第16讲 相似三角形之旋转模型（学霸秘籍，压轴题专项训练）2026年中考数学（江苏专用）

**基本信息** 聚焦江苏中考几何压轴，以旋转模型为核心，构建“考情-技巧-典例-预测”四层方法体系，通过图形演变深化相似三角形逻辑推理与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考情透视|考法综述|剖析压轴题命题趋势，明确旋转模型核心地位|从中考考情定位模型重要性| |技巧点拨|1基本模型+4演变模型|提炼“共顶点旋转得相似”通法，总结等边、等腰直角等图形旋转规律|从基本模型到特殊图形演变，构建逻辑链条| |核心精讲|2典例|拆解“猜想-探究-拓展”解题步骤，强化几何直观与推理能力|以典例承载模型应用，展示解题思维过程| |考题预测|21题（选择+填空+解答）|针对角相等、线段比例等高频考点设计训练，提升模型迁移能力|从基础应用到综合拓展，覆盖中考常见考法|

第十六讲 相似三角形之旋转模型『压轴题之经典模型培优方案』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【解析版】 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题几何模型，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 旋转模型相似是初中相似三角形中最高阶的模型，是中考几何压轴级的核心模型。它的基本模型是两个相似三角形，共一个顶点旋转，就会产生新的一对相似三角形。常见的类型有“两个等腰共顶点”、“两个等边共顶点”、“两个正方形共顶点”，它常常出现在压轴题中，用来证明角相等、线段成比例、求线段的长度、确定动点轨迹等等。 模块二 技巧点拨 方法揭秘 图示 推理 条件：若DE//AB，旋转△ADE 结论：△ABD∽△ACE 证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB， ∴△ADE∽△ABC，∴=． ∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE． 【模型演变】等边三角形的旋转、等腰直角三角形的旋转、矩形的旋转、正方形的旋转 条件：若△ADC、△CEM均为等边三角形 结论：△ACE≌△DCB 条件：若△ABC、△EDC均为等腰直角三角形 结论：△ACE∽△BCD 条件：将矩形ABCD绕点A逆时针旋转 结论：△ABB＇∽△ADD＇ 条件：若四边形ABCD、四边形EBGF均为正方形 结论：△ABE≌△CBG 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、． (1)猜想：的值是 ，直线与直线相交所成的锐角度数是 ； (2)探究：直线与垂直时，求线段的长； (3)拓展：取的中点，连接，直接写出线段长的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【思路引导】（1）证明，相似比为，可以看做绕点B逆时针旋转后放大得到，故直线与直线相交所成的锐角度数是； （2）证明，得到，分点在线段上和点在线段延长线上两类讨论，分别求出长，即可求出； （3）延长到G使得，连接，，则为等腰直角三角形，求出，证明，根据三角形三边关系求出取值范围，问题得解． 【完整解答】（1）解：由题意得，，都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，可以看作绕点B逆时针旋转后放大得到，故直线与直线相交所成的锐角度数是； （2）解：∵是腰长为4的等腰直角三角形，四边形的边长为2的正方形， ∴，，， ∴，， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴当时，、、三点在一直线上时， 在中，∵， ∴， 如图2，当点在线段上时， ， ∴； 如图3，当点在线段延长线上时， ， ∴． 综上所述，当时，线段的长为或； （3）解：延长到G使得，连接，， 则为等腰直角三角形， ∴， ∵M为中点，F为中点， ∴为的中位线， ∴， 在中，∵， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 【典例精讲二】如图，已知正方形，点是延长线上一点，连接，过点作于点，连接 ． (1)求证：； (2)作点关于直线的对称点，连接． ①依据题意补全图形； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【思路引导】（1）设BF与CD交于点G，根据三角形内角和定理，有，，再证明，通过等量代换，即可证得． （2）①按照题设要求作图即可；②过C作CN⊥CF交BF于点N，证明，得出是等腰直角三角形，运用同角的余角相等，证得是等腰直角三角形，，最后通过等量代换，证得． 【完整解答】（1）证明：如图，设BF与CD交于点G， 在中， ∵， ∴， ∴． ∵正方形， ∴， 在中， ， ∵，， ， ∴，即． （2）①解：作图如图所示， ②解：，证明如下， 如图，过C作CN⊥CF交BF于点N， ∵CN⊥CF， ∴，即． ∵正方形， ∴，即， ∴，， 又（1）中已证，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵，， ∴． ∵点关于直线的对称点是点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点是点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴，故． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质运用，以及等腰直角三角形的性质，综合运用以上几何知识是解题的关键． 模块四 考题预测 满分训练 一、选择题 1．如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　 ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【思路引导】①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，∠EAB、∠GAD与∠BAG的和均为90°，即可证明∠EAB与∠GAD相等；②由题意易得AD=DC，AG=FG，进而可得，∠DAG=∠CAF，然后问题可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证△HAF∽△FAC，则有，然后根据等量关系可求解；④由②及题意知∠ADG=∠ACF=45°，则问题可求证． 