§6 简单几何体的再认识（题型专练）高一数学北师大版必修第二册

§6 简单几何体的再认识 题型一 简单旋转体的侧面积与表面积 1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积与表面积之比为（　　） A.2π∶（1＋2π） B.π∶（1＋π） C.2π∶（1＋π） D.π∶（1＋2π） 【答案】A　 【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，则2πr＝h，＝＝＝＝.故选A. 2.圆锥的表面积是底面积的4倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（　　） A.120° B.135° C.150° D.180° 【答案】A　 【解析】设扇形的母线长为l，底面半径为r，则πrl＋πr2＝4πr2，解得l＝3r，所以扇形的圆心角为＝.故选A. 3.某圆台的侧面积是上、下两底面积之差绝对值的2倍，则其母线与底面的夹角为（　　） A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】C　 【解析】设圆台上、下底面圆的半径分别为r，R（R＞r），母线长为l，由题意知，2π（R2－r2）＝πl（R＋r）， 即2（R－r）＝l，所以圆台的母线与底面的夹角的余弦值为cos θ＝＝，解得θ＝60°.故选C. 4.已知圆台的上、下底面中心分别为O1，O2，过直线O1O2的截面是上、下底边边长分别为2和4，且高为的等腰梯形，则该圆台的侧面积为（　　） A.3π B.3π C.6π D.6π 【答案】C　 【解析】设圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，高为h，母线长为l，由题意，r1＝1，r2＝2，且截面等腰梯形的腰是该圆台的母线，则母线长l＝＝＝2，则该圆台的侧面积S侧＝π（r1＋r2）l＝6π.故选C. 题型二 简单多面体的侧面积与表面积 5．在长方体中，底面是边长为1的正方形，，则该长方体的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【解析】因为长方体中，底面是边长为1的正方形，， 所以该长方体的表面积为，故选：A 6．若正三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的表面积为（ ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【解析】正三棱锥的所有棱长均为， 则正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形， 等边三角形的高为， 则该三棱锥的表面积为. 7．若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．24 【答案】D 【解析】如图，是正四棱锥的高，所以，是斜高，    由各侧面的面积之和是底面积的2倍可得，所以， 在中，，，所以，所以， 底面积，侧面积为， 表面积．故选：D． 8．如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ） A．640元 B．512元 C．390元 D．347.5元 【答案】B 【解析】因为正四棱台中，，高为8cm， 则侧面的斜高为. 所以. 所以该四棱台的表面积为， 又每平方厘米的防腐处理费用为0.5元， 所以该部件的防腐处理费用是元. 故选：B. 题型三 柱体的体积 9．已知直三棱柱.则直三棱柱的体积为（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【解析】因为直三棱柱， 所以直三棱柱的体积为. 故选：D. 10．已知圆柱的上，下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆柱的底面半径为，母线长为，由题意得：， 因为过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形， 所以，即，所以， 所以该圆柱的体积为，故选D. 11．《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圆柱的体积公式，可得四片瓦需要的粘土量为， 所以800片瓦需要的粘土量为． 故选：D． 12．一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设底面的面积为， 当底面水平放置时水面高度为16，所以水的体积为， 设侧面水平放置时，水呈四棱柱体，设四棱柱体的底面梯形的面积为， 则水的体积为，所以，所以， 设四棱柱体的底面梯形的高为，则可得，解得. 故选：D. 题型四 锥体的体积 13．若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆锥的母线，高， 所以底面半径， 故其体积.故选：A. 14．已知圆柱和圆锥的体积之比，底面半径之比为，则该圆柱和圆锥的高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆柱和圆锥的高分别为，底面半径分别为， 因为圆柱和圆锥的体积之比为，则，所以， 故选：A. 15．正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为45°，则该四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示： 正四棱锥中，正方形的对角线相交于点O，连接， 则平面，则为与底面所成角，且， 所以，且，所以， 所以该四棱锥的体积为. 故选：C. 16．已知正三棱锥的底面的边长为6，直线与底面所成角的余弦值为，则正三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，作平面，因为三棱锥为正三棱锥， 所以是正三角形的中心，连接， 正三棱锥的底面的边长为6，所以， 因为直线与底面所成角的余弦值为，即， 所以， 故,故选：B 题型五 台体的体积 17．已知一个圆柱与一个圆台的高和体积都相等，圆柱的底面半径是，圆台的上底面半径是1，则圆台的下底面半径是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】设圆柱的高为，圆台的下底面半径为，则圆台的高为， 圆柱的体积为， 所以圆台的体积为，解得（舍去）. 18．花盆的起源可追溯至浙江余姚河姆渡文化出土的陶片，距今已有7000年的历史，为了方便堆叠和排水，花盆为上宽下窄的圆台结构.小明家有一个花盆，其上底面圆的直径为，下底面圆的直径为，高为，则该花盆的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，该花盆为圆台结构，上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，高为， 则该花盆的体积为. 19．观星台是我国现存最古老的天文台，包含观星台在内的登封“天地之中”历史建筑群已被列为世界文化遗产.已知观星台台体一部分可以看作一个正四棱台，台高米，台下正四边形边长米多，台上正四边形边长约为台下正四边形边长之半，则该四棱台的体积可能为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【解析】设正四棱台的下底面边长为，高为，则上底面边长近似为，，； 所以正四棱台的体积，解得. 故选：D. 20．已知圆台的上、下底面的半径大小分别为2与4，其母线与下底面所成角的余弦值为，则该圆台体积的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设圆台上底面圆心为，下底面圆心为，梯形为圆台的轴截面，高为， 过作于，即为母线与下底面所成角，则. 因为圆台的上、下底面半径分别为2和4，所以， 由，所以，所以，即， 由圆台的体积公式为. 题型六 球的表面积与体积 21．若一个球的体积是，则这个球的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】设这个球的半径为，球的体积是，则，即这个球的半径. 22．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，设球的半径为，则圆锥的底面半径是，再设圆锥的高为， 则有，解得，所以圆锥的高与底面半径之比为． 23．将直径为3的半圆绕直径所在的直线旋转，半圆弧扫过区域的面积为（   ） A．12 B．9 C．3 D． 【答案】C 【解析】因为直径为3的半圆绕直径所在的直线旋转，所得曲面的面积为整个球表面积的， 所以半圆弧扫过区域的面积为，故选：C 24．球的半径为10，若它的截面面积是，则球心到截面的距离是（ ） A．9 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【解析】因为球的截面面积是，故截面圆的半径， 设球心到截面的距离是，则解得.故选：C 25．一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为，圆锥的母线长为，高为． 由，得，， ，则． 题型一 组合体的表面积和体积 26．已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为1：9，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为，内切球的半径为， 因为上下底面面积之比为1：9，所以，得， 所以圆台的侧面积为，得， 因为球与圆台的上下底面和侧面均相切，所以， 所以，得，所以，， 所以，得， 所以该球的表面积为，故选：A 27．如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】其中，是球心，是圆锥的顶点，是圆锥的母线， 由题意可知，解得， 由于圆柱的高为2，，，， 母线， ∴圆锥的侧面积为． 28.如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为24＋1.5π. 【答案】24＋1.5π 【解析】由该几何体的组合形式可知，其表面积应该是正方体的表面积减去中间圆柱的两个底面的面积，再加上圆柱的侧面积，故其表面积S＝6×22－π×0.52×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π. 29.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为36. 【答案】36 【解析】易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1， 所以S表＝2×22＋4×[22＋（）2＋12]＝36. 所以该几何体的表面积为36. 题型二 常见几何体的外接球 30．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】由球的体积为，可得球的半径满足，解得， 因为正方体的所有顶点在一个球面上，则有正方体的体对角线长度为， 设正方体的棱长为，则有，解得， 故选：C. 31．在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设长方体外接球的半径为． 因为，所以，该长方体外接球的体积． 32．在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 【答案】A 【解析】根据题意得四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同， 所以外接球的直径为， 所以外接球的表面积为， 故选：A. 33．已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将三棱锥补成长方体，如图， 设长方体的长、宽、高分别为， 由于三棱锥的棱长满足，，， 根据长方体面对角线的性质，可得，即， 所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以， 所以外接球的表面积.故选：A 34．已知圆台的上、下底面圆周都在半径为2的球面上，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆台下底面半径和球的半径均为2，所以圆台的下底面过球心， 下图为圆台外接球的轴截面，如图所示， 设球心为，圆台上底面圆心为，上底面半径为， 圆台下底面半径和球的半径为，圆台的高. 则由球的截面性质可知， 所以圆台的体积为. 故选：A 题型三 常见几何体的内切球 35．“圆柱容球”是阿基米德最欣赏的几何体．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，球与圆柱的体积之比为，表面积之比为，则（    ）    A．， B． C．， D． 【答案】B 【解析】设球的半径为，则球的体积为，圆柱的体积为， 球的表面积为，圆柱的表面积为， 所以，，所以． 故选：B. 36．正四面体的棱长为，则该几何体的内切球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设该正四面体内切球的半径， 设是的中点， 因为四面体是正四面体，所以， 因此， 设点在底面的射影为点，则点在线段上， 因为正四面体的棱长为， 所以，所以， 因为， 得， 故选：B 37.若一个圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为（　　） A.4π（R＋r）2 B.4πR2r2 C.4πRr D.π（R＋r）2 【答案】C 【解析】法一　作圆台的轴截面，如图所示，设球的半径为r1，M，N，F分别是圆O与AD，BC，AB的切点.易知AM＝AF，BN＝BF，又BN＝R，AM＝r，则AB＝R＋r，即CD＝R＋r.过点D作DE⊥BC于点E，在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，CD＝R＋r，由勾股定理得4＝（R＋r）2－（R－r）2，解得r1＝.故球的表面积S球面＝4π＝4πRr. 法二　如图所示，设球O的半径为r2，连接OA，OB，M，N，F分别是圆O与AD，BC，AB的切点.易知AF＝AM＝r，BF＝BN＝R，∠MAO＝∠FAO，∠NBO＝∠FBO，又∠MAO＋∠FAO＋∠NBO＋∠FBO＝180°，所以∠OAF＋∠OBF＝90°，即∠AOB＝90°.在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高，由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即＝Rr，故r2＝.故球的表面积S球面＝4π＝4πRr. 38.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且圆锥内切球的半径为1，则圆锥的表面积为 . 【答案】9π 【解析】因为圆锥的内切球与外接球的球心重合，所以圆锥的轴截面为等边三角形，设其边长为a，则·a＝1，a＝2，所以圆锥的底面圆半径为，从而圆锥的表面积S＝πrl＋πr2＝π··2＋π·（）2＝9π. 39.一个高为16的圆锥外接一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球.求： （1）圆锥的侧面积； （2）圆锥内切球的体积. 【解】（1）如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB外接圆O，而圆O1内切于△SAB.设圆O的半径为R，则有πR3＝972π， ∴R3＝729，R＝9， ∴SE＝2R＝18. ∵SD＝16，∴ED＝2. ∵SE是直径，∴SA⊥AE， ∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，AD2＝SD×DE＝16×2＝32， ∴SA＝12，AD＝4， ∴S圆锥侧＝π×AD×SA＝π×4×12＝96π. （2）设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r. ∵△SAB的周长为2×（12＋4）＝32， ∴r×32＝×8×16，解得r＝4， ∴圆锥内切球的体积V球＝πr3＝π. 1．已知圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形， 则有圆锥的底面半径，母线长为， ∴圆锥的侧面积为，故选：C. 2．现在国际乒乓球赛的用球已由“小球”改为“大球”．“小球”的直径为38mm，“大球”的直径为40mm，则“小球”的表面积与“大球”的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以． 故选：C 3．在边长为2的菱形ABCD中，，以AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，旋转后所得的几何体的上部分为圆锥，下部分为圆柱内挖去一个与上部分完全相同的圆锥，如下图所示， 在边长为2的菱形ABCD中，， 则圆柱底面圆的半径为，圆锥的高为， 所以一个圆锥的侧面积为，一个圆柱的侧面积为， 所以该几何体的表面积为． 4．球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高（如图）．若球缺的底面半径为，高为，则球缺的体积．已知棱长为2的正方体的各个顶点都在球上，平面将球截成两部分，那么较小部分的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设外接球圆心为，平面截外接球所得圆圆心为. 由题意正方体外接球的半径，平面截外接球所得圆的半径为. 到的距离，则球缺的高. 所以． 5．已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆锥的底面半径为r，则其母线长为2r，高为， 所以该圆锥的表面积为， 设球O的半径为R，则球O的表面积为， 由题意知，所以， 圆锥的体积，球O的体积， 所以. 6．在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，，则，所以， 将直三棱柱补成长方体，如下图所示：    所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即直径为， 因此，该直三棱柱的外接球的表面积为． 7．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，设点为底面的投影，因为， 则为正三角形的中心，计算可得， 则平面，连接 在中，： ， 设外接球的球心为，半径为，则在直线上. 设，则， 在中：解得：， 所以，即. 所以三棱锥外接球的半径为. 8．如图，在正三棱台中，为棱的中点，且，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将正三棱台中补成正三棱锥，如图所示． 因为为棱的中点，所以，又， 所以四边形是平行四边形.所以. 由，且，得是的中位线，所以分别为的中点， 故，与的面积比为. 所以三棱锥是正四面体. 取底面的中心为，连接，易知底面，又平面，所以． 因为为正三角形，，． 在中，． 所以正四面体的体积为. 所以． 9．已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设圆台的上底面圆的半径为，则圆锥的底面圆和圆台的下底面圆的半径均为， 圆锥的母线， 圆锥的侧面积是，，得，解得; 圆台的母线， 圆台侧面积为． 10．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（   ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的表面积之比为 【答案】CD 【解析】由题意可得，圆柱的侧面积为，A错误； 圆锥的母线长，则侧面积为，B错误； 球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确； 圆柱的表面积为，圆锥的表面积为， 所以圆柱、圆锥、球的表面积之比为，D正确． 故选：CD 11．如图，四边形ABCD为正方形，平面平面CDF，，，，，且．记三棱锥，，的体积分别为，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由已知，将几何体补形为正方体，如图，设该正方体的棱长为1， 则， ， ， 所以，．    故选：AC. 12．如图，圆锥的底面半径为3，高为，过靠近的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥母线与底面所成的角为 B．圆锥的侧面积为 C．挖去圆柱的体积为 D．剩下几何体的表面积为 【答案】ACD 【解析】 因为圆锥的底面半径为3，高为，所以母线长， 则，即圆锥母线与底面所成的角为，故A正确； 圆锥的侧面积，故B错误； 因为为的三等分点，所以， 则圆柱的体积为，故C正确； 圆柱的侧面积， 剩下几何体的表面积，故D正确； 故选：ACD. 13．已知正四面体的表面积为，此四面体的内切球的表面积为，则＝______． 【答案】 【解析】设四面体的棱长为，则底面三角形的高为，且底面中心将底面三角形的高分为两段， 所以底面中心到顶点的距离为可得正四面体的高为， 所以正四面体的体积 设正四面体的内切球半径为则， 所以内切球表面积，又正四面体的表面积， 所以 14．已知圆锥与圆柱的底面积相等，体积也相等，若过圆柱的轴的截面为正方形，则圆锥和圆柱侧面积的比值为______． 【答案】 【解析】由圆锥与圆柱的底面积相等，所以圆柱和圆锥的底面半径相等，设为， 由圆柱的轴截面是一个正方形，故其高，设圆锥的高为， 由圆锥与圆柱的体积相等得，，所以， 则圆锥的侧面积， 圆柱的侧面积，则. 15．如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该圆台的体积与球的体积之比为______. 【答案】/ 【解析】过作于点，如图：    则，. 由题意得，均为圆的切点， 由切线的性质可知所以. 则，所以，所以球的半径， 所以球的体积，圆台的体积， 所以. 16．在中，，，过点A作直线，将绕直线l旋转一周所得到的几何体记为Ω，若Ω的体积是，则Ω的表面积为______. 【答案】 【解析】为直角三角形，，，直线l∥BC且过点A， 设，所以斜边， 将绕直线旋转一周，生成的几何体是一个大圆柱挖去一个小圆锥的组合体， 所以圆柱上底面半径，高， 被挖去的圆锥的底面半径，高与圆柱相同，即， 则圆柱体积：， 圆锥体积：， 所以组合体体积：， 则，即，所以， 几何体Ω的表面积由三部分构成： 圆柱的侧面积：， 圆柱的上底面面积：， 圆锥的侧面积：圆锥母线长为，， 所以总表面积：. 17．一个圆锥的底面半径为2，高为6，在圆锥内部有一个高为的内接圆柱. (1)求该圆锥的表面积； (2)用表示圆柱的轴截面面积；当为何值时，求最大值. 【解】（1）设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则，， ， 则圆锥的侧面积为， 圆锥的底面积为， 则圆锥的表面积； （2）设圆柱的底面半径为，则由三角形相似得到，解得， 则圆柱的轴截面面积为， 对称轴为，当时，. 18．如图，在四边形中，，四边形绕所在直线旋转一周所形成新的几何体． (1)求该几何体的表面积和体积； (2)若旋转过程中，点和点始终落在球上，求球的表面积． 【解】（1）如图，在中，， 从而.则， 过点作于，则， 从而四边形为矩形，即有，, 从而，则在中, . 该几何体的表面积包含旋转一周得到的曲面，旋转一周得到的曲面，以及旋转一周得到的圆面. 而， ， ， 从而该几何体的表面积 该几何体的体积可看成由梯形旋转得到的圆台挖去由三角形旋转得到的圆锥，则. （2）如图，由题意球的球心在直线上，设， 则， 又， 则，解得. 从而球的半径， 球的表面积. 19．如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，. (1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； (2)若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值 【解】（1）设圆锥的底面半径为，母线为，， 圆锥的侧面积，所以， 则圆锥的高， 则圆锥的体积； （2）因为平面，平面， 所以，又因为，，平面， 所以平面，则与平面所成角为，所以， 又因为，所以，取的中点，连结，， 因为，， 所以，，为二面角的平面角, 因为，， 所以，， 所以二面角的平面角的正切值为. 20．已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点. (1)求证： 平面； (2)求证：平面. (3)求三棱锥的体积. 【解】（1）如图， 连接，， 四边形为矩形，为的中点， 与交于点，且为的中点， 又点为的中点，， 又平面，且平面， 平面. （2）直三棱柱满足，， 又点为的中点，且面，面， 所以，， 又，面， 平面. （3）由图可知， ，，， 又三棱柱为直三棱柱，且， . ，，点为的中点， 所以. 由（2）可知平面. 所以点到平面的距离为， 又点为的中点， 所以点到平面的距离为， . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ §6 简单几何体的再认识 题型一 简单旋转体的侧面积与表面积 1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积与表面积之比为（　　） A.2π∶（1＋2π） B.π∶（1＋π） C.2π∶（1＋π） D.π∶（1＋2π） 2.圆锥的表面积是底面积的4倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（　　） A.120° B.135° C.150° D.180° 3.某圆台的侧面积是上、下两底面积之差绝对值的2倍，则其母线与底面的夹角为（　　） A.30° B.45° C.60° D.75° 4.已知圆台的上、下底面中心分别为O1，O2，过直线O1O2的截面是上、下底边边长分别为2和4，且高为的等腰梯形，则该圆台的侧面积为（　　） A.3π B.3π C.6π D.6π 题型二 简单多面体的侧面积与表面积 5．在长方体中，底面是边长为1的正方形，，则该长方体的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 6．若正三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的表面积为（ ） A．4 B． C． D． 7．若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．24 8．如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ） A．640元 B．512元 C．390元 D．347.5元 题型三 柱体的体积 9．已知直三棱柱.则直三棱柱的体积为（    ） A．2 B． C．6 D． 10．已知圆柱的上，下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的体积为（　　） A． B． C． D． 11．《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（   ）    A． B． C． D． 12．一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（   ） A． B． C． D． 题型四 锥体的体积 13．若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 14．已知圆柱和圆锥的体积之比，底面半径之比为，则该圆柱和圆锥的高之比为（    ） A． B． C． D． 15．正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为45°，则该四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 16．已知正三棱锥的底面的边长为6，直线与底面所成角的余弦值为，则正三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 题型五 台体的体积 17．已知一个圆柱与一个圆台的高和体积都相等，圆柱的底面半径是，圆台的上底面半径是1，则圆台的下底面半径是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 18．花盆的起源可追溯至浙江余姚河姆渡文化出土的陶片，距今已有7000年的历史，为了方便堆叠和排水，花盆为上宽下窄的圆台结构.小明家有一个花盆，其上底面圆的直径为，下底面圆的直径为，高为，则该花盆的体积为（   ） A． B． C． D． 19．观星台是我国现存最古老的天文台，包含观星台在内的登封“天地之中”历史建筑群已被列为世界文化遗产.已知观星台台体一部分可以看作一个正四棱台，台高米，台下正四边形边长米多，台上正四边形边长约为台下正四边形边长之半，则该四棱台的体积可能为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 20．已知圆台的上、下底面的半径大小分别为2与4，其母线与下底面所成角的余弦值为，则该圆台体积的大小为（   ） A． B． C． D． 题型六 球的表面积与体积 21．若一个球的体积是，则这个球的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为（    ） A． B． C． D． 23．将直径为3的半圆绕直径所在的直线旋转，半圆弧扫过区域的面积为（   ） A．12 B．9 C．3 D． 24．球的半径为10，若它的截面面积是，则球心到截面的距离是（ ） A．9 B．8 C．6 D．4 25．一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为（   ） A．1 B． C． D． 题型一 组合体的表面积和体积 26．已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为1：9，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 27．如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为______． 28.如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为24＋1.5π. 29.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为36. 题型二 常见几何体的外接球 30．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（   ） A． B． C． D．1 31．在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 32．在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 33．已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 34．已知圆台的上、下底面圆周都在半径为2的球面上，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 题型三 常见几何体的内切球 35．“圆柱容球”是阿基米德最欣赏的几何体．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，球与圆柱的体积之比为，表面积之比为，则（    ）    A．， B． C．， D． 36．正四面体的棱长为，则该几何体的内切球的表面积为（ ） A． B． C． D． 37.若一个圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为（　　） A.4π（R＋r）2 B.4πR2r2 C.4πRr D.π（R＋r）2 38.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且圆锥内切球的半径为1，则圆锥的表面积为 . 39.一个高为16的圆锥外接一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球.求： （1）圆锥的侧面积； （2）圆锥内切球的体积. 1．已知圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．现在国际乒乓球赛的用球已由“小球”改为“大球”．“小球”的直径为38mm，“大球”的直径为40mm，则“小球”的表面积与“大球”的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 3．在边长为2的菱形ABCD中，，以AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高（如图）．若球缺的底面半径为，高为，则球缺的体积．已知棱长为2的正方体的各个顶点都在球上，平面将球截成两部分，那么较小部分的体积为（ ） A． B． C． D． 5．已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（   ） A． B． C． D． 6．在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 7．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正三棱台中，为棱的中点，且，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 9．已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（   ） A． B． C． D． 10．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（   ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的表面积之比为 11．如图，四边形ABCD为正方形，平面平面CDF，，，，，且．记三棱锥，，的体积分别为，，，则（    ）    A． B． C． D． 12．如图，圆锥的底面半径为3，高为，过靠近的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥母线与底面所成的角为 B．圆锥的侧面积为 C．挖去圆柱的体积为 D．剩下几何体的表面积为 13．已知正四面体的表面积为，此四面体的内切球的表面积为，则＝______． 14．已知圆锥与圆柱的底面积相等，体积也相等，若过圆柱的轴的截面为正方形，则圆锥和圆柱侧面积的比值为______． 15．如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该圆台的体积与球的体积之比为______. 16．在中，，，过点A作直线，将绕直线l旋转一周所得到的几何体记为Ω，若Ω的体积是，则Ω的表面积为______. 17．一个圆锥的底面半径为2，高为6，在圆锥内部有一个高为的内接圆柱. (1)求该圆锥的表面积； (2)用表示圆柱的轴截面面积；当为何值时，求最大值. 18．如图，在四边形中，，四边形绕所在直线旋转一周所形成新的几何体． (1)求该几何体的表面积和体积； (2)若旋转过程中，点和点始终落在球上，求球的表面积． 19．如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，. (1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； (2)若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值 20．已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点. (1)求证： 平面； (2)求证：平面. (3)求三棱锥的体积. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ §6 简单几何体的再认识 题型一 简单旋转体的侧面积与表面积 1.【答案】A　 【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，则2πr＝h，＝＝＝＝.故选A. 2.【答案】A　 【解析】设扇形的母线长为l，底面半径为r，则πrl＋πr2＝4πr2，解得l＝3r，所以扇形的圆心角为＝.故选A. 3.【答案】C　 【解析】设圆台上、下底面圆的半径分别为r，R（R＞r），母线长为l，由题意知，2π（R2－r2）＝πl（R＋r）， 即2（R－r）＝l，所以圆台的母线与底面的夹角的余弦值为cos θ＝＝，解得θ＝60°.故选C. 4.【答案】C　 【解析】设圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，高为h，母线长为l，由题意，r1＝1，r2＝2，且截面等腰梯形的腰是该圆台的母线，则母线长l＝＝＝2，则该圆台的侧面积S侧＝π（r1＋r2）l＝6π.故选C. 题型二 简单多面体的侧面积与表面积 5.【答案】A 【解析】因为长方体中，底面是边长为1的正方形，， 所以该长方体的表面积为，故选：A 6.【答案】A 【解析】正三棱锥的所有棱长均为， 则正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形， 等边三角形的高为， 则该三棱锥的表面积为. 7.【答案】D 【解析】如图，是正四棱锥的高，所以，是斜高，    由各侧面的面积之和是底面积的2倍可得，所以， 在中，，，所以，所以， 底面积，侧面积为， 表面积．故选：D． 8.【答案】B 【解析】因为正四棱台中，，高为8cm， 则侧面的斜高为. 所以. 所以该四棱台的表面积为， 又每平方厘米的防腐处理费用为0.5元， 所以该部件的防腐处理费用是元. 故选：B. 题型三 柱体的体积 9.【答案】D 【解析】因为直三棱柱， 所以直三棱柱的体积为. 故选：D. 10.【答案】D 【解析】设圆柱的底面半径为，母线长为，由题意得：， 因为过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形， 所以，即，所以， 所以该圆柱的体积为，故选D. 11.【答案】D 【解析】由圆柱的体积公式，可得四片瓦需要的粘土量为， 所以800片瓦需要的粘土量为． 故选：D． 12.【答案】D 【解析】设底面的面积为， 当底面水平放置时水面高度为16，所以水的体积为， 设侧面水平放置时，水呈四棱柱体，设四棱柱体的底面梯形的面积为， 则水的体积为，所以，所以， 设四棱柱体的底面梯形的高为，则可得，解得. 故选：D. 题型四 锥体的体积 13.【答案】A 【解析】因为圆锥的母线，高， 所以底面半径， 故其体积.故选：A. 14.【答案】A 【解析】设圆柱和圆锥的高分别为，底面半径分别为， 因为圆柱和圆锥的体积之比为，则，所以， 故选：A. 15.【答案】C 【解析】如图所示： 正四棱锥中，正方形的对角线相交于点O，连接， 则平面，则为与底面所成角，且， 所以，且，所以， 所以该四棱锥的体积为. 故选：C. 16.【答案】B 【解析】如图所示，作平面，因为三棱锥为正三棱锥， 所以是正三角形的中心，连接， 正三棱锥的底面的边长为6，所以， 因为直线与底面所成角的余弦值为，即， 所以， 故,故选：B 题型五 台体的体积 17.【答案】B 【解析】设圆柱的高为，圆台的下底面半径为，则圆台的高为， 圆柱的体积为， 所以圆台的体积为，解得（舍去）. 18.【答案】B 【解析】由题意，该花盆为圆台结构，上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，高为， 则该花盆的体积为. 19.【答案】D 【解析】设正四棱台的下底面边长为，高为，则上底面边长近似为，，； 所以正四棱台的体积，解得. 故选：D. 20.【答案】B 【解析】如图，设圆台上底面圆心为，下底面圆心为，梯形为圆台的轴截面，高为， 过作于，即为母线与下底面所成角，则. 因为圆台的上、下底面半径分别为2和4，所以， 由，所以，所以，即， 由圆台的体积公式为. 题型六 球的表面积与体积 21.【答案】A 【解析】设这个球的半径为，球的体积是，则，即这个球的半径. 22.【答案】C 【解析】依题意，设球的半径为，则圆锥的底面半径是，再设圆锥的高为， 则有，解得，所以圆锥的高与底面半径之比为． 23.【答案】C 【解析】因为直径为3的半圆绕直径所在的直线旋转，所得曲面的面积为整个球表面积的， 所以半圆弧扫过区域的面积为，故选：C 24.【答案】C 【解析】因为球的截面面积是，故截面圆的半径， 设球心到截面的距离是，则解得.故选：C 25.【答案】D 【解析】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为，圆锥的母线长为，高为． 由，得，， ，则． 题型一 组合体的表面积和体积 26.【答案】A 【解析】设圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为，内切球的半径为， 因为上下底面面积之比为1：9，所以，得， 所以圆台的侧面积为，得， 因为球与圆台的上下底面和侧面均相切，所以， 所以，得，所以，， 所以，得， 所以该球的表面积为，故选：A 27.【答案】 【解析】其中，是球心，是圆锥的顶点，是圆锥的母线， 由题意可知，解得， 由于圆柱的高为2，，，， 母线， ∴圆锥的侧面积为． 28.【答案】24＋1.5π 【解析】由该几何体的组合形式可知，其表面积应该是正方体的表面积减去中间圆柱的两个底面的面积，再加上圆柱的侧面积，故其表面积S＝6×22－π×0.52×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π. 29.【答案】36 【解析】易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1， 所以S表＝2×22＋4×[22＋（）2＋12]＝36. 所以该几何体的表面积为36. 题型二 常见几何体的外接球 30.【答案】C 【解析】由球的体积为，可得球的半径满足，解得， 因为正方体的所有顶点在一个球面上，则有正方体的体对角线长度为， 设正方体的棱长为，则有，解得， 故选：C. 31.【答案】A 【解析】设长方体外接球的半径为． 因为，所以，该长方体外接球的体积． 32.【答案】A 【解析】根据题意得四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同， 所以外接球的直径为， 所以外接球的表面积为， 故选：A. 33.【答案】A 【解析】将三棱锥补成长方体，如图， 设长方体的长、宽、高分别为， 由于三棱锥的棱长满足，，， 根据长方体面对角线的性质，可得，即， 所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以， 所以外接球的表面积.故选：A 34.【答案】A 【解析】因为圆台下底面半径和球的半径均为2，所以圆台的下底面过球心， 下图为圆台外接球的轴截面，如图所示， 设球心为，圆台上底面圆心为，上底面半径为， 圆台下底面半径和球的半径为，圆台的高. 则由球的截面性质可知， 所以圆台的体积为. 故选：A 题型三 常见几何体的内切球 35.【答案】B 【解析】设球的半径为，则球的体积为，圆柱的体积为， 球的表面积为，圆柱的表面积为， 所以，，所以． 故选：B. 36.【答案】B 【解析】 设该正四面体内切球的半径， 设是的中点， 因为四面体是正四面体，所以， 因此， 设点在底面的射影为点，则点在线段上， 因为正四面体的棱长为， 所以，所以， 因为， 得， 故选：B 37.【答案】C 【解析】法一　作圆台的轴截面，如图所示，设球的半径为r1，M，N，F分别是圆O与AD，BC，AB的切点.易知AM＝AF，BN＝BF，又BN＝R，AM＝r，则AB＝R＋r，即CD＝R＋r.过点D作DE⊥BC于点E，在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，CD＝R＋r，由勾股定理得4＝（R＋r）2－（R－r）2，解得r1＝.故球的表面积S球面＝4π＝4πRr. 法二　如图所示，设球O的半径为r2，连接OA，OB，M，N，F分别是圆O与AD，BC，AB的切点.易知AF＝AM＝r，BF＝BN＝R，∠MAO＝∠FAO，∠NBO＝∠FBO，又∠MAO＋∠FAO＋∠NBO＋∠FBO＝180°，所以∠OAF＋∠OBF＝90°，即∠AOB＝90°.在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高，由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即＝Rr，故r2＝.故球的表面积S球面＝4π＝4πRr. 38.【答案】9π 【解析】因为圆锥的内切球与外接球的球心重合，所以圆锥的轴截面为等边三角形，设其边长为a，则·a＝1，a＝2，所以圆锥的底面圆半径为，从而圆锥的表面积S＝πrl＋πr2＝π··2＋π·（）2＝9π. 39.【解】（1）如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB外接圆O，而圆O1内切于△SAB.设圆O的半径为R，则有πR3＝972π， ∴R3＝729，R＝9， ∴SE＝2R＝18. ∵SD＝16，∴ED＝2. ∵SE是直径，∴SA⊥AE， ∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，AD2＝SD×DE＝16×2＝32， ∴SA＝12，AD＝4， ∴S圆锥侧＝π×AD×SA＝π×4×12＝96π. （2）设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r. ∵△SAB的周长为2×（12＋4）＝32， ∴r×32＝×8×16，解得r＝4， ∴圆锥内切球的体积V球＝πr3＝π. 1.【答案】C 【解析】圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形， 则有圆锥的底面半径，母线长为， ∴圆锥的侧面积为，故选：C. 2.【答案】C 【解析】因为，， 所以． 故选：C 3.【答案】A 【解析】依题意，旋转后所得的几何体的上部分为圆锥，下部分为圆柱内挖去一个与上部分完全相同的圆锥，如下图所示， 在边长为2的菱形ABCD中，， 则圆柱底面圆的半径为，圆锥的高为， 所以一个圆锥的侧面积为，一个圆柱的侧面积为， 所以该几何体的表面积为． 4.【答案】A 【解析】设外接球圆心为，平面截外接球所得圆圆心为. 由题意正方体外接球的半径，平面截外接球所得圆的半径为. 到的距离，则球缺的高. 所以． 5.【答案】D 【解析】设圆锥的底面半径为r，则其母线长为2r，高为， 所以该圆锥的表面积为， 设球O的半径为R，则球O的表面积为， 由题意知，所以， 圆锥的体积，球O的体积， 所以. 6.【答案】C 【解析】因为，，，则，所以， 将直三棱柱补成长方体，如下图所示：    所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即直径为， 因此，该直三棱柱的外接球的表面积为． 7.【答案】C 【解析】如图，设点为底面的投影，因为， 则为正三角形的中心，计算可得， 则平面，连接 在中，： ， 设外接球的球心为，半径为，则在直线上. 设，则， 在中：解得：， 所以，即. 所以三棱锥外接球的半径为. 8.【答案】B 【解析】将正三棱台中补成正三棱锥，如图所示． 因为为棱的中点，所以，又， 所以四边形是平行四边形.所以. 由，且，得是的中位线，所以分别为的中点， 故，与的面积比为. 所以三棱锥是正四面体. 取底面的中心为，连接，易知底面，又平面，所以． 因为为正三角形，，． 在中，． 所以正四面体的体积为. 所以． 9.【答案】C 【解析】 设圆台的上底面圆的半径为，则圆锥的底面圆和圆台的下底面圆的半径均为， 圆锥的母线， 圆锥的侧面积是，，得，解得; 圆台的母线， 圆台侧面积为． 10.【答案】CD 【解析】由题意可得，圆柱的侧面积为，A错误； 圆锥的母线长，则侧面积为，B错误； 球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确； 圆柱的表面积为，圆锥的表面积为， 所以圆柱、圆锥、球的表面积之比为，D正确． 故选：CD 11.【答案】AC 【解析】由已知，将几何体补形为正方体，如图，设该正方体的棱长为1， 则， ， ， 所以，．    故选：AC. 12.【答案】ACD 【解析】 因为圆锥的底面半径为3，高为，所以母线长， 则，即圆锥母线与底面所成的角为，故A正确； 圆锥的侧面积，故B错误； 因为为的三等分点，所以， 则圆柱的体积为，故C正确； 圆柱的侧面积， 剩下几何体的表面积，故D正确； 故选：ACD. 13.【答案】 【解析】设四面体的棱长为，则底面三角形的高为，且底面中心将底面三角形的高分为两段， 所以底面中心到顶点的距离为可得正四面体的高为， 所以正四面体的体积 设正四面体的内切球半径为则， 所以内切球表面积，又正四面体的表面积， 所以 14.【答案】 【解析】由圆锥与圆柱的底面积相等，所以圆柱和圆锥的底面半径相等，设为， 由圆柱的轴截面是一个正方形，故其高，设圆锥的高为， 由圆锥与圆柱的体积相等得，，所以， 则圆锥的侧面积， 圆柱的侧面积，则. 15.【答案】/ 【解析】过作于点，如图：    则，. 由题意得，均为圆的切点， 由切线的性质可知所以. 则，所以，所以球的半径， 所以球的体积，圆台的体积， 所以. 16.【答案】 【解析】为直角三角形，，，直线l∥BC且过点A， 设，所以斜边， 将绕直线旋转一周，生成的几何体是一个大圆柱挖去一个小圆锥的组合体， 所以圆柱上底面半径，高， 被挖去的圆锥的底面半径，高与圆柱相同，即， 则圆柱体积：， 圆锥体积：， 所以组合体体积：， 则，即，所以， 几何体Ω的表面积由三部分构成： 圆柱的侧面积：， 圆柱的上底面面积：， 圆锥的侧面积：圆锥母线长为，， 所以总表面积：. 17.【解】（1）设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则，， ， 则圆锥的侧面积为， 圆锥的底面积为， 则圆锥的表面积； （2）设圆柱的底面半径为，则由三角形相似得到，解得， 则圆柱的轴截面面积为， 对称轴为，当时，. 18.【解】（1）如图，在中，， 从而.则， 过点作于，则， 从而四边形为矩形，即有，, 从而，则在中, . 该几何体的表面积包含旋转一周得到的曲面，旋转一周得到的曲面，以及旋转一周得到的圆面. 而， ， ， 从而该几何体的表面积 该几何体的体积可看成由梯形旋转得到的圆台挖去由三角形旋转得到的圆锥，则. （2）如图，由题意球的球心在直线上，设， 则， 又， 则，解得. 从而球的半径， 球的表面积. 19.【解】（1）设圆锥的底面半径为，母线为，， 圆锥的侧面积，所以， 则圆锥的高， 则圆锥的体积； （2）因为平面，平面， 所以，又因为，，平面， 所以平面，则与平面所成角为，所以， 又因为，所以，取的中点，连结，， 因为，， 所以，，为二面角的平面角, 因为，， 所以，， 所以二面角的平面角的正切值为. 20.【解】（1）如图， 连接，， 四边形为矩形，为的中点， 与交于点，且为的中点， 又点为的中点，， 又平面，且平面， 平面. （2）直三棱柱满足，， 又点为的中点，且面，面， 所以，， 又，面， 平面. （3）由图可知， ，，， 又三棱柱为直三棱柱，且， . ，，点为的中点， 所以. 由（2）可知平面. 所以点到平面的距离为， 又点为的中点， 所以点到平面的距离为， . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $