数学（辽宁卷）学易金卷：2026年中考考前预测卷

2026年中考第二次模拟考试 三 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 12 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(10分) 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 七年级学生竞赛成绩 八年级学生竞赛成绩 频数分布直方图 扇形统计图 频数 8 7 6 5 D 10% A 10 A 1 0 5060708090100成绩/分 19.(8分) L B GC 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) ◇ 21.(8分) C E E D D B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) G G B B D D D E E E 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(13分) iT 0 图1 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D1 9.[A1[B][CI1[D1 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[CI[D1 4.A][B1[CI[D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 12. 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(10分) 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 七年级学生竞赛成绩 八年级学生竞赛成绩 频数分布直方图 扇形统计图 小频数 8 7 6 6 C B D 10% 4 3 10% E 5060708090100成绩/分 19.(8分) M M L F B GC 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.(8分) E E D D 0 A 0 B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) G G F M B B D O E E 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(13分) B 图1 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前预测卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D C C D B C B B A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11． 12． 13．乙 14．31 15． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．【详解】（1）解：原式………………2分 ………………………………4分 ；………………………………………5分 （2）解：原式 …………………………7分 ……………………8分 ，……………………………………9分 当时， 原式．…………………………10分 17．【详解】（1）解：设插混式汽车每台售价万元，纯电式汽车每台的售价万元， 由题意得，，…………………………2分 解得． 答：插混式汽车每台售价12万元，纯电式汽车每台20万元．………………4分 （2）解：设该公司在黄金周售出a台纯电式汽车， 由题意得，，……………………6分 解得． 答：该公司在黄金周至少售出10台纯电式汽车．……………………8分 18．(1)，， (2)七年级学生成绩更好，见解析 (3)人 【详解】（1）解：七年级抽取的名学生的竞赛成绩在组的人数为（人）， ∴补全频数分布直方图如图： 根据扇形统计图得，八年级学生成绩在组的有（人） 八年级学生成绩排在第的是， ； 七年级学生竞赛成绩最多的是，有个 ； 八年级学生成绩D组在扇形统计图中所占的扇形的圆心角度数为， 故答案为：，，．…………………………3分 （2）解：七年级学生成绩更好， 七年级的平均成绩更高（答案不唯一）．…………………………5分 （3）解：（人）．…………………………7分 答：估计八年级竞赛成绩不低于90分的学生人数为210人．…………8分 19． 【详解】（1）解：∵点到水平地面的高度均为，点到点的水平距离为， ∴点M的坐标为，………………………………1分 设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：；……………………3分 （2）解：∵抛物线向右平移后与抛物线重合， ∴抛物线的解析式为： ，…………………………5分 令， 解得：，， ∴，， ∴两盏射灯在地面的照射区域的宽度；………………………………6分 （3）解：令， 解得：，， 令， 解得：，，…………………………………………7分 ∴该沙发的长度最大值为： ．………………………………………8分 20．【详解】（1）解：把点B的坐标代入得， ∴， ∴双曲线的解析式为，…………………………2分 把点A的坐标代入得， ∴， ∴， 把点A和点B的坐标代入得， ∴， ∴直线的解析式为；…………………………4分 （2）解：设， ∵轴，即轴，且点D在双曲线上， ∴，， ∴，………………………………6分 ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或．…………………………8分 21．【详解】（1）证明：如图，连接． ， ， 是直径， ， ，………………………………2分 又， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线；………………………………4分 （2）解：如图，连接． 由（1）得，是的切线， ， ， ， 设， ， 又， ， ， ，……………………………………6分 ， ， 在中，，， ， 的长．……………………………………8分 22．【详解】（1）解：设与交于点，如图， 是等边三角形，点E恰好落在平分线上， ，，， ，…………………………2分 由对称性质得：， ， ， ， 故答案为：15；……………………………………3分 （2）解：①，理由如下： 如图，延长，交于点， 设， 由对称的性质得：，，，， ，， ， ，，……………………5分 ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ，………………………………7分 ． ；…………………………8分 ②如图，连接，取中点，连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ，…………………………10分 当、、三点共线且与重合时，最短，此时点与点重合，点与点重合， 、分别是、的中点， ．…………………………12分 23．【详解】（1）解：∵抛物线交轴于两点， ∴， ∴；……………………………………2分 （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，，……………………3分 由题意，，，则：， ∴， ∴，……………………5分 ∴当时，的值最大为；……………………………………6分 （3）解：①∵， ∴时，， ∴，……………………………………7分 ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，…………………………8分 ∵点在对称轴右侧且 ∴当时， ， 则；……………………………………9分 当时，， 则； 综上：；………………………………10分 ②∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点（在左侧）， ∴， 当时，则抛物线弧的“形态系数”， 抛物线弧的“形态系数”， ∴，解得或（舍去）；…………………………11分 当时，则抛物线弧的“形态系数”， 抛物线弧的“形态系数”， ∴，解得或（舍去）；………12分 综上：或．……………………………………13分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．中国瓷器以“技术+文化”为双驱动，在国际市场保持核心竞争力．如图，是白釉暗刻龙纹高足杯，下面说法正确的是（   ） A．主视图和俯视图相同 B．主视图和左视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．主视图、左视图和俯视图都相同 【答案】B 【分析】根据图形得到其三视图，进而问题可求解． 【详解】解：由图可知：该白釉暗刻龙纹高足杯的主视图和左视图相同，故B选项符合题意． 2．以下几种著名的数学曲线是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】中心对称图形绕着某一点旋转，能够与原来的图形重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、蝴蝶曲线图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； 选项B、心形线图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； 选项C、螺旋线图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； 选项D、六角雪花形图形绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，故D符合题意． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘除法、单项式乘单项式、积的乘方的运算法则，逐个计算判断选项即可． 【详解】解：∵对于选项A：，故A运算错误； ∵对于选项B：，故B运算错误； ∵对于选项C：，符合同底数幂除法运算法则，故C运算正确； ∵对于选项D：，故D运算错误． 4．2026年4月，国际能源署（）发布报告指出，全球数据中心的年度总耗电量已突破950000000000千瓦时，将数950000000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的定义，其表示形式为，满足，为整数，正确确定和的值即可求解． 【详解】解：． 5．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题（注释：椽是传统木构建筑用以支撑屋顶材料的木杆）．设这批椽有株，则符合题意的方程是 （   ） 原文：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽． 译文：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设这批椽有x株，则一株椽的价钱为，拿一株椽后，剩余株，根据剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，列出方程即可． 【详解】解：设这批椽有x株，依题意得 ． 6．某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品．每款获得的可能性相等，则甲、乙两名同学获得相同主题的文创产品的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用列举法求出所有等可能结果数，再得到符合条件的结果数，利用概率公式计算概率即可． 【详解】解：记三款文创产品“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”分别为，，，根据题意列表如下： ∵共有种等可能的结果，其中甲、乙获得相同主题文创产品的结果有种， ∴所求概率为． 7．如图，在中，，，是的角平分线，，相交于点，若，，则的长是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，外角的定义，作出辅助线，求得是解题的关键．过点E作于点G，根据角平分线定义得到，结合三角形内角和定理和外角的定义，得到，即为等腰直角三角形，由此得到，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：过点E作于点G，如图， 平分平分， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， 故选：C． 8．如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】取的中点，连接构造中位线，利用中位线性质和平行四边形性质得到新的平行四边形，进而得出线段之间的关系，最后根据已知线段长度求出． 【详解】解：取的中点，连接，如图， 是的中点，是的中点， 是的中位线， 平行于，， ∵四边形是平行四边形， ，平行于， 是的中点， ， 平行于，， ∴四边形是平行四边形， ， ，是的中点， ， ． 9．如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和．根据正十二边形的每个内角为，求得，根据正六边形的每个内角为，求得，再利用三角形的外角性质，求解即可． 【详解】解：正十二边形的每个内角为， ∴， 正六边形的每个内角为， ∴， ∴， 故选：B． 10．如图，已知正方形的边长为4，以点C为圆心，2为半径作圆，P是上的任意一点，将点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q，连接，则的最大值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接CP，AQ，以A为圆心，以AQ为半径画圆，延长BA交于E．根据正方形的性质，旋转的性质，角的和差关系，全等三角形的判定定理和性质求出AQ的长度，根据三角形三边关系确定当点Q与点E重合时，BQ取得最大值，最后根据线段的和差关系计算即可． 【详解】解：如下图所示，连接CP，AQ，以A为圆心，以AQ为半径画圆，延长BA交于E． ∵正方形ABCD的边长为4，的半径为2， ∴AD=CD=AB=4，∠ADC=90°，CP=2． ∵点P绕点D按逆时针方向旋转90°得到点Q， ∴∠QDP=90°，QD=PD． ∴∠ADC=∠QDP． ∴∠ADC-∠QDC=∠QDP-∠QDC，即∠ADQ=∠CDP． ∴． ∴AQ=CP=2． ∴AE=AQ=2． ∵P是上任意一点， ∴点Q在上移动． ∴． ∴当点Q与点E重合时，BQ取得最大值为BE． ∴BE=AE+AB=6． 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，角的和差关系，全等三角形的判定定理和性质，三角形三边关系，线段的和差关系，综合应用这些知识点是解题关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．一次数学测试（满分120分），如果96分为优秀，以96分为基准简记，例如100分记为分，那么90分应记为_______分． 【答案】 【分析】本题考查正数和负数的意义，理解具有相反意义的量，一个用正数表示，则与之相反的量用负数表示是解题的关键． 根据以96分为基准简记，例如100分记为分，那么90分应表示为分． 【详解】解：， ∴90分应记为分， 故答案为：． 12．分解因式：____________． 【答案】 【分析】先将原式变形得到相同公因式，提取公因式后利用平方差公式继续分解，即可得到结果． 【详解】解： ． 13．为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为： ，，，．则麦苗又高又整齐的是_____种小麦． 【答案】乙 【分析】本题考查平均数与方差的意义，平均数反映一组数据的平均水平，方差反映一组数据的波动大小，方差越小，数据波动越小，长势越整齐，先比较平均数得到平均高度更高的组，再比较方差确定长势更整齐的组，即可得到结果． 【详解】解：，，且， 乙和丁的平均苗高大于甲和丙，即乙、丁的长势更高； 又，，且， 乙的方差小于丁的方差，乙的长势更整齐， 麦苗又高又整齐的是乙． 14．春风和煦，纸鸢竞飞，正如诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”所描绘的那样，小明也在春风里，享受着放风筝的乐趣．如图，已知风筝线长，风筝线与地面夹角，风筝线拉直且不计小明的身高，则此时风筝到地面的垂直距离为__________．（结果精确到，参考数据：） 【答案】31 【分析】直接根据进行计算即可． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴， ∴． 15．如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E为上一点，，连接并延长交于点F，连接，，且，交于点H，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】过点H作于点G，过点F作于点I，作于点J，由，，和四边形是菱形，可得， ，，可得，再利用平行线分线段成比例，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点H作于点G，过点F作于点I，作于点J， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴在中，，， ∴，， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， 在中，， ∴． 3、 解答题（本大题共8个小题，共75分．16题10分，17-21题8分，22题12分，23题13分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．计算： (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（）先化简绝对值的，特殊角三角函数，零指数幂和负整数指数幂，然后再计算； （）先算小括号的异分母分式加减，再算除法，然后约分化成最简，最后把代入求值即可； 本题考查了实数的运算，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 当时， 原式． 17．解锁新能源汽车，驶向未来的科技引擎．在科技飞速发展的今天，新能源汽车如雨后春笋般出现在大街小巷，其具有能耗成本低，驾驶体验舒适，环保性能良好等优点，深受广大消费者的喜爱．某品牌汽车销售公司8月共售出16台插混式汽车和10台纯电式汽车，销售额为392万元，9月共售出20台插混式汽车和15台纯电式汽车，销售额为540万元． (1)求插混式汽车和纯电式汽车每台的售价各是多少万元？ (2)受惠民政策影响，该汽车厂家为让利消费者，对所有车辆每台补贴2万元，销售公司在“十一”黄金周共售出两种新能源汽车25辆，销售额不少于330万元，求该公司在黄金周至少售出多少台纯电式汽车？ 【答案】(1)插混式汽车每台售价12万元，纯电式汽车每台20万元 (2)10台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列方程． （1）设插混式汽车每台售价万元，纯电式汽车每台的售价万元，根据题意列方程组求解即可； （2）设该公司在黄金周售出a台纯电式汽车，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设插混式汽车每台售价万元，纯电式汽车每台的售价万元， 由题意得，， 解得． 答：插混式汽车每台售价12万元，纯电式汽车每台20万元． （2）解：设该公司在黄金周售出a台纯电式汽车， 由题意得，， 解得． 答：该公司在黄金周至少售出10台纯电式汽车． 18．2025年4月24日是第十个“中国航天日”，为迎接中国航天日，某校举行了七、八年级航天知识竞赛，并在七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（单位：分．满分100分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． 【收集、整理数据】 七年级学生竞赛成绩分别为：55，60，67，75，78，78，86，87，87，87，87，88，88，89，90，94，96，98，99，99． 八年级学生竞赛成绩在C组和D组的分别为：72，75，75，75，75，78，85，88，89． 绘制了不完整的统计图． 【分析数据】 两组样本数据的平均数、中位数和众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 84.4 87 b 八年级 81.8 a 75 【问题解决】 请根据上述信息，回答下列问题： (1)补全频数分布直方图，上表中______，______，八年级学生成绩D组在扇形统计图中所占扇形的圆心角度数为______°； (2)根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生成绩更好，还是八年级学生成绩更好？写出一条理由； (3)如果该校八年级有600名学生参加此次竞赛，请估计八年级竞赛成绩不低于90分的学生人数． 【答案】(1)，， (2)七年级学生成绩更好，见解析 (3)人 【分析】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． （1）根据频数分布直方图求出七年级抽取的名学生的竞赛成绩在组的人数，即可补全频数分布直方图，根据中位数、众数的定义即可求出的值，求出八年级学生成绩在组的人数，用乘以其占比即可求解； （2）根据平均数、中位数、众数判定即可； （3）用乘以八年级竞赛成绩不低于分的学生人数的占比即可求解． 【详解】（1）解：七年级抽取的名学生的竞赛成绩在组的人数为（人）， ∴补全频数分布直方图如图： 根据扇形统计图得，八年级学生成绩在组的有（人） 八年级学生成绩排在第的是， ； 七年级学生竞赛成绩最多的是，有个 ； 八年级学生成绩D组在扇形统计图中所占的扇形的圆心角度数为， 故答案为：，，． （2）解：七年级学生成绩更好， 七年级的平均成绩更高（答案不唯一）． （3）解：（人）． 答：估计八年级竞赛成绩不低于90分的学生人数为210人． 19．综合与实践 问题情境：如图1，小李同学家在沙发背景墙上方同样的高度处安装了两盏射灯，其在墙上的照射区域的边缘为形状相同的抛物线的一部分． 数学建模：如图2，以左侧射灯在墙上的照射区域的边缘与水平地面的左侧交点为原点，水平地面向右为轴，竖直向上为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．将左、右两侧的射灯在墙上的照射区域的边缘所在的抛物线分别记为，将抛物线与水平地面的右侧交点记为，顶点记为；抛物线与水平地面的交点分别记为（点在点的左侧），顶点记为；两抛物线的交点记为． 测量数据：两盏射灯之间的距离为，即抛物线向右平移后与抛物线重合，点到水平地面的高度均为，点到点的水平距离为． 问题解决： (1)直接写出点的坐标，并求出抛物线的函数表达式． (2)求两盏射灯在地面的照射区域的宽度． (3)如图3，小李同学的爸爸想定做一款沙发靠墙摆放，将沙发靠墙的一面抽象为矩形，已知该款沙发的高度，请通过计算说明，若和需要完全摆放在这两盏射灯在墙上的照射区域内（点位于上方），则该沙发的长度最大为多少米？ 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出点M的坐标，然后用待定系数法，求出抛物线的解析式即可； （2）先求出抛物线的解析式，然后求出，，即可得出答案； （3）令求出x的值，令，求出x的值，然后求出沙发的最大宽度即可． 【详解】（1）解：∵点到水平地面的高度均为，点到点的水平距离为， ∴点M的坐标为， 设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵抛物线向右平移后与抛物线重合， ∴抛物线的解析式为： ， 令， 解得：，， ∴，， ∴两盏射灯在地面的照射区域的宽度； （3）解：令， 解得：，， 令， 解得：，， ∴该沙发的长度最大值为： ． 20．如图，直线与双曲线交于，两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)点P在线段上，过P作轴，与双曲线交于D，若的面积为3，求点P的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为，双曲线的解析式为 (2)或 【分析】（1）先利用待定系数法求出双曲线的解析式，再求出点A的坐标，最后利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）设，根据题意可得，，则，再根据三角形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把点B的坐标代入得， ∴， ∴双曲线的解析式为， 把点A的坐标代入得， ∴， ∴， 把点A和点B的坐标代入得， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：设， ∵轴，即轴，且点D在双曲线上， ∴，， ∴， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 21．如图1，中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为点，连接． (1)求证：是的切线； (2)如图2，分别延长，相交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理和等腰三角形的性质证得，由内错角相等证得，进而证得，即可证得结论； （2）设，根据等腰三角形的性质和三角形外角定理证得，，进而求得，，根据含30度直角三角形的性质求出，根据弧长公式即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ， 是直径， ， ， 又， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； （2）解：如图，连接． 由（1）得，是的切线， ， ， ， 设， ， 又， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 的长． 22．等边中，点D为边上一动点，连接，与关于直线对称，连接． (1)如图1，点E恰好落在平分线上，则求 °； (2)过点D作交于点G，连接交于点F． ①如图2，试判断线段、和之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，，于点H，直线交于点M，连接，D点运动的过程中，当取最小值时，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)15 (2)①；②2 【分析】（1）根据三线合一的性质可得，则根据对称的性质，由等边三角形及等腰三角形的性质即可求解； （2）①延长，交于点，证明为等边三角形，再证明，即可得线段、和之间的数量关系； ②连接，取中点，连接，则当、、三点共线且与重合时，最短，此时点与点重合，即可求得长度． 【详解】（1）解：设与交于点，如图， 是等边三角形，点E恰好落在平分线上， ，，， ， 由对称性质得：， ， ， ， 故答案为：15； （2）解：①，理由如下： 如图，延长，交于点， 设， 由对称的性质得：，，，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ． ； ②如图，连接，取中点，连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ， 当、、三点共线且与重合时，最短，此时点与点重合，点与点重合， 、分别是、的中点， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，最短距离问题，线段垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是问题的关键与难点． 23．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点 ，抛物线的顶点为，点是抛物线上的一个动点，其横坐标为． (1)求b和c的值； (2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，用含t的代数式表示线段与的长度差，并求这个长度差的最大值； (3)定义：对于抛物线上任意两点、，取抛物线弧上所有点的横坐标最大值与最小值的差为“水平跨度”，纵坐标最大值与最小值的差为“竖直高度”，记为抛物线弧的“形态系数”． ①若点在对称轴右侧，求抛物线弧的“形态系数”与的函数解析式； ② 过点作轴的平行线交抛物线于另一点（在左侧），若抛物线弧与抛物线弧的“形态系数”之和为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)， (3)①②或 【分析】（1）写出交点式，求出函数解析式即可； （2）根据题意，列出函数关系式，利用二次函数的性质，求最值即可； （3）①分和两种情况进行讨论求解即可；②分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于两点， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，， 由题意，，，则：， ∴， ∴， ∴当时，的值最大为； （3）解：①∵， ∴时，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵点在对称轴右侧且 ∴当时， ， 则； 当时，， 则； 综上：； ②∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点（在左侧）， ∴， 当时，则抛物线弧的“形态系数”， 抛物线弧的“形态系数”， ∴，解得或（舍去）； 当时，则抛物线弧的“形态系数”， 抛物线弧的“形态系数”， ∴，解得或（舍去）； 综上：或． / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．中国瓷器以“技术+文化”为双驱动，在国际市场保持核心竞争力．如图，是白釉暗刻龙纹高足杯，下面说法正确的是（   ） A．主视图和俯视图相同 B．主视图和左视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．主视图、左视图和俯视图都相同 2．以下几种著名的数学曲线是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．2026年4月，国际能源署（）发布报告指出，全球数据中心的年度总耗电量已突破950000000000千瓦时，将数950000000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题（注释：椽是传统木构建筑用以支撑屋顶材料的木杆）．设这批椽有株，则符合题意的方程是 （   ） 原文：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽． 译文：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？ A． B． C． D． 6．某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品．每款获得的可能性相等，则甲、乙两名同学获得相同主题的文创产品的概率是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，是的角平分线，，相交于点，若，，则的长是（   ） A．2 B． C． D． 8．如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9． 如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． （第9题） （第10题） 10．如图，已知正方形的边长为4，以点C为圆心，2为半径作圆，P是上的任意一点，将点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q，连接，则的最大值是（    ） A．6 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．一次数学测试（满分120分），如果96分为优秀，以96分为基准简记，例如100分记为分，那么90分应记为_______分． 12．分解因式：____________． 13．为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为： ，，，．则麦苗又高又整齐的是_____种小麦． 14．春风和煦，纸鸢竞飞，正如诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”所描绘的那样，小明也在春风里，享受着放风筝的乐趣．如图，已知风筝线长，风筝线与地面夹角，风筝线拉直且不计小明的身高，则此时风筝到地面的垂直距离为__________．（结果精确到，参考数据：） （第14题） （第15题） 15．如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E为上一点，，连接并延长交于点F，连接，，且，交于点H，若，，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．16题10分，17-21题8分，22题12分，23题13分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．计算： (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 17．解锁新能源汽车，驶向未来的科技引擎．在科技飞速发展的今天，新能源汽车如雨后春笋般出现在大街小巷，其具有能耗成本低，驾驶体验舒适，环保性能良好等优点，深受广大消费者的喜爱．某品牌汽车销售公司8月共售出16台插混式汽车和10台纯电式汽车，销售额为392万元，9月共售出20台插混式汽车和15台纯电式汽车，销售额为540万元． (1)求插混式汽车和纯电式汽车每台的售价各是多少万元？ (2)受惠民政策影响，该汽车厂家为让利消费者，对所有车辆每台补贴2万元，销售公司在“十一”黄金周共售出两种新能源汽车25辆，销售额不少于330万元，求该公司在黄金周至少售出多少台纯电式汽车？ 18．2025年4月24日是第十个“中国航天日”，为迎接中国航天日，某校举行了七、八年级航天知识竞赛，并在七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（单位：分．满分100分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． 【收集、整理数据】 七年级学生竞赛成绩分别为：55，60，67，75，78，78，86，87，87，87，87，88，88，89，90，94，96，98，99，99． 八年级学生竞赛成绩在C组和D组的分别为：72，75，75，75，75，78，85，88，89． 绘制了不完整的统计图． 【分析数据】 两组样本数据的平均数、中位数和众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 84.4 87 b 八年级 81.8 a 75 【问题解决】 请根据上述信息，回答下列问题： (1)补全频数分布直方图，上表中______，______，八年级学生成绩D组在扇形统计图中所占扇形的圆心角度数为______°； (2)根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生成绩更好，还是八年级学生成绩更好？写出一条理由； (3)如果该校八年级有600名学生参加此次竞赛，请估计八年级竞赛成绩不低于90分的学生人数． 19．综合与实践 问题情境：如图1，小李同学家在沙发背景墙上方同样的高度处安装了两盏射灯，其在墙上的照射区域的边缘为形状相同的抛物线的一部分． 数学建模：如图2，以左侧射灯在墙上的照射区域的边缘与水平地面的左侧交点为原点，水平地面向右为轴，竖直向上为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．将左、右两侧的射灯在墙上的照射区域的边缘所在的抛物线分别记为，将抛物线与水平地面的右侧交点记为，顶点记为；抛物线与水平地面的交点分别记为（点在点的左侧），顶点记为；两抛物线的交点记为． 测量数据：两盏射灯之间的距离为，即抛物线向右平移后与抛物线重合，点到水平地面的高度均为，点到点的水平距离为． 问题解决： (1)直接写出点的坐标，并求出抛物线的函数表达式． (2)求两盏射灯在地面的照射区域的宽度． (3)如图3，小李同学的爸爸想定做一款沙发靠墙摆放，将沙发靠墙的一面抽象为矩形，已知该款沙发的高度，请通过计算说明，若和需要完全摆放在这两盏射灯在墙上的照射区域内（点位于上方），则该沙发的长度最大为多少米？ 20．如图，直线与双曲线交于，两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)点P在线段上，过P作轴，与双曲线交于D，若的面积为3，求点P的坐标． 21．如图1，中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为点，连接． (1)求证：是的切线； (2)如图2，分别延长，相交于点，若，，求的长． 22．等边中，点D为边上一动点，连接，与关于直线对称，连接． (1)如图1，点E恰好落在平分线上，则求 °； (2)过点D作交于点G，连接交于点F． ①如图2，试判断线段、和之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，，于点H，直线交于点M，连接，D点运动的过程中，当取最小值时，请直接写出线段的长度． 23．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点 ，抛物线的顶点为，点是抛物线上的一个动点，其横坐标为． (1)求b和c的值； (2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，用含t的代数式表示线段与的长度差，并求这个长度差的最大值； (3)定义：对于抛物线上任意两点、，取抛物线弧上所有点的横坐标最大值与最小值的差为“水平跨度”，纵坐标最大值与最小值的差为“竖直高度”，记为抛物线弧的“形态系数”． ①若点在对称轴右侧，求抛物线弧的“形态系数”与的函数解析式； ② 过点作轴的平行线交抛物线于另一点（在左侧），若抛物线弧与抛物线弧的“形态系数”之和为时，直接写出的值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．中国瓷器以“技术+文化”为双驱动，在国际市场保持核心竞争力．如图，是白釉暗刻龙纹高足杯，下面说法正确的是（   ） A．主视图和俯视图相同 B．主视图和左视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．主视图、左视图和俯视图都相同 2．以下几种著名的数学曲线是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．2026年4月，国际能源署（）发布报告指出，全球数据中心的年度总耗电量已突破950000000000千瓦时，将数950000000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题（注释：椽是传统木构建筑用以支撑屋顶材料的木杆）．设这批椽有株，则符合题意的方程是 （   ） 原文：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽． 译文：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？ A． B． C． D． 6．某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品．每款获得的可能性相等，则甲、乙两名同学获得相同主题的文创产品的概率是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，是的角平分线，，相交于点，若，，则的长是（   ） A．2 B． C． D． 8．如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知正方形的边长为4，以点C为圆心，2为半径作圆，P是上的任意一点，将点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q，连接，则的最大值是（    ） A．6 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．一次数学测试（满分120分），如果96分为优秀，以96分为基准简记，例如100分记为分，那么90分应记为_______分． 12．分解因式：____________． 13．为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为： ，，，．则麦苗又高又整齐的是_____种小麦． 14．春风和煦，纸鸢竞飞，正如诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”所描绘的那样，小明也在春风里，享受着放风筝的乐趣．如图，已知风筝线长，风筝线与地面夹角，风筝线拉直且不计小明的身高，则此时风筝到地面的垂直距离为__________．（结果精确到，参考数据：） 15．如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E为上一点，，连接并延长交于点F，连接，，且，交于点H，若，，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．16题10分，17-21题8分，22题12分，23题13分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．计算： (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 17．解锁新能源汽车，驶向未来的科技引擎．在科技飞速发展的今天，新能源汽车如雨后春笋般出现在大街小巷，其具有能耗成本低，驾驶体验舒适，环保性能良好等优点，深受广大消费者的喜爱．某品牌汽车销售公司8月共售出16台插混式汽车和10台纯电式汽车，销售额为392万元，9月共售出20台插混式汽车和15台纯电式汽车，销售额为540万元． (1)求插混式汽车和纯电式汽车每台的售价各是多少万元？ (2)受惠民政策影响，该汽车厂家为让利消费者，对所有车辆每台补贴2万元，销售公司在“十一”黄金周共售出两种新能源汽车25辆，销售额不少于330万元，求该公司在黄金周至少售出多少台纯电式汽车？ 18．2025年4月24日是第十个“中国航天日”，为迎接中国航天日，某校举行了七、八年级航天知识竞赛，并在七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（单位：分．满分100分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． 【收集、整理数据】 七年级学生竞赛成绩分别为：55，60，67，75，78，78，86，87，87，87，87，88，88，89，90，94，96，98，99，99． 八年级学生竞赛成绩在C组和D组的分别为：72，75，75，75，75，78，85，88，89． 绘制了不完整的统计图． 【分析数据】 两组样本数据的平均数、中位数和众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 84.4 87 b 八年级 81.8 a 75 【问题解决】 请根据上述信息，回答下列问题： (1)补全频数分布直方图，上表中______，______，八年级学生成绩D组在扇形统计图中所占扇形的圆心角度数为______°； (2)根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生成绩更好，还是八年级学生成绩更好？写出一条理由； (3)如果该校八年级有600名学生参加此次竞赛，请估计八年级竞赛成绩不低于90分的学生人数． 19．综合与实践 问题情境：如图1，小李同学家在沙发背景墙上方同样的高度处安装了两盏射灯，其在墙上的照射区域的边缘为形状相同的抛物线的一部分． 数学建模：如图2，以左侧射灯在墙上的照射区域的边缘与水平地面的左侧交点为原点，水平地面向右为轴，竖直向上为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．将左、右两侧的射灯在墙上的照射区域的边缘所在的抛物线分别记为，将抛物线与水平地面的右侧交点记为，顶点记为；抛物线与水平地面的交点分别记为（点在点的左侧），顶点记为；两抛物线的交点记为． 测量数据：两盏射灯之间的距离为，即抛物线向右平移后与抛物线重合，点到水平地面的高度均为，点到点的水平距离为． 问题解决： (1)直接写出点的坐标，并求出抛物线的函数表达式． (2)求两盏射灯在地面的照射区域的宽度． (3)如图3，小李同学的爸爸想定做一款沙发靠墙摆放，将沙发靠墙的一面抽象为矩形，已知该款沙发的高度，请通过计算说明，若和需要完全摆放在这两盏射灯在墙上的照射区域内（点位于上方），则该沙发的长度最大为多少米？ 20．如图，直线与双曲线交于，两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)点P在线段上，过P作轴，与双曲线交于D，若的面积为3，求点P的坐标． 21．如图1，中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为点，连接． (1)求证：是的切线； (2)如图2，分别延长，相交于点，若，，求的长． 22．等边中，点D为边上一动点，连接，与关于直线对称，连接． (1)如图1，点E恰好落在平分线上，则求 °； (2)过点D作交于点G，连接交于点F． ①如图2，试判断线段、和之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，，于点H，直线交于点M，连接，D点运动的过程中，当取最小值时，请直接写出线段的长度． 23．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点 ，抛物线的顶点为，点是抛物线上的一个动点，其横坐标为． (1)求b和c的值； (2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，用含t的代数式表示线段与的长度差，并求这个长度差的最大值； (3)定义：对于抛物线上任意两点、，取抛物线弧上所有点的横坐标最大值与最小值的差为“水平跨度”，纵坐标最大值与最小值的差为“竖直高度”，记为抛物线弧的“形态系数”． ①若点在对称轴右侧，求抛物线弧的“形态系数”与的函数解析式； ② 过点作轴的平行线交抛物线于另一点（在左侧），若抛物线弧与抛物线弧的“形态系数”之和为时，直接写出的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $