精品解析：2022年辽宁省沈阳市私立联合校九年级下学期学业水平模拟练习（二）数学试题

沈阳2022年初中学业水平模拟练习（二） 数学 满分120分，时间120分钟． 注意事项： 1．同学们须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本练习题规定位置填写自己的班级、姓名及练习号； 2．须在答题卡上作答； 3．本练习题包括8道大题，25道小题，共6页． 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分） 1. 下列实数是无理数的是（） A. 0 B. C. D. 2. 华为自主开发的麒麟990芯片晶体管栅极宽度为7纳米，7纳米即0.000000007米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 4. 若正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 7 5. 若实数，满足，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 一元二次方程根的情况是（ ）． A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 7. 如图，学校课外小组的试验园地的形状是长30米宽15米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为392平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，下列点在平移后的图象上的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC.若OA=5，AB=6，则点B到AC的距离为（ ） A. 5 B. C. 4 D. 10. 如图，二次函数的图象经过点，与x轴交点的横坐标分别为，，其中，．下列结论：；；③当 时，；④．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 因式分解：________． 12. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围是______． 13. 如图，在中，，，于点，．若，分别为，的中点，则的长为______． 14. 如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点E，与的延长线交于点F，若，，则的度数为 _____． 15. 如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为BD的中点，则∠AMP的度数为_______ 16. 如图，在中，，，，射线，点P在边上，，交射线于点D，连接，将绕点A旋转，旋转后的三角形记为（点C和点D的对应点分别记为点M和点N），当点N恰好与点B重合时，的值是_______． 三、解答题（第17题6分，第18、19题8分，共22分） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，平行四边形的对角线，相交于点E，点F是边的中点，过点F作于点G，过点E作交于点H． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，直接写出四边形的周长． 19. 有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外无其他差别，现将它们背面朝上洗匀． （1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为____________． （2）随机抽取一张卡片，然后放回洗匀，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字和等于5的概率． 四、（每小题8分，共16分） 20. 某校以“我最喜爱的冬奥项目”为主题，对全校学生进行随机抽样调查（每位同学仅选一项），调查选取的冬奥项目有：雪橇、冰壶、花样滑冰、跳台滑雪，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 请根据图中信息回答下列问题： （1）本次被调查的学生有________人； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中“冰壶”项目所对应的圆心角的度数为________； （4）若该校共有1500名学生，请你估计喜欢花样滑冰的学生有多少人？ 21. 为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，竞赛共有25道题，满分100分，每答对一题得4分，答错扣1分，不答得0分． （1）若小明只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则小明答对了多少道题？ （2）若规定参赛者每道题都必须作答，且总得分大于或等于95分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？ 五、（本题10分） 22. 如图，是的直径，点C，点D在上，且，连接，连接交于点E，与过点A的切线相交于点F． （1）求证：； （2）若，，直接写出的长． 六、（本题10分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点D在边上，点D的横坐标为，过点B作，且，延长交于点M，动点F从点C出发沿向终点A运动，运动速度为每秒1个单位长度，连接，设运动时间为秒． （1）①求直线的表达式； ②当时，求证：； （2）求点M的坐标； （3）当时，直接写出t的值． 七、（本题12分） 24. 已知：矩形，，连接，点E和点F分别是边和边上的点（点F不与点A，点B重合）．且，过点E作交线段于点P，连接． （1）如图1，求证：是等边三角形； （2）若， ①如图2，当时，求证：点P是的中点； ②若，直接写出的值； ③连接，点M在线段上，连接，，，点K在平面内，连接，得到，且与相似，平移，当的一个顶点与点A重合时运动停止，直接写出平移的最短距离． 八、（本题12分） 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B右侧），与y轴交于点，点P是第二象限抛物线上一点，连接，，线段与交于点M． （1）求抛物线的表达式； （2）设点P的纵坐标为t，的面积为S，的面积为，的面积为， ①求S与t的函数关系式； ②当时，求点P的坐标； （3）当点P为抛物线顶点时，过点E作轴，交抛物线对称轴于点F，交抛物线于点G，点C在射线上，连接，线段交线段于点H， ①直接写出的最小值； ②在①的条件下，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳2022年初中学业水平模拟练习（二） 数学 满分120分，时间120分钟． 注意事项： 1．同学们须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本练习题规定位置填写自己的班级、姓名及练习号； 2．须在答题卡上作答； 3．本练习题包括8道大题，25道小题，共6页． 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分） 1. 下列实数是无理数的是（） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A．是整数，属于有理数，该项不符合要求． B．是整数，属于有理数，该项不符合要求． C．∵是无限不循环小数，是无理数，∴仍是无限不循环小数，是无理数，该项符合要求． D．，是整数，属于有理数，该项不符合要求． 2. 华为自主开发的麒麟990芯片晶体管栅极宽度为7纳米，7纳米即0.000000007米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解：数据0.000000007用科学记数法表示为． 3. 如图，是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可． 【详解】解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2，1．左视图如下： 故选：D． 【点睛】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． 4. 若正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题需先根据已知条件设出正多边形的边数，再根据正多边形的计算公式得出结果即可． 【详解】解：设这个正多边形是正n边形，根据题意得： （n-2）×180°÷n=144°， 解得：n=10． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正多边形的内角，在解题时要根据正多边形的内角公式列出式子是本题的关键． 5. 若实数，满足，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性得出方程组，求出a、b的值，再求出答案即可． 【详解】解：∵实数a，b满足|a+b-2|+=0， ∴a+b-2=0且a-b=0， 即， 解得：a=1，b=1， ∴3a+b=3×1+1=4， 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，解二元一次方程组等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键． 6. 一元二次方程根的情况是（ ）． A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，计算判别式的值即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程， ∵ ，，， ∴， ∴ 该方程有两个不相等的实数根． 7. 如图，学校课外小组的试验园地的形状是长30米宽15米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为392平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设小道的宽为米，则6个小矩形可合成长为米，宽为米，利用种植的面积建立等式，可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设小道的宽为米，则6个小矩形可合成长为米，宽为米， 根据题意：， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是：根据题目信息，找准等量关系，列出一元二次方程． 8. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，下列点在平移后的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】抛物线平移不改变a的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果． 【详解】解：∵原抛物线的顶点为（0，0），向左平移2个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（-2，-2）， ∴可设新抛物线的解析式为：， ∴代入得：， ∴所得图象的解析式为：， 则点在平移后的图象上的是， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移规律；解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 9. 如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC.若OA=5，AB=6，则点B到AC的距离为（ ） A. 5 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据角平分线的性质、等腰三角形的性质和勾股定理可以求得点B到AC的距离，本题得以解决． 【详解】由题意可得， OC为∠MAN的角平分线， ∵OA=OB，OC平分∠AOB， ∴OC⊥AB， 设OC与AB交于点D，作BE⊥AC于点E， ∵AB=6，OA=5，AC=OA，OC⊥AB， ∴AC=5，∠ADC=90°，AD=3， ∴CD=4， ∵， ∴， 解得，BE=， 故选B． 【点睛】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 10. 如图，二次函数的图象经过点，与x轴交点的横坐标分别为，，其中，．下列结论：；；③当 时，；④．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系等知识进行综合判断即可． 【详解】①∵抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴在y轴右侧， ∴ ， ∴a，b异号， ∴． ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴． ∴．故①错误； ②∵抛物线与x轴的交点的横坐标为，，其中，． ∴，即． ∴， ∴．故②正确； ③当时，， 当时，． ∵， ∴点，都在对称轴的右侧， 根据抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小可得当 时，．故③正确； ④∵二次函数图象经过点， ∴， ∴． ∵由图象可得，当时，， ∴．解得．故④正确． 综上所述，②③④都正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数满足的关系是正确判断的前提． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ． 12. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案． 【详解】 反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握当时，的图象位于第二、四象限． 13. 如图，在中，，，于点，．若，分别为，的中点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及等腰直角三角形性质、含的直角三角形性质、勾股定理、三角形中位线的判定与性质等知识，根据等腰直角三角形的性质求出，根据含的直角三角形性质及勾股定理列方程求出，最后由三角形这中位线的判定与性质计算即可得到答案．熟练掌握三角形相关性质，运用三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：， ， 在中，，， ， 在中，，则， ，设，则，由勾股定理可得， ，解得，则， ，分别为，的中点， 是的中位线， ， 故答案为：4． 14. 如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点E，与的延长线交于点F，若，，则的度数为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】由的内接四边形对角互补得，求出和，再根据三角形外角的性质求出和． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15. 如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为BD的中点，则∠AMP的度数为_______ 【答案】75° 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=OP，从而得出∠MPO=∠PMO=30°，利用三角形外角性质∠AMP=∠MPO+∠MBP，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴∠ABD=45°，ABCD， ∴∠ABD=∠CDB， ∵OB=OD，∠BOM=∠DON， ∴△OBM≌△ODN， ∴OM=ON， 在Rt△PMN中，∠MPN=90°， ∵O为MN的中点， ∴OP=MN=OM， ∵∠PMN=30°， ∴∠MPO=∠PMN=30°， ∴∠AMP=∠MPO+∠MBP， =30°+45°， =75°， 故答案为：75°． 【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，发现OP=OM是解题的关键． 16. 如图，在中，，，，射线，点P在边上，，交射线于点D，连接，将绕点A旋转，旋转后的三角形记为（点C和点D的对应点分别记为点M和点N），当点N恰好与点B重合时，的值是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先由平行线证明，再由已知条件，证明，得出对应边成比例，设，作于H，先根据勾股定理求出，再由勾股定理得出，从而解方程求出，再证明为等边三角形，求出，然后证明四边形为矩形，据此计算即可求解． 【详解】解：过A作于H，过P作于G，如图： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ， ∴， ∵将绕点A旋转，旋转后的三角形记为(点C和点D的对应点分别记为点M和点N)，点N恰好与点B重合， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∵，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（第17题6分，第18、19题8分，共22分） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 18. 如图，平行四边形的对角线，相交于点E，点F是边的中点，过点F作于点G，过点E作交于点H． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，直接写出四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明是的中位线，得到，证得四边形是平行四边形，根据，即可证明四边形是矩形； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，解直角三角形求得，根据三角形中位线定理求得，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点F是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴四边形的周长． 19. 有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外无其他差别，现将它们背面朝上洗匀． （1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为____________． （2）随机抽取一张卡片，然后放回洗匀，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字和等于5的概率． 【答案】（1）；（2）画树状图见解析，两次抽取的卡片上的数字和等于5的概率为． 【解析】 【分析】（1）直接利用简单的概率公式计算即可得； （2）先画出树状图，从而可得随机抽取两次卡片的所有可能结果，再找出两次抽取的卡片上的数字和等于5的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】（1）随机抽取一张卡片共有4种结果，它们每一种出现的可能性都相等；其中，卡片上的数字是偶数的结果有2种， 则所求的概率为； （2）由题意，画树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的结果；其中，两次抽取的卡片上的数字和等于5的结果有4种， 则两次抽取的卡片上的数字和等于5的概率为． 【点睛】本题考查了简单的概率计算、利用列举法求概率，较难的是题（2），正确画出树状图是解题关键． 四、（每小题8分，共16分） 20. 某校以“我最喜爱的冬奥项目”为主题，对全校学生进行随机抽样调查（每位同学仅选一项），调查选取的冬奥项目有：雪橇、冰壶、花样滑冰、跳台滑雪，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 请根据图中信息回答下列问题： （1）本次被调查的学生有________人； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中“冰壶”项目所对应的圆心角的度数为________； （4）若该校共有1500名学生，请你估计喜欢花样滑冰的学生有多少人？ 【答案】（1）50 （2）见解析 （3） （4）估计该校喜欢花样滑冰的学生约有480人 【解析】 【分析】（1）由跳台滑雪的人数及其所占百分比可得总人数； （2）先求出喜欢花样滑冰的学生，再补全图形即可； （3）根据冰壶所占总学生的比例进行求解即可； （4）总人数乘以样本中喜爱花样滑冰的人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：由题意得，本次被调查的学生有（人）； 【小问2详解】 解：由题意得，喜欢花样滑冰的学生有（人）， ∴补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：由题意得，“冰壶”项目所对应的圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：由题意得，喜欢花样滑冰的学生有（人）． 21. 为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，竞赛共有25道题，满分100分，每答对一题得4分，答错扣1分，不答得0分． （1）若小明只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则小明答对了多少道题？ （2）若规定参赛者每道题都必须作答，且总得分大于或等于95分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？ 【答案】（1）22道 （2）24道 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程和不等式． （1）设小明一共答对了x道题，则答错了道题，根据总得分答对题目数答错题目数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设参赛者需答对a道题才能被评为“学党史小达人”，根据题意列出不等式，并求解即可． 【小问1详解】 解：设小明一共答对了x道题，则答错了道题， 由题意可得：， 解得， 答：小明一共答对了22道题； 【小问2详解】 解：设参赛者需答对a道题才能被评为“学党史小达人”， 由题意可得：， 解得， 答：参赛者至少需答对24道题才能被评为“学党史小达人”． 五、（本题10分） 22. 如图，是的直径，点C，点D在上，且，连接，连接交于点E，与过点A的切线相交于点F． （1）求证：； （2）若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）推导出，，得到进而推导出，得到，即可解答； （2）连接，推导出为等边三角形，得到，则，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵是的直径，切于点A， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 六、（本题10分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点D在边上，点D的横坐标为，过点B作，且，延长交于点M，动点F从点C出发沿向终点A运动，运动速度为每秒1个单位长度，连接，设运动时间为秒． （1）①求直线的表达式； ②当时，求证：； （2）求点M的坐标； （3）当时，直接写出t的值． 【答案】（1）①；②见解析 （2）点 （3）3或 【解析】 【分析】（1）①把，代入求解即可； ②过点D作轴于点G，先求点D坐标，再求出点G坐标，最后再根据垂直平分得出结果； （2）先求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，最后根据M的纵坐标为0，求出横坐标即可； （3）分两种情况讨论，当点在点右侧时，过点D作，利用平行线的性质得出，进而得出，最后根据两点之间距离公式得出结论；当点在点左侧时，如图，过点D作，交轴于点，过点D作轴于点G，，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：①设直线为， 把，，代入得， 解得：， ∴直线的表达式为：； ②当时， ∵，由题意得， 过点D作轴于点G， ∵点D的横坐标为，代入直线得：， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴； 【小问2详解】 解：由，， 设点，由②得点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴， 令，得， ∴； 【小问3详解】 解：当点在点右侧时，如图，过点D作交轴于点， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：，，， ∴，即， 解得：或， ∵， 当时，不满足， ∴不存在； 当点在点左侧时，如图，过点D作，交轴于点，过点D作轴于点G， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴，，， 设，则，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，t的值为3或． 七、（本题12分） 24. 已知：矩形，，连接，点E和点F分别是边和边上的点（点F不与点A，点B重合）．且，过点E作交线段于点P，连接． （1）如图1，求证：是等边三角形； （2）若， ①如图2，当时，求证：点P是的中点； ②若，直接写出的值； ③连接，点M在线段上，连接，，，点K在平面内，连接，得到，且与相似，平移，当的一个顶点与点A重合时运动停止，直接写出平移的最短距离． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②；③ 【解析】 【分析】（1）可推出，，进而得出，从而得出结论； （2）①计算得出，证明，进一步得出结论； ②设，表示出，根据列出方程； ③推出是直角三角形，设，则，，根据列出方程，从而求得a，从而得出，，进一步得出结果． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 ①证明：如图1， 连接， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴点是的中点； ②解：设，则， 由得， ， ∴， ∴， ∴； ③解：如图2， 连接，延长，交于， 作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴平移的最短距离为：． 八、（本题12分） 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B右侧），与y轴交于点，点P是第二象限抛物线上一点，连接，，线段与交于点M． （1）求抛物线的表达式； （2）设点P的纵坐标为t，的面积为S，的面积为，的面积为， ①求S与t的函数关系式； ②当时，求点P的坐标； （3）当点P为抛物线顶点时，过点E作轴，交抛物线对称轴于点F，交抛物线于点G，点C在射线上，连接，线段交线段于点H， ①直接写出的最小值； ②在①的条件下，直接写出的值． 【答案】（1） （2）①；②点P的坐标为或 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）①过点P作轴于点G，先求得，再运用三角形面积公式即可求得； ②由，可得，即，求得点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求得点P的横坐标即可； （3）①先求出抛物线顶点P的坐标，设点，过点C作直线，垂足为R，则，，，设，据此求解即可； ②由①知： ，，证明和，得到， 据此求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线经过点、点， ， 解得：， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：①如图1，过点P作轴于点G， 在中，令，得， 解得：， ， ∴，又， ∴， ∴点P是第二象限抛物线上一点，且纵坐标为t， ∴， ∴， ∴S与t的函数关系式为； ②∵， ∴， ∴， ∴， 解得： ， 当时， ， 解得： 或， ∴当时，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：①如图2，设点， 过点C作直线，垂足为R，则，，， 由勾股定理得：，， 设，且， 则， ∵， ∴，令， 解得， ∴， ∵， ∴的最小值为； ②由①知：，， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 由抛物线的对称性可得：， ∴， ∴， ∴， 故的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $