第18章 勾股定理及其逆定理（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪科版八年级下册

第18章 勾股定理及其逆定理（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是， 于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：数轴上的点表示的数是，点表示的数是， ， ，， ， 表示的数为， 故选：A． 2．如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点D、B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：设，由折叠可知：， 在中， ， 故选：B． 3．如图，这是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“帅”两棋子（看成一个点）所在格点（正方形网格线的交点）之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图和勾股定理，得：“车”“帅”两棋子（看成一个点）所在格点（正方形网格线的交点）之间的距离为； 故选D． 4．如图，在中，，分别以和为边向外作正方形和正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（　　　） A．150 B．200 C．225 D．无法计算 【答案】C 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积和为． 故选：C． 5．如图，一架的云梯斜靠在一竖直的墙上，此时．如果梯子的底端向墙一侧移动了（），那么梯子的顶端向上移动的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 在中，， ∴， 故选：A． 6．如图是一块长，宽，高分别是，，的长方体木块，一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面爬到点吃食物，那么它需要爬行到达点的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，展开图， ∴； 如图，展开图， ∴； 如图，展开图， ∴； 综上可知：∵ ∴爬行到达点的最短路线长为， 故选：． 7．如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为（   ） A．12 B．10 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．对于，下列说法正确的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是钝角三角形 C．若，则是直角三角形 D．若，则是直角三角形 【答案】D 【详解】选项A：，且 ，∴ ，，故是直角三角形，A错误． 选项B：设 ， ，则 ，，，故是直角三角形，B错误． 选项C：设 ，， （由 和 得），则 ，，，故是钝角三角形，C错误． 选项D：设 ，，；，．则 ，，，故是直角三角形，D正确． 故选D． 9．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，，，点都在矩形的边上，则矩形的面积为（    ）    A．100 B．110 C．121 D．144 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于点O，延长交于点P，    所以，四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴， 因此，矩形的面积为， 故选：B． 10．如图，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中，（为正数），若点的坐标是，的坐标是，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察图形可知，点的位置是个点一个循环， ∴与的位置都在第一象限，且在直线上， ∴点的纵坐标为， ∵第一个等腰直角三角形的直角边， 第二个等腰直角三角形的边长， 第三个等腰直角三角形的边长， ， ∴第个等腰直角三角形的边长， ∴第个等腰直角三角形的边长， ∴点的横坐标为， ∴的坐标为， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．四边形中，，，若，，则的长为____． 【答案】 【详解】解：如图，延长、相交于点， ，， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：（负值舍去）， 即 故答案为：． 12．如图，一根筷子长，斜放在半径为的圆形水杯中，露出水杯外面的部分的长为，则水杯的高________． 【答案】12 【详解】解：如图，连接， ∵，圆形水杯半径为2.5， ∴，， ∴水杯的高． 故答案为：12． 13．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在斜边上，连接．若，，则四边形的面积为 _______． 【答案】 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，，， ∴，，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：． 14．如图，在中，，平分交于点． （1）若，则________________°； （2）已知，点是边上一点，且，点是上一动点，连接，．则的最小值为_______________． 【答案】 100 【详解】解：（1）∵，平分交于点 ∴ ∵， ∴， 故答案为：． （2）∵，， ∴ 在取点F，使，连接，，过点F作于H， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当、、三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 【答案】超速了 【详解】解：由题意得，在中，，，， ∴， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车超速了． 16．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，请在下列三个网格中，以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注明各边的长度． (1)使三边的长度都是有理数的直角三角形． (2)使三边的长度都是无理数的直角三角形． 【详解】（1）解：如图所示，，则即为所求作； （2）解：如图所示，，，，可知， 所以是直角三角形． 17．如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求、之间的距离； (2)求这块四边形空地的面积． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ∵， ∴， ∴米； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴种植草皮的面积为：（平方米）， ∴种植草皮的面积为96平方米． 18．如图，在中，，为上一点，连接，若，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【详解】（1）解：∵，，， ，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：设，则， ∵是直角三角形， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 19．在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． (1)如图1，若点和顶点重合，求的长； (2)如图2，若点落在直角边的中点上，求的长． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：， ∴． 20．在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【详解】（1）解：根据题意可知，，，， 则 故绳子的总长度是． 答：绳子的总长度为； （2）解：滑块B向左滑动了 ， 据（1）知绳子总长为 物体C上升高度为． 答：滑块B向左滑动了，此时物体C升高了 21．【新情境】3月16日，安徽太湖花亭湖半程马拉松激情开跑，此次比赛将赛道设置在风光秀美的花亭湖环湖彩虹道上，巧妙地把湖光山色和皖韵风情有机融合，生动展现了“体育+文旅”的办赛理念．学生小明操控无人机记录下了赵老师在梅河谷附近的段参赛过程．小明在点B处发现在点A处的赵老师以每分钟250米的速度向Q处匀速前进，1分钟后他发现赵老师已经跑到了离他200米的位置点C处． (1)若，请求出的长度； (2)在（1）的条件下，小刚以的速度从点A出发，此时小红在小刚前方90米以的速度匀速前进． ①在小刚追上小红前，经过多少分钟，他俩与小明的距离相等？ ②当小刚追上小红时，求此时小刚与小明之间的距离． 【详解】（1）解：由题意知（米），米， ， ， （米） 答：的长度为150米； （2）解：①设小刚的位置为点M，小红的位置为点N，过点B作， ， ，解得 当时，点M和点N在H点异侧，且， 设时间为t分钟，则米， 根据题意得（米）， ，解得， 经过0.2分钟，小刚与小红所在的位置与小明的距离相等． ②设经过t分钟，小刚追上小红，则，解得， 此时，（米）， 由①可知，米， （米）， ， ， （米）． 此时小刚与小明的距离为米． 22．在和中，的顶点在直线上，连接、． (1)_____(直接填写度数)； (2)(i)如图1，当点在线段上时，若，求的值； (ii)如图2，当点在射线上时，若，求的面积． 【详解】（1）和都是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， （2）(i)由（1）得： ， ， 是直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即 ， (舍去负值) (ii)如图，过点作，垂足为 ， ， ， ，即， 又， ∴， ， ， ， ， ∴． 23．如图：已知中，，，的面积是12，于点D，点M在直线上，且，动点P从点M出发，以每秒1个单位的速度从点M沿射线运动，设运动的时间为t秒，回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)在上取点Q，使，连结，当与全等时，求t值； (4)在点P运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的值． 【详解】（1）解：∵， ， ， 故答案为：4． （2）解：， ， ， ∵动点从点出发，以每秒 1 个单位长度的速度从点沿射线运动，运动的时间为秒， ∴当时，； 当时，； （3）解：∵， ， ， ， 当点在点左侧，时，， ， 解得：； 当点在点右侧，时，， ， 解得：； 综上分析可知：或时，与全等； （4）解：当时，， ， ，即点P与点B重合， ， 当，点在点左侧时，， ， ， 当点在点右侧，， ， ， 综上，或或时，是以为腰的等腰三角形． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18章 勾股定理及其逆定理（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是， 于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（      ） A． B． C． D． 2．如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点D、B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．如图，这是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“帅”两棋子（看成一个点）所在格点（正方形网格线的交点）之间的距离为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，分别以和为边向外作正方形和正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（　　　） A．150 B．200 C．225 D．无法计算 5．如图，一架的云梯斜靠在一竖直的墙上，此时．如果梯子的底端向墙一侧移动了（），那么梯子的顶端向上移动的距离是（    ） A． B． C． D． 6．如图是一块长，宽，高分别是，，的长方体木块，一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面爬到点吃食物，那么它需要爬行到达点的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为（   ） A．12 B．10 C． D． 8．对于，下列说法正确的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是钝角三角形 C．若，则是直角三角形 D．若，则是直角三角形 9．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，，，点都在矩形的边上，则矩形的面积为（    ）    A．100 B．110 C．121 D．144 10．如图，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中，（为正数），若点的坐标是，的坐标是，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．四边形中，，，若，，则的长为____． 12．如图，一根筷子长，斜放在半径为的圆形水杯中，露出水杯外面的部分的长为，则水杯的高________． 13．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在斜边上，连接．若，，则四边形的面积为 _______． 14．如图，在中，，平分交于点． （1）若，则________________°； （2）已知，点是边上一点，且，点是上一动点，连接，．则的最小值为_______________． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 16．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，请在下列三个网格中，以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注明各边的长度． (1)使三边的长度都是有理数的直角三角形． (2)使三边的长度都是无理数的直角三角形． 17．如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求、之间的距离； (2)求这块四边形空地的面积． 18．如图，在中，，为上一点，连接，若，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 19．在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． (1)如图1，若点和顶点重合，求的长； (2)如图2，若点落在直角边的中点上，求的长． 20．在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 21．【新情境】3月16日，安徽太湖花亭湖半程马拉松激情开跑，此次比赛将赛道设置在风光秀美的花亭湖环湖彩虹道上，巧妙地把湖光山色和皖韵风情有机融合，生动展现了“体育+文旅”的办赛理念．学生小明操控无人机记录下了赵老师在梅河谷附近的段参赛过程．小明在点B处发现在点A处的赵老师以每分钟250米的速度向Q处匀速前进，1分钟后他发现赵老师已经跑到了离他200米的位置点C处． (1)若，请求出的长度； (2)在（1）的条件下，小刚以的速度从点A出发，此时小红在小刚前方90米以的速度匀速前进． ①在小刚追上小红前，经过多少分钟，他俩与小明的距离相等？ ②当小刚追上小红时，求此时小刚与小明之间的距离． 22．在和中，的顶点在直线上，连接、． (1)_____(直接填写度数)； (2)(i)如图1，当点在线段上时，若，求的值； (ii)如图2，当点在射线上时，若，求的面积． 23．如图：已知中，，，的面积是12，于点D，点M在直线上，且，动点P从点M出发，以每秒1个单位的速度从点M沿射线运动，设运动的时间为t秒，回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)在上取点Q，使，连结，当与全等时，求t值； (4)在点P运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $