第6节　双曲线课件-2027届高三数学一轮复习

第6节　双曲线 第八章　平面解析几何 1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程. 2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 3.了解双曲线的简单应用. 课标要求 1.双曲线的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个______叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. (2)其数学表达式:集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①若_______，则集合P为双曲线; ②若a＝c，则集合P为____________; ③若________，则集合P为空集. 定点 a<c 两条射线 a>c 3 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 图形 4 标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 性 质 范围 x≥a或x≤-a,y∈R _____________________ 对称性 对称轴:________;对称中心:______ 顶点 ____________________ A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线 y=±x _______________ x∈R,y≤-a或y≥a 坐标轴 原点 A1(-a,0),A2(a,0) y=±x 5 标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 性 质 离心率 e=_______,e∈(1,+∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b;a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a,b,c的关系 c2=_________ a2+b2 6 常用结论与微点提醒 1.离心率e＝，e越大，双曲线的“张口”越大. 2.双曲线的焦点到渐近线的距离为b，顶点到渐近线的距离为. 3.同支的焦点弦中最短的为通径，其长为;异支的焦点弦中最短的为实轴，其长为2a. 7 常用结论与微点提醒 4.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点， 则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a. 5.焦点三角形的面积:P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为. 6.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为＝λ(λ≠0). 7.等轴双曲线⇔e＝⇔渐近线为y＝±x⇔方程为x2－y2＝λ(λ≠0). 8 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内到(0，m)和(0，－m)的距离之差的绝对值等于2m(m>0)的点的轨迹是双曲线.(　　) (2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率为.(　　) (1)应该表示的轨迹为两条射线. 诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编 √ × 9 (3)方程＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　) (4)双曲线＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是±＝0.(　　) (3)当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m<0，n<0时则表示焦点在y轴上的双曲线. × √ 10 2.(苏教选修一P106T3改编)若双曲线经过点(－，6)，且它的两条渐近线方 程是y＝±3x，则双曲线的方程为____________.  由题设，可设双曲线为x2－＝m且m≠0， 又(－，6)在双曲线上， 所以m＝3－＝－1， 则双曲线的方程是－x2＝1. -x2=1 11 3.(北师大选修一P68T3改编)点(3，0)到双曲线＝1的一条渐近线的距离为____________.  双曲线＝1的渐近线方程是±＝0，即3x±4y＝0. 由点到直线的距离公式，得. 12 4.(人教A选修一P127T1改编)设P是双曲线＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝____________.  17 根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8， 因为|PF1|＝9， 所以|PF2|＝1或|PF2|＝17. 又|PF2|≥c－a＝2， 故|PF2|＝17. 13 例1 (1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O:x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(　　) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 B 考点一　双曲线的定义及应用 如图，连接ON， 由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点， 又O为F1F2的中点， 所以|MF2|＝2. 因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P， 由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|， 所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM|| ＝|MF2|＝2<|F1F2|， 所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线. (2)(2026·郑州质测)已知双曲线C:＝1，双曲线C上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为____________.  12 由题意知，双曲线C的实轴长2a＝8， 设点P到另一个焦点的距离为d(d>0)， 则根据双曲线的定义可得|d－4|＝8，得d＝12. 感悟提升 1.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系. 2.与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解. 3.如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解. 训练1 (1)(2026·石家庄模拟)已知双曲线C:＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与双曲线C交于A，B两点，若|F1A|＝2|F1B|，则|AB|＝(　　) A.4 B.2 C.4 D.4 A 因为双曲线C的标准方程为＝1， 所以a＝2，b＝2，c＝2. 由题意知过坐标原点的直线与双曲线左、右支各交于一点，不妨设点A在第一象限. 如图所示，连接F2A.因为点A，B关于坐标原点对称， 所以|F1B|＝|F2A|，又|F1A|＝2|F1B|， 所以|F1A|＝2|F2A|. 由双曲线的定义得|F1A|－|F2A|＝2|F2A|－|F2A|＝|F2A|＝2a＝4， 所以|F2A|＝4，|F1A|＝8， 又|F1F2|＝4， 所以|F1F2|2＋|F2A|2＝|F1A|2， 则F1F2⊥F2A，所以|AB|＝2|OA| ＝2＝4，故选A. (2)已知F1，F2为双曲线C:x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为____________.  2 不妨设点P在双曲线的右支上， 则|PF1|－|PF2|＝2a＝2， 在△F1PF2中，由余弦定理的推论，得 cos∠F1PF2＝， 所以|PF1|·|PF2|＝8， 所以|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2. 例2 (1)(2024·天津卷)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上位于x轴下方的一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 C 考点二　双曲线的标准方程 由题意可知，∠F1PF2＝90°， 又直线PF2的斜率为2， 可得tan∠PF2F1＝＝2， 根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a， 得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a， |PF1||PF2|＝×4a×2a＝4a2， 又＝8，所以a2＝2， 所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2＝40. 又|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10， 又a2＋b2＝c2，所以b2＝8， 所以双曲线的方程为＝1，故选C. (2)经过点P(3，2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为_______________.  设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0). ∴ ∴双曲线的标准方程为＝1. -=1 (3)已知双曲线C1过点A(－，1)，且与双曲线C2:x2－3y2＝1有相同的渐近线， 则双曲线C1的标准方程为____________.  由双曲线C1与双曲线C2:x2－3y2＝1有相同的渐近线， 故可设双曲线C1的方程为x2－3y2＝λ(λ≠0)， 又因为C1过点A(－，1)， 代入双曲线C1的方程得15－3＝λ，即λ＝12， 所以双曲线C1的标准方程是＝1. ＝1 感悟提升 1.用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解. 感悟提升 2.与双曲线＝1(a>0，b>0)有相同渐近线时可设所求双曲线方程为＝λ(λ≠0);与双曲线＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为＝1(－a2<λ<b2). 训练2 (1)(2026·福州质检)以y＝±3x为渐近线的双曲线可以是(　　) A.－y2＝1 B.x2－＝1 C.－x2＝1 D.y2－＝1 B 双曲线＝1(mn>0)的渐近线方程为＝0，即＝±， 故＝9，所以y＝±3x为渐近线的双曲线可以是x2－＝1或－x2＝1，故选B. (2)已知圆C1:(x＋3)2＋y2＝1，C2:(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外 切，则动圆圆心M的轨迹方程为_________________.  设动圆M的半径为r， 由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切， 得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r， |MC2|－|MC1|＝2<6， 所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支， x2-=1(x≤-1) 且2a＝2，解得a＝1， 又c＝3，则b2＝c2－a2＝8， 所以动圆圆心M的轨迹方程为 x2－＝1(x≤－1). 角度1　渐近线、离心率 例3 (1)(2025·新高考Ⅰ卷)若双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为(　　) A. B.2 C. D.2 D 依题意得b＝a，又c2＝a2＋b2， 所以c2＝a2＋(a)2＝8a2，即c＝2a， 故e＝2.故选D. 考点三　双曲线的几何性质 (2)(2026·成都诊断)设双曲线C:＝1(a>0，b>0)的离心率为，实轴长为2，则双曲线C上任意一点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积为(　　) A. B. C. D. B 由已知，2a＝2，，所以a＝1，c＝，则b＝2. 设M(m，n)为双曲线C上任意一点，则m2－＝1，即4m2－n2＝4. 而双曲线C的渐近线方程为2x±y＝0，所以点M到两条渐近线的距离的乘积为×.故选B. 角度2　几何性质的综合应用 例4 (多选)(2026·重庆诊断改编)已知双曲线C:－x2＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，上、下焦点分别为F1，F2，则(　　) A.C的方程为－x2＝1 B.C的离心率为2 C.双曲线C上的点到焦点的最小距离为 D.若点A(x0，y0)为双曲线C上支上的任意一点，P(2，0)，则|PA|＋|AF2|的最小值为2 BC 对于A，双曲线C:－x2＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±ax，则a＝， 于是双曲线C的方程为3y2－x2＝1，故A错误; 对于B，双曲线C的离心率e＝＝2，故B正确; 对于C，c＝，双曲线C上的点到焦点的最小距离为c－a＝，故C正确; 对于D，F1，F2， 由双曲线的定义得，|PA|＋|AF2|＝|PA|＋|AF1|＋2a≥|PF1|＋＝2， 当且仅当点A为线段PF1与双曲线上支的交点时取等号，故D正确. 感悟提升 1.渐近线的求法:求双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令＝0，即得两渐近线方程±＝0. 2.求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围). 感悟提升 3.与双曲线有关的最值(范围)问题的解题思路 (1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解. (2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决. 训练3 (1)(2026·贵阳摸底)已知双曲线C:＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F的直线l与C交于点A，B，且满足|AB|＝2a的直线l恰有三条，则双曲线C的离心率的取值范围为____________.  当直线l与x轴重合时，点A，B为双曲线C的左、右顶点，此时|AB|为实轴长，满足|AB|＝2a. 易知满足|AB|＝2a的另外两条直线均与双曲线C的右支有两个交点， 当直线l与x轴垂直时，将x＝c代入双曲线C的方程， 得y＝±，此时|AB|＝， (1,) 结合双曲线的对称性可知， 当2a>时，满足题意，得a2>b2， 所以双曲线C的心离率e＝ ＝<， 又e>1，所以e∈(1，). (2)(2026·湖南九校联考)已知P，Q分别为双曲线x2－＝1的右支与渐近线上的动点，F为左焦点，则|PQ|＋|PF|的最小值为____________.  4 设双曲线x2－＝1的右焦点为F'， 由已知得F'(，0)，渐近线方程为y＝±2x， 则|PF|－|PF'|＝2a＝2，∴|PF|＝|PF'|＋2， ∴|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋|PF'|＋2≥|F'Q|＋2， 当且仅当F'，Q，P三点共线时取等号， 易知当F'，Q连线垂直于渐近线时，F'Q取得最小值，且|F'Q|min＝＝2， 所以|PQ|＋|PF|的最小值为4. 一、单选题 1.方程＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　　) A.－2<m<1 B.m>1 C.m<－2 D.－1<m<2 A 因为方程＝1表示双曲线， 所以(2＋m)(1－m)>0， 即(m＋2)(m－1)<0， 解得－2<m<1.故选A. 2.经过点M(2，2)且与双曲线＝1有相同渐近线的双曲线方程是(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 D 由题意知，可设所求的双曲线方程为＝λ(λ≠0)， 点M(2，2)在双曲线上，所以＝λ， 解得λ＝－6，故所求的双曲线方程是＝1. 3.(2026·宁波十校联考)在平面直角坐标系中，动点P(x，y)满足方程||＝4，则动点轨迹的离心率为(　　) A. B.2 C. D.2 C 因为方程|－|＝4表示以点(－2，0)和点(2，0)为焦点，实轴长为4的双曲线，所以c＝2，a＝2， 所以动点P轨迹的离心率e＝. 4.若双曲线C:x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C右支上的动点，则|PF1|·|PF2|的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 C 由题意可知a＝1，b＝，c＝＝2，且|PF1|－|PF2|＝2， 设|PF2|＝m≥c－a＝1，则|PF1|＝m＋2， 可得|PF1|·|PF2|＝m(m＋2)在[1，＋∞)上单调递增， 所以当m＝1时，|PF1|·|PF2|取得最小值3. 5.(2026·石家庄调研)已知双曲线E1:＝1(a>0，b>0)与双曲线E2:＝1的离心率相同，且双曲线E1的顶点是双曲线E2的焦点，则双曲线E1的虚轴长为(　　) A. B. C. D.10 B 由题知，所以， 易知双曲线E2的右焦点为(5，0)， 所以a＝5，b＝a＝， 则双曲线E1的虚轴长2b＝. 6.若双曲线C1:＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆C2:(x－2)2＋y2＝1有公共点，则C1的离心率的取值范围为(　　) A. B. C.(1，2) D.(1，2] B ∵双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，且渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1有公共点， ∴圆心(2，0)到渐近线的距离小于等于半径， 即≤1，∴3b2≤a2，∴c2＝a2＋b2≤a2，∴1<e＝≤. 7.已知双曲线C:＝1(a>0，b>0)的离心率为，F1，F2分别为C的左、右焦点，过F1的直线与C的左支交于A，B两点，若|AB|的最小值为4，则△ABF2周长的最小值为(　　) A.8 B.12 C.16 D.24 C 因为双曲线的离心率为， 所以e2＝1＋＝2，得a＝b. 当弦AB与实轴垂直时，|AB|的值最小， 所以＝4，所以a＝b＝2. 由双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝2a， |BF2|－|BF1|＝2a， 所以|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋4a ＝|AB|＋4a， 所以△ABF2的周长为2|AB|＋4a， 因为a＝2，|AB|的最小值为4， 所以△ABF2周长的最小值为2×4＋4×2＝16. 二、多选题 8.已知双曲线的方程为＝1，则(　　) A.渐近线方程为y＝±x B.焦距为8 C.离心率为 D.焦点到渐近线的距离为8 BC 由题意，易知双曲线的实半轴长a＝8，虚半轴长b＝4，半焦距c＝＝4，且焦点在y轴上， 则渐近线方程为y＝±x＝±2x，A错误; 焦距为2c＝8，B正确; 离心率e＝，C正确; 焦点到渐近线的距离为4，D错误. 9.(2025·新高考Ⅱ卷)双曲线C:＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M＝，则( 　　) A.∠A1MA2＝ B.|MA1|＝2|MA2| C.C的离心率为 D.当a＝时，四边形NA1MA2的面积为8 ACD 根据双曲线和圆的对称性，知四边形A1MA2N为平行四边形， 因为∠NA1M＝， 所以∠A1MA2＝，A正确; 不妨设M(x0，y0)(x0>0，y0>0)，渐近线方程为y＝x，则＝c2， 又y0＝x0，a2＋b2＝c2， 联立可得x0＝a，y0＝b， 所以M(a，b)，所以MA2⊥x轴， 在Rt△A1A2M中， 因为∠A1MA2＝，所以＝cos ，B错误; 根据tan∠A1MA2＝＝tan ， 得＝2，所以e＝，C正确; 当a＝时，|MA1|＝4，|MA2|＝2， 所以四边形NA1MA2的面积为S＝2 ＝|MA1||MA2|sin ＝4×2×＝8，D正确. 三、填空题 10.若双曲线经过点(3，)，且渐近线方程是y＝±x，则双曲线的标准方程是____________.  设双曲线的方程是y2－＝λ(λ≠0). 因为双曲线过点(3，)， 所以λ＝2－＝1， 故双曲线的标准方程为y2－＝1. y2-=1 11.(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C:＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C 的离心率为____________.  法一　由|AB|＝10及双曲线的对称性得|AF2|＝＝5， 因为|AF1|＝13，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝13－5＝8， 2c＝|F1F2|＝＝12，所以a＝4，c＝6， 则C的离心率e＝. 法二　因为|AB|＝10，所以＝10， 所以＝5， 又|AF1|＝13， 所以|F1F2|＝2c＝＝12， 得c＝6，所以a2＋5a－36＝0， 得a＝4，所以C的离心率e＝. 12.(2026·西安调研)设P为双曲线x2－＝1上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限.若，则△AOB的面积为____________.  由题意得，双曲线的渐近线方程为y＝±2x， 因为点A，B分别位于第一、四象限， 所以设A(m，2m)，B(n，－2n)，其中m>0，n>0. 由得，点P为线段AB的中点，所以点P的坐标为， 将点P的坐标代入x2－＝1， 2 整理得mn＝1. 设∠AOx＝θ，则∠AOB＝2θ，tan θ＝2， 从而sin 2θ＝， 又|OA|＝m，|OB|＝n， 所以S△AOB＝|OA||OB|sin 2θ＝2. 四、解答题 13.已知双曲线＝1的左、右焦点分别为F1，F2. (1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离; 不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h， ∵·＝0， ∴MF1⊥MF2. 设|MF1|＝m，|MF2|＝n， 由双曲线的定义知m－n＝2a＝8.① 在Rt△F1MF2中， 由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，② 由①②得m·n＝8. ∵mn＝4＝×2ch， ∴h＝. 即M点到x轴的距离为. (2)若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程. 设双曲线C的方程为 ＝1(－4<λ<16). ∵双曲线C过点(3，2)， ∴＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)， ∴双曲线C的方程为＝1. 14.已知双曲线C:＝1(a>0，b>0)的焦距为10，F为双曲线的右焦点，且点F到渐近线的距离为4. (1)求双曲线C的方程; ＝1的渐近线的方程为y＝±x，即bx±ay＝0， 由双曲线的对称性不妨取渐近线为bx－ay＝0，则点F(c，0)到bx－ay＝0的距离d＝＝b＝4， 又因为焦距2c＝10，所以c＝5，所以a2＝c2－b2＝9， 所以双曲线C的方程为＝1. (2)若点A(12，0)，点P为双曲线C左支上一点，求|PA|＋|PF|的最小值. 记双曲线C的左焦点为F0，则F0(－5，0)， |PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF0|＋2a＝|PA|＋|PF0|＋6， 当F0，P，A三点共线时，|PA|＋|PF0|最小，且最小值为|AF0|＝17. 故|PA|＋|PF|的最小值为17＋6＝23. $