湖北鄂东南联盟2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

2026年春季高二年级期中考试 数学参考答案 题号 1 3 4 5 6 1 8 9 10 11 答案 B B C A B D ABD ACD ABD 12.4 13.102-1 14.[ 8. 解析：x∈1，+o),fx)=xn2x-上ax2+2x<0 即n2x-ax+2<0恒成立 >血'x+2=M),AW)=2血x=hx=2<0 2 x2 .h()在(1，+oo)单减， ∴.h(x)<h1)=2 .a≥2，即a≥4. 2 f(x)=In2x+2Inx-ax+2=g(x) g()=-2血x+2-ax 令m(x)=2nx+2-ax m'(6)=2-a<0 ∴.(x)在(1，+o)单减 ∴.(x)<(1)=2-a<0 .g(x0,则f(x)在(1，o)单减 .f'(x)∈(-o,2-a） .2(2-a)>-6→a<5 综上，a∈[4,5) 11.解析：A:PR-P=RH-F,H|=,+c)e-x,)=2x,=2a， .x1=a B:延长F,D交PF1于M,则PM=PF ∴.2PF-PF=MF1,且D为Mf中点 又O是FF2中点 OD-MMFiFa. ∴.D在以O为圆心，以a为半径的圆上运动. 2026年春季高二年级期中考试数学参考答案（共6页)第1页 C:设P(o,yo)xo>a,yo>a,则有PF=exo+a,|PF2=exo一a 设内切圆半径为r(>0),则%=b(停-)，r1+2月0 2=bx。-0<b xo+a ∴.Or=+2<2+b2=c2 ∴.OI<c D:=a=g=手=w3a,w-25b PFl=exo+a=C.3a+a=3cta 同理PF2=3c-a cw是0-43a 3 14.解析：设切点分别为P1(x,lnx1+1),P2(x2,ax22) :.1o:y-(lnx+1)=1(x-x)=y=x+ ∴.1m:y-22=22x-x2)→y=2ax2x-ax22 -2a,一-=x2hx0 .1 x1=-ax,2 hx)=x2Inx.hr'(x)=2x(lnx+1) 21 ∴hx)在(0，e)单减，在(ei,+o)单增 =ie)=去 又a为正实数 ae[号+） 15.解析：（1)aa-a,+a1=0→a.-aa=a,→1-1=1 an+1 an 1是以1为首项，1为公差的等差数列： a .1=1+n-1=n an a (6分) 2026年春季高二年级期中考试数学参考答案（共6页)第2页 $$\left( 2 \right) b _ { n } = \frac { n + 2 } { n \left( n + 1 \right) ^ { n } } = \frac { 1 } { n \cdot { 2 ^ { n - 1 } } } - \frac { 1 } { \left( n + 1 \right) 2 ^ { n } }$$ $$\therefore S _ { n } = 1 - \frac { 1 } { \left( n + 1 \right) ^ { n } } .$$ (13分) 6.解析：( $$\left( 1 \right) \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { \frac { 1 } { 2 } } = 1$$ (4分 (2)设1：x= $$l ： x = m y + \frac { \sqrt 6 } { 2 } ， A \left( x _ { b } ， y _ { 1 } \right) ， B \left( x _ { 2 } ， y _ { 2 } \right)$$ 联立椭圆C的方程得： $$\left( m ^ { 2 } + 4 \right) y ^ { 2 } + \sqrt 6 m y - \frac { 1 } { 2 } = 0$$ $$y _ { 1 } + y _ { 2 } = \frac { - \sqrt 6 m } { m ^ { 2 } + 4 }$$ $$y _ { 1 } y _ { 2 } = \frac { - \frac { 1 } { 2 } } { m ^ { 2 } + 4 }$$ (8分 $$\therefore S = \frac { 1 } { 2 } \sqrt 6 ， | y _ { 1 } - y _ { 2 } | = \frac { \sqrt 6 } { 2 } \sqrt { \left( U _ { 1 } + y _ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 y _ { 1 } y _ { 2 } } = 2 \sqrt 3 \cdot \frac { \sqrt { m ^ { 2 } + 1 } } { m ^ { 2 } + 4 }$$ (10分) $$t = \sqrt { m ^ { 2 } + 1 } = 1 ， s = 2 \sqrt 3 \cdot \frac { t } { t ^ { 2 } + 3 } = \frac { 2 \sqrt 3 } { t + \frac { 3 } { 2 } } \le \frac { 2 \sqrt 3 } { 2 \sqrt 3 } = 1$$ (13分) 当 $$t = \sqrt 3 ，$$ 即 $$m ^ { 2 } = 2 ， m = \pm \sqrt 2$$ 时取等. (15分) 17.