精品解析：浙江杭州市杭州中学2025-2026学年下学期八年级阶段性综合练习数学试题

杭州中学2025学年第二学期初二阶段性综合练习数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列人工智能App图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故B选项符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列二次根式的计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算规则与性质，根据二次根式的加减法则、乘除法则和被开方数的非负性，逐一判断选项即可求解． 【详解】解：对选项A，，A错误． 对选项B，与不是同类二次根式，不能合并，结果不等于，B错误． 对选项C，二次根式的被开方数必须为非负数，和无意义，正确运算为，C错误． 对选项D，，符合二次根式的除法法则，D正确． 3. 用配方法解方程，配方后可得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，利用配方法，将方程左边配成完全平方形式即可． 【详解】解：∵， ∴， 配方得， 即 ． 故选：C． 4. 对于命题“如果，那么”用反证法证明，应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用反证法证明命题时，应假设结论的否定成立，再由此推出矛盾． 【详解】解：由反证法可知，应假设． 5. 下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可． 【详解】解：A.，则，， ，， ，但， 与不平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C.，，两组对边分别相等，可以判定四边形为平行四边形，故本项符合题意； D.，，且，可得， ，只有一组对边平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意． 故选：C． 6. 体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（ ） A. 八（1）班跳绳次数更集中 B. 跳绳次数最小值出现在八（2）班 C. 两个班级跳绳次数的中位数相等 D. 八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了箱线图的概念，需理解箱线图的构成及表示含义，再逐一分析各个选项即可． 【详解】解：A项：箱线图中，数据的“集中程度”看箱体的宽度，箱体越窄，数据越集中， 在八（1）班和八（2）班中，1班的箱体宽度为，2班的箱体宽度为， ∵， ∴八（2）班跳绳次数更集中，故A错误； B项：箱线图中，最下端点是数据的最小值， 对比1班和2班的最下端点，1班最下端点是136，2班最下端点是152， ∵， ∴1班的最小值更小，而非2班，故B错误； C项：箱线图中，中间的线代表中位数， 对比1班和2班的中位数，1班中位数是165，2班中位数是172， ∵， ∴两个班的中位数不相等，故C错误； D项：判断“整体水平”可看中位数，中位数代表数据的中间水平，中位数越高，整体水平越高， 对比1班和2班的中位数，明显2班的中位数高于1班的中位数， ∴2班的跳绳次数整体比1班的好，故D正确． 7. 北方的冬天已经迎来了冬雪．为了方便通行，同学们将教学楼前的矩形空地清扫出宽度相同的通道（如图阴影部分为通道），保留了3块积雪活动区．已知矩形空地的长为，宽为，通道面积是整个矩形空地面积的．若设通道的宽为，则根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通道的宽为，根据题意，得，解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设通道的宽为，根据题意，得， 故选：D． 8. 如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB=∠BDF=∠DBC，由三角形的外角性质求出∠BDF=∠DBC=∠DFC=20°，再由三角形内角和定理求出∠A，即可得到结果． 【详解】∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， 由折叠可得∠ADB=∠BDF， ∴∠DBC=∠BDF， 又∠DFC=40°， ∴∠DBC=∠BDF=∠ADB=20°， 又∵∠ABD=48°， ∴△ABD中，∠A=180°-20°-48°=112°， ∴∠E=∠A=112°， 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出的度数是解决问题的关键． 9. 有两个关于x的一元二次方程：，，下列四个结论中，错误的是（ ） A. 如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根 B. 如果方程M的两根符号异号，那么方程N的两根符号也异号 C. 如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D. 如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、方程解的定义，逐个判断选项，找出错误结论． 【详解】解：选项A：∵方程有两个不相等的实数根， ∴ 方程的判别式， ∴方程也有两个不相等的实数根，A结论正确，不符合题意． 选项B：∵方程两根符号异号， ∴由根与系数的关系得两根之积，即． 方程两根之积为，由得， ∴方程的两根符号也异号，B结论正确，不符合题意． 选项C：∵是方程的一个根， ∴代入得． 两边同时除以得，， ∴满足方程，即是方程的一个根，C结论正确，不符合题意． 选项D：设是方程和相同的根， 则，整理得 若，可得，解得，即相同根可以是或；若，则两个方程完全相同，所有根都相同． 因此这个根不一定是，D结论错误，符合题意． 10. 如图，为的对角线，，于点E，于点F，、相交于点H，直线交线段延长线于点G，下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的结论有（ ） A. ①②③④ B. ①④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的边角关系，全等三角形的判定与性质，综合性强．根据题目已知条件，结合所给结论，逐一判断即可． 【详解】解：对于结论①：∵于点E，于点F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故①正确； 对于结论②：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故②错误； 对于结论③：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，且，， ∴， ∴． 故③错误； 对于结论④：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵于点E，于点F， ∴， 由①可知，， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故④正确； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一个多边形的内角和是外角和的5倍多，则这个多边形的边数为________ 【答案】13 【解析】 【分析】设多边形的边数为，根据多边形内角和定理及多边形的外角和为，结合题中等量关系列出一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得：， 解得． 12. 数据，，，，，，，，，的离差平方和是________，方差是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】数据，，，，，，，，，的平均数是， 离差平方和是； 方差是． 13. 如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，已知迎水坡，坝顶宽，则坝底为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，涉及勾股定理，设，根据坡度的概念用表示出，根据勾股定理求出，再根据坡度的概念求出，计算即可得到答案．熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】解：设， ∵迎水坡的坡比为， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， ， 解得或（负值舍去）， ∴， 四边形为矩形， ∴， ∵背水坡的坡比为， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，将绕点O逆时针旋转得到，，若恰好经过点A，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质得出，，从而得到，再求出，结合求出，由三角形内角和定理求得度数，作于点F，在和中，利用直角三角形的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得：、、， ， ， ， ∴， ， ， 如图，作于点F， 在中，、， ， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 15. 将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知，可用“降次法”求得的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将化为，再逐步代入代数式进行求值即可． 【详解】解： ． 16. 如图所示，平行四边形中，点、分别是、的中点，，，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交的延长线于M，过点E作于N，先证明，得到，再证明是等边三角形，得到；求出，得到，则可得到；根据线段的和差关系求出，则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：延长交的延长线于M，过点E作于N， ∵E为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵点F为的中点， ∴； 在中，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先计算乘除，再化简二次根式即可； （2）先计算乘法公式，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 选择合适的方法解一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本步骤，是解题的关键． （1）用因式分解法，解一元二次方程即可； （2）用因式分解法，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 19. 如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上． （1）如图1，画与关于点O的中心对称的图形； （2）如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形； （3）如图3，画一个以为对角线，且面积为9的平行四边形． 【答案】（1） 如图所示：即为所求； （2）如图所示：四边形即为所求； （3）如图所示：四边形即为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查了作图−应用与设计作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据中心对称图形的作法直接作图即可； （2）以为边，作底边为4的平行四边形即可； （3）以为边，作底边为3的平行四边形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ． 20. 在“书香进校园”读书活动中，为了解学生课外读物的阅读情况，随机调查了部分学生的课外阅读量．绘制成不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），其中条形统计图被墨汁污染了一部分． （1）条形统计图中被墨汁污染的人数为_____人． （2）求被抽查到的学生课外阅读量的平均数和中位数； （3）随后又补查了名学生，若已知他们在本学期阅读量都是10本，将这些数据和之前的数据合并后，发现阅读量的众数没改变，求的最大值． 【答案】（1）4 （2）；9 （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图、条形统计图、中位数及众数，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想解答． （1）由扇形统计图和条形统计图可知读9本课外读物的人数8且占，可以求出抽查的总人数，进而可求解； （2）根据平均数的算法及中位数的算法即可作答； （3）先确定原来阅读量的众数为9本，再根据阅读量的众数没改变，列不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：（人）， （人）， 即条形统计图中被墨汁污染的人数为4人； 【小问2详解】 解：由统计图可得平均数为（本）， 被调查同学阅读量的平均数为8.7本， 该部分学生阅读量从小到大排序后第10个和第11个均为9本， 阅读量的中位数为（本） 【小问3详解】 解：原来阅读量的众数为9本， ， 解得：， 为正整数， 的最大值为3． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解分式方程，完全平方公式，解不等式等，解题的关键是掌握以上定义和运算法则． （1）利用根据的判别式列出不等式，然后求解即可； （2）利用根与系数的关系列出代数式，利用完全平方公式进行整理化简，然后求解分式方程即可． 【小问1详解】 解：方程有两个不相等的实数根， 且， 解得， 的取值范围为且； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得，，， ， 即， 解得或， 经检验，，都是原分式方程的解， 由（1）可得，且 ． 22. 如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，． 点，分别为，的中点， ，． 又， ． 又， 四边形是平行四边形． 与互相平分， ； （2）5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，解答本题的关键是明确有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）连接、，证四边形是平行四边形即可． （2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质，求得长即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：在中， 为的中点，， ． 又四边形是平行四边形， ． 23. 某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2022年每辆汽车的日租金为100元，到2024年每辆汽车的日租金上涨到144元． （1）求2022年至2024年该款汽车日租金的年平均增长率． （2）经市场调研发现，从2024年开始，当每辆汽车的日租金定为144元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆． ①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出_______辆车．（均用含x的代数式表示） ②已知该汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用34元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达27400元？（日收益=总租金-各类费用） 【答案】（1） （2）①；；②元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，理解题意是解题关键． （1）设平均增长率为，根据题意列出方程求解即可； （2）①根据题意列出代数式即可； ②利用日收益==总租金−-各类费用，可列出一元二次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：设平均增长率为，则， ，（舍）． ∴平均增长率为； 【小问2详解】 ①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，则每辆汽车的日租金为元，实际能租出辆车， 故答案为：；； ②， ，（舍）， ∴每辆汽车的日租金上涨70元． 24. 如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． （1）请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）请问是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）若点关于直线对称的点恰好落在直线上，则________． 【答案】（1）或 （2）存在， （3）或 【解析】 【分析】（1）可证明和是以、、、为顶点的平行四边形的一组对边；当点在点左侧时，则四边形是平行四边形，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形，据此根据平行四边形的性质讨论求解即可； （2）求出，得到；由平行四边形的性质和平行线的性质可得，可证明，则可推出，根据建立方程求解即可； （3）分两种情况：点在点左侧和点在点右侧，分别画出示意图，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴和是以、、、为顶点的平行四边形的一组对边； 如图所示，当点在点左侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； 【小问2详解】 解：存在，使得 ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，设交于点O， 由题意得，， 同理可得， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 如图所示，当点在点左侧时，设点的对应点为， 由对称性可得， ∴是等边三角形， ∴， 由（2）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点在点右侧时，设点的对应点为，点为直线上一点， ∵， ∴由轴对称的性质可得， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州中学2025学年第二学期初二阶段性综合练习数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列人工智能App图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式的计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，配方后可得（ ） A. B. C. D. 4. 对于命题“如果，那么”用反证法证明，应假设（ ） A. B. C. D. 5. 下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 6. 体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（ ） A. 八（1）班跳绳次数更集中 B. 跳绳次数最小值出现在八（2）班 C. 两个班级跳绳次数的中位数相等 D. 八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 7. 北方的冬天已经迎来了冬雪．为了方便通行，同学们将教学楼前的矩形空地清扫出宽度相同的通道（如图阴影部分为通道），保留了3块积雪活动区．已知矩形空地的长为，宽为，通道面积是整个矩形空地面积的．若设通道的宽为，则根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为　　 A. B. C. D. 9. 有两个关于x的一元二次方程：，，下列四个结论中，错误的是（ ） A. 如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根 B. 如果方程M的两根符号异号，那么方程N的两根符号也异号 C. 如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D. 如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是 10. 如图，为的对角线，，于点E，于点F，、相交于点H，直线交线段延长线于点G，下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的结论有（ ） A. ①②③④ B. ①④ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一个多边形的内角和是外角和的5倍多，则这个多边形的边数为________ 12. 数据，，，，，，，，，的离差平方和是________，方差是________． 13. 如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，已知迎水坡，坝顶宽，则坝底为_____． 14. 如图，将绕点O逆时针旋转得到，，若恰好经过点A，且，，则______． 15. 将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知，可用“降次法”求得的值是________． 16. 如图所示，平行四边形中，点、分别是、的中点，，，，则的长是______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 选择合适的方法解一元二次方程． （1）； （2）． 19. 如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上． （1）如图1，画与关于点O的中心对称的图形； （2）如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形； （3）如图3，画一个以为对角线，且面积为9的平行四边形． 20. 在“书香进校园”读书活动中，为了解学生课外读物的阅读情况，随机调查了部分学生的课外阅读量．绘制成不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），其中条形统计图被墨汁污染了一部分． （1）条形统计图中被墨汁污染的人数为_____人． （2）求被抽查到的学生课外阅读量的平均数和中位数； （3）随后又补查了名学生，若已知他们在本学期阅读量都是10本，将这些数据和之前的数据合并后，发现阅读量的众数没改变，求的最大值． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 22. 如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2022年每辆汽车的日租金为100元，到2024年每辆汽车的日租金上涨到144元． （1）求2022年至2024年该款汽车日租金的年平均增长率． （2）经市场调研发现，从2024年开始，当每辆汽车的日租金定为144元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆． ①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出_______辆车．（均用含x的代数式表示） ②已知该汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用34元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达27400元？（日收益=总租金-各类费用） 24. 如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． （1）请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）请问是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）若点关于直线对称的点恰好落在直线上，则________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $