第2章第6节 指数与指数函数——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“指数与指数函数”专题，依据课标要求梳理了根式、分数指数幂运算及指数函数图象与性质等核心考点，通过知识要点系统整合、课前自测诊断易错点、考点突破分角度训练，对接高考评价体系，明确指数函数单调性应用、图象变换等高频考点权重，构建完整复习体系。 课件亮点在于高考真题与模拟题结合的实战训练，如2025年甘肃模拟题中指数方程根的问题，运用分类讨论、数形结合方法培养学生数学思维的推理能力和数学眼光的抽象能力。特设“易错陷阱警示”和“答题模板”，助力学生掌握比较大小、解不等式等题型技巧，教师可依托此框架精准教学，提升复习效率。

第2章 函数 第6节 指数与指数函数 2027届高中数学一轮复习 1 1. 课标要求 2.知识要点 3.课前自测 4.考点突破 目录 2 【课标要求】 1.理解指数函数的概念、理解指数函数的单调性与其图象特征并能灵活应用. 2.知道指数函数是一类重要的函数模型. 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 知识要点 4 【知识要点】 1.根式 (1)如果xn=a，那么　 　叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.  (2)式子叫做　 　，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.  (3)()n=　　.  x 根式 a 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 2.分数指数幂 (1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是=(a>0，m，n∈N*，且n>1).于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定=(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于　 　;0的负分数指数幂　 　.  0 没有意义 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 (2)根式的性质: ①a的n(n>1，n∈N*)次方根，当n为奇数时，有一个n次方根为  　;当n为偶数时，若a>0，有两个互为相反数的n次方根为　 　，若a=0，其n次方根为　 　，若a<0，则无实数根.  ②当n为奇数时，=　 　 ;  当n为偶数时，=|a|=  　.  (3)有理数指数幂的运算性质:aras=　 　，(ar)s=　 　，(ab)r=　 　，其中a>0，b>0，r，s∈Q.  ± 0 a ar+s ars arbr 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 3.指数函数图象与性质 图象 _______________________________________________________ _______________________________________________________ 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 定义域 值域 （2）________ 定点 （3）过定点______ 单调性 （4）当 时，______；当 时，__________ （5）当 时，__________； 当 时，______ （6）在 上是________ （7）在 上是________ 增函数 减函数 续表 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 【重要结论】 (1)指数函数图象的画法 画指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点:(1，a)，(0，1)，. (2)指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数①y=ax，②y=bx，③y=cx，④y=dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内，指数函数y=ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大. 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 (3)指数函数y=ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究. (4)指数函数y=ax与y=的图象关于y轴对称. 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 课前自测 12 概念辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)=-(x>0).(　　) (2)函数y=(a2-3a-3)ax是指数函数，则a=4.(　　) (3)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　) (4)函数f(x)=ax-1+2(a>0，a≠1)的图象过定点(1，3).(　　) (5)函数f(x)=2|x|既是偶函数又在(0，+∞)上单调递增.(　　) × √ × √ √ 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 教材改编 2.[必修1p119T6]已知a=0.750.1，b=1.012.7，c=1.013.5，则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b C [解析] 因为函数y=1.01x在(-∞，+∞)上是增函数，且3.5>2.7， 故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1，即c>b>a. 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 3.函数y=的值域为(　　) A.(-∞，-1] B.(0，1] C.[1，+∞) D.[0，1] B [解析] 作出y=的图象如图: 可知值域为(0，1]，故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 4.(多选)若函数f(x)=ax+b(其中a>0且a≠1)的图象过第一、三、四象限，则(　　) A.0<a<1 B.a>1 C.-1<b<0 D.b<-1 BD [解析] 因为函数f(x)=ax+b(其中a>0且a≠1)的图象在第一、三、四象限， 所以根据图象的性质可得a>1，a0+b<0，即a>1，b<-1. 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 5.[必修1p120T6]已知函数y=2ax-2-3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标为　　　　.  (2，-1) [解析] 令x-2=0，得x=2，则y=2a0-3=-1. 所以函数y=2ax-2-3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(2，-1). 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 考点突破 18 考点1 指数幂的运算 例1　(1)计算(-3.8)0-××的结果为(　　) A.-2 B.1 C.2 D.-1 A [解析] (-3.8)0-×× =1-××× =1-× =1-3=-2 ， 故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 (2)计算÷=(　　) A.2a B.2ab C.-2a D.-2ab A [解析] ÷ =÷ =2=2ab0=2a. 故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 [小结]指数幂运算的一般原则: (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数. (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又有负指数. 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 1.已知+=3(a>0)，则a+a0+a-1=　　　　　　.  8 [解析] 因为+=3，所以=a1+a-1+2=9，所以a+a-1=7， 又因为a0=1，所以a+a0+a-1=8. 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 2.化简 (a>0，b>0)的结果是(　　) A. B. C. D. B [解析] = = =ab-1 =， 故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 考点2 指数函数的图象及应用 例2　 (1)已知函数f(x)=a+b的图象过原点，无限接近直线y=2但又不与该直线相交.则该函数的解析式为　　　　　　　　;该函数在　　　 　 上是减函数.  f(x)=-2+2 (-∞，0](写成(-∞，0)也可) 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 [解析] 由题意知，a+b=0，b=2，∴a=-2， ∴f(x)=-2+2. ∴f(x)=图象如图: ∴f(x)在(-∞，0]上为减函数. 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 (2)(2025·甘肃兰州·模拟预测)已知函数 f(x)=|2x-1|，关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不等实数根，则实数 k 的取值范围是(　　) A.(1，+∞) B.[1，+∞) C.[0，1] D.(0，1) D [解析] 作出函数 f(x)=|2x-1|的图象，如图所示，若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不等实根，则函数 y=f(x) 的图象与直线 y=k 有两个交点，由图知，k∈(0，1).故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 [小结](1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除. (2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. (3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往是利用相应的指数型函数图象,数形结合求解. (4)判断指数函数图象上底数大小的问题,可以先通过令x=1得到底数的值再进行比较. 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 3.在下列四个图形中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=的图象不可能是(　　) C [解析] 当a>b>0时，A正确;当b>a>0时，B正确;当0>a>b时，D正确; 当0>b>a时，无此选项.故选C. 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 4.函数f(x)=ax+2-3的图象过定点A，且定点A的坐标满足方程mx+ny+2=0，其中m>0，n>0，则+的最小值为(　　) A.6+4　　　B.9　　　C.5+2　　　D.8 B [解析] 对于函数f(x)=ax+2-3，令x+2=0，即x=-2时，f(-2)=a-2+2-3=-2， 所以函数f(x)=ax+2-3的图象恒过定点A(-2，-2)， 又定点A的坐标满足方程mx+ny+2=0，所以-2m-2n+2=0，即m+n=1， 又m>0，n>0，所以+=(m+n)=5++≥5+2=9， 当且仅当=，即m=，n=时取等号，∴+的最小值为9. 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 考点3 指数函数的性质及应用 角度1.比较指数式的大小 例3　(多选)若0<a<1，则下列选项中正确的是(　　) A.a2.7<a3.5 B.0.99a<1.01a C.(a+1)0.8<(a+1)0.7 D.(1-a)-0.1>(1-a)0.1 BD 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 [解析] 对于A，当0<a<1时，y=ax是减函数，所以a2.7>a3.5，故A错误; 对于B，当0<a<1时，函数y=xa在(0，+∞)上单调递增， 故0.99a<1.01a，故B正确; 对于C，当0<a<1时，1<a+1<2，则y=(a+1)x是增函数， 故(a+1)0.8>(a+1)0.7，故C错误; 对于D，当0<a<1时，0<1-a<1，y=(1-a)x是减函数，(1-a)-0.1>(1-a)0.1，D正确. 故选BD. 名师导学第一轮总复习 高三数学 角度2.解简单的指数方程或不等式 例4　(1)已知函数f(x)=-+1，则不等式f(2m-1)<f(m+3)成立的实数m的取值范围为　　　　.  -<m<4 [解析] f(-x)=-+1=-+1=f(x)，定义域R关于原点对称，所以f(x)为偶函数，又当x≥0时，f(x)=-+1为增函数;当x<0时，f(x)为减函数， 所以f(2m-1)<f(m+3)，即|2m-1|<|m+3|， 两边平方整理可得3m2-10m-8<0，解得-<m<4， 所以不等式f(2m-1)<f(m+3)成立的实数m的取值范围为-<m<4. 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 (2)已知函数f(x)=若实数a，b，c满足a<b<c，且f(a)=f(b)=f(c)，则2a+c+2b+c的取值范围为(　　) A.(4，8) B.(4，16) C.(8，32) D.(16，32) D [解析] 作出函数f(x)的图象，如图， 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 当x<0时，f(x)=|2x-1|=1-2x∈(0，1)， 由图可知，f(a)=f(b)=f(c)∈(0，1)， 即4-c∈(0，1)得3<c<4，则8<2c<16， 由f(a)=f(b)，即|2a-1|=|2b-1|， 得1-2a=2b-1，求得2a+2b=2， ∴2a+c+2b+c=2c(2a+2b)=2×2c∈(16，32). 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 角度3.求参数值(范围) 例5　(1)已知函数f(x)=(a+1(a>-1且a≠0)在区间[1，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A.∪(0，+∞) B.∪(0，+∞) C.(0，+∞) D.[1，+∞) A 名师导学第一轮总复习 高三数学 35 [解析] 当-1<a<0时，0<a+1<1，所以外函数是单调递减的指数函数， 此时要使得函数f(x)=(a+1在区间[1，+∞)上单调递增， 则满足二次函数y=ax2+x-1在区间[1，+∞)上单调递减， 即满足对称轴-≤1，解得a≤-，结合-1<a<0，可得-1<a≤-; 当a>0时，a+1>1，所以外函数是单调递增的指数函数， 此时要使得函数f(x)=(a+1在区间[1，+∞)上单调递增， 则满足二次函数y=ax2+x-1在区间[1，+∞)上单调递增， 即满足对称轴-≤1，解得a≥-，结合a>0，可得a>0; 综上可得，a的取值范围是-1<a≤-或a>0，故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 36 (2)已知函数f(x)=9x-m·3x-1，函数g(x)=2|x|+1，若对任意的x1∈[-2，1]，总存在 x2∈R，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围为　　　　 　　.  [解析] 因为对任意的x1∈[-2，1]，总存在x2∈R，使得f(x1)≥g(x2)，所以f(x)min≥g(x)min. 又因为g(x)min=g(0)=2，所以对任意的x1∈[-2，1]，f(x1)≥2， 则9x-m·3x-1≥2对任意的x∈[-2，1]恒成立， 即m≤3x-，即m≤t-，令φ(t)=t-，t=3x∈. 因为φ(t)在区间上为增函数，所以φ(t)min=φ=-27=-， 所以实数m的取值范围是m≤-. 名师导学第一轮总复习 高三数学 37 [小结]有关指数函数性质的问题类型及解题思路 1.比较指数式的大小的方法是: (1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;(2)不能化成同底数的,一般引入“0”或“1”等中间量比较大小. 2.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化. 3.求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及单调性问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断. [提醒]在研究指数型函数单调性时,当底数与“1”的大小关系不明确时,要分类讨论. 名师导学第一轮总复习 高三数学 38 5.已知函数f(x)=3|λ-4x|在区间(2，4)上单调递增，则实数λ的值可以是　　　 　.(写出满足条件的一个值即可)  8(答案不唯一) [解析] 因为函数f(x)=3|λ-4x|在区间(2，4)上单调递增，且y=3t在定义域上单调递增， 根据复合函数单调性法则知，y=|λ-4x|在区间(2，4)上单调递增，所以≤2，所以λ≤8，则实数λ的取值范围为(-∞，8]，故实数λ的值可以是8. 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 39 6.已知a=1.30.6，b=，c=，则(　　) A.c<b<a B.a<b<c C.c<a<b D.b<c<a D [解析] a=1.30.6>1.30=1，b==，c=， 因为指数函数y=单调递减， 所以<<=1， 所以b<c<1，所以b<c<a. 名师导学第一轮总复习 高三数学 40 7.(2025高三·全国·专题练习)若函数f(x)=+m-1至少有一个零点，则m的取值范围为(　　) A.m<1 B.m≥1 C.0≤m<1 D.0≤m≤1 C [解析] 函数f(x)=+m-1有零点，则方程+m-1=0有根， 即=1-m有根，因此函数y=的图象与直线y=1-m有交点， 而函数y=是R上的偶函数，在[0，+∞)上单调递减， 函数y=的值域为(0，1]， 名师导学第一轮总复习 高三数学 41 在同一坐标系内作出函数y=的图象与直线y=1-m，如图， 观察图象知，当0<1-m≤1，即0≤m<1时， 函数y=的图象与直线y=1-m有交点， 所以m的取值范围为0≤m<1.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 42 8.已知函数f(x)=那么不等式f(x)≥的解集为(　　) A.(0，1] B.(0，2] C.[1，4] D.[1，6] C [解析] 作出函数y=f(x)与y=的图象， 由图可知，不等式f(x)≥的解集为[1，4].故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 43 $