精品解析：江西赣州市赣县中学2025-2026学年高二下学期数学期中检测课时作业

2026年春学期赣县中学高二数学 期中检测课时作业 一、单选题 1. 下列求导正确的是（     ） A. B. C. D. 2. 某课题组为调查“错题重练”是否有助于学生提高数学成绩，随机抽取300名高中生分为两组，实验组在每天的学习中有计划地开展“错题重练”，对照组学习方法不变.一个月后，对统计数据运用列联表进行独立性检验，计算得，则下列结论正确的是（ ） 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 A. 认为“错题重练”与提高数学成绩有关 B. 认为“错题重练”与提高数学成绩无关 C. 认为“错题重练”与提高数学成绩有关，此推断犯错误的概率不大于0.01 D. 认为“错题重练”与提高数学成绩有关，此推断犯错误的概率不大于0.001 3. 定义在R上的函数，若，则（ ） A. B. C. 2026 D. 1 4. 记为等比数列 的前项和．若，则（    ） A. 7 B. C. D. 5. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 6. 斐波那契(约1170~1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞燕草，万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列满足 ，，设，则（ ） A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022 7. 设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点 是上第一象限内的一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 8. 有一系列点，每一个点均位于抛物线的图象上.点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切.若且的前n项之和为，则以下说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 二、多选题 9. 在的二项展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 常数项是60 B. 各项系数之和是64 C. 二项式系数最大值是20 D. 不含的项 10. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 数列是等比数列 D. 的数学期望 11. 已知成等差数列，若关于的方程组恰有组解，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 曲线在 处的切线方程为___________． 13. 利用数学归纳法证明“，”时，从“ ”变到“”时，左边应增乘的因式是_______. 14. 动直线与动直线相交于点，则的最小值为___________． 四、解答题 15. 为研究昼夜温差（单位：）与某植物种子当日的百粒发芽数（单位：粒）之间的关系，实验室记录了6天的每日昼夜温差与种子当日的百粒发芽数，如下表所示： 日期编号 1 2 3 4 5 6 温差 9 13 11 15 10 14 百粒发芽数 23 28 26 31 25 29 （1）根据表中的数据，计算样本相关系数（精确到0.01）； （2）求百粒发芽数关于温差的经验回归方程，并估计昼夜温差为时，这种植物种子当日的百粒发芽数． 参考公式：相关系数， ，， 参考数据：，，， ． 16. 已知数列的前n项和为，且，. （1）求 （2）若，求数列的前n项和. 17. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角 为直二面角． （1）证明： 平面； （2）若 在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面 所成角的余弦值． 18. 已知椭圆 的长轴长为4，直线 与椭圆交于，两点（点在第一象限）．当时，，在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点． （1）求的标准方程； （2）若 轴于点，连接并延长交于点，记直线的斜率为． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设 ，求的最小值． 19. 若正项数列满足对于给定的正数， ，， （为的前n项和），则称为“ 稳定数列”. （1）若为“ 稳定数列”，且，求的取值范围. （2）若，证明：数列为“稳定数列”. （3）若为“ 稳定数列”，证明，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期赣县中学高二数学 期中检测课时作业 一、单选题 1. 下列求导正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的运算法则逐一验证即可. 【详解】由，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 2. 某课题组为调查“错题重练”是否有助于学生提高数学成绩，随机抽取300名高中生分为两组，实验组在每天的学习中有计划地开展“错题重练”，对照组学习方法不变.一个月后，对统计数据运用列联表进行独立性检验，计算得，则下列结论正确的是（ ） 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 A. 认为“错题重练”与提高数学成绩有关 B. 认为“错题重练”与提高数学成绩无关 C. 认为“错题重练”与提高数学成绩有关，此推断犯错误的概率不大于0.01 D. 认为“错题重练”与提高数学成绩有关，此推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立性检验的定义判断即可. 【详解】， 根据小概率值的独立性检验，可以推断“错题重练”与有助于提高数学成绩有关. 故选：C. 3. 定义在R上的函数，若，则（ ） A. B. C. 2026 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义变形化简求解 【详解】根据导数的定义，函数在处的导数为， 令，则当时，，代入后极限变为， 又因为，所以该极限值为1. 