【完整解答】解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形 ∴∠EAG=∠BAD=90° 又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG ∴∠EAB=∠GAD ∴①正确 ②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形 ∴AD=DC，AG=FG ∴AC=AD，AF=AG ∴， 即 又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC ∴∠DAG=∠CAF ∴ ∴②正确 ③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线 ∴∠AFH=∠ACF=45° 又∵∠FAH=∠CAF ∴△HAF∽△FAC ∴ 即 又∵AF=AE ∴ ∴③正确 ④由②知 又∵四边形ABCD为正方形， AC为对角线 ∴∠ADG=∠ACF=45° ∴DG在正方形另外一条对角线上 ∴DG⊥AC ∴④正确 故选：D． 【考点剖析】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明． 二、填空题 2．已知正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结AG，CE交于点H，若，，则CH的长为________. 【答案】 【思路引导】连接EG，与DF交于N，设CD和AH交于M，证明△ANG∽ADM，得到，从而求出DM的长，再通过勾股定理算出AM的长，通过证明△ADG≌△CDE得到∠DAG=∠DCE，从而说明△ADM∽△CHM，得到，最后算出CH的长. 【完整解答】解：连接EG，与DF交于N，设CD和AH交于M， ∴∠GNA=90°，DN=FN=EN=GN， ∵∠MAD=∠GAN，∠MDA=∠GNA=90°， ∴△ANG∽ADM， ∴， ∵， ∴DF=EG=2, ∴DN=NG=1， ∵AD=AB=3， ∴， 解得：DM=， ∴MC=，AM=， ∵∠ADM+∠MDG=∠EDG+∠CDG， ∴∠ADG=∠EDC， 在△ADG和△CDE中， ， ∴△ADG≌△CDE（SAS）， ∴∠DAG=∠DCE， ∵∠AMD=∠CMH， ∴∠ADM=∠CHM=90°， ∴△ADM∽△CHM， ∴， 即， 解得：CH=. 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，综合性较强，解题的关键是找到合适的全等三角形和相似三角形，通过其性质计算出CH的长. 3．如图，在四边形中，，，，，则对角线的最大值为________．    【答案】 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形三边关系，掌握手拉手的相似模型是解题的关键． 以为底边构造顶角为的等腰三角形，过点E作，连接，根据等腰三角形的性质，求得，再证，利用边角关系证，求得，最后利用三角形三边关系，即可求解． 【完整解答】解：如图，以为底边构造顶角为的等腰三角形，过点E作，连接，   ， ， ， ， ， ， ，， ，，即， ， ， ， 根据三角形三边关系可知， 故当三点共线时，最长，最长为． 故答案为：． 4．如图，在 中，，，边上的高为，且是锐角,是边上的动点，连接，作，与边交于点，则经过点，，的的半径最小值为______． 【答案】 【思路引导】作的外接圆，由圆周角定理可得，所以，再作于点，可证，进而可得，再利用垂线段最短和三角形三边关系即可得解． 【完整解答】解：如图，作的外接圆，连接、、，过作于点， 设， ， ， 过作于点，过作于点，则， ， ， ，， ， ，即， ， ， 即， 解得， 的半径最小值为 故答案为： 【考点剖析】本题主要考查了圆周角定理、三角形的外接圆、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 5．如图，在中，，，，，以下结论正确的是_____． ①；②若，则；③和相似，则；④连接，则的最大值为．    【答案】②③ 【思路引导】本题考查了三角形综合．①根据已有已知不能确定长，故不能确定，②过点作交于点，由即可求出AH，进而求出，③由和相似，判定，由勾股定理即可求解，④过点作，交于点，分别求出，，在中，利用三角形的三边关系即可求出长的最大值． 【完整解答】解：①∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故结论①不正确， ②过点作交于点，    ∵，， ∴， ∴，故结论②正确， ③∵，， ∴， 又∵和相似，，， ∴， ∴，故结论③正确 ④如图，过点作，过点作交于点，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，∵，， ∴， 当，，三点共线时，最大，最大值为，故结论④错误． 故答案为：②③． 【考点剖析】本题涉及了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，构造相似三角形是解题的关键． 6．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论： ①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG； ②△ACF∽△ADG； ③； ④DG⊥AC． 其中正确的是_____．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【思路引导】根据正方形的性质可知，有对顶角相等，可证∠EAB＝∠BFE，由可证∠EAB＝∠DAG，可判断结论①正确；由，，两边对应成比例且夹角相等即可得△ACF∽△ADG，可判断结论②正确；由结论②可知，可得DG平分，由正方形可知是等腰直角三角形，可推出DG⊥AC，结论④正确；利用两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACF∽△AFH，根据相似的性质可得，则，又有，则结论③错误． 【完整解答】解：设AB与EF相交于点O，如图所示， ∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， ∴，． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 故结论①正确； ∵AC、AF是正方形ABCD和正方形AEFG的对角线， ∴，， ∴． 又∵， ∴， 即． ∴△ACF∽△ADG． 故结论②正确； 由△ACF∽△ADG可知， ∴DG平分． ∵是等腰直角三角形， ∴DG⊥AC． 故结论④正确； ∵，， ∴△ACF∽△AFH， ∴， ∴． ∵在等腰直角中，， ∴， 故结论③错误， ∴正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理证明三角形相似是解题的关键． 7．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF，其中正确的结论有_______（填正确的序号） 【答案】①②③④ 【思路引导】根据四边形是矩形，，可得，又，于是，故①符合题意；根据点是边的中点，以及，得出，根据相似三角形对应边成比例，可得，故②符合题意；过作交于，得到四边形是平行四边形，求出，得到，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③符合题意；根据得到与的比值，以及与的比值，据此求出，，可得，即可得到，故④符合题意． 【完整解答】解：如图，过作交于，交于， 四边形是矩形， ∴，，， ， 于点， ， ，故①符合题意； ∵， ，而E是AD的中点， ， ， ，故②符合题意； ∵， 四边形是平行四边形， ， ，， 于点，， ， 垂直平分， ，故③符合题意； ， ， ，， ， 又， ，故④符合题意； 故答案①②③④． 【考点剖析】本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算的综合应用，正确作出辅助线是解题的关键．解题时注意，相似三角形的对应边成比例． 8．如图，正方形的边长为8，线段绕着点逆时针方向旋转，且，连接，以为边作正方形，为边的中点，当线段的长最小时，______． 【答案】 【思路引导】连接BD，BF，FD，证明△EBC∽△FBD，根据题意，知道M，F，D三点一线时，FM最小，然后过点M作MG⊥BD，垂足为G，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理分别求出MG和DG的长，再根据正切的定义计算即可． 【完整解答】解：连接BD，BF，FD，如图， ∵， ∴， ∵∠FBD+∠DBE=45°，∠EBC+∠DBE=45°， ∴∠FBD=∠EBC， ∴△EBC∽△FBD， ∴∠FDB=∠ECB，， ∴DF=， 由题意知：FM、DF、DM三条线段满足FM+DF≥MD，其中DM、DF的值一定， ∴当M，F，D三点一线时，FM最小， 过点M作MN⊥BD，垂足为G， ∵∠MBN=45°，BM=AB=4， ∴MN=BN=2， ∵MD==4， ∴DG==6， ∴=， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质，手拉手相似模型，锐角三角函数，勾股定理，三角形面积，线段最值模型，熟练构造相似模型，准确确定线段最小值的条件是解题的关键． 9．已知正方形的边长为12，、分别在边、上，将沿折叠，使得点落在正方形内部（不含边界）的点处，的延长线交于点．若点在正方形的对称轴上，且满足，则折痕的长为______________． 【答案】或 【思路引导】根据得到点是的中点，再分两种情况讨论，①如答案图l，当点在对角线上时，过点作于点，过点作交的延长线于点，则四边形为矩形；利用相似三角形的性质即可求出EF；②答案如图2．当点在的中垂线上时，为的中点，过点作于点，过点作交的延长线于点，得到，，同①即可求出EF． 【完整解答】解：∵， ∴点是的中点， 又∵点在正方形的对称轴上， ∴分以下两种情况讨论： ①如答案图l，当点在对角线上时，过点作于点，过点作交的延长线于点，则四边形为矩形， ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，，由折叠可知， ∴， ∴， 设，，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴； ②如答案图2．当点在的中垂线上时，为的中点，过点作于点，过点作交的延长线于点， 则，， ∴，同理①可得， 综上所述，折痕的长为或． 【考点剖析】本题考查正方形的性质，轴对称变换，相似三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题 10．如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【思路引导】（1）根据，，，可得、均为等边三角形，可证明，即可得到的值； （2）根据，，，可得、均为等腰直角三角形，可证明，即可得到的值； （3）根据，D为AB的中点，，可以得到及的长度，根据，可得及的长度，利用勾股定理即可确定的长度，根据图5可得即可确定的长度； 【完整解答】（1）解：∵，，， ∴、均为等边三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即： 故答案为： （2）∵，，， ∴、均为等腰直角三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 即： （3）∵，D为AB的中点，， ∴，， ∵，与交于点， ∴， 在中， ， ∴如图5所示， 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转全等及相似模型是重点． 11．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】 （3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①，②． 【思路引导】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）①利用勾股定理求得，利用相似三角形的性质和相似三角形的判定解答即可； ②利用相似三角形的性质，对顶角相等的性质和三角形的内角和定理得到，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 【完整解答】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）①∵，， ∴设，则， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． ②设，交于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 12．如图，正方形的边长为1，点是边上的动点，从点沿向点运动，以为边，在的上方作正方形，连接．请探究： (1)线段与是否相等？请说明理由． (2)若，请给出证明；若设，，则当取何值时，最大？ (3)连接，当点运动到的何位置时，？请直接写出结论． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析；当时，有最大值 (3)点运动到的中点 【思路引导】本题考查了考查正方形的性质、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质等，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）先证明，即可用证明即可得出结论； （2）先利用两角对应相等的两个三角形相似证明，进而可得，即可求出函数解析式，继而求出最值； （3）要使，需，又因为，所以，即，所以当E点是的中点时，． 【完整解答】（1）解：， 理由： ∵四边形，都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图， ∵正方形和正方形， ∴， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴，即 ， ∴ ， ∴ 当时，有最大值为； （3）解：当E点是的中点时，． 理由如下： ∵ E是中点， ∴ ， ∴ ． 又∵， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 又∵， ∴． 13．【问题呈现】 如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点P为射线、的交点．探究，的位置关系． 【问题探究】 (1)如图1，若和是等腰直角三角形，求证：； (2)如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； (3)【拓展应用】在（1）的条件下，，，将绕点A旋转使点E恰好落在线段上，请直接写出此时的长度． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3) 【思路引导】本题主要了考查相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）利用两边对应成比例且夹角相等证明可得，再根据可得，再根据对顶角相等可得，然后运用等量代换即可证明结论； （2）与第（1）同样的方法证明； （3）当E恰好落在线段AB上时，利用（1）的结论和对顶角相等，证明然后分别根据相似三角形的性质求解即可． 【完整解答】（1）解：设交于点O，如图1； ∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． （2）解：成立，理由如下： 设交于点O，如图2， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 即． （3）解：如图：当点E在上时，    由（1）的结论可得， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 14．如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．    (1)求证：； (2)求的度数及的长； (3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】（1）证即可求证； （2）利用全等三角形的性质可得的度数；在上取点F，使，根据（1）中证明过程可证，即可求解； （3）过点Q作于G，设，根据重心的性质可得，进一步可证，即可求解． 【完整解答】（1）证明：∵和都为等边三角形， ∴ ∴， 即， ∴ （2）解：∵； ∴， 设交于O， ∵， ∴； 如图①在上取点F，使，    同（1）可得 ∴为等边三角形， ∴； （3）解：    如图②，过点Q作于G，设， ∵点Q、R分别是等边和等边的重心， ∴ ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ 【考点剖析】本题以“手拉手”全等三角形模型为背景，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．熟记相关结论进行几何推理是解题关键． 15．【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是　 ，位置关系是　 ； 【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）画出图形见解析，线段的长度为． 【思路引导】（1）由题意易得，，从而可证，然后根据三角形全等的性质可求解； （2）连接，由题意易得，进而可证，最后根据三角形全等的性质及角的等量关系可求证； （3）如图，过A作，由题意可知，，然后根据相似三角形的性质及题意易证，最后根据勾股定理及等积法进行求解即可． 【完整解答】解：（1）在中，， ， ， ，即， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 理由：如图2，连接， ∵在和中，，，， ， ， ∵，， ， ， ， ∴； （3）如图3，过A作AF⊥EC， 由题意可知，， ∴，即， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，2×， ． 【考点剖析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，关键是根据题意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性质得到相似三角形，进而求解． 16．在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中，，点为公共顶点，．如图②，若固定不动，把绕点逆时针旋转，使、与边的交点分别为、，点不与点重合，点不与点重合． (1)求证：； (2)已知等腰直角三角形的斜边长为4． ①请求出的值； ②若，请求出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①8②4﹣4 【思路引导】（1）利用三角形外角的性质可证等于，再由 等于 ，可证明结论． （2）①首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由 相似于 ，即可得出结论．②先求 等于 ，再求 等于 ，从而得出答案． 【完整解答】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°， 同理，∠DAE＝45°， ∵∠BAN＝∠BAM+∠DAE＝∠BAM+45°， ∠AMC＝∠BAM+∠B＝∠BAM+45°， ∴∠BAN＝∠AMC， ∴△BAN∽△CMA； （2）解：①∵等腰直角三角形的斜边长为4， ∴AB＝AC＝， ∵△BAN∽△CMA， ∴ ， ∴， ∴BN•CM＝8， 故BN•CM的值为8； ②∵BM＝CN， ∴BN＝CM， ∵BN•CM＝8， ∴BN＝CM＝， ∴MN＝BN+CM﹣BC＝， 故MN的长为． 【考点剖析】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用前面的结论解决新的问题是解题的关键． 17．已知ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且． (1)点D与点B重合时， ①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是 ，位置关系是 ； ②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由； (2)BD＝2CD时， ①如图3，k＝1时，若AE＝2，＝6，求FC的长度； ②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值． 【答案】(1)①AE＝FC；AE⊥FC；②AE＝2CF，AE⊥CF，见解析 (2)①6；② 【思路引导】（1）①如图1中，结论：AE＝FC；AE⊥FC；证明可得结论． ②如图2中，结论：AE＝2CF，AE⊥CF，证明△ABE∽△CBF可得结论． （2）①如图3中，过点D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T，首先证明DH＝HT＝HC，设DH＝HT＝HC＝m，再证明△EDT≌△FDC（SAS），推出S△EDT＝S△FDC＝6，ET＝FC，构建方程求出m即可解决问题． ②如图4，连接DM，CM，根点M作于K，交AC于J，证明，推出点是在DC的垂直平分线MK上，当时，MN的值最小． 【完整解答】（1）解：（1）① 　AE＝FC　， 　AE⊥FC　； 理由：由题意知BA＝BC，BE=BE，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：AE＝FC，AE⊥FC． ②AE＝2CF，AE⊥CF， 理由如下： ∵，， ∴△ABE∽△CBF， ∴，∠A＝∠BCF， ∴AE＝2CF， ∵∠A+∠ACB＝90°， ∴∠BCF+∠ACB＝90°， ∴AE⊥CF； （2）①如图3，过点D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T， 由题意知AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝45°， ∵DT∥AB，∴∠DTC＝∠DCT＝45°，∴DT＝DC， ∵DH⊥CT，∴HT＝HC， ∴DH＝HT＝HC，设DH＝HT＝HC＝m， ∴DT∥AB，∴， ∴AT＝4m， ∵AE＝2，∴ET＝4m﹣2， ∵DE＝DF，DT＝DC，∠EDF＝∠TDC＝90°， ∴∠EDT＝∠FDC，∴△EDT≌△FDC（SAS）， ∴S△EDT＝S△FDC＝6，ET＝FC， ∴， 解得m＝2或﹣（舍去）， ∴CF＝ET＝4m﹣2＝6； ②如图4，连接DM，CM，过点M作于K，交AC于J， 同法可证：， ∵， ∴， ∴点M是在DC的垂直平分线MK上，DC的长度不会变化， 当时，MN的值最小， 由题意：AB=10，BC=5，，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴， MN的最小值为． 【考点剖析】本题考查了相似三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握双子型基本模型是解题的关键． 18．综合探究 (1)【问题发现】 如图1，已知点为正方形对角线上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°到处，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程． (2)【类比探究】 如图2，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与点、重合）．在中，，，连接．请探究此时与的数量关系，并给出探究过程． (3)【拓展延伸】 如图3，在矩形中，，点为射线上一动点，点为的外接圆的圆心，连接，，若，则当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)的长为或 【思路引导】（1）①先根据旋转的性质得出，，再根据正方形的性质得出，，接着证明，从而可得； （2）先根据矩形的性质得出，再利用正切求得，，从而可得，再证明，从而可得，根据相似三角形的性质列出比例式，由此可得； （3）分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时．根据可得，再解三角形即可． 【完整解答】（1）解： 证明如下： 将绕点顺时针旋转90°到处， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， （2）， 理由如下： 四边形是矩形， ， ， ， 同理在中，， ， ， ， ， 即， ， ，即 （3）的长为或 解：方法一 在中，，， ， 当点在线段上时， ， 在中，， 过点作， 在中，，， ，， 在中，， ， ； 当点在线段的延长线上时： ， 在中，， 过点作， 同理，在中，，， 在中，， ． 综上所述，的长为或． 方法二： 在中，，， ， 连接并延长交于点，连接， 在中，为直径 ，，且， 又， ，， 由（2）得， 设，则，， ，， ， 或， 或． 19．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）①见解析；② 【思路引导】本题考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、直角三角形的性质，勾股定理，以及旋转的性质等知识点． （1）证明，根据相似三角形的性质可得，； （2）同理（1）可得可求，，由此求出； （3）分当在内时，当在外时， 两种情况，结合（1）的结论，利用直角三角形性质和勾股定理解三角形即可求解． 【完整解答】解：（1）；； ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）①如图②，过点作，垂足为， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由旋转可知：是等腰直角三角形， 同理（1）可得：；； 设，， 则，，， ∴， ∴， ②当在内时，如图③-1，过点作，垂足为， 同理可得：，；； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 当在内时，如图③-2， 同理可求：，， ∴ 综上所述：长为 20．如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点． (1)如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程； (2)①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）； ②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； (3)若，，请直接写出的长． 【答案】(1)1； (2)①；②； (3)或 【思路引导】（1）先用等量代换判断出，，得到，再判断出即可； （2）方法和（1）一样，先用等量代换判断出，，得到，再判断出即可； （3）由（2）的结论得出，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可． 【完整解答】（1）解：当时，即：， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， （2）， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， 成立如图3， ， ， 又， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， ． （3）由（2）有，， 又∵，， ， ∴，， ， ， 如图4图5图6，连接． 如图4，当E在线段上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ，或舍 如图5，当E在延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或舍， ③如图6，当E在延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或（舍）， 综上：或． 【考点剖析】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点． 21．（1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且点不与、重合，点不与、重合，，，，求的长．小明利用正方形的性质，通过把旋转到的位置（如图2），就计算出了的长为_____． （2）如图3，是正方形的边上的任意一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接．求的度数． （3）如图4，正方形中，过点再作，垂足为，连接．求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【思路引导】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）旋转可知， 、、在同一直线上，进而可得，再证明，即可得，由此即可得出结论； （2）根据正方形的性质结合已知条件证明，得出，进而证明是等腰直角三角形，即可求解； （3）连接，证明，根据相似三角形的性质即可得证． 【完整解答】（1）解：∵正方形 ， ∴，， ∵把旋转到的位置，如图2， ∴，，，， ∴， ，即、、在同一直线上， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， （2） 四边形是正方形， ，， ，， ， ，即 ， ， ， 是等腰直角三角形． ； （3）证明：如图4，连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六讲 相似三角形之旋转模型『压轴题之经典模型培优方案』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【原卷版】 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题几何模型，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 旋转模型相似是初中相似三角形中最高阶的模型，是中考几何压轴级的核心模型。它的基本模型是两个相似三角形，共一个顶点旋转，就会产生新的一对相似三角形。常见的类型有“两个等腰共顶点”、“两个等边共顶点”、“两个正方形共顶点”，它常常出现在压轴题中，用来证明角相等、线段成比例、求线段的长度、确定动点轨迹等等。 模块二 技巧点拨 方法揭秘 图示 推理 条件：若DE//AB，旋转△ADE 结论：△ABD∽△ACE 证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB， ∴△ADE∽△ABC，∴=． ∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE． 【模型演变】等边三角形的旋转、等腰直角三角形的旋转、矩形的旋转、正方形的旋转 条件：若△ADC、△CEM均为等边三角形 结论：△ACE≌△DCB 条件：若△ABC、△EDC均为等腰直角三角形 结论：△ACE∽△BCD 条件：将矩形ABCD绕点A逆时针旋转 结论：△ABB＇∽△ADD＇ 条件：若四边形ABCD、四边形EBGF均为正方形 结论：△ABE≌△CBG 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、． (1)猜想：的值是 ，直线与直线相交所成的锐角度数是 ； (2)探究：直线与垂直时，求线段的长； (3)拓展：取的中点，连接，直接写出线段长的取值范围． 【典例精讲二】如图，已知正方形，点是延长线上一点，连接，过点作于点，连接 ． (1)求证：； (2)作点关于直线的对称点，连接． ①依据题意补全图形； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 模块四 考题预测 满分训练 一、选择题 1．如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　 ） A．个 B．个 C．个 D． 二、填空题 2．已知正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结AG，CE交于点H，若，，则CH的长为________. 3．如图，在四边形中，，，，，则对角线的最大值为________．    4．如图，在 中，，，边上的高为，且是锐角,是边上的动点，连接，作，与边交于点，则经过点，，的的半径最小值为______． 5．如图，在中，，，，，以下结论正确的是_____． ①；②若，则；③和相似，则；④连接，则的最大值为．    6．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论： ①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG； ②△ACF∽△ADG； ③； ④DG⊥AC． 其中正确的是_____．（写出所有正确结论的序号） 7．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF，其中正确的结论有_______（填正确的序号） 8．如图，正方形的边长为8，线段绕着点逆时针方向旋转，且，连接，以为边作正方形，为边的中点，当线段的长最小时，______． 9．已知正方形的边长为12，、分别在边、上，将沿折叠，使得点落在正方形内部（不含边界）的点处，的延长线交于点．若点在正方形的对称轴上，且满足，则折痕的长为______________． 三、解答题 10．如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 11．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】 （3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 12．如图，正方形的边长为1，点是边上的动点，从点沿向点运动，以为边，在的上方作正方形，连接．请探究： (1)线段与是否相等？请说明理由． (2)若，请给出证明；若设，，则当取何值时，最大？ (3)连接，当点运动到的何位置时，？请直接写出结论． 13．【问题呈现】 如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点P为射线、的交点．探究，的位置关系． 【问题探究】 (1)如图1，若和是等腰直角三角形，求证：； (2)如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； (3)【拓展应用】在（1）的条件下，，，将绕点A旋转使点E恰好落在线段上，请直接写出此时的长度． 14．如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．    (1)求证：； (2)求的度数及的长； (3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长． 15．【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是　 ，位置关系是　 ； 【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度． 16．在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中，，点为公共顶点，．如图②，若固定不动，把绕点逆时针旋转，使、与边的交点分别为、，点不与点重合，点不与点重合． (1)求证：； (2)已知等腰直角三角形的斜边长为4． ①请求出的值； ②若，请求出的长． 17．已知ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且． (1)点D与点B重合时， ①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是 ，位置关系是 ； ②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由； (2)BD＝2CD时， ①如图3，k＝1时，若AE＝2，＝6，求FC的长度； ②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值． 18．综合探究 (1)【问题发现】 如图1，已知点为正方形对角线上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°到处，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程． (2)【类比探究】 如图2，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与点、重合）．在中，，，连接．请探究此时与的数量关系，并给出探究过程． (3)【拓展延伸】 如图3，在矩形中，，点为射线上一动点，点为的外接圆的圆心，连接，，若，则当时，请直接写出线段的长． 19．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 20．如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点． (1)如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程； (2)①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）； ②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； (3)若，，请直接写出的长． 21．（1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且点不与、重合，点不与、重合，，，，求的长．小明利用正方形的性质，通过把旋转到的位置（如图2），就计算出了的长为_____． （2）如图3，是正方形的边上的任意一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接．求的度数． （3）如图4，正方形中，过点再作，垂足为，连接．求证：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $