝2时，(x＋1)(x－1)≠0， 所以x＝2是原方程的解。 1 星题 夯实四基 7 解：方程两边都乘2x－1， 得x－2－(2x－1)＝－1，解得x＝0， 检验：当x＝0时，2x－1≠0， 所以x＝0是原方程的解。 1 星题 夯实四基 8 返回 解：方程两边都乘(a－1)(a＋1)， 得2(a＋1)＝－(a＋4)，解得a＝－2， 检验：当a＝－2时，(a－1)(a＋1)≠0， 所以a＝－2是原方程的解。 1 星题 夯实四基 9 1 星题 夯实四基 10 (1)小丽的解题过程从第________步开始出错； (2)小丽的解题过程缺少的步骤是________； (3)请写出正确的解题过程。 返回 一 检验 解：去分母，得2x＋2－(x－3)＝6x，解得x＝1。 检验：当x＝1时，2x＋2≠0， 所以原分式方程的解是x＝1。 1 星题 夯实四基 返回 A 1 星题 夯实四基 12 返回 C 1 星题 夯实四基 13 返回 －2 1 星题 夯实四基 14 返回 A 2 星题 提升四能 15 返回 C 2 星题 提升四能 16 返回 B 2 星题 提升四能 17 返回 D 2 星题 提升四能 18 解：方程两边都乘(x－1)(x＋1)， 得－2＝2(x－1)－(x＋1)，解得x＝1， 检验：当x＝1时，(x－1)(x＋1)＝0， 所以x＝1是原方程的增根，所以原方程无解。 2 星题 提升四能 19 解：方程两边都乘x(x＋1)(x－1)， 得4(x－1)－3(x＋1)＝0，解得x＝7， 检验：当x＝7时，x(x＋1)(x－1)≠0， 所以x＝7是原方程的解。 2 星题 提升四能 20 返回 解：方程两边都乘(x－2)2， 得x(x－2)－(x－2)2＝4，解得x＝4， 检验：当x＝4时，(x－2)2≠0， 所以x＝4是原方程的解。 2 星题 提升四能 21 2 星题 提升四能 22 返回 2 星题 提升四能 3 星题 发展素养 24 3 星题 发展素养 25 返回 3 星题 发展素养 26 1．解分式方程＝时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是(　　) A．x B．x－3 C．x(x－3) D．(x－3)(3－x) 2．[湖南中考]将分式方程＝去分母后得到的整式方程为(　　) A．x＋1＝2x B．x＋2＝1 C．1＝2x D．x＝2(x＋1) 3．分式方程＝的解是(　　) A．x＝1 B．x＝－2 C．x＝ D．x＝2 4．[北京中考]方程＋＝0的解为________。 5．[西工大附中期末]若关于x的分式方程＝的解是x＝3，则m＝________。 6．(12分)解分式方程： (1)[浙江中考]－＝0； (2)[威海中考]－1＝； (3)＝。 7． (12分) 小丽解分式方程1－＝时，出现了错误，她的解题过程如下： 解：去分母，得1－x－3＝6x，……第一步 解得x＝－，……第二步 所以方程的解是x＝－。……第三步 8．若关于x的分式方程－＝2有增根，则增根为(　　) A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝－1 D．x＝0 9．已知关于x的分式方程－＝1有增根，则k的值为(　　) A．2 B．－2 C．－3 D．3 10．解方程－1＝时，产生增根x＝－1，那么k的值是________。 11．若关于x的分式方程＝5与方程＝3的解相同，则m的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 12.已知关于x的分式方程＋1＝的解是非负数，则m的取值范围是(　　) A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠－2 D．m<2且m≠－2 13. 在实数范围内规定a※b＝－，若x※(x＋2)＝，则x为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．3 14. [遂宁中考]若关于x的分式方程＝－1无解，则a的值为(　　) A．2 B．3 C．0或2 D．－1或3 15．(12分)解方程： (1)＝－； (2)－＝0； (3)－1＝。 16．(4分)如图，点A，B在数轴上(点A在点B的左侧)，它们所对应的数分别是和，且点A到原点的距离比点B到原点的距离多1，求x的值。 解：根据题意，得－－＝1， 解得x＝－。 经检验，x＝－是原方程的解， 所以x的值为－。 17．(12分) 先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程x＋＝2＋的解为x1＝2，x2＝； 方程x＋＝3＋的解为x1＝3，x2＝； 方程x＋＝4＋的解为x1＝4，x2＝； …… (1)观察上述方程的解，猜想方程x＋＝5＋的解是__________________； (2)根据上面的规律，猜想方程x＋＝a＋(a≥2)的解是____________； x1＝5，x2＝ x1＝a，x2＝ (3)根据上述规律，解方程：y＋＝。 解：原方程可变形为y＋1＋＝3＋.由题中规律，得y＋1＝3或y＋1＝。所以y1＝2，y2＝－。 $第五章　分式与分式方程 3分式方程 第1课时　分式方程的概念 1 C 返回 1 星题 夯实四基 2 2. 请利用代数式x＋2，x－4，1，5组成一个分式方程： _______________________。 返回 1 星题 夯实四基 3 返回 A 1 星题 夯实四基 4 返回 B 1 星题 夯实四基 5 5．[苏州一模]端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售。细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求每袋粽子的原价是多少元。设每袋粽子的原价是x元，则所列方程是 _____________。 返回 1 星题 夯实四基 6 2 星题 提升四能 7 根据此情境，题中“________”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是(　　) A．每尺绫布比每尺罗布贵120文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D．绫布的总价比罗布的总价便宜120文 C 返回 2 星题 提升四能 返回 ①②④ ①④ 2 星题 提升四能 9 8．如图是学习分式方程时，老师板书的问题和两名同学所列的方程。 2 星题 提升四能 10 下列判断：①小明设的未知数是特快列车的平均速度；②小红设的未知数是乘特快列车从甲地到乙地的时间。其中正确的是________。 返回 ① 2 星题 提升四能 11 1．[咸阳月考]下列式子是分式方程的是(　　) A.x＝1 B．2y＝x－3 C.＝2 D.＝2 ＝(答案不唯一) 3．[深圳中考]某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵树比原计划少了3棵。若设原计划人数为x人，则下列方程正确的是(　　) A.－＝3 B.－＝3 C.＝2× D.＝2× 4. DeepSeek掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用DeepSeek研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据。已知R2单独处理数据的时间比R1少2 h，若两模型合作处理，仅需1.5 h即可完成。设R2单独处理需要x h，则下列方程正确的是(　　) A.＋＝1.5 B.＋＝ C.＋＝1.5 D.＋＝ －＝10 6. 我国古代数学名著中记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，________。”其大意为：“现在有绫布和罗布共3丈(1丈＝10尺)，已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，________。”设绫布有x尺，则可得方程120－＝。 7．某工地调来144人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调配劳动力，才能使挖出来的土能及时运走且不窝工(停工等待)？设派x人挖土，其他人运土，下列所列方程：①＝；②144－x＝；③x＋3x＝144；④＝3。其中正确的是________，这些正确的方程中，是分式方程的是________。(填序号) 甲、乙两地相距1 400 km，乘高铁从甲地到乙地所用时间比乘特快列车少用9 h，已知高铁的平均行驶速度是特快列车的2.8倍。 小明：－＝9。 小红：＝2.8×。 $第五章　分式与分式方程 2分式的运算 第4课时　分式的混合运算 1 D 返回 1 星题 夯实四基 2 返回 C 1 星题 夯实四基 3 返回 2 1 星题 夯实四基 4 返回 4．[教材P135“尝试·思考”变式]某食堂有大米m kg，原计划每天用米a kg，现因部分员工外派每天少用b kg(b＜a)，这批大米可比原计划多用________天。 1 星题 夯实四基 5 1 星题 夯实四基 6 1 星题 夯实四基 7 返回 1 星题 夯实四基 8 B 返回 1 星题 夯实四基 9 返回 A 1 星题 夯实四基 10 1 星题 夯实四基 11 1 星题 夯实四基 12 返回 1 星题 夯实四基 13 返回 1 星题 夯实四基 14 返回 2 1 星题 夯实四基 15 返回 1 星题 夯实四基 16 返回 A 2 星题 提升四能 17 返回 ② 2 星题 提升四能 18 2 星题 提升四能 19 (1)上面的解答过程从第________步开始出现错误； (2)此题的正确结果是________。 一 返回 2 星题 提升四能 20 2 星题 提升四能 21 2 星题 提升四能 返回 2 星题 提升四能 2 星题 提升四能 24 返回 2 星题 提升四能 1．计算＋＋正确的是(　　) A. B. C. D. 2．[陕西师大附中期中]计算1－的结果是(　　) A．0 B. C. D. 3．[湖北中考]计算－x的结果是________。 5．(12分)计算： (1)－； 解：原式＝－＝＝＝。 (2)－a＋1； 解：原式＝－(a－1)＝－＝ ＝。 (3)＋－。 解：原式＝＝＝。 6．计算·＋的结果是(　　) A．0 B．1 C．a D．a－1 7．化简÷的结果是(　　) A. B. C. D. 8．(12分)计算： (1)÷； 解：原式＝·＝。 (2)÷－； 解：原式＝·－＝－＝＝1。 (3)[江西中考](＋)÷。 解：原式＝[＋]÷ ＝·＝。 9．当x＝3时，式子－的值为________。 10．[教材P135“例8”变式]已知＝3，则－＋的值为________。 11．(4分)苏州中考先化简，再求值：·，其中x＝－2。 解：原式＝·＝·＝， 当x＝－2时，原式＝＝2。 12．[西安铁一中期末]已知A为整式，若计算－的结果为，则A＝(　　) A．x B．y C．x＋y D．x－y 13.若x为正整数，则表示÷的值的点落在如图所示的区域________(填序号)。 14．如图是某同学化简式子÷(a－)的部分解答过程： 解：原式＝÷a－÷第一步 ＝·－·第二步 ＝－第三步 …… 15．(4分)[教材P137“习题5.2”第5题变式]用两种方法计算：÷。 解：(方法一)原式＝[－]÷ ＝·(a＋1) ＝·(a＋1)＝。 (方法二)原式＝·(a＋1) ＝·(a＋1)＝－＝＝。 16．(4分) 先化简，再求值：÷，其中x满足x2－2x－1＝0。 解：原式＝· ＝·＝· ＝＝。因为x2－2x－1＝0， 所以x2－2x＝1，所以原式＝。 $