4. 记为等比数列 的前项和．若，则（    ） A. 7 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出的值，从而可得，再代入，即可得答案. 【详解】设等比数列的公比为， 由，可得：， 解得， 所以， 因此， 所以. 5. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】. 6. 斐波那契(约1170~1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞燕草，万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列满足 ，，设，则（ ） A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022 【答案】B 【解析】 【分析】根据满足，偶数项代换后，与下一项结合得到下一个偶数项，依次进行下去，即得结果. 【详解】因为斐波那契数列满足 ，， 则和式中，偶数项代换后，与下一项结合得到下一个偶数项，依次进行下去，则，则. 故选:B. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，结合了数学文化中的斐波那契数列，属于中档题. 7. 设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上第一象限内的一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与双曲线的焦点坐标及渐近线方程，可判断直线与双曲线第一象限部分无交点，即可判断A、C，再由双曲线的定义判断B、D. 【详解】如图，由点是抛物线的焦点，故， 由双曲线知，则 ，故，右焦点， 所以，又双曲线的渐近线方程为， 所以直线与双曲线第一象限部分无交点，故，故A，C错误； 由双曲线的定义，， 所以， 即点运动到线段与双曲线的交点时，有最小值，故B错误，D正确． 故选：D． 8. 有一系列点，每一个点均位于抛物线的图象上.点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切.若且的前n项之和为，则以下说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点，根据抛物线定义列方程可判断A；根据两圆外切可得的关系，然后可证是等差数列，可判断B；根据是等差数列求出可判断C；利用裂项相消法求和可判断D. 【详解】由题意可知：焦点， 设点，则的半径为， 则，解得，故A错误； 因为与外切，则， 整理可得，且， 可得，即， 可知数列是以首项为，公差为2的等差数列，故B错误； 则，即， 则，故C错误； 可得， 所以，故D正确. 二、多选题 9. 在的二项展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 常数项是60 B. 各项系数之和是64 C. 二项式系数最大值是20 D. 不含的项 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，二项展开式通项为，对于A，当时即为常数项，再计算判断即可；对于B，利用赋值法求各项系数之和即可；对于C，由可知二项式系数最大值是；对于D，根据，令，解得即可判断． 【详解】对于A，二项展开式通项为， 当时，，所以常数项是60，故A正确； 对于B，当时，，所以各项系数之和是1，故B错误； 对于C，，二项式系数最大值是，故C正确； 对于D，， 当时，解得，所以二项展开式中含的项，故D错误． 故选：AC． 10. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 数列是等比数列 D. 的数学期望 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用已知条件求出，，即可判断A，B； 利用推出，可判断C； 利用可判断D. 【详解】由题意，，故A正确； ，，故B错误； 当时， 整理得， ， 故可知是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确； ， ， ， 因， 所以， ， 故D正确， 故选：ACD. 11. 已知成等差数列，若关于的方程组恰有组解，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据条件可得直线过定点，再结合题设条件，可将问题转化成与直线恰有个交点，求出过点且与相切的直线方程，可得到，再对各个选项分析判断，即可求解. 【详解】因为成等差数列，则，代入得到， 整理得到，令，解得， 所以直线过定点，又由，得到， 因为方程组恰有组解，则与直线恰有个交点， 设过点的直线与切于点， 又，则，得到，解得 所以过点且与相切的直线方程为，即， 又的斜率为，由图可知，要使与直线恰有个交点， 则，即，所以，，故A和D正确， 取，显然满足，但，所以B错误， 取 ，显然满足，但，所以C错误. 三、填空题 12. 曲线在处的切线方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由导数运算法则可求导数，再利用导数求出斜率，由点斜式可得切线方程． 【详解】设， 则； 所以，且， 即直线斜率，过点， 故曲线在处的切线方程为， 即， 故答案为：． 13. 利用数学归纳法证明“，”时，从“ ”变到“”时，左边应增乘的因式是_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用数学归纳法的性质分析式子前后的变动情况，再求解答案即可. 【详解】由题意， 时，左边为； 时，左边为； 从而增加两项为，且减少一项为， 故左边应增乘的因式为. 故答案为： 14. 动直线与动直线相交于点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据动直线垂直且过定点得到交点轨迹为圆；把分式变形为斜率形式，将分式最值问题转化为圆上点到定点的斜率最值问题. 【详解】根据题意，动直线经过定点， 动直线经过定点,则有， 所以，又点是两条直线的交点，所以有， 所以点的轨迹方程为， 其轨迹是以为圆心，以为半径的圆，不含点，. 又， 故只需求的最小值，令可看作点与点的斜率， 求出过点与圆相切的切线斜率即可， 设切线为，即. 根据切线条件构造方程，即，解得， 所以的最小值为，所以的最小值为. 四、解答题 15. 为研究昼夜温差（单位：）与某植物种子当日的百粒发芽数（单位：粒）之间的关系，实验室记录了6天的每日昼夜温差与种子当日的百粒发芽数，如下表所示： 日期编号 1 2 3 4 5 6 温差 9 13 11 15 10 14 百粒发芽数 23 28 26 31 25 29 （1）根据表中的数据，计算样本相关系数（精确到0.01）； （2）求百粒发芽数关于温差的经验回归方程，并估计昼夜温差为时，这种植物种子当日的百粒发芽数． 参考公式：相关系数， ，， 参考数据：，，， ． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接计算，即可求解； （2）根据条件，直接求出，即可求出线性回归方程，再将代入，即可求解. 【小问1详解】 相关系数． 【小问2详解】 由题意得，， 所以，， 所以所求的经验回归方程是， 当时，， 故当昼夜温差为时，这种植物种子当日百粒发芽数为． 16. 已知数列的前n项和为，且，. （1）求 （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知数列是以首项为 ，公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式运算求解； （2）根据与之间的关系可得，进而可得，结合裂项相消法运算求解. 【小问1详解】 因为，且， 可知数列是以首项为 ，公差为的等差数列， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 当时，则， 且符合上式，所以， 可得， 设数列的前n项和为， 则， 所以数列的前n项和为. 17. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角 为直二面角． （1）证明： 平面； （2）若 在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面 所成角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 二面角 为直二面角，即平面 平面 ， 又因为 平面 ，平面 平面 ， 所以平面 ． 又因为 平面 ，所以 ． 由题意 平面， 所以 平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面 ，进而根据线线垂直证明 平面． （2）建立空间直角坐标系，根据两点距离公式列方程，可求解球心的坐标，即可求解， （3）根据面面垂直的性质，结合二面角的定义可得 为所求的角，即可根据三角形的边角关系求解，或者求解平面法向量，根据法向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点 中点，连接 ， 则 ， 因为平面 ， 平面 ，所以 ，所以 ， 在中， 为中点，所以. 以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系， 则． 设该球的球心坐标为，则 解得 . 所以该球的半径为. 【小问3详解】 法一：取中点，在中，过作 ，垂足为，连接， 平面 平面 平面 ， 平面 平面 ，所以 平面 ． 而平面 ，故， 又因为 ， 平面 ，故 平面 ， 而 平面 ，所以 ， 则 为平面与平面 的所成角. 直角三角形 中，， 所以平面与平面 所成角的余弦值为. 法二：平面 的一个法向量为， 设平面的法向量为，则即 取，得平面的一个法向量为. 所以平面与平面 所成角的余弦值为. 18. 已知椭圆 的长轴长为4，直线 与椭圆交于，两点（点在第一象限）．当时，，在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点． （1）求的标准方程； （2）若 轴于点，连接并延长交于点，记直线的斜率为． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设 ，求 的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）设 ， ， ，则 ，由题意有． 直线的斜率即 的斜率为，所以直线的方程 . 所以 ，又，在椭圆上， ∴，∴. ∴， ∴ . （ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）设椭圆焦距为 ，则椭圆过点 ，代入椭圆方程，结合 及，求出 ，即可得到椭圆的标准方程； （2）（ⅰ）设各点的坐标，利用点差法，用 表示，即可证为定值；（ⅱ）根据直线的斜率与倾斜角的关系，利用两角差的正切公式，并结合基本不等式可求得 的最小值． 【小问1详解】 由题意有 ，所以 . 设椭圆焦距为 ，易知椭圆过点 ，所以 . 又，所以. 所以 ，即 ，解得 . 所以 ，，故的标准方程为 ． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）∵ ， 而 ，， 由（ⅰ）知 ， ∴ ，又 ， ∴， ∴. 当且仅当，即时等号成立. 所以． 的最小值为． 19. 若正项数列满足对于给定的正数， ，， （为的前n项和），则称为“ 稳定数列”. （1）若为“ 稳定数列”，且，求的取值范围. （2）若，证明：数列为“稳定数列”. （3）若为“ 稳定数列”，证明，． 【答案】（1） （2）证明：当时， ，满足 ， 当时，对于任意正整数 ，有，则， 则由 ，可得 ， 又由，可得, 所以 ， 则 ， 所以数列为“稳定数列”. （3）证明：因为为“稳定数列”，所以 ，则 ， ， 则，由 ，可得， 由为“稳定数列”可得 ，则 ， 当时，，则， 因为 ，所以 ，故 ， . 由得，结合 ，则 ，则 ， 当时，，则， 当时，，故， 从而 ，. 【解析】 【分析】（1）结合定义，由得，代入n=2对应的不等式 ，解一元二次不等式即可得到​的取值范围； （2）先化简得，对前n项和做裂项放缩，得到放缩范围后，代入证明对任意正整数n都有 ； （3）利用变形，结合稳定数列定义对差式放缩，再累加放缩后的不等式，分别证明不等式的左右两边. 【小问1详解】 由题意，是稳定数列，故对， . 已知，则​（ ），对，有 ， 解左边不等式 ，得正根​； 解右边不等式 ，得正根​， 故的取值范围为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $