8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 （题型专练） 数学人教A版必修第二册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 题型一：棱锥表面积的有关计算 题型二：棱柱表面积的有关计算 基础达标题 题型三：棱台表面积的有关计算 8.3.1棱柱、 题型四：正棱台及其有关计算 棱锥、棱台 题型一：求组合多面体的表面积 题型二：正棱锥及其有关计算 的表面积和 能力提升题 题型三：棱柱的结构特征和分类 体积 题型四：棱台的结构特征和分类 拓展培优题 基础达标题 题型一：棱锥表面积的有关计算 1.(25-26高二上·北京·开学考试)一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则 正四棱锥的侧面积是() A.4V5 B.8V3 C.45 D.8V5 2.(2025·陕西西安.一模)若正四棱锥的高为4，且所有顶点都在半径为6的球 面上，则该正四棱锥的表面积为() A.32√2+1B.32V3+1 C.64V2+1 D.643+1 3.(24-25高一下浙江杭州·期中)已知正四面体的表面积为4√5，则它的棱长为 () A.3 B.22 C.2 D.1 3 4.（2025高三·全国·专题练习)若正四棱锥的高为6，且所有顶点都在半径为4 的球面上，则该正四棱锥的表面积为() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.12(7+3B.246+1 C.247+ D.12N6+3 题型二：棱柱表面积的有关计算 1.(24-25高一下辽宁大连·期末)如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成， 把魔方的中间一层顺时针转动了45°之后，其表面积增加了(). A.8 B.72-482 C.96-60V2 D.108-72√2 2.(25-26高二上·北京·期中)在长方体ABCD-A,B,CD,中，底面ABCD是边长为1 的正方形，AA=2,则该长方体的表面积为() A.10 B.8 C.4 D.2 3.(24-25高一下·北京房山·期末)在四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，底面ABCD是正 方形，AA⊥底面ABCD,AA=2,AB=1,则该四棱柱的表面积为() A.10 B.8 C.4 D.2 4.(24-25高一下·河南鹤壁·期末)已知正方体ABCD-A,B,C,D的棱长为2，过点 A,B,C的平面把该正方体分割成两个几何体，则这两个几何体的表面积之和 为() A.24+42 B.24+4V5 C.24+8√2 D.24+8√5 题型三：棱台表面积的有关计算 1.(24-25高二下·云南昆明·月考)如图，某实心零部件的形状是正四棱台，己知 AB=4cm,A,B,=10cm,棱台的高为4cm,现需要对该零部件的表面进行防腐处 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是() D y A A.160元 B.128元 C.97.5元 D.86.875元 2.(25-26高三上·河北沧州·月考)如图，在正六棱台ABCDEF-ABC,D,E,E中， AE=√3，A,D,=4,四边形ADDA,的面积为6√3，则该正六棱台的表面积为() A. 5W51+7V5 B.957 C.153 D. 9V51+15V5 2 2 3.(24-25高一下·广西柳州·期末)现有一块棱长为4的正四面体实心木料，用平 行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该 平面在木料上的截面面积为() A.45 C.2√6 85 3 B.4v6 3 D. 4.(2026高三·全国.专题练习)正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm, 侧棱长是5cm,则它的表面积为 cm2. 题型四：正棱台及其有关计算 1.(2025·云南·三模)正三棱台ABC-A,B,C的上、下底边长分别为6,18，该正 三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表 面积为() A.144V5 B.153V5 C.225V5 D.234V5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(多选题)(23-24高一下·海南海口·期中)在正四棱台ABCD-A,B,CD,中， AB=2AB,=4V3,AA=10,点P在四边形ABCD内，且正四棱台 ABCD-A,B,CD的各个顶点均在球Q的表面上，AP=4,则() A.该正四棱台的高为3 B.该正四棱台的侧面面积是12√2 C.球心Q到正四陵台底面ABCD的距离为 D.动点P的轨迹长度是5m 3 3.(2025·云南昭通一模)如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等， 且为下底边长的一半，一个侧面的面积为12，则该正四棱台的高为() D D A.2√2 B.2 C.6 D.3 4.(2025河北石家庄·模拟预测)已知正三棱台的下底面边长为25，侧棱长为2， 侧棱与底面所成的角为？，则该三棱台的侧面积为() A.45 B.5√6 C. 7W17 D. 9V39 4 B 能力提升题 题型一：求组合多面体的表面积 1.（25-26高三上北京东城·期末)如图，已知正方体ABCD-A,B,CD,的棱长为1. 平面ACC,A,平面BCD4和平面ABC,D将该正方体分割成若干个多面体，则其中 顶点B所在的多面体的表面积为() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A B B A. 5,3 3V2.3 2+2 B.23 2+2 C.333 4+2 D. 4+2 2.(2026高三·全国·专题练习)如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4 个顶点A,B,C,D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30cm的正 方形，那么这个八面体的表面积是() A.225√3cm2B.1000√5cm2C.1800V3cm2D.900+2000V3 cm2 3.(25-26高三上·福建宁德·期中)如图，正方体ABCD-A,B,CD,的棱长为2，则 两个三棱锥D-A,BC,,B,-AD,C的公共部分的表面积为() D B A B A.3√2 B.3V5 C.42 D.43 4.(2025高三·全国.专题练习)如图，水平地面上有一正六边形地块ABCDEF(边 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 长为10m),设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以 固定一块平板式太阳能电池板A,B,CD,E,F.若其中三根柱子AA,BB,CC,的高度依 次为12m,9m,10m,则该几何体的侧面积为() B A.780m2 B.790m2 C.800m2 D.810m2 题型二：正棱锥及其有关计算 1.(24-25高二下·浙江温州·月考)一正三棱锥侧面三角形的顶角为90°，则该三 棱锥的侧面积与底面积之比为() A.3 B.2 C.√6 D.3 2.(25-26高二上·上海·期中)如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构，宋 代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单 檐和重檐之分；多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓 可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1，且侧棱长为√2，则棱锥侧面 积为 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(24-25高一下·广东汕头·期中)底面边长为22，且侧棱长为25的正四棱锥 的侧面积为 4.(25-26高二上·上海·期中)用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且表面积为2平方 米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为h米，盖子边长为a米，则a关于 的函数解析式是 题型三：棱柱的结构特征和分类 1.(24-25高一下·全国·课后作业)已知底面是菱形的直棱柱，底面的对角线的长 分别是6和8，棱柱的高是15，则这个棱柱的侧面积是() A.75 B.250 C.150 D.300 2.(24-25高一下.安徽滁州·期中)如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面 三角形的三边长分别为3,4,5，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组 成的三棱柱中，表面积不可能为() 4, A.36 B.38 C.40 D.42 3.(2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测)如图，在正三棱柱ABC-AB,C中，D为BB, 上一点，AB=BB,2BD=B,D,平面ACD将三棱柱截为两部分，则这两部分几何 体的表面积之比为() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B D B A. 35+V31+32 B. 3W3+V31+32 35+√31+4 3W3+V31+2 C.8 D.9 4.（24-25高一下·福建泉州·期中)如图，在一个表面积为18√5+108的正三棱柱 ABC-A,B,C,中，AB=AA,其若存在一个可以在三棱柱ABC-A,B,C,内任意转动的 正方体，则该正方体棱长的最大值为() A.2 B.√2 C.5 D.1 题型四：棱台的结构特征和分类 1.(25-26高二上江西·月考)中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林 (如图1)，其几何模型可以简化为如图2所示的几何体，其中ABCD-A,B,C,D是 长方体，且AB=6,BC=BB,=4,A,BC,D,-AB,C,D2是棱台，侧面的梯形均为等 腰梯形，4，B,=3,棱台的高为2，则该几何体的表面积为（) 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 6 图1 图2 A.110+9V5 B.119+95 C.125+95 D.149+9V5 2.(多选题)(24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末)正三棱台的上、下底面边长分 别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是() A.该正三棱台的上底面积是 B.该正三棱台的侧面面积是60 C.该正三棱台的表面积是12√21+10√5 D.该正三棱台的高是9 3.(24-25高三下.广西河池·月考)已知正四棱台的上、下底面面积分别为4,16， 高为3，则该棱台的侧面积为一· 4.(24-25高一下·全国·课后作业)如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O 且平行于底面的平面所截，得到正六棱台00'和较小的棱锥P0'. (1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比； (2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm,小棱锥的底面边长为4cm,求截得的棱台的 命学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 侧面面积和表面积. 拓展培优题 1.(25-26高三上·上海·月考)如图，在正四棱柱ABCD-A,B,C,D中，BD=4√2， DB,=√4I,则该正四棱柱的表面积为 B D B 2.(25-26高二上·上海·月考)在正方体ABCD-A,B,CD,中，棱长为2，则三棱锥 A-B,CD,的表面积为 3.（25-26高二上·安徽·月考)在一个底面为矩形的直四棱柱ABCD-A,B,C,D,中， 从同一顶点出发的三条棱长分别为1,2,5，则该四棱柱的表面积为 4.(25-26高一上·上海黄浦·月考)两个棱长分别为1和2的正方体叠起来得到如 图所示的几何体，该几何体的表面积为 8.3.1 　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 　 题型一：棱锥表面积的有关计算 1.（25-26高二上·北京·开学考试）一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正棱锥及其有关计算、棱锥表面积的有关计算 【分析】利用正四棱锥的性质及勾股定理即可求出侧面积. 【详解】    由正四棱锥顶点在底面的投影是底面正方形的中心， 所以根据题意，可知， 在直角三角形中，有， 所以三角形的面积为， 即正四棱锥的侧面积是， 故选：C. 2.（2025·陕西西安·一模）若正四棱锥的高为4，且所有顶点都在半径为6的球面上，则该正四棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】点在底面的投影为，确定球心的位置，求，由此可求底面棱和侧面三角形的高，进而可求表面积. 【详解】在正四棱锥中，设点在底面的投影为，则为正方形的中心， 过作正四棱锥的截面，如图： 因为，，所以正四棱锥的外接球球心在的延长线上， 则，， 所以. 在正四棱锥中，如下图： ，， 中边上的高为， 故该正四棱锥的表面积为． 故选： 3.（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正四面体的表面积为，则它的棱长为（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】C 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】先由正四面体的表面积求出其中一个正三角形的面积，再求出正三角形的边长即为棱长. 【详解】因为正四面体的表面积为，所以正四面体的其中一个正三角形面的面积是，设正四面体的棱长为， 则正三角形面的面积，所以 故选：C 4.（2025高三·全国·专题练习）若正四棱锥的高为6，且所有顶点都在半径为4的球面上，则该正四棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正棱锥及其有关计算、棱锥表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】点在底面的投影为，确定球心的位置，求，由此可求底面棱和侧面三角形的高，进而可求表面积. 【详解】如图，在正四棱锥中，设点在底面的投影为，则为正方形的中心， 正四棱锥的外接球球心在上， 则，， 所以， ，， 中边上的高为， 故该正四棱锥的表面积为． 故选：C. 题型二：棱柱表面积的有关计算 1.（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层顺时针转动了45°之后，其表面积增加了（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】结合图形可得新增了16个全等的小三角形面积，结合题意可得小三角形为等腰直角三角形，设其直角边为，由可得，即可得答案. 【详解】由题设分析，如下图，转动45°了后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积， 显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为， 则斜边为，则，解得． 由几何关系得1个小三角形的面积为， 所以增加的面积为． 故选：D. 2.（25-26高二上·北京·期中）在长方体中，底面是边长为1的正方形，，则该长方体的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】直接根据底面边长和侧棱长即可求解. 【详解】解：因为长方体中，底面是边长为1的正方形，， 所以该长方体的表面积为： 故选：A 3.（24-25高一下·北京房山·期末）在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，则该四棱柱的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱柱表面积的有关计算 【分析】利用正四棱柱的表面积公式列式求解即可. 【详解】在四棱柱中，底面是正方形，底面， 则四棱柱为正四棱柱，其表面积为. 故选：A 4.（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知正方体的棱长为2，过点，B，C的平面把该正方体分割成两个几何体，则这两个几何体的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】正方体的结构特征及三棱柱的表面积计算即可. 【详解】由题意知，过点，B，C的平面为平面， 所以这两个几何体的表面积之和等于正方体的表面积加上长方形的面积的2倍， 正方体的表面积为，长方形的面积为， 所以这两个几何体的表面积之和为. 故选：C. 题型三：棱台表面积的有关计算 1.（24-25高二下·云南昆明·月考）如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ）    A．160元 B．128元 C．97.5元 D．86.875元 【答案】B 【知识点】棱台表面积的有关计算 【分析】由勾股定理求得斜高，根据正四棱台的表面积计算，可得答案. 【详解】由题意，分别取上下底面的中心为，分别取的中点为，连接，如下图：    则，，， 易知， 根据题意可得正四棱台的斜高为， 所以正四棱台的表面积为， 所以该零部件的防腐处理费用是元. 故选：B. 2.（25-26高三上·河北沧州·月考）如图，在正六棱台中，，，四边形的面积为，则该正六棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正棱台及其有关计算、棱台表面积的有关计算 【分析】结合图形先求出正六棱台的上底面边长，进而得到对角线长，利用四边形的面积求得棱台的高，再求出侧棱长，最后分别求出正棱台的侧面积和两底面面积，即得其表面积. 【详解】如图，在正六边形中，, 因 ，由，可得，故,又，则. 不妨记该棱台的高为，易知为梯形的高， 故，解得. 记点A在下底面的射影为M，则点在上， . 易知，则. 过A作，垂足为N，则， 于是， 故梯形的面积为， 于是该棱台的表面积为. 故选:D. 3.（24-25高一下·广西柳州·期末）现有一块棱长为4的正四面体实心木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】棱锥表面积的有关计算、棱台表面积的有关计算 【分析】画出图形，设，分别求出四面体的表面积和三棱台的表面积，由这两部分的表面积相等，求出，即可求出截面面积. 【详解】如图正四面体，， ，令，截面， 由，得，即，则， ，四面体为正四面体， 四面体的表面积为：， 梯形的面积为，则三棱台的表面积为： ， 由，得，解得， 所以截面. 故选：D 4.（2026高三·全国·专题练习）正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长是5 cm，则它的表面积为 cm2. 【答案】 【知识点】棱台表面积的有关计算 【分析】由条件可得侧面等腰梯形的上底、下底边长及腰长，即可求出等腰梯形的高即正六棱台斜高，代入面积公式，可求出侧面积，根据上下底面均为正六边形，即为6个全等的等边三角形组成，代入面积公式，即可求出底面积，相加即可得答案. 【详解】如图在正六棱台中， 由题意， 所以侧面的等腰梯形的高即正六棱台斜高，且为， 所以梯形的面积为， 故正六棱台的侧面积为； 由图可知，该正六棱台的上底面为正六边形，即为6个边长为2的等边三角形组成， 所以该正六棱台的上底面积为， 同理下底面积为 ， 所以该正六棱台的表面积是． 故答案为： 题型四：正棱台及其有关计算 1.（2025·云南·三模）正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正棱台及其有关计算、棱台表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】由几何体结构特征，得到内切球与上、下底面切点为上下底的重心，作截面图，设内切球半径为r，根据球的性质，求得，得到正三棱台的高为，结合棱台的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意知，正三棱台的上、下底边长分别为和， 可得上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，可得内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如图甲所示，作截面，得到图乙， 设内切球半径为r，则，解得，所以正三棱台的高为6， 所以. 故选：D． 2.（多选题）（23-24高一下·海南海口·期中）在正四棱台中，，，点P在四边形ABCD内，且正四棱台的各个顶点均在球Q的表面上，，则（    ） A．该正四棱台的高为3 B．该正四棱台的侧面面积是 C．球心Q到正四棱台底面ABCD的距离为 D．动点P的轨迹长度是 【答案】BCD 【知识点】正棱台及其有关计算、棱台表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、立体几何中的轨迹问题 【分析】根据正四棱台的结构特征，结合已知条件计算判断AB；确定球心的位置，结合勾股定理求解判断C；确定点的轨迹，再求出轨迹长度判断D. 【详解】对于A，取正方形的中心，正方形ABCD的中心O，连接，则平面， 直角梯形中，过点作交于点M，则平面，， 由，得，，则，， ， 又，由勾股定理得，A错误； 对于B，过点作于点W，则， ， 正四棱台的侧面面积是，B正确； 对于C，正四棱台的外接球球心Q是直线与线段的中垂面的交点， 即直角梯形的斜腰的中垂线与直线的交点，连接，则， 由于，故Q在落在的延长线上， 设OQ=h，则，由勾股定理得， ，即，解得，C项正确； 对于D，显然，即点P的轨迹为以M为圆心、半径的圆在正方形ABCD内的部分，如图， 作于T，作于K， 则，则，又，由勾股定理得， 由，得，则， 所以动点P的轨迹长度是，D正确． 故选：BCD 3.（2025·云南昭通·一模）如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为（    ） A． B．2 C．6 D．3 【答案】A 【知识点】棱台表面积的有关计算 【分析】设，则，根据侧面积求出，再根据正棱台的结构特征结合勾股定理即可得解. 【详解】设，则， 因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上､下底面为正方形， 如图，在四边形中，过点作于点， ，所以， 所以，解得， 在平面中，过点作于点，则为正四棱台的高， 则， 所以， 即该正四棱台的高为. 故选：A. 4.（2025·河北石家庄·模拟预测）已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】棱锥表面积的有关计算、棱台表面积的有关计算 【分析】将正棱台补全为棱锥，求出棱锥、棱台的高，确定上底面的位置，求出棱锥侧面积，进而求出棱台的侧面积. 【详解】将正棱台补全为正三棱锥，为底面中心， ，，则， 棱台的高，棱台上底面是正三棱锥的中截面， ，等腰高为， 面积为，等腰梯形的面积为， 所以该三棱台的侧面积为. 故选：D 题型一：求组合多面体的表面积 1.．（25-26高三上·北京东城·期末）如图，已知正方体的棱长为1．平面，平面和平面将该正方体分割成若干个多面体，则其中顶点所在的多面体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求组合多面体的表面积 【分析】找到分割后顶点所在的多面体，分析该多面体表面构成，即可求得其表面积. 【详解】连接，易知三条体对角线交于一点，记为点. 则分割后顶点所在的多面体为六面体，其表面分别是. 根据正方体的性质，知， 所以. 中，边上的高为，所以的面积为； 的面积为. 所以顶点所在的多面体的表面积为. 故选：D. 2.（2026高三·全国·专题练习）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是（　　） A．225 cm2 B．1000 cm2 C．1800 cm2 D．900＋2000 cm2 【答案】C 【知识点】求组合多面体的表面积 【分析】利用八面体的结构特征，求出每个面的面积即可求得表面积. 【详解】由八面体的每一个面都是正三角形，且四边形ABCD是边长为的正方形， 因此每个面的面积为（）， 所以这个八面体的表面积（）. 故选：C 3.（25-26高三上·福建宁德·期中）如图，正方体的棱长为2，则两个三棱锥，的公共部分的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】棱锥表面积的有关计算、求组合多面体的表面积 【分析】根据题意可得三棱锥，的公共部分为一个棱长为的正八面体再计算求解． 【详解】连接它们的交线后如下图所示，是中点，所以， 即两个三棱锥，的公共部分为一个棱长为的正八面体， 所以表面积为．    故选：D． 4.（2025高三·全国·专题练习）如图，水平地面上有一正六边形地块ABCDEF（边长为10m），设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板．若其中三根柱子的高度依次为，则该几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求组合多面体的表面积 【分析】设正六边形ABCDEF中心为，几何体的侧面均为直角梯形，且高均为10m，连接AD，BE，CF，，连接AC交OB于点，连接交于点，连接，结合中位线性质求相关线段长，最后应用梯形的面积公式求几何体侧面积. 【详解】依题意，该几何体的侧面均为直角梯形，且梯形的高均为10m，设正六边形ABCDEF中心为， 如图，连接AD，BE，CF，作平面ABCDEF且平面，连接， 依题意，知相交于点， 连接AC交OB于点，连接交于点，连接，则平面ABC， 根据正六边形的性质可知四边形ABCO是菱形， 所以AC，OB相互平分，则相互平分， 所以，即，解得， 在梯形中，是BE的中点，则是的中点， 所以， 同理得， 故该几何体的侧面积为： ． 故选：A 题型二：正棱锥及其有关计算 1.（24-25高二下·浙江温州·月考）一正三棱锥侧面三角形的顶角为，则该三棱锥的侧面积与底面积之比为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【知识点】正棱锥及其有关计算、棱锥表面积的有关计算 【分析】由正三棱锥侧面三角形的顶角为，可知侧面三角形为等腰直角三角形，进而可得到侧棱长与底面边长的关系，进一步可得答案. 【详解】由正三棱锥知：所有侧棱长相等且底面为等边三角形. 由侧面三角形顶角为，可得侧面三角形为等腰直角三角形， 设侧棱长为，底面边长为，在侧面三角形中，可得， 侧面积为，底面积为， 所以. 故选：A    2.（25-26高二上·上海·期中）如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分；多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1，且侧棱长为，则棱锥侧面积为 . 【答案】 【知识点】正棱锥及其有关计算、棱锥表面积的有关计算 【分析】设底面边长为，根据侧棱长和高求出，进而求出棱锥的斜高，最后求出侧面积即可． 【详解】设正六棱锥底面边长为，则由正六边形的性质可知底面中心到底面顶点的距离为， 又正六棱锥高为1且侧棱长为，根据正六棱锥的性质得，解得， 所以侧面等腰三角形的高， 所以棱锥侧面积为. 故答案为： 3.（24-25高一下·广东汕头·期中）底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的侧面积为 . 【答案】 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】利用正棱锥的性质，结合棱锥的侧面积公式计算即可. 【详解】由正四棱锥底面边长为，斜高为， 侧面积为． 故答案为：. 4.（25-26高二上·上海·期中）用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图)，设容器的高为米，盖子边长为米，则关于的函数解析式是 . 【答案】且 【知识点】正棱锥及其有关计算、棱锥表面积的有关计算 【分析】应用正四棱锥的表面积求法得侧面等腰三角形的高为，结合正四棱锥的结构特征求容器的高，即可得. 【详解】由题意，盖子的面积为，则侧面等腰三角形的面积为， 所以侧面等腰三角形的高为，且， 则正四棱锥的高. 所以，且， 故答案为：且. 题型三：棱柱的结构特征和分类 1.（24-25高一下·全国·课后作业）已知底面是菱形的直棱柱，底面的对角线的长分别是6和8，棱柱的高是15，则这个棱柱的侧面积是（   ） A．75 B．250 C．150 D．300 【答案】D 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱柱表面积的有关计算 【分析】由于底面是菱形，借助菱形的性质进一步分析可求出菱形的边长，进而得到侧面积. 【详解】由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得菱形的边长为5， 所以侧面积为． 故选：D. 2.（24-25高一下·安徽滁州·期中）如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 【答案】B 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】根据几何体的特征能拼成的三棱柱的情况有三种情况，分别求出其表面积即可求解. 【详解】当拼成三棱柱时有三种情况，如图①②③，表面积分别为. 故选：B. 3.（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在正三棱柱中，为上一点，，，平面将三棱柱截为两部分，则这两部分几何体的表面积之比为（    ）    A． B． C．8 D．9 【答案】A 【知识点】棱柱表面积的有关计算、棱锥表面积的有关计算 【分析】几何体被截面截完后，分为两个部分，其中上部分的面积由一个正三角形、一个等腰三角形、两个直角梯形和一个正方形构成，下部分是由两个直角三角形、一个等腰三角形和一个正三角形组成的,逐个计算即可求解. 【详解】该几何体被截面截完后，分为两个部分， 其中上部分的面积由一个正三角形、一个等腰三角形、两个直角梯形和一个正方形构成， 下部分是由两个直角三角形、一个等腰三角形和一个正三角形组成的. 为了便于计算，设，，， 中，边上的高， 则上部分几何体的面积， 下部分几何体的面积， 故上下两部分表面积之比为. 故选：A 4.（24-25高一下·福建泉州·期中）如图，在一个表面积为的正三棱柱中，，其若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】棱柱表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据条件求出正三棱柱的棱长，进而求出正三棱柱的内切球，再由题设可知所求为内切球的内接正方体的边长，即可求解. 【详解】因为是正三棱柱，且，令， 则三棱柱的表面积为， 由题有，解得， 设内切圆半径为，由，得到， 又，则正三棱柱的内切球与下底面和侧面相切，且内切球半径为， 因为存在一个可以在正三棱柱内任意转动的正方体，所以正方体的外接球要在该正三棱柱中， 则要使正方体棱长取到最大值，正方体的体对角线长为正三棱柱内切球的直径， 即，得到，解得， 故选：A. 题型四：棱台的结构特征和分类 1.（25-26高二上·江西·月考）中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林（如图1），其几何模型可以简化为如图2所示的几何体，其中是长方体，且，，是棱台，侧面的梯形均为等腰梯形，，棱台的高为2，则该几何体的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、棱台表面积的有关计算、求组合多面体的表面积 【分析】根据棱柱棱台的几何特征，求解每个面的面积相加可得结论. 【详解】先求下半部分，表面积为. 再求上半部分， 由于，则， 所以上长方形的面积为. 由已知， 则， 由于棱台侧面为等腰梯形，故， 前后两部分的梯形的高为，， 则这两个梯形的面积之和为. 左右两部分的梯形的高为， 则这两个梯形的面积之和为， 因此总表面积为. 故选：C. 2.（多选题）（（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（   ） A．该正三棱台的上底面积是 B．该正三棱台的侧面面积是 C．该正三棱台的表面积是 D．该正三棱台的高是 【答案】AC 【知识点】棱台的结构特征和分类、棱台表面积的有关计算 【分析】根据正三棱台的结构特征和表面积公式进行计算求解即可. 【详解】对于选项A： 因为正三棱台的上底面为正三角形，其边长为2， 所以上底面面积为，所以A正确； 对于选项B： 正三棱台的侧面为等腰梯形，所以侧面积为： ，所以B错误； 对于选项C： 该正三棱台的下底面面积为. 所以该三四棱台的表面积为，所以C正确； 对于选项D： 设为正三棱台的高，根据勾股定理可得， 解得，所以D错误. 故选：AC. 3.（24-25高三下·广西河池·月考）已知正四棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的侧面积为 ． 【答案】 【知识点】棱台的结构特征和分类、棱台表面积的有关计算 【分析】根据给定条件，利用正四棱台的结构特征求出斜高，再利用侧面积公式计算得解. 【详解】正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，则斜高， 所以侧面积． 故答案为： 4.（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥. (1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比； (2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积. 【答案】(1) (2)侧面积；表面积. 【知识点】棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、棱锥表面积的有关计算、棱台表面积的有关计算 【分析】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，从而可得出大棱锥的底面边长和斜高，然后可分别求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积，从而可求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比； （2）根据条件可求出大棱锥的底面边长和斜高，从而可求出大棱锥的侧面积；根据（1）的结论可求出棱台的侧面积；再求出棱台的上下底面的面积，从而可求出棱台的表面积. 【详解】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，则大棱锥的底面边长为，斜高为， 所以大棱锥的侧面积为，小棱锥的侧面积为， 棱台的侧面积为， 所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比. （2）因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm， 因为大棱锥的侧棱长为12cm，所以大棱锥的斜高为cm， 所以大棱锥的侧面积为， 所以棱台的侧面积为， 棱台的上，下底面的面积和为， 所以棱台的表面积为. 1.（25-26高三上·上海·月考）如图，在正四棱柱中，，，则该正四棱柱的表面积为 ．    【答案】 【知识点】正棱柱及其有关计算、棱柱表面积的有关计算 【分析】求出正四棱柱的侧棱长和底面边长后即可求表面积. 【详解】因为四边形为正方形，，故， 而，故，故， 故正四棱柱的表面积为. 故答案为：. 2.（25-26高二上·上海·月考）在正方体中，棱长为2，则三棱锥的表面积为 【答案】 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】由正方体的性质得三棱锥是棱长为的正四面体，求表面积可得答案. 【详解】 正方体的棱长为2，所以， 三棱锥是棱长为的正四面体， ，所以三棱锥表面积为， 故答案为：. 3.（25-26高二上·安徽·月考）在一个底面为矩形的直四棱柱中，从同一顶点出发的三条棱长分别为1，2，，则该四棱柱的表面积为 . 【答案】 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】先判断该四棱柱的各个面均为矩形，再结合矩形的面积公式求解表面积即可. 【详解】由已知得直四棱柱的底面为矩形， 则该四棱柱的各个面均为矩形，可得表面积为. 故答案为： 4.（25-26高一上·上海黄浦·月考）两个棱长分别为1和2的正方体叠起来得到如图所示的几何体，该几何体的表面积为 ． 【答案】 【知识点】棱柱表面积的有关计算、求组合多面体的表面积 【分析】根据正方体表面积公式计算求解. 【详解】因为两个棱长分别为1和2正方体叠起来得到的几何体， 该几何体的表面积为． 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 （答案版） 题型一：棱锥表面积的有关计算 1.C 2．C 3．C 4.C 题型二：棱柱表面积的有关计算 1.D 2．A 3.A 4.C 题型三：棱台表面积的有关计算 1.B 2．D 3.D 4. 题型四：正棱台及其有关计算 1.D 2．BCD 3.A 4.D 题型一：求组合多面体的表面积 1.D 2．C 3．D 4.A 题型二：正棱锥及其有关计算 1.A 2． 3． 4.且 题型三：棱柱的结构特征和分类 1D 2．B 3．A 4.A 题型四：棱台的结构特征和分类 1.C 2．AC 3． 4.(1) (2)侧面积；表面积. 1.80 2． 3． 4. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $