精品解析：2026年山东德州市临邑县九年级第一次练兵考试数学试题

2026年九年级第一次练兵考试 数学试题 （满分150分 时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（本题共计10小题，每题4分，共计40分） 1. 在我国传统的祥瑞纹样中，云纹有着流动飘逸的曲线和回转交错的结构，是生动、灵性、精神以及祥瑞的载体和象征．下列四个云纹纹样中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 某物体的三视图如图所示，则该物体可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知2x＝5，则2x+3的值是（ ） A. 8 B. 15 C. 40 D. 125 5. 如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q，作直线交于点D，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，反比例函数的图象经过点A（2，1），若≤1，则x的范围为（　　） A. ≥1 B. ≥2 C. ＜0或≥2 D. ＜0或0＜≤1 7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，AF⊥x轴，垂足为F．若OE＝3，EF＝1，则点C的坐标是（ ） A. （－4，－2） B. （－4，－1） C. （－4，－） D. （－4，－） 8. “某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米．”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（ ） A. 每天比原计划多修，结果提前天完成 B. 每天比原计划多修，结果延期天完成 C. 每天比原计划少修，结果延期天完成 D. 每天比原计划少修，结果提前天完成 9. 如图，一种圆管的横截面是同心圆的圆环面，大圆的弦切小圆于点C，大圆的弦交小圆于点E和F．为了计算截面的面积，甲、乙、丙三个同学分别用刻度尺测量出有关线段的长度：甲测得的长，乙测得的长，丙测得与的长．其中可以算出截面（图中阴影部分）面积的同学是（ ） A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 甲、丙 D. 甲、乙、丙 10. 如图，等边三角形的边长为a，分别以A，B，C为圆心，以长为半径作弧，得到三段相等的弧，，，将，，组成的图形称为“洛尔三角形”．设的中心为O．下列说法中： ①“洛尔三角形”上任意一点到O的距离相等； ②将“洛尔三角形”绕点O按逆时针方向旋转后与原“洛尔三角形”重合； ③“洛尔三角形”的周长等于以A为圆心，长为半径的半圆的周长； ④若P是“洛尔三角形”上一个定点，Q是“洛尔三角形”上一个动点，则的最大值是a． 所有正确说法的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题共计5小题，每题4分，共计20分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 12. 如图，将两块直角三角板如图放置，其中，则边的依据是______． 13. 酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为_____． 14. 如图，电路中有三个定值电阻，且的阻值（单位：Ω）满足方程，（已知并联电路电阻之间的关系为：）．若闭合开关S后，电流表的读数为，则电源的电压是_____V． 15. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____． 三、解答题（本题共计8小题，共计90分） 16. 计算与化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，某校特组织七、八年级全体学生开展“灵动数据·智汇AI”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩x进行整理，共分成A，B，C，D四个等级，成绩在90以上（含90分）为优秀． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2： 信息3：七年级B，C两组同学的成绩分别为：94，92，92，92，92，89，88，86，85； 八年级C组同学的成绩分别为：89，89，89，89，89，88，87，86． 【数据分析】七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 a 95 八年级 88 89 35% （1）填空：______；______，______； （2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级学生有420人，八年级学生有580人，请估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少人． 18. 如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点． （1）当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度； （2）求点，间的水平距离的长．（参考数据：，，） 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请根据图象直接写出关于x的不等式的解集； （3）在直线上有点P，的面积为12，求点P的坐标． 20. 2025年全运会吉祥物“喜羊羊”玩偶颇受消费者欢迎．某店售卖一款进价为20元的“喜洋洋”玩偶，规定单个玩偶销售利润不低于5元，且不高于15元，试销期间发现，当销售单价定为25元时，每天可售出250个，销售单价每上涨1元，每天的销售量减少10个． （1）设销售单价为x元，每天的销售数量为y个，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每日的销售利润为2000元？ 21. 如图，是的直径，，是上的点，是上一点，连接并延长交于点，延长，交于点，，，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径长． 22. 已知二次函数，其中． （1）若二次函数经过，求二次函数解析式． （2）若该抛物线开口向上，当时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标． （3）在二次函数图象上任取两点，，当时，总有，求a的取值范围． 23. 是直角三角形，点E是斜边上的动点，连接，过点C作的垂线，过点B作的垂线，两条垂线交于点F，连接． （1）如图1，若三角形为等腰直角三角形，求证：； （2）如图2，若， ①求的值； ②点M是的中点，连接，，若，则当是直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级第一次练兵考试 数学试题 （满分150分 时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（本题共计10小题，每题4分，共计40分） 1. 在我国传统的祥瑞纹样中，云纹有着流动飘逸的曲线和回转交错的结构，是生动、灵性、精神以及祥瑞的载体和象征．下列四个云纹纹样中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析，逐一判断即可得到答案，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形在直线两旁的部分折叠后可重合是解题的关键． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、图形是轴对称图形，故本选项符合题意； D、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；   故选：C． 2. 下列四个数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，算术平方根，运用无理数是无限不循环小数进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，是整数，不是无限不循环小数，故不是无理数； B、是分数，不是无限不循环小数，故不是无理数； C、是无限不循环小数，故是无理数； D、不是无限不循环小数，故不是无理数； 故选：C． 3. 某物体的三视图如图所示，则该物体可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据三视图还原几何体，根据给出的三视图可知，该物体为长方体和圆柱体的组合体，长方体在上，圆柱体在下，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，该物体可能是 故选B． 4. 已知2x＝5，则2x+3的值是（ ） A. 8 B. 15 C. 40 D. 125 【答案】C 【解析】 【分析】根据逆用同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】解：∵2x＝5， ∴ 故选C 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 5. 如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q，作直线交于点D，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得出，再根据线段垂直平分线的性质，得出，进一步得出，最后根据角的和差关系，进行解答即可． 【详解】解：，， ． 由题意可知，垂直平分， ， ， ． 6. 如图，反比例函数的图象经过点A（2，1），若≤1，则x的范围为（　　） A. ≥1 B. ≥2 C. ＜0或≥2 D. ＜0或0＜≤1 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图像可得，当＜0或≥2时，≤1. 故选C. 7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，AF⊥x轴，垂足为F．若OE＝3，EF＝1，则点C的坐标是（ ） A. （－4，－2） B. （－4，－1） C. （－4，－） D. （－4，－） 【答案】C 【解析】 【详解】∵AF⊥x轴于点为F，点D在y轴上，∴AF∥BO，∠OFA＝90°， ∴△AFE∽△BOE． ∵OE＝3，EF＝1，∴，∴OB＝3AF． ∵四边形ABCD是矩形，且它的对角线交于点O，∴OA＝OB＝3AF． ∵OF2＋AF2＝OA2，OF＝OE＋EF＝3＋1＝4， ∴42＋AF2＝（3AF）2，解得AF＝或AF＝－（不符合题意，舍去）． ∴A（4，）． ∵点C与点A（4，）关于原点对称， ∴点C的坐标是（－4，－）． 8. “某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米．”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（ ） A. 每天比原计划多修，结果提前天完成 B. 每天比原计划多修，结果延期天完成 C. 每天比原计划少修，结果延期天完成 D. 每天比原计划少修，结果提前天完成 【答案】A 【解析】 【分析】根据设实际每天整修道路，可得表示的含义，由此可得，表示的含义，由此即可求解． 【详解】解：设实际每天整修道路，则表示原计划修多少米，即实际比原计划多修， ∴表示的是原计划修的天数， ∴表示实际修的天数， ∴表示原计划的天数减去实际的天数等于天，即提前天完成， ∴题目中用“……”表示的条件应是“每天比原计划多修，结果提前天完成”， 故选：． 【点睛】本题主要考查分式的实际运用，理解题目中的数量关系，分式方程表示的含义，掌握分式方程解实际问题的方法是解题的关键． 9. 如图，一种圆管的横截面是同心圆的圆环面，大圆的弦切小圆于点C，大圆的弦交小圆于点E和F．为了计算截面的面积，甲、乙、丙三个同学分别用刻度尺测量出有关线段的长度：甲测得的长，乙测得的长，丙测得与的长．其中可以算出截面（图中阴影部分）面积的同学是（ ） A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 甲、丙 D. 甲、乙、丙 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，根据垂径定理和勾股定理即可说明甲、乙同学可以测出阴影部分的面积；过点O作于点G，连接，，根据垂径定理和勾股定理即可说明丙同学可以测出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接，， ∵与相切于点C， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∵阴影部分的面积为：， ∴测出的长，即可求出阴影部分的面积，故甲同学符合题意； ∵， ∴阴影部分的面积为：， ∴测出的长，即可求出阴影部分的面积，故乙同学符合题意； 如图，过点O作于点G，连接，， 则，， 根据勾股定理得：，， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为：， ∴测出和的长，即可求出阴影部分的面积，故丙同学符合题意； 综上，可以算出截面（图中阴影部分）面积的同学是甲、乙、丙． 10. 如图，等边三角形的边长为a，分别以A，B，C为圆心，以长为半径作弧，得到三段相等的弧，，，将，，组成的图形称为“洛尔三角形”．设的中心为O．下列说法中： ①“洛尔三角形”上任意一点到O的距离相等； ②将“洛尔三角形”绕点O按逆时针方向旋转后与原“洛尔三角形”重合； ③“洛尔三角形”的周长等于以A为圆心，长为半径的半圆的周长； ④若P是“洛尔三角形”上一个定点，Q是“洛尔三角形”上一个动点，则的最大值是a． 所有正确说法的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，等边三角形的判定和性质，根据旋转的性质求解，解题关键是理解“洛尔三角形”的定义． 根据的圆心与的中心不同，可判断①；根据各条弧绕点O按逆时针方向旋转后，找到旋转后的弧即可判断②；分别求出“洛尔三角形”的周长和长为半径的半圆的周长，就可判断③；根据“洛尔三角形”任一边的圆心到这一边的最远距离可判断④． 【详解】解：∵是以点C为圆心，的中心为O， ∴点O为的垂直平分线上的点与点C为不同的点， ∴上的点到点O的距离不相等，故①错误； ∵绕点O按逆时针方向旋转后与重合， 绕点O按逆时针方向旋转后与重合， ∴将“洛尔三角形”绕点O按逆时针方向旋转后与原“洛尔三角形”重合，故②正确； ∵“洛尔三角形”的周长等于，长为半径的半圆的周长为， ∴“洛尔三角形”的周长等于以A为圆心，AB长为半径的半圆的周长，故③正确； ∵，，都是以a为半径的圆弧，P是“洛尔三角形”上一个定点，Q是“洛尔三角形”上一个动点， ∴“洛尔三角形”任一边的圆心到这一边的最远距离为a， ∴的最大值是a，故④正确． 综上所述，正确说法的序号是②③④． 故选： C． 二、填空题（本题共计5小题，每题4分，共计20分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数必须大于或等于零，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，将两块直角三角板如图放置，其中，则边的依据是______． 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余得，由内错角相等两直线平行可得结论． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， ∴(内错角相等，两直线平行) 故答案为：内错角相等，两直线平行． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定，熟练掌握“内错角相等，两直线平行”是解答本题的关键． 13. 酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列表法求概率，解题的关键是掌握列表法求解概率的方法．将溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸分别记作，列表得出所有可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸分别记作，列表如下： 由表可知，共有种等可能结果，其中滴入一滴酚酞试剂后只有一瓶呈现红色的有种结果， 所以滴入一滴酚酞试剂后只有一瓶呈现红色的概率为； 故答案为：． 14. 如图，电路中有三个定值电阻，且的阻值（单位：Ω）满足方程，（已知并联电路电阻之间的关系为：）．若闭合开关S后，电流表的读数为，则电源的电压是_____V． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用和一元二次方程的根与系数的关系，先根据一元二次方程的根与系数的关系得出，，再根据已知关系式求出，再求出电路中总电阻，然后根据得出结论． 【详解】解：∵的阻值满足方程， ∴，， ∴， ∴， ∴电路中总电阻为， ∵， ∴， ∴电源的电压是， 故答案为：9． 15. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果． 【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2， EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9， 由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF， ∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°， ∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°， ∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173， ∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125， ∴2x2﹣20x+173＝125， 解得，x＝4或6， 当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去， ∴CE＝C′E＝4， ∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2， ∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8， ∴tan∠B'AC′＝=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键． 三、解答题（本题共计8小题，共计90分） 16. 计算与化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据零次幂、负整数指数幂、绝对值的性质和特殊角的三角函数值计算即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，某校特组织七、八年级全体学生开展“灵动数据·智汇AI”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩x进行整理，共分成A，B，C，D四个等级，成绩在90以上（含90分）为优秀． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2： 信息3：七年级B，C两组同学的成绩分别为：94，92，92，92，92，89，88，86，85； 八年级C组同学的成绩分别为：89，89，89，89，89，88，87，86． 【数据分析】七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 a 95 八年级 88 89 35% （1）填空：______；______，______； （2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级学生有420人，八年级学生有580人，请估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少人． 【答案】（1）87，89，40 （2）七年级学生对当前信息技术的了解情况更好， 理由： 由表格可知，七八年级的平均数相同，七年级学生对当前信息技术的了解的优秀率高于八年级学生对当前信息技术的了解的优秀率； （3）估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有人． 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数、用样本估计及总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和统计图中的信息，可以分别计算出a、b、m的值； （2）根据表格中的数据，可以解答本题； （3）根据表格中的数据，可以计算出这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【小问1详解】 解：∵A，B两组人数共有人， ∴七年级抽取学生的竞赛成绩中位数为86与88的平均数， 由条形统计图可得：， 由八年级C组同学的分数可知：89出现的次数最多，所占的百分比为， ∴， ， 故答案为：87，89，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可得， （人）， 答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有人． 18. 如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点． （1）当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度； （2）求点，间的水平距离的长．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题， （1）过点作于，过点作于，延长交于，设，根据坡度的概念用表示出，根据勾股定理求出； （2）根据余弦的定义求出，进而求出； 掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，过点作于，过点作于，延长交于， 设， ∵坡道的坡度为，， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， 答：他沿垂直方向上升的高度为； 【小问2详解】 如图，过点作于，过点作于，延长交于， 由（1）可知：， 由题意知：，， ∵，， ∴，， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， ∴． 答：点，间的水平距离长约为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请根据图象直接写出关于x的不等式的解集； （3）在直线上有点P，的面积为12，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，一次函数与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把代入得，再把代入，求出，运用待定系数法进行求一次函数的解析式，即可作答． （2）认真观察图象，且结合，，运用数形结合思想得不等式的解集或，即可作答． （3）先求出，得，设，运用三角形面积公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，， ∴把代入， 得， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， 则， 把和分别代入， 得， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得，，， ∵一次函数与反比例函数的图象交于点，， ∴不等式的解集或； 【小问3详解】 解：依题意，与x轴交于C点， ∴当时，则， 解得， ∴， ∴， ∵直线上有点P， 设， ∵的面积为12， ∴， 则， ∴或， 解得或， 则或． 20. 2025年全运会吉祥物“喜羊羊”玩偶颇受消费者欢迎．某店售卖一款进价为20元的“喜洋洋”玩偶，规定单个玩偶销售利润不低于5元，且不高于15元，试销期间发现，当销售单价定为25元时，每天可售出250个，销售单价每上涨1元，每天的销售量减少10个． （1）设销售单价为x元，每天的销售数量为y个，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每日的销售利润为2000元？ 【答案】（1），自变量x的取值范围是 （2）30元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据销售单价变化与销售量变化的数量关系列出函数关系式，再结合单个玩偶的利润限制确定自变量的取值范围； （2）利用“单个玩偶利润×每天销售数量=每日总利润”列一元二次方程求解，结合自变量取值范围舍去不符合题意的解 【小问1详解】 解 由题意得，销售单价为元时，相比25元上涨了元 每天销售量减少个， 所以，  因为单个玩偶销售利润不低于5元且不高于15元， 所以，即； 【小问2详解】 解：设销售单价定为x元时，每日销售利润为2000元 单个玩偶利润为元，每天销售数量为个 根据题意得 ， 解得，  因为， 所以不符合题意，舍去， ∴，即销售单价定为30元 答：当销售单价定为30元时，每日的销售利润为2000元． 21. 如图，是的直径，，是上的点，是上一点，连接并延长交于点，延长，交于点，，，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径长． 【答案】（1） 证明：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （2）的半径长为 【解析】 【分析】（1）根据为的直径，可得，根据得出，进而得出，即可得出； （2）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而求得，勾股定理求得，再证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ， ，， ， ， －， 在中，， 在中， ， ，， ， ，即， ， ， 即的半径长为． 22. 已知二次函数，其中． （1）若二次函数经过，求二次函数解析式． （2）若该抛物线开口向上，当时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标． （3）在二次函数图象上任取两点，，当时，总有，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）当时，；当时， 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键． （1）把点的坐标代入函数解析式中求出即可； （2）根据抛物线开口向上得，根据函数图象的性质确定最高点和最低点，从而得出的值，即可求出点和点的坐标； （3）分开口方向向上和开口方向向下两种情况，根据图象的增减性分类讨论的取值范围． 【小问1详解】 解：二次函数经过， ， ， ∴二次函数的解析式是． 【小问2详解】 解：∵抛物线开口方向向上， ， ， ∴这个抛物线的顶点为， ∴当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， ∴最低点， ∵， ∴当时，， ∴最高点， ∴，解得：， ∴点和点坐标为：； 【小问3详解】 解：①当时，如图所示： 则有当时，随增大而减小；当时，随增大而增大， 又 ∵当时，总有，此时， ； ②当时，如图所示： 则有当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， 又 ∵当时，总有，此时， 综上，当时，；当时，． 23. 是直角三角形，点E是斜边上的动点，连接，过点C作的垂线，过点B作的垂线，两条垂线交于点F，连接． （1）如图1，若三角形为等腰直角三角形，求证：； （2）如图2，若， ①求的值； ②点M是的中点，连接，，若，则当是直角三角形时，求的长． 【答案】（1） 证明：为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查三角形全等与相似的判定及性质、直角三角形的性质，解题关键是通过分析角的关系证明三角形全等或相似，利用相关性质建立边的联系，结合直角三角形性质求解． （1）利用等腰直角三角形的性质，得到，，由推出．再根据同角的余角相等，即，得出．最后证明，从而得出结论． （2）①根据直角三角形两锐角互余，由，推出；再结合，得到．由此证明，根据相似三角形对应边成比例，结合中，得出答案．②先由直角三角形斜边中线性质得出，根据是直角三角形确定；利用第一小问相似结论得到，结合已知求出；再由勾股定理求出，进而得到；最后在中设，根据勾股定理列方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①， ， ， ， ， 在中 ， ； ②点M是的中点，， ，， 又为直角三角形 只能 由①可知 ， ， ， ， 设，则， 在中 ， ， 的长为． 第1页/共1页 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