第6节 双曲线 课件——2027届高三数学一轮复习

第6节　双曲线 1.双曲线的定义 平面内到两个定点F1,F2的　　　　　　　　　等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线.这两个定点F1,F2叫作　　　　　　　,两个焦点间的距离|F1F2|叫作　　　　　　　　.数学表达式集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a, 0<2a<|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.  距离之差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 =1(a>0,b>0) =1(a>0,b>0) 图形     范围 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称性 对称轴:　　　　　　;对称中心:原点 坐标轴 标准方程 =1(a>0,b>0) =1(a>0,b>0) 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=,e∈　　　　　,其中c=  实、虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=　　　　,线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=　　　　;a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长  a,b,c的关系 c2=　　　　　　(c>a>0,c>b>0) (1,+∞) 2a　 2b　 a2+b2 常用结论 1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b,顶点到渐近线的距离为. 2.焦点三角形的面积:P为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为. 3.若渐近线方程为y=±x,则双曲线方程可设为=λ(λ≠0). 4.等轴双曲线⇔e=⇔渐近线为y=±x⇔方程为x2-y2=λ(λ≠0). [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上.(　　) (2)若两条双曲线的焦点相同,则其渐近线也一定相同.(　　) (3)焦点在x轴上的双曲线的离心率越大,其渐近线斜率的绝对值就越大. (　　) √ × 解析 当两条双曲线的焦点相同时,由,若离心率不同,则渐近线的斜率的绝对值也不相同. √ (4)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线.(　　) × 解析 焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线,如双曲线=1和=1的渐近线相同,都为y=±x. 2.(人A选一教材习题改编)双曲线=1的实轴长为　　　　,离心率为　　　　,渐近线方程为　　　　　　　　.  10 y=±x 解析 双曲线=1中,a=5,b2=24,c2=25+24=49,则c=7,所以实轴长为2a=10,离心率e=,渐近线方程为y=±x. 3.(人A选一教材习题改编)顶点在x轴上,两顶点间的距离是8,离心率e=的双曲线的标准方程是(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 B 解析 由顶点在x轴上,可设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0).因为两顶点间的距离是8,e=,所以a=4,c=5,b=3,所以双曲线的标准方程为 =1.故选B. 4.(人A选一教材习题改编)已知双曲线x2-=1上一点P到它的一个焦点的距离等于4,那么点P到另一个焦点的距离等于　　　　　.  6 解析 设双曲线的焦点为F1,F2,|PF1|=4,则||PF1|-|PF2||=2,故|PF2|=6或2,又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c-a=-1>2,故|PF2|=6. 5.(苏教选一教材习题改编)若双曲线经过点(-,6),且它的两条渐近线方程是y=±3x,则双曲线的方程是　　　　　　.  -x2=1 解析 由题设,可设双曲线为x2-=m且m≠0,又(-,6)在双曲线上, 所以m=3-=-1,则双曲线的方程是-x2=1. 6.(北师大选一教材习题改编)点(3,0)到双曲线=1的一条渐近线的距离为　　　　.  解析 双曲线=1的渐近线方程是=0,即3x±4y=0.由点到直线的距离公式,得 7.(2024·全国甲,理5)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为(　　) A.4 B.3 C.2 D. C 解析 设点P(-6,4),F1(0,-4),F2(0,4),则e==2.故选C. 考点一　双曲线的定义及应用 例1　(1)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是 (　　) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 B 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点.又O为F1F2的中点, ∴|MF2|=2.∵点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,∴由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|, ∴||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|. 由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)(2025·安徽模拟)设F1,F2分别是双曲线y2-=1的上、下焦点,双曲线上的点P满足3|PF1|=5|PF2|,则△PF1F2的面积等于(　　) A.12 B.12 C.6 D.6 D 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 由题易知|PF1|>|PF2|,不妨设点P在第四象限,由|PF1|-|PF2|=2a,可得|PF2|=2a,故|PF2|=3a=3,|PF1|=5a=5,又|F1F2|=2c=4,故,即PF2⊥F1F2,故△PF1F2的面积为|PF2|·|F1F2|=3×4=6.故选D. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　双曲线定义的应用策略 (1)利用双曲线的定义可判定平面内动点的轨迹是否为双曲线. (2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系. (3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点:①距离之差的绝对值;②2a<|F1F2|;③焦点所在坐标轴的位置. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练1](1)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆的圆心M的轨迹方程为(　　) A.x2-=1(x≥1) B.x2-=1 C.x2-=1(x≤-1) D.-x2=1 C 解析 设动圆M的半径为r,则|MC1|=r+1,|MC2|=r+3,则|MC2|-|MC1|= 2<|C1C2|=6,根据双曲线的定义知,动圆的圆心M的轨迹为双曲线x2-=1的左支.故选C. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)(2025·山东期中)已知F1,F2分别是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为C上一点,PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于4,则b=(　　) A. B.2 C.2 D.4 B 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 由双曲线对称性,不妨设点P在第一象限,如图.由题得 |PF1|·|PF2|=4,所以|PF1|·|PF2|=8. 因为F1P⊥F2P,所以=(2c)2,则+2|PF1|·|PF2|=4c2, 所以4a2+16=4c2,即a2+4=c2,又c2=a2+b2,所以b2=4,即b=2.故选B. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 考点二　双曲线的标准方程 例2　(1)(2024·天津,8)双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.P是双曲线右支上一点,且直线PF2的斜率为2,△PF1F2是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 C 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 如图,由题意可知,点P必在第四象限,∠F1PF2=90°. ∵∠F1PF2=90°,=-1,又=2,=-, ∴tan∠PF1F2=,即 设|PF2|=m,则|PF1|=2m,|F1F2|=m. 由|PF1|·|PF2|=m·2m=8,得m=2, ∴|PF2|=2,|PF1|=4,|F1F2|=2=2c,则c= 由双曲线的定义可知,|PF1|-|PF2|=2a=2,∴a=,∴b2=c2-a2=8, ∴双曲线的方程为=1.故选C. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)(2025·山东聊城模拟)已知双曲线C经过点(4,2),且与双曲线-y2=1具有相同的渐近线,则双曲线C的标准方程为　 .  =1 解析 由题意设双曲线C的标准方程为-y2=λ,λ≠0,将点(4,2)代入,得-4=λ,解得λ=4,所以双曲线C的标准方程为=1. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2. (2)待定系数法:“先定型,再定量”,如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为=λ(λ≠0),与双曲线=1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为=1(-a2<λ<b2);与双曲线=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为=λ(λ≠0). 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练2](2025·河北秦皇岛期中)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为,且C的焦距为4,则C的方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 A 解析 由一条渐近线的倾斜角为,可知-=tan,故,又2c=4,且c=,解得c=2,a=,b=,故双曲线C的方程为=1.故选A. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 考点三　双曲线的几何性质 角度1　渐近线 例3　(1)(2025·山东潍坊一模)若双曲线E:=1(a>0,b>0)的焦距是其实轴长的2倍,则E的渐近线方程为(　　) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x B 解析 由题意可得2c=2×2a,所以=2,则,所以E的渐近线方程为y=±x.故选B. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (2)(2025·广东模拟)已知O为坐标原点,双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点M在C上,且M在x轴上的射影为F,若2|MF|=|OF|,则C的渐近线方程为(　　) A.y=±x B.y=±2x C.y=±x D.y=±x C 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 易知MF⊥x轴,不妨设点M在第一象限,联立得M(c,),故|MF|=,又2|MF|=|OF|,即2c,可得b2=ac,即c2-ac-a2=0,则)2-=0,解得=-(舍),即,则,故渐近线方程为y=±x.故选C. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　1.渐近线方程的求法:令=0,即得两渐近线方程=0 (或y=±x). 2.在双曲线=1(a>0,b>0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k=±,满足关系式e2=1+k2. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练3](2025·安徽滁州期中)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上一点,且∠F1PF2=,|PF2|=3|PF1|,则C的渐近线方程为(　　) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x C 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 由双曲线的定义知||PF2|-|PF1||=2a,又|PF2|=3|PF1|,不妨设点P在第二象限,则|PF1|=a,|PF2|=3a, 在△F1PF2中,∠F1PF2=,|F1F2|=2c,则cos∠F1PF2=, 所以,可得7a2=4c2,则7a2=4a2+4b2,所以C的渐近线方程为y=±x=±x.故选C. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 角度2　离心率 例4　(2025·江苏南通一调)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为C的左支上一点,AF1与C的一条渐近线平行.若|AF2|=|F1F2|,则C的离心率为(　　) A.2 B.2 C.3 D.3 C 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 (方法一)如图,设∠AF1F2=α,则tan α=,cos α=因为|AF2|=|F1F2|=2c,在△AF1F2中,由余弦定理得|AF2|2=|AF1|2+-2|AF1|·|F1F2|cos α,即4c2=|AF1|2+4c2-2|AF1|·2c,可得|AF1|=4a.因为|AF2|-|AF1|=2a,所以 2c-4a=2a,即c=3a,故e==3.故选C. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (方法二)由双曲线的对称性不妨设点A在第二象限,如图,由题知|AF2|=|F1F2|=2c,|AF1|=2c-2a.取AF1的中点M,连接MF2,则MF2⊥AF1,|MF1|=c-a,cos∠MF1F2=因为AF1平行于双曲线的一条渐近线,所以cos∠MF1F2=,从而,即c=3a,故e==3.故选C. (方法三)因为|AF2|=|F1F2|=2c,|AF1|=2c-2a,取AF1的中点M,连接MF2,则|MF1|=c-a.因为AF1平行于双曲线的一条渐近线,所以|MF2|=2b,|MF1|=2a,所以c-a=2a,即c=3a,故e==3.故选C. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或不等式,利用c2=a2+b2和e=转化为关于e的方程(或不等式),通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围). 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练4](2026·河北沧州模拟)若双曲线=1(a>b>0)一条渐近线的倾斜角为30°,则该双曲线的离心率e为(　　) A. B.2 C. D. C 解析 由双曲线方程可知,该双曲线的渐近线方程为y=±x,因为双曲线一条渐近线的倾斜角为30°,a>b>0,所以=tan 30°=,即a=b,所以a2=3b2,即a2=3(c2-a2),即3c2=4a2,所以e2=,e=故选C. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 角度3　与双曲线有关的范围(最值) 例5　(2025·浙江绍兴模拟)已知双曲线Γ:x2-=1的左焦点为F,点A,B在Γ的右支上(A在B上方),且|AB|=6,则|FA|+|FB|的最小值为(　　) A.4 B.6 C.10 D.14 C 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 设双曲线的右焦点为F2,由双曲线的定义及点A在双曲线的右支上可知,|FA|-|F2A|=2a=2,即|FA|=|F2A|+2,同理,点B在双曲线的右支上,则 |FB|-|F2B|=2a=2,即|FB|=|F2B|+2.所以|FA|+|FB|=(|F2A|+2)+(|F2B|+2) =|F2A|+|F2B|+4.根据三角形三边关系,知|F2A|+|F2B|≥|AB|,当且仅当A,B,F2三点共线时,等号成立.又|AB|=6,则|F2A|+|F2B|+4≥|AB|+4=6+4=10,即|FA|+|FB|≥10.所以|FA|+|FB|的最小值为10.故选C. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　与双曲线有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义,尤其是双曲线的性质. (2)利用函数,尤其是二次函数. (3)利用不等式,尤其是基本不等式. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练5](2025·山西太原一模)已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且|PF1|>|PF2|,线段PF1的中垂线经过F2.记椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则+4e2的取值范围是(　　) A.(6,+∞) B.(7,+∞) C.(6,7) D.(5,+∞) B 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 设椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a2,它们的公共焦距为2c,不妨设点P在第一象限,F1,F2在x轴上,如图.∵F2在PF1的中垂线上, ∴|PF2|=|F1F2|=2c, 由椭圆、双曲线的定义得|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2, ∴|PF1|=2a1-2c=2a2+2c,整理得a1-a2=2c,=2,即=2, +2,+4e2=+4e2+2,令f(x)=+4x+2,则f(x)在(1,+∞)上单调递增,且f(1)=1+4+2=7. ∵e2>1,∴+4e2>7.故选B. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 教材衍展　圆锥曲线的第二定义 圆锥曲线的第二定义又称圆锥曲线的统一定义:即平面内的动点M(x,y)到一个定点F的距离和M到定直线l的距离(定点不在定直线上)的比是常数e,则动点的轨迹就是圆锥曲线.其中定点F称为其焦点,定直线l称为其准线(其中椭圆与双曲线的准线方程为±,抛物线准线方程为-),正常数e称为其离心率.当0<e<1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e>1时,轨迹为双曲线. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 典例1已知点A(-2,),设点F为椭圆=1的右焦点,M为椭圆上一动点,求|MA|+2|MF|的最小值,并求此时点M的坐标. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解 如图,过点A作右准线l的垂线,垂足为N,与椭圆交于点M,连接MF. ∵椭圆的离心率e=,∴由圆锥曲线的第二定义得2|MF|=|MN|, ∴|MA|+2|MF|的最小值为|AN|的长,且|AN|=2+8=10,∴|MA|+2|MF|的最小值为10,此时点M的坐标为(2). 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　椭圆第二定义相关要点 (1)定点F1(c,0)为椭圆的焦点,定直线l1:x=为其对应的准线. (2)根据对称性,定点F2(-c,0)也为椭圆的焦点,定直线l2:x=-为其对应的准线,如图. (3)焦半径公式:|PF1|=e|PA|=e(-x)=a-ex,|PF2|=e|PB|=e[x-(-)]=a+ex(其中P(x,y)). 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练1]已知椭圆的一个焦点是F(3,1),相应于F的准线为y轴,l是过F且倾斜角为60°的直线,l被椭圆截得的弦AB的长是,则椭圆的方程 为　　　　　　　　　　.  　=1 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 设椭圆的离心率为e,M(x,y)为椭圆上任意一点,由椭圆的第二定义得=e, 整理得(x-3)2+(y-1)2=e2x2.① ∵直线l的倾斜角为60°,∴直线l的方程为y-1=(x-3),② ①②联立得(4-e2)x2-24x+36=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=>0,x1x2=>0, ∴|AB|=e(x1+x2)=e,∴e=(负值舍去), ∴椭圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=x2,即=1. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 典例2已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F且斜率为的直线交C于A,B两点,若=4,则C的离心率为(　　) A. B. C. D. B 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 设双曲线C的右准线为l,过A,B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,BD⊥AM于D,如图所示. 因为直线AB的斜率为,所以直线AB的倾斜角为60°,所以∠BAD=60°, |AD|=|AB|,由双曲线的第二定义得|AM|-|BN|=|AD|=(||-||) =|=(||+||),又因为=4,所以|=|,所以e=故选B. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练2]已知双曲线=1和点A(4,1),F是双曲线的右焦点,P是双曲线上任意一点,则|PA|+|PF|的最小值为　　　　　.  3 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 由双曲线的方程知a=2,b=2,所以c=4,离心率e==2,右准线的方程为x=1.设点P到右准线的距离为d,由圆锥曲线的第二定义可得=2,即|PF|=d,如图所示,过点P作右准线的垂线,垂足为D, 则|PA|+|PF|=|PA|+d=|PA|+|PD|,所以当P,A,D三点共线时,|PA|+|PD|的值最小,为4-1=3. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 $