解 解析：( $$\left( 1 \right) f ' \left( x \right) = 2 x - a - \frac { a } { x } = \frac { 2 x ^ { 2 } - a x - a } { x } \left( x > 0 \right)$$ 令 $$h \left( x \right) = 2 x ^ { 2 } - a x - a ，$$ 当 a≤0 时， -ax≥0，-a≥0， ，故 h(x)>0， ，即 f'(x)>0， f(x)在 (0，+∞) 单增，即 f(x) 单调增区间为 (0，+∞)， ，无单调递减区间 ； (3分) 当 a>0 时，令 h(x)=0， ，则x $$x _ { 0 } = \frac { a + \sqrt { a ^ { 2 } + 8 a } } { 4 }$$ ( (负根舍去)， $$x \in \left( 0 ， x _ { 0 } \right)$$ 时， f'(x)<0， $$x \in \left( x _ { 0 } ， + \infty \right)$$ 时， f'(x)>0， 故 f(x) 单调递减区间为 $$\left( 0 ， \frac { a + \sqrt { a ^ { 2 } + 8 a } } { 4 } \right.$$ ，单调递增区间为 $$\left( \frac { a + \sqrt { a ^ { 2 } + 8 a } } { 4 } ， + \infty \right) .$$ (6分) (2)当 a>0 时， f(x) 在 $$\left( 0 ， x _ { 0 } \right)$$ 递减， $$\left( x _ { 0 } ， + \infty \right)$$ 递增，最小值为 $$f \left( x _ { 0 } \right) ，$$ $$\left\{ \begin{array}{l} f ' \left( x _ { 0 } \right) = 0 \\ f \left( x _ { 0 } \right) = 0 \end{array} \right.$$ 即 $$2 x _ { 0 } ^ { 2 } - a x _ { 0 } - a = 0$$ (9分 $$x _ { 0 } ^ { 2 } - a x _ { 0 } - a \ln { x _ { 0 } } = 0$$ 2x，=a(x，+1) x=a(x，+nx) 得2lx，+x-1=0， $$2 \ln { x _ { 0 } } + x _ { 0 } - 1 = 0 ，$$ 2026年春季高二年级期中考试 数学参考答案(共6页)第3页 令g(x)=2lnx+x-1,g(x)在(0，+n)单增，且g(①=0， (12分) ,=1,故a=2-1 (13分) x0+1 验证：当1时，xo=1,f1)=0,此时f(x)在(0,1)递减，（1，o)递增，最小值为0，故仅 有1个零点 综上，存在正实数1，使得f(x)仅有一个零点. (15分) 18.解析：（1)y2=x. (3分) (2)（i)设O.(xm,0),则⊙On:(x-xn)2+y2= -+=片x+-2x灯+-=0，A=Q-2x广-4k2-=0,化简得2=号 [y2=x (5分) 2-12=x。-x1=(01t), .万--1=1， (7分) =s分居 2 x=1+1 ·{}是以多为首项，1为公差的等差数列，=n+ (11分) 2 (i）=+a++++分 (12分) 24 On(K,0),故1：=x一xm与y2=x联立得：x2-(2xn+1)x+xn2=0 :w+w=2,+1 X=x2 MW=V2w-x=V2·VGw+xw)2-4xxy=V2V2x,+1)2-4x2=反4x+1=115, x,=181 (15分) 2 又x=n2+n+1,解得9. (17分) 2 19.解析：(1)f(x)=x3+ax2-a2x+c,f(x)=3x2+2ar-a2=(x+a)3x-a) 当a>0时，f()在(-∞，一单增，（一a)单减，（受，+o)单增， 当O时，f(x)在R上单增， 当a<0时，f)在(-0，)单增，(？，一④单减，（一4+o)单增。 (4分) (2)f()=3x+2ax+b,则为方程3x2+2ax+b=0的两实根，且+x=-名a 31 2026年春季高二年级期中考试数学参考答案（共6页)第4页 设f(x)=f(m)(m味x1) f(x)-f(m)=x3+ax2+bx+c-fm)=(x-x)(x-m),方程两边x2的系数相等，得到F一一2x1 F-2x1-4e3,-支 (7分) 2 同理，设f(x,)=f(n) f(x)-f(n)=x+ax2+bx+c-f(n)=(x-x,)'(x-n) ∴.cF-n-2x2 F-2x2-3- 2 n x x2 m 由y=f,)与y=f)有3个交点，o∈(3立，x)U,U23五).(11分) 2 (3)f(x)=x3+ax2-(a-1)2=(x-x-x-) a+B+y=-a 哪+叫+ag=0,故L+卫+之=2+B+y-a2 3 By ay aB aBy (a-10221 9y=(a-1)2 解得a∈(3-√，1)U(1,3+√6). (14分) 又f)=x+ax2-(a-=0有三个不等实根，f()=3x2+2ax=3x(+) 又a为正实数，故f()在(-∞号)单增，在(-号，0)单减，(0+)单增 :r学-0，解得a心且a3,综上ae(得u4,)u6,36 ,(17分) f(00 2026年春季高二年级期中考试数学参考答案（共6页)第5页 2026年春季高二年级期中考试 数学参考答案（共6页)第6页2026年春季高二年级期中考试 数学试卷 考试时间：2026年4月22日下午15：00-17：00试卷满分：150分 一、单项选择题：本题共8小愿，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 l.若曲线=xlnr在点(xo,xolnxo)处的切线与直线3x一y+1-0平行，则xo=（() A.e B.e2 c.1 D. 2.已知数列(a.}满足a,=1,a1=2+3,则a,=() A.31 B.61 C.63 D.127 3.已知等比数列{a}的前n项和为Sn,若S=7,S6=63,则Sg=() A.448 B.567 C.511 D.630 年.设0为坐标原点，F,乃是三-卡=1o>06>0)的左、右焦点，若在双曲线上存在点户，满足 △FiPF3的面积为√2b2,OP=2a,则该双曲线的离心率为（) A. B.0 C.2 D.2 2 5.某学校安排5名学生到3个社区进行志愿服务，每名学生只去1个社区，每个社区至少有1名 学生，则不同的安排方法共有()种 A.60 B.90 C.150 D.240 6.已知等差数列{a,),b}的前n项和分别为3.，T,且三=n+出，则，a+a。的值为() T。2n-1 bs+b bs+b A B.子 c. D.5 7.已知椭圆C:等+卡1(>0,6>0)的左右焦点分别为，月，离心丰e=号，且椭圆过点 2 P(1,受)，过点户的直线1与椭盟C交于B两点1在x轴上方)，且满足丽=2丽，则 △FAB的面积为() A.54 B.514 C.34 D.34 4 8 4 8 2026年春季高二年级期中考试数学武卷（共4页）第1页 H 8. 已知函数f=xn'x-a2+2x,∫)是f四的导函数，若对任意x∈(L,o),f<0恒成 2 立，且存在x1,∈(1，+四)(x),使得∫)+∫(3)=一6，则实数a的取值范围是（) 平 A.（-m,3】 B.[片) C.[4.5) D.[5,to) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列命题正确的是（) A.若f(x)=x5inx+cosx,则∫x)=xcosx B.设函数/因=，则因的最大值为 2e C.已知函数/因=号则四的最小值为 D.设函数/因的导函数为/因，且/因=+3时+血x,则/)=是 10. 设等比数列{a.}的公比为g,其前n项和为S。,前n项积为T·且0<a<l,aa>1, -1<0,下列结论正确是（) 0a4-1 A.S<S B.ddm1<0 C.T是数列（工}中的最小值 D.数列{红)无最大值 1山.双曲线号-卡=1o>06>0,0是坐标原点，F,乃分别是双曲线的左右焦点，P化0是双曲 线在第一象限内的一点，，G分别是△PFF的内心、重心，则下列说法正确的是() A.I的横坐标为a B.作FD⊥PI于D,则D在因上运动 C.o川的最大值为c D.若1Gy轴，且PF=PF,则e-月 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 2,若椭圆C:+若61上一点到C的两个焦点的距离之和为2m,则服 13.己知数列满足a=10,a1=10a.2,则a.= 14.若两曲线=m+1与=a存在公切线，则正实数a的取值范围是 2026年春季高二年级期中考试数学试卷（共4页)第2页 四、解答愿：本愿共5小愿，共7分.解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤. 15.(本小愿13分) 己知数列(a)满足a=1、且aa-a,+a=0. (1)求数列(a)的通项公式： (2)设6，=a+,求数列6)的前n项和5 (n+0-2 16.(本小愿15分) 已知桶圆C:等+茶=1(o>6>0)的商心串e=号，且椭圆C过点P(山，.左， 分别为F,F (1)求圆C的标准方程： (2)过点万作直线I与怖圆C交于A,B两点，求△FAB面积的最大值. 17.(本小愿15分) 己知函数∫(x)=x-匹-a山x. (1)求函数()的单调区间： (2)是否存在正实数a,使得()有且仅有一个零点？若存在，求出口的值：若不存在 由 2026年春季高二年垃期中考试数学这卷（共4页)第3页 18.(木小愿17分) 州 已知O0:+少=l,抛物线C:广=2πp>0)的准线与⊙o,交于小，B两点，且8l= 2 (1)求抛物线C的方程： (2)已知圆心在x轴上，半径为r.(n∈N,)的⊙O.与⊙O.-1外切，且⊙O.与抛物线C有且仅 有两个公共点 ()证明：数列（小为等差数列，并求其通项公式： (i)过O作斜率为1的直线，交抛物线C于M,N两点，且W=1W后，求n的值 右焦点 19.(本小题17分) 设函数f)-r+am+h+c,x∈R,a,b,c∈R (1)当b一c2时，讨论函数fx)的单调区间： (2)若y=)存在两个极值点，，且x<n,y=∫红)与y=x)有3个不同交点.求 的取值范围（用x,表示）： (3)若60，=一(a-1,回)0有三个不等实数a,B,且g+卫+工>2，求实数a的 ma吖ap2 取值范围. 说明理 2026年春李高二年圾期中考试处车试卷（共4页）第4页