精品解析：2025年山东省德州市临邑县九年级第一次练兵考试数学试题

2025年九年级第一次练兵考试 数学试题 （满分150分 时间120分钟） 注意事项； 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（本题共计10小题，每题4分，共计40分） 1. 下列实数中是无理数的为（　　　） A. B. 2 C. D. 0.9 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据中国航天局提供的资料，天和核心舱组合体运行轨道参数是：远地点高度约394900米；近地点高度约384000米； 将数据394900用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. “斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，已知点的横坐标为．当时，x的取值范围是 （　　） A. 或 B. C. D. 或 7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点都在方格纸的格点上，若点的坐标为，点的坐标为，现将绕点按顺时针方向旋转后，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，分别以A，B为圆心，以大于 的长为径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线分别交，于点M，D；再分别以A， C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线分别交，于点N，E；若，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 10. 二次函数图象如图所示，它的对称轴为，下列结论中正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤若和是这条抛物线上的两点，则当时，． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共计6小题，每题4分，共计24分） 11. 分解因式：_____． 12. 实数、在数轴上的位置如图所示，则化简结果为__________． 13. 有四张完全一样且正面分别写有汉字“中”“考”“必”“胜”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是________． 14. 我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（丈尺，）已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文.问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可得方程为______. 15. 如图，平行四边形的边在x轴上，点C、D分别在，的图象上，若平行四边形的面积是8，则k的值为_________． 16. 冰雹猜想描述了一个数学运算序列，任意取一个正整数，如果它是奇数，则将其乘以3再加1；如果它是偶数，则将其除以2，重复这个过程，经过有限次运算后最终会进入一个循环：，在平面直 角坐标系中，将点中的 和分别按照冰雹猜想同步进行运算，得到新的点的横、纵坐标，其中 和 均为正整数，例如点经过次运算得到点，经过次运算得到点，以此类 推，则点经过次运算后，得到的点坐标是 _______． 三、解答题（本题共计8小题；共计86分） 17. 已知a是不等式的最小整数解，求的值． 18. 如图，在平行四边形中，平分交于点． （1）用直尺和圆规作的平分线交于点． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 19. 4月23日是世界读书日，某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了一部分八年级学生最近一周的读书时间，并进行了统计，绘制出如下统计图①和图②． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生人数为______，图①中的值为______． （2）求本次调查的这组数据的平均数和中位数； （3）若学校有3000名学生，试估计读书时间不少于9小时的学生有多少人？ 20. 如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若，，求AB的长． 21. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为房屋的顶层横梁，，交于点(点，，在同一水平线上)．(参考数据：，，，，，) （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高(结果精确到)． 22. 2023年中国新能源汽车市场火爆．某汽车销售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；4辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计 120万元． （1）求A，B型新能源汽车每辆进价分别是多少万元． （2）公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1180万元，该汽车销售公司销售1辆A型新能源汽车可获利0.9万元，销售1辆B型新能源汽车可获利0.4万元，若汽车全部销售完毕，那么销售A型新能源汽车多少辆时获利最大？最大利润是多少？ 23. 【操作思考】 如图1，将正方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形的内部，点A的对应点为点G，折痕为，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使与重合，折痕为． （1）求的度数． 【探究应用】 将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结，作的中垂线分别交于点P，H，连结． （2）求证：． （3）若，求的面积． 24. 若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“美好函数” （1）函数①；②；③，其中函数______是在上的“美好函数”；（填序号） （2）已知函数． ①函数G是在上的“美好函数”，求a的值； ②当时，函数G是在上的“美好函数”，请直接写出t的值； （3）已知函数，若函数G是在（m为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级第一次练兵考试 数学试题 （满分150分 时间120分钟） 注意事项； 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（本题共计10小题，每题4分，共计40分） 1. 下列实数中是无理数的为（　　　） A. B. 2 C. D. 0.9 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：A、是无理数，故本选项符合题意； B、2是整数，属于有理数，，故本选项不合题意； C、是分数，属于有理数，故本选项不合题意； D、0.9是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等． 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 3. 根据中国航天局提供的资料，天和核心舱组合体运行轨道参数是：远地点高度约394900米；近地点高度约384000米； 将数据394900用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：C． 4. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的乘法，积的乘方，单项式除以单项式，根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 5. “斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图解答即可． 【详解】解：由俯视图的定义可知，“斗”的俯视图，如下图所示： 6. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，已知点的横坐标为．当时，x的取值范围是 （　　） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正确得出，两点位置关系是解题关键．直接利用正比例函数与反比例函数的性质得出，两点关于原点对称，进而得出点的横坐标为，再结合图像即可求解． 【详解】解：正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点， ，两点关于原点对称， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 当时，的取值范围是或， 故选：A． 7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出的度数，由对顶角的性质得到的度数，由三角形外角的性质即可解决问题． 由平行线的性质求出，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：D． 8. 如图，点都在方格纸的格点上，若点的坐标为，点的坐标为，现将绕点按顺时针方向旋转后，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心旋转的定义即可解决问题． 【详解】解：建立直角坐标系如图所示，则， 将绕点按顺时针方向旋转后，点的对应点的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查旋转变换、学会画中心旋转的图形是解决问题的关键，理解顺时针旋转、逆时针旋转的区别，属于中考常考题型． 9. 如图，在中，分别以A，B为圆心，以大于 的长为径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线分别交，于点M，D；再分别以A， C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线分别交，于点N，E；若，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理．连接、，如图，利用基本作图得到垂直平分，垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，然后利用勾股定理计算的长． 【详解】解：连接、，如图， 由作法得垂直平分，垂直平分， ，， 在中， ，，， ， 为直角三角形，， 在中，，， ． 故选：A． 10. 二次函数图象如图所示，它的对称轴为，下列结论中正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤若和是这条抛物线上的两点，则当时，． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据所给函数图象，可得出的正负，再结合抛物线的增减性和对称性即可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， ，，， 所以，故①错误． 因为抛物线与轴有两个不同的交点， 所以，故②错误． 因为抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点横坐标比大， 所以， 所以抛物线与轴的另一个交点的横坐标比小， 则当时，函数值小于零， 所以，故③正确． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以，即 又因为当时，函数值小于零， 所以， 所以，故④正确． 因为抛物线开口向上， 所以抛物线上的点离对称轴越近，其函数值越小， 又因为， 所以，故⑤错误． 故选：B． 二、填空题（本题共计6小题，每题4分，共计24分） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可﹒ 【详解】解：﹒ 12. 实数、在数轴上的位置如图所示，则化简结果为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴推出，，再化简绝对值和计算算术平方根，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解；由数轴可知， ∴， ∴ ， 故答案为：0． 13. 有四张完全一样且正面分别写有汉字“中”“考”“必”“胜”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求出相应的概率． 【详解】解：树状图如图所示， 由上可得，一共有16种等可能性，其中抽取的两张卡片上的汉字相同的有4种可能性， 所以抽取的两张卡片上的汉字相同的概率为． 故答案为：． 14. 我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（丈尺，）已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文.问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可得方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．绫布有x尺，则罗布有尺，然后根据绫布和罗布分别全部出售后均能收入文；绫布和罗布各出售一尺共收入文列出方程即可． 【详解】解：设绫布有x尺，则罗布有尺， 由题意得：， 故答案为： 15. 如图，平行四边形的边在x轴上，点C、D分别在，的图象上，若平行四边形的面积是8，则k的值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AB∥CD则可设C点坐标为，则D点坐标为 ，得到，再由，得到，由此求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD 设C点坐标为，则D点坐标为 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义． 16. 冰雹猜想描述了一个数学运算序列，任意取一个正整数，如果它是奇数，则将其乘以3再加1；如果它是偶数，则将其除以2，重复这个过程，经过有限次运算后最终会进入一个循环：，在平面直 角坐标系中，将点中的 和分别按照冰雹猜想同步进行运算，得到新的点的横、纵坐标，其中 和 均为正整数，例如点经过次运算得到点，经过次运算得到点，以此类 推，则点经过次运算后，得到的点坐标是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，点坐标的规律，理解新定义的运算法则，找出点坐标的规律是解题的关键．根据新定义的运算，找出点坐标的规律即可求解． 【详解】解：点， 第次，，得， 第次，，得， 第次，，得， 第次，，得， ， ∴每次一循环， ∴， ∴点经过次运算后，得到的点坐标是， 故答案为： ． 三、解答题（本题共计8小题；共计86分） 17. 已知a是不等式的最小整数解，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，分式的化简求值；先化简分式，再求解不等式的最小整数解，再代入计算即可； 【详解】解： ． 由，得， ∵a是不等式的最小整数解， ∴． ∴原式． 18. 如图，在平行四边形中，平分交于点． （1）用直尺和圆规作的平分线交于点． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 证明：四边形是平行四边形， ， 平分平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题主要考查作角平分线和平行四边形的判定与性质，正确作图是解答本题的关键． （1）根据作角平分线作法画图即可； （2）由平行四边形性质可得，再证明即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 4月23日是世界读书日，某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了一部分八年级学生最近一周的读书时间，并进行了统计，绘制出如下统计图①和图②． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生人数为______，图①中的值为______． （2）求本次调查的这组数据的平均数和中位数； （3）若学校有3000名学生，试估计读书时间不少于9小时的学生有多少人？ 【答案】（1）50人，24 （2）这组数据的中位数是小时 （3）读书时间不少于9小时的学生大约有1500人 【解析】 【分析】（1）由6小时人数及其所占百分比可得总人数，用8小时人数除以总人数即可得出的值； （2）根据平均数、中位数定义求解即可； （3）总人数乘以样本中读书时间不少于9小时的学生人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：， 本次调查的学生人数为50人， ， ． 故答案为：50人，24． 【小问2详解】 解：（小时）， 这组数据的平均数为8.34小时． 将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数是8和9， （小时）， 这组数据的中位数是小时； 【小问3详解】 解：（人）， 答：读书时间不少于9小时的学生大约有1500人． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联，求平均数、中位数，由样本所占百分比估计整体的数量，正确读懂统计图是解题的关键． 20. 如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若，，求AB的长． 【答案】（1） 证明：连接OC， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴CD是⊙O的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接OC，利用三角形的外角定理得到：，因为，可证明，因为，进一步可得； （2）分析可得：，再利用同弧所对圆周角相等可知：，利用，，即可求出AB． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接AC，BC， ∵BE是⊙O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，第（1）问证CD是⊙O的切线，关键是证明；第（2）问的关键是证明，． 21. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为房屋的顶层横梁，，交于点(点，，在同一水平线上)．(参考数据：，，，，，) （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高(结果精确到)． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）根据轴对称的性质可得，，再利用平行线的性质可求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得，先设设，在中，利用锐角三角函数定义表示出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义表示出，根据列出关于的方程，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，， ，，， 在中，，， ，， 米； 答：屋顶到横梁的距离约为米； 【小问2详解】 过作于， 设， 在中，，， ， =， 在中，，， ， =， 米， ， 解得：(米)， (米)， 答：房屋的高约为米． 22. 2023年中国新能源汽车市场火爆．某汽车销售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；4辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计 120万元． （1）求A，B型新能源汽车每辆进价分别是多少万元． （2）公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1180万元，该汽车销售公司销售1辆A型新能源汽车可获利0.9万元，销售1辆B型新能源汽车可获利0.4万元，若汽车全部销售完毕，那么销售A型新能源汽车多少辆时获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）A型新能源汽车每辆进价为25万元，B型新能源汽车每辆进价为10万元 （2）当销售A型新能源汽车12辆时获利最大，最大利润为46万元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式，利用利润1辆车的利润数量求解． （1）设A型新能源汽车每辆进价为a万元，B型新能源汽车每辆进价为b万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A型新能源汽车m辆，则照买B型新能源汽车辆，根据题意列出一元一次不等式得到，设销售A型新能源汽车x辆，所获利润为W万元，根据题意得到，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设A型新能源汽车每辆进价为a万元，B型新能源汽车每辆进价为b万元． 由题意，得 解得 答：A型新能源汽车每辆进价为25万元，B型新能源汽车每辆进价为10万元． 【小问2详解】 设购买A型新能源汽车m辆，则照买B型新能源汽车辆． 由题意，得． 解得． 设销售A型新能源汽车x辆，所获利润为W万元．则 ． ∵， ∴W随x的增大而增大． ∴当时，W有最大值46万元． 答：当销售A型新能源汽车12辆时获利最大，最大利润为46万元． 23. 【操作思考】 如图1，将正方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形的内部，点A的对应点为点G，折痕为，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使与重合，折痕为． （1）求的度数． 【探究应用】 将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结，作的中垂线分别交于点P，H，连结． （2）求证：． （3）若，求的面积． 【答案】（1）； （2）证明：是的中垂线， ， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠性质得，再根据，即可求出． （2）根据中垂线性质得出，，从而得出，根据勾股定理即可得出，再根据，运用勾股定理得出，即可证明； （3）如图2，过点P作的平行线分别交于点M，N，则， 证明，得出，再证明四边形是平行四边形，，证明，得出，，证明，根据相似三角形的性质即可得出，即可求解； 【详解】（1）由题意得， 在正方形中，， ， ， ， 即． （2）略 （3）如图，过点P作的平行线分别交于点M，N， 则， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在正方形中，， ∴四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，正方形的性质，矩形的性质和判定，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 24. 若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“美好函数” （1）函数①；②；③，其中函数______是在上的“美好函数”；（填序号） （2）已知函数． ①函数G是在上的“美好函数”，求a的值； ②当时，函数G是在上的“美好函数”，请直接写出t的值； （3）已知函数，若函数G是在（m为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得求a的值． 【答案】（1）① （2）①或 ②或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据材料提示的“美好函数”的计算方法即可求解； （2）①根据二次函数的特点，确定自变量取值范围内的最大值，最小值，再根据材料提示“美好函数”的计算方法即可求解； ②根据材料提示的“美好函数”的运算方法，即可求解； （3）根据二次函数图象的性质，结合材料提示的“美好函数”的运算方法，即可求解． 【小问1详解】 解：对于， 当时， ，当时，， ，符合题意； 对于 当 时， ，当 时，， ，不符合题意； 对于， 当时，，当时，， 不符合题意； 故答案为：①； 【小问2详解】 解：①二次函数对称轴为直线， 当时，，当时，， 当时，则当时，随的增大而增大， ， ， 当时，则当时，随的增大而减小， ， ， 综上所述，或 ； ②二次函数为，对称轴为直线 ， 当 ， 当时，， 当时， ， 若则，解得 (舍去)； 若则，解得(舍去)， ； 若则，解得 (舍去)； 若则解得 (舍去)。 综上所述， 或 【小问3详解】 解；由上可知，二次函数对称轴为直线， 又∵， ， ， ∴当时，随的增大而增大， 当时取得最大值，时取得最小值， ， ∵为整数， 且 ∴， 即的值为， 又， ， ． 【点睛】本题主要考查函数与定义新运算的综合，理解定义新运算的计算方法，掌握函数图像的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $