精品解析：江苏镇江市扬中市第二高级中学等校2025-2026学年第二学期高一期中质量监测数学试卷

2025～2026 学年第二学期镇江市实验高级中学 高一期中质量监测 数学试卷 注意事项： 1 ．本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色墨 水的签字笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡的规定位置. 2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的选项的方框涂满、 涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3 ．回答第Ⅱ卷时，须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡指定位置上作答，在其它位置作 答一律无效. 第I卷 （选择题，共 58 分） 一、单选题 1. 在复平面内，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知分别为三个内角所对的边，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 3. 如图所示，在中，是线段上的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 4. 设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为2 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于对称 7. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知复数，则（　　） A. 的虚部为 B. C. D. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 10. 设向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若与的夹角为钝角，则 B. 的最小值为9 C. 与共线的单位向量是 D. 若，则 11. 在中，，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A. 边上的高为 B. C. D. 边上的中线为 第Ⅱ卷 （非选择题，共92分） 三、填空题 12. 已知，i为虚数单位，且，则___________. 13. ______. 14. 如图，在梯形中，，，，，， （1）________． （2）P是上的动点，则的最小值为___________． 四、解答题 15. 已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，且，求与的夹角． 16. 在中， （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 17. 已知，求 （1）的值； （2）的值. 18. 某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段长为4百米，，都设计在以为直径的半圆上．设． （1）现要在四边形内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大，最大面积为多少； （2）为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段，和组成，若，则当为何值时，栈道的总长最长，并求的最大值（单位：百米）． 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数． （1）设函数，试求的伴随向量； （2）记向量的伴随函数为，在中，，，求的值； （3）记向量的伴随函数为，函数，函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数，若，求函数的值域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026 学年第二学期镇江市实验高级中学 高一期中质量监测 数学试卷 注意事项： 1 ．本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色墨 水的签字笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡的规定位置. 2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的选项的方框涂满、 涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3 ．回答第Ⅱ卷时，须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡指定位置上作答，在其它位置作 答一律无效. 第I卷 （选择题，共 58 分） 一、单选题 1. 在复平面内，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 2. 已知分别为三个内角所对的边，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，结合三角形边角关系即可求出角. 【详解】由正弦定理，，可得， 因，则，故. 故选：A. 3. 如图所示，在中，是线段上的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件得出，利用平面向量的减法化简可得出关于、的表达式. 【详解】在中，是线段上的靠近的三等分点，则， 即，解得. 4. 设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理计算即可. 【详解】由共线向量定理可知存在实数，使得， 即，又与是不共线向量， 所以解得. 故选：B． 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 6. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为2 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于对称 【答案】C 【解析】 【分析】由，根据三角函数图象性质结合选项一一判断即可． 【详解】由 对A项的最小正周期为，故A错； 对B项的最大值为，故B错； 对C.项当时，有，因为在上单调递增， 所以在区间上单调递增正确； 对D.项，当时，有，所以不是的对称轴，故D错． 故选：C 7. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意得出；再利用正弦定理、三角恒等变换和同角三角函数基本关系对三角形面积公式进行化简变形得出；最后结合即可得出结果. 【详解】因为在中， ，， 所以. 又因为为锐角三角形， 所以，解得. 又因为， 所以由正弦定理可得：， 由三角形面积公式可得： . 又因为， 所以， 则. 故，即. 所以面积的取值范围是. 故选：B. 二、多选题 9. 已知复数，则（　　） A. 的虚部为 B. C. D. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复数的乘法求出，再逐项求解判断. 【详解】复数， 对于A，的虚部为，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，复数在复平面内对应的点位于第四象限，D正确. 故选：ABD 10. 设向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若与的夹角为钝角，则 B. 的最小值为9 C. 与共线的单位向量是 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，由向量与的夹角为钝角，得，解得，A正确； 对于B，，当且仅当取到等号，B错误； 对于C，与共线的单位向量有两个，为，C错误； 对于D，由，得，解得，D正确. 11. 在中，，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A. 边上的高为 B. C. D. 边上的中线为 【答案】ABD 【解析】 【分析】过点C作于点D，由条件结合投影向量定义可得，解三角形求，再求边上的高，判断A，利用余弦定理求，结合同角关系求，判断B，根据数量积定义求判断C，设的中点为，由关系两边平方，结合数量积运算律求边上的中线，判断D. 【详解】如图，过点C作于点D， 则向量在向量上的投影向量为， 由已知，所以， 设，则，又，所以，所以， 在中，，又，所以， 所以，，，所以， 在中，易得， 所以边BC的高为，故选项A正确； 在中，由余弦定理的推论得， 又因为， 所以，故选项B正确； ，故选项C错误； 设的中点为，则， 所以， 则，故选项D正确， 故选：ABD. 第Ⅱ卷 （非选择题，共92分） 三、填空题 12. 已知，i为虚数单位，且，则___________. 【答案】0 【解析】 【分析】利用复数相等列方程组求解. 【详解】因为，则， 故答案为：0. 13. ______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式计算，整理即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 14. 如图，在梯形中，，，，，， （1）________． （2）P是上的动点，则的最小值为___________． 【答案】 ①. 4 ②. 11 【解析】 【分析】（1）根据图形，应用数量积的定义求即可. （2）令且，将转化为，结合数量积的运算律得到关于的函数，即可求最小值. 【详解】（1）由题设知：. （2）若且， ∵，， ∴， ∴， 故当时，的最小值为11. 故答案为：4，11. 四、解答题 15. 已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，且，求与的夹角． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设向量的坐标，由模的坐标表示，及向量平行的坐标表示列得关于的方程组，求解可得向量的坐标； （2）由数量积的运算律及向量夹角公式可得. 【小问1详解】 设，由，且， 得 所以或 故或； 【小问2详解】 因为，，且， 所以，即. 所以， 即. 因为夹角，所以与的夹角． 16. 在中， （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再结合诱导公式即可求解； （2）由三角形面积公式结合余弦定理，即可解得各边长，进而求得的周长. 【小问1详解】 由正弦定理得， 因为，则， 则， 因为，所以， 则有，解得，则. 【小问2详解】 由题意得，其中， 则，解得， 由余弦定理得， 因为，则， 则的周长为. 17. 已知，求 （1）的值； （2）的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由， ，， 即，，又 即 【小问2详解】 易知，，则，又 从而，，由（1）知 又，，从而, 则 从而 18. 某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段长为4百米，，都设计在以为直径的半圆上．设． （1）现要在四边形内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大，最大面积为多少； （2）为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段，和组成，若，则当为何值时，栈道的总长最长，并求的最大值（单位：百米）． 【答案】（1）当时，郁金香种植面积最大，最大面积为 （2）当时，栈道的总长最长，的最大值为6百米. 【解析】 【分析】（1）求出利用三角形的面积公式可得四边形ABCD关于的函数，利用三角函数的恒等变换可以得到“一角一函”的形式,然后根据角的范围利用正弦函数的性质可求得面积最大值； （2）利用余弦定理求得关于的三角函数，相加可求出关于的三角函数表达式，利用二倍角公式和换元思想转化为二次函数的最值，进而求解. 【小问1详解】 ∵线段长为4百米，所以圆的半径为2百米，即， 当时，由三角形的面积公式得： ， ，， ，当，即时取等号， 即当时，郁金香种植面积最大，最大面积为. 【小问2详解】 因为，所以，， 由余弦定理得：，， ， 令，∵，∴， ， ，即时，的最大值为6. 故当时，栈道的总长最长，的最大值为6百米. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数． （1）设函数，试求的伴随向量； （2）记向量的伴随函数为，在中，，，求的值； （3）记向量的伴随函数为，函数，函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数，若，求函数的值域． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先化简函数，然后结合伴随向量的定义可得答案； （2）先求，结合三角形的性质及差角公式可得答案； （3）先根据区间及正弦函数的性质确定，再结合值域求法可得答案. 【小问1详解】 ， 所以． 【小问2详解】 由题意，得． 所以，又C为的内角，所以． 因为，所以，所以． 所以． 【小问3详解】 由题意，得，故， ∵，∴， 在上单调递增，在上单调递减，且， 所以，， 此时，； ∵，∴，∴， 即可得函数的值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $