第二十四章 勾股定理（单元自测·基础卷）数学人教版五四制八年级下册

2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十四章 勾股定理·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列属于勾股数的是（  ） A．2，4，5 B．2，5，8 C．5，12，19 D．6，8，10 2．满足下列条件的，不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 3．已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边上的高为（    ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．4 4．如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，根据尺规作图痕迹，可以判断弧线与数轴的交点C表示的数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，将折叠，使点C落在边上的点E处，是折痕，则的周长为（　　） A．6 B．8 C．12 D．14 7．如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块，已知，，该木块的较长边与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（   ） A．13m B．10m C． D． 8．我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，某同学用圆规画一个半径为的圆，测得此时，为了画一个半径更大的同心圆，固定端不动，将端向左移至处，此时测得，则的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，，过点P作且，再过点，作且，又过点作且，…依此法继续作下去，则的长度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在中，，如果，那么 ． 12．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形按形状分类是 三角形． 13．如图，中，，平分交于点D，，，则点D到的距离为 ． 14．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，向前荡起到最高点B处时距地面竖直高度为，摆动水平距离为，最高点处距离秋千顶端O的竖直高度为；然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的竖直高度的长度是 ． 15．如图1，是直角边长分别为的直角三角形，用这样4个形状、大小完全相同的直角三角形分别拼成了如图2、图3的正方形，已知正方形的面积为125，正方形的面积是5，那么图1中直角三角形的面积是 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，，两点分别在轴，轴上，点的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点，点关于直线的对称点为点，当为直角三角形时，的长为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（1）在中，，，，求． （2）在中，，，，求的长． 18．如图，一架梯子 长 ，斜靠在一竖直的墙上，此时梯子顶端 A到地面的距离为． (1)求梯子底端B到墙角O的距离； (2)如果梯子的顶端 A沿墙下滑，那么梯子底端 B 将向外移动多少米？ 19．如图①是小华同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点（的三个顶点都在正方形的顶点处）． (1)由图①可知，则______，______． (2)请你在图②的正方形网格中，补画出格点，其中，，并求出的面积．（只要画出一个符合条件的） 20．如图，有一架救火飞机沿东西方向由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且直线上A，B两点与点C的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)着火点C受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机以的速度沿直线匀速飞行，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 21．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． (2)如图2，在中，，垂足为H，求的长． 22．【合作探究】如图①，在中，，过点作交于点，求的长．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． （1）设，则____________（用含的代数式表示）； （2）请根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程，并求出的值； 【类比应用】如图②，在，，求的面积． 23．八年级数学小组以“直角三角形的折叠”为主题，开展数学探究活动． 如图①，已知，在中，，，，点D是边上一动点，于点 (1)【操作判断】如图②，将沿直线折叠，点C恰好与点A重合，则与的数量关系是______； (2)【问题解决】在（1）的条件下，求的长； (3)【问题探究】将沿直线折叠，点C落在边上的点F处，连接，当是等边三角形时，直接写出的面积． 24．阅读并回答下列问题 【几何模型】（1）如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．试说明理由． 【模型应用】（2）如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【拓展应用】（3）直接写出代数式的最小值． 25．在中，，点D，E分别是边上的点，连接． (1)若点E为的中点，，则是__________三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） (2)如图1，连接，若平分，求的长． (3)如图2，点在边上运动，连接，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，求的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十四章 勾股定理·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列属于勾股数的是（  ） A．2，4，5 B．2，5，8 C．5，12，19 D．6，8，10 2．满足下列条件的，不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 3．已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边上的高为（    ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．4 4．如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，根据尺规作图痕迹，可以判断弧线与数轴的交点C表示的数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，将折叠，使点C落在边上的点E处，是折痕，则的周长为（　　） A．6 B．8 C．12 D．14 7．如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块，已知，，该木块的较长边与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（   ） A．13m B．10m C． D． 8．我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，某同学用圆规画一个半径为的圆，测得此时，为了画一个半径更大的同心圆，固定端不动，将端向左移至处，此时测得，则的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，，过点P作且，再过点，作且，又过点作且，…依此法继续作下去，则的长度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在中，，如果，那么 ． 12．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形按形状分类是 三角形． 13．如图，中，，平分交于点D，，，则点D到的距离为 ． 14．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，向前荡起到最高点B处时距地面竖直高度为，摆动水平距离为，最高点处距离秋千顶端O的竖直高度为；然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的竖直高度的长度是 ． 15．如图1，是直角边长分别为的直角三角形，用这样4个形状、大小完全相同的直角三角形分别拼成了如图2、图3的正方形，已知正方形的面积为125，正方形的面积是5，那么图1中直角三角形的面积是 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，，两点分别在轴，轴上，点的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点，点关于直线的对称点为点，当为直角三角形时，的长为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（1）在中，，，，求． （2）在中，，，，求的长． 18．如图，一架梯子 长 ，斜靠在一竖直的墙上，此时梯子顶端 A到地面的距离为． (1)求梯子底端B到墙角O的距离； (2)如果梯子的顶端 A沿墙下滑，那么梯子底端 B 将向外移动多少米？ 19．如图①是小华同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点（的三个顶点都在正方形的顶点处）． (1)由图①可知，则______，______． (2)请你在图②的正方形网格中，补画出格点，其中，，并求出的面积．（只要画出一个符合条件的） 20．如图，有一架救火飞机沿东西方向由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且直线上A，B两点与点C的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)着火点C受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机以的速度沿直线匀速飞行，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 21．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． (2)如图2，在中，，垂足为H，求的长． 22．【合作探究】如图①，在中，，过点作交于点，求的长．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． （1）设，则____________（用含的代数式表示）； （2）请根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程，并求出的值； 【类比应用】如图②，在，，求的面积． 23．八年级数学小组以“直角三角形的折叠”为主题，开展数学探究活动． 如图①，已知，在中，，，，点D是边上一动点，于点 (1)【操作判断】如图②，将沿直线折叠，点C恰好与点A重合，则与的数量关系是______； (2)【问题解决】在（1）的条件下，求的长； (3)【问题探究】将沿直线折叠，点C落在边上的点F处，连接，当是等边三角形时，直接写出的面积． 24．阅读并回答下列问题 【几何模型】（1）如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．试说明理由． 【模型应用】（2）如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【拓展应用】（3）直接写出代数式的最小值． 25．在中，，点D，E分别是边上的点，连接． (1)若点E为的中点，，则是__________三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） (2)如图1，连接，若平分，求的长． (3)如图2，点在边上运动，连接，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，求的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十四章勾股定理·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 P 3 4 5 6 7 8 10 答案 D A D C B 9 B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.√7 12.直角 13.3 14.0.9/9 0 15.15 16.3或6 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17. 【详解】解：(1)：Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13,AC=12, ∴.BC=VAB2-AC2=V132-122=5;3分 (2):Rt△ABC中，∠B=90°，AC=13,BC=5, AB=√AC2-BC2=V132-52=12.6分 18. 【详解】(1)解：：AB=5,A0=4,∠A0B=90°， .B0=√AB2-A02=V52-42=3, 梯子底端B到墙角O的距离为：3m.3分 (2)解：：0C=4-1=3,CD=5,∠C0D=90°， D0=VCD2-C02=V52-32=4, BD=D0-B0=1. 梯子底端B将向外移动1m.6分 1/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 19. 【详解】(1)解：BCV232√0，AB=V22+32=√3， 故答案为：√0，√3.…2分 (2)解：如图，△DEF就是所求作的图形； 4分 'A :DE=VP+1P=2,EF=2√2，DF=10, ∴DE2+EF2=(2+(22=10=DF2, LDEF=90°， SgDE-f-x5x25-2.…6分 20. 【详解】(1)解：着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点C作CD⊥AB,垂足为D, D B :AC=400m,BC=300m,AB=500m, .AC2+BC2=5002,AB2=5002, .AC2+BC2 AB2, :ABC是直角三角形， 4cxac- 4BxCD,CD=4C8C-30x400-240. AB 500 240<260, .着火点C受洒水影响；3分 (2)解：能，理由如下： 如图，以点C为圆心，260m为半径作圆，交AB于点E,F,则CE=CF=260m, 2/7 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 D F B 在Rt△CDE中，ED=VCE2-CD2=√2602-2402=100， CE=CF,CD⊥AB, EF=2ED=200, .200÷10=20, 20>13, .着火点C能被扑灭.6分 21. 【详解】(1)解：：∠A=∠B=∠CED=90° 5n号a+ba+小=女+b+ 2 S带形HBCn=SAADE+SABCE+SACDE= 61 1 2 1,1 、卫2+助+b=2ab+ab+ 2 2 2029 整理得：a2+b2=c24分 (2)解：设AH=x AB=21 .BH=AB-AH=21-x .△ACH和△BCH都是直角三角形 在RtAACH中，CH2=AC2-AH2 在Rt△BCH中，CH2=BC2-BH .AC:-AH:=BC2-BH2 :AC=10,AB=21, 则102-x2=172-(21-x) 解得x=6,即AH=6 在Rt&ACH中，由勾股定理，得CH=√AC2-AH2=V102-62=88分 22. 3/7 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：设BD=x, :BC=14 :CD BC-BD=14-x 故答案为：14-x·2分 (2)由勾股定理，得AD2=AB2-BD2=152-x2, AD2=AC2-CD2=132-14-x)2, 故152-x2=132-14-x)2, 解得x=9.5分 类比应用： 如图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D, B C D .AD2=AB2-BD2=AC2-CD2, :AB=6V5,BC=4,AC=10, 即(6V52-4+CD)2=102-CD2, 解得CD=8, 所以AD=V√AC2-CD2=6, 所以S。ABC 方408c号6412.8分 23. 【详解】(I)解：：将△DCE沿直线DE折叠， :CD=DA, 故答案为：CD=DA;2分 (2)解：：∠B=90°， :AD'=BD'+AB', AB=2,AD=CD=BC-BD=23-BD, 4/7 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 :(23-BD=BD2+22, 片B0=25,5分 3 (3)解：如图， C DA :△ABF是等边三角形， ∠A=60°，AB=AF=2, .∠C=30°， :AC=2AB=4, .CF=AF=2, 08F的面积-c分分2×25=68分 24. 【详解】解：(1)由轴对称的性质可得BP=B'P, .AP+BP AP+B'P AB', .当点A,P,B三点共线时，PA+PB的值最小，点P为AB为直线I的交点；4分 (2)作点E关于BD的对称点G,过点G作AB延长线的垂线，垂足为点F,连接AG,CG, B AD C nn 图③ ∴CE=CG,DE=DG=3, .AC+CE=AC+CG≥AG, :当点A,C,G三点共线时，AC+CE的值最小，最小值为AG AB⊥BD,ED⊥BD, .AF∥EG, GF⊥AF,BD⊥AF, .BD=GF =15, 同理BF=DG=3, 5/7 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .AF=AB+BF=5+3=8, :AG=AF2+FG2=17, 最小值为17；8分 (3)解：：x+2+9+4-x+1=[x-(-1]+3-02+V4-x+1-02, 代数式Vx+1)2+9+V4-x)2+1的值表示点(x,0)到点(-1,3)和点(4，的距离之和， 设T(x,0),A-1,3),B(4,1),如图，过点A作x轴的对称点A'(-1,-3),连接A'B与x轴交点即为点T, 此时最小值即为A'B, V 0 AB=-1-42+(-3-1)2=41, 代数式x+1)2+9+V4-x2+1的最小值为④1.12分 25. 【详解】(I)解：：点E为BC的中点，BC=8, :.BE=-BC=4, 2 :DE=3,BD=5,且32+42=52， :DE2+BE2=BD2, △BDE是直角三角形.4分 (2)解：：AE平分∠BAC,DE⊥AB,∠ACB=90°， :CE DE. 设BE=a,则DE=CE=8-a, 在Rt△BDE中，BD2+DE2=BE2, 42+(8-a)2=a2, a=5, 即BE=5.8分 6/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：①DE⊥DP. 理由如下： 由题意知PD=PA, .∠A=∠PDA. :EF是BD的垂直平分线， :DE=BE, ∠EDB=∠B. :∠A+∠B=180°-∠C=90°， ∠PDA+∠EDB=90°， ∴.∠PDE=180°-∠PDA+∠EDB)=90° DE⊥DP. ②如图，连接PE. D F B 设DE=BE=x,则CE=6-x. :PA=1,AC=4, PD=1,PC=3. 由勾股定理，得PE2=PC2+CE2=32+(6-x)2,PE2=PD2+DE2=12+x2, 即32+(6-x)2=12+x2, 11 ∴.x= 3 :DE的长为号 12分 7/7 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十四章 勾股定理·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列属于勾股数的是（  ） A．2，4，5 B．2，5，8 C．5，12，19 D．6，8，10 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，勾股数是指三个正整数a，b，c（其中c为最大数）满足，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，即2，4，5不属于勾股数，故该选项不符合题意； B、，即2，5，8不属于勾股数，故该选项不符合题意； C、，即5，12，19不属于勾股数，故该选项不符合题意； D、，即6，8，10属于勾股数，故该选项符合题意； 故选：D． 2．满足下列条件的，不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：A．由勾股定理逆定理，是直角三角形，． B．设，，，则，， ，是直角三角形，． C．，又， ，，是直角三角形． D．设，，，则，， ，不是直角三角形． 不是直角三角形的是D． 故选：D． 3．已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边上的高为（    ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题利用了勾股定理和直角三角形的面积公式求解． 根据勾股定理求出斜边的长，利用面积法求出三角形斜边上的高． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别为和， ∴斜边长为. 设斜边上的高为， ∵面积相等，即， 解得， 故选A． 4．如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，根据三个正方形的面积为直角三角形的三边的平方，结合勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， 由勾股定理，得，即， ∴， ∵， ∴； 故选B． 5．如图，根据尺规作图痕迹，可以判断弧线与数轴的交点C表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴． 根据勾股定理可求出点到原点的距离，进而求出点到原点的距离，再根据点的位置确定点所表示的数． 【详解】∵点表示的数为3， 点到原点的距离为3， 由图可得， 点到原点的距离． ∵点到原点的距离和点到原点的距离相等， 点到原点的距离为， 点表示的数为． 故选：D． 6．如图，在中，，将折叠，使点C落在边上的点E处，是折痕，则的周长为（　　） A．6 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，掌握其相关知识点是解题的关键． 利用勾股定理求出，利用翻折的性质可得，推出即可解决问题． 【详解】解：在中，， ∴， 由翻折的性质可知：，， ∴， ∴的周长． 故选：C． 7．如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块，已知，，该木块的较长边与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（   ） A．13m B．10m C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，勾股定理．将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：展开图如下： 蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程为的长度， 由展开图得， （）， 故选：A． 8．我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，掌握利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理是解题的关键．分别利用两种不同的方法计算各选项中的大正方形或梯形的面积，即可解答． 【详解】解：A、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项A能证明勾股定理； B、大正方形的面积为，也可以看作2个小长方形和2个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项B不能证明勾股定理； C、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项C能证明勾股定理； D、梯形的面积为，也可以看作3个直角三角形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项D能证明勾股定理． 故选：B． 9．如图，某同学用圆规画一个半径为的圆，测得此时，为了画一个半径更大的同心圆，固定端不动，将端向左移至处，此时测得，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理．利用勾股定理求出的长，过点作，利用含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 过作， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 10．如图，，过点P作且，再过点，作且，又过点作且，…依此法继续作下去，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，找到图形变化的规律是解题的关键．由勾股定理求出，，的长，依此类推可知，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， …， 依此类推，为正整数， 当时，， 故选： 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在中，，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．在直角三角形中，根据勾股定理，斜边的平方等于两直角边的平方和．根据，因此为斜边，和为直角边．代入已知值计算即可． 【详解】解：在中，，如果， 由勾股定理得：． 故答案为：． 12．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形按形状分类是 三角形． 【答案】直角 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，绝对值和算术平方根的非负性，解题的关键是掌握以上知识点． 利用非负数的性质求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：∵，且，，， ∴，，， 解得，，， ∵，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，边为斜边． 故答案为：直角． 13．如图，中，，平分交于点D，，，则点D到的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理以及角平分线的性质，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．过点D作于点E，由勾股定理得，再由角平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵，，， ∴，， ∵平分， ∴， 即点D到的距离为3， 故答案为：3． 14．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，向前荡起到最高点B处时距地面竖直高度为，摆动水平距离为，最高点处距离秋千顶端O的竖直高度为；然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的竖直高度的长度是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 过点作于点，摆绳与地面的垂足为，证明，得到，再利用勾股定理求出，得到，求出，由题意得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂足为， 与成角， ， ， ， 在和中， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴． 故答案为：． 15．如图1，是直角边长分别为的直角三角形，用这样4个形状、大小完全相同的直角三角形分别拼成了如图2、图3的正方形，已知正方形的面积为125，正方形的面积是5，那么图1中直角三角形的面积是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用，根据正方形的面积为125，正方形的面积是5，得，，即可求出的值，再根据图1中直角三角形的面积为即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积为125， ∴， ∵正方形的面积是5， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图1中直角三角形的面积是． 故答案为：15． 16．如图，在平面直角坐标系中，，两点分别在轴，轴上，点的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点，点关于直线的对称点为点，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或6 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、轴对称的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分、、三种情况，分别根据图形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∴， 当为直角三角形时，分三种情况： 如图1：当时， ∵ ∴A、B、C三点共线， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴， 当时，如图： ∵ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴； 当时，则， 与相矛盾，故不存在． 故答案为：3或6． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（1）在中，，，，求． （2）在中，，，，求的长． 【答案】（1）5；（2）12 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵中，，，， ∴； （2）∵中，，，， ∴． 18．如图，一架梯子 长 ，斜靠在一竖直的墙上，此时梯子顶端 A到地面的距离为． (1)求梯子底端B到墙角O的距离； (2)如果梯子的顶端 A沿墙下滑，那么梯子底端 B 将向外移动多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用． （1）在中，直接利用勾股定理求解即可． （2）在中，直接利用勾股定理可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ， ∴梯子底端B到墙角O的距离为：． （2）解：∵，，， ∴， ∴． ∴梯子底端 B 将向外移动． 19．如图①是小华同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点（的三个顶点都在正方形的顶点处）． (1)由图①可知，则______，______． (2)请你在图②的正方形网格中，补画出格点，其中，，并求出的面积．（只要画出一个符合条件的） 【答案】(1)， (2)见解析， 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理即可画出图形；根据勾股定理的逆定理，可证明，即可根据直角三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：，． 故答案为：，． （2）解：如图，就是所求作的图形； ，，， ， ， ． 20．如图，有一架救火飞机沿东西方向由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且直线上A，B两点与点C的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)着火点C受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机以的速度沿直线匀速飞行，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 【答案】(1)着火点C受洒水影响，理由见解析 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质， （1）过点C作，垂足为D，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与260进行比较即可求得答案； （2）以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F． 勾股定理求得，根据等腰三角形的性质进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【详解】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点C作，垂足为D， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，， ∵， ∴着火点C受洒水影响； （2）解：能，理由如下： 如图，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F，则， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴着火点C能被扑灭． 21．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． (2)如图2，在中，，垂足为H，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)8 【分析】本题主要考查勾股定理及梯形、三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理； （1）用两种方法表示出梯形的面积，再根据它们相等整理即可证明结论； （2）设，分别在和中，表示出，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可求出的值. 【详解】（1）解：∵ ， 整理得： （2）解：设 ∵ ∴ ∴和都是直角三角形 在中， 在中， ∴ ∵，， 则 解得，即 在中，由勾股定理，得. 22．【合作探究】如图①，在中，，过点作交于点，求的长．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． （1）设，则____________（用含的代数式表示）； （2）请根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程，并求出的值； 【类比应用】如图②，在，，求的面积． 【答案】（1）；（2）9；（3）12 【分析】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． （1）设，由表示出； （2）分别在直角三角形与直角三角形中，利用勾股定理表示出，列出关于x的方程，求出方程的解得到的值； 类比应用：过点作交的延长线于点，利用勾股定理解得，即可求出的面积． 【详解】（1）解：设， 故答案为：． （2）由勾股定理，得， ， 故， 解得． 类比应用： 如图，过点作交的延长线于点， ∴， ∵， 即， 解得， 所以， 所以． 23．八年级数学小组以“直角三角形的折叠”为主题，开展数学探究活动． 如图①，已知，在中，，，，点D是边上一动点，于点 (1)【操作判断】如图②，将沿直线折叠，点C恰好与点A重合，则与的数量关系是______； (2)【问题解决】在（1）的条件下，求的长； (3)【问题探究】将沿直线折叠，点C落在边上的点F处，连接，当是等边三角形时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题是几何综合题，考查了折叠的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）由折叠的性质可得； （2）由勾股定理可求BD的长； （3）由直角三角形的性质可求，可得，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：∵将沿直线折叠， ， 故答案为：； （2）解：， ， ∵，， ， ； （3）解：如图， 是等边三角形， ，， ， ， ， 的面积 24．阅读并回答下列问题 【几何模型】（1）如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．试说明理由． 【模型应用】（2）如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【拓展应用】（3）直接写出代数式的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）当点关于的对称点与点共线时，的值最小，最小值为；（3） 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，解题的关键是正确利用轴对称的性质求解． （1）由轴对称的性质结合两点之间线段最短即可求解； （2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接，则，那么，故当点三点共线时，的值最小，最小值为，再由勾股定理求解即可； （3）将代数式的值转化为点到点和点的距离之和，设，，，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为，再由两点之间距离公式求解即可． 【详解】解：（1）由轴对称的性质可得， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，点为为直线的交点； （2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为 ∵，， ∴， ∵，， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴最小值为； （3）解：∵， ∴代数式的值表示点到点和点的距离之和， 设，，，如图，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为， ∴， ∴代数式的最小值为． 25．在中，，点D，E分别是边上的点，连接． (1)若点E为的中点，，则是__________三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） (2)如图1，连接，若平分，求的长． (3)如图2，点在边上运动，连接，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，求的长． 【答案】(1)直角 (2) (3)①，理由见解析；② 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，角平分线的性质，中垂线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）利用勾股定理逆定理即可得出结论； （2）根据角平分线的性质定理结合勾股定理进行求解即可； （3）①等边对等角得到，中垂线的性质结合等边对等角得到，进而推出，即可得证；②连接，设，则，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点为的中点，， ． ，且， ， 是直角三角形． （2）解：平分， ． 设，则， 在中，， ， ， 即． （3）解：①． 理由如下： 由题意知， ． 是的垂直平分线， ， ． ， ， ． ． ②如图，连接． 设，则． ， ． 由勾股定理，得， 即， ， 的长为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $