精品解析：福建省厦门市集美区灌口中学2025-2026学年八年级下学期期中数学卷

厦门一中集美分校2025–2026学年第二学期期中考试卷 八年级数学学科试卷 （答卷时间：120分钟 卷面总分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案用0．5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中只有且只有一个选项正确） 1. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 中，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，点D，E分别是边，的中点，，，，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形的对角线，交于点，则添加下列条件，一定可使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. ， C. D. ， 7. 如图，长方形ABCD，，，在数轴上，若以点A为圆心，的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ） A. B. C. D. 2.1 8. 如图是将一张矩形纸片经过两次对折后所形成的矩形，将如图的矩形沿虚线剪开，剪下来的直角三角形纸片完全展开后的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 正方形 D. 菱形 9. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为多少尺？设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是正方形的对角线，点E，F分别是上的点，且，连接与交于点G，连接BE．若点M，N分别是的中点，连接，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 化简：（1）______；（2）______；（3）______；（4）______． 12. 正五边形的外角和等于 _______◦． 13. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A、B、D的坐标分别为、、，则顶点C的坐标是______． 14. 如图，直线，，，若的面积为3，则的面积为______． 15. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝8，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t＝__________秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 16. “赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．假设直角三角形的两直角边长分别为a，b（），斜边长为c，某数学兴趣小组受赵爽弦图的启发，先分别以a，b为边长构造了两个正方形，通过如图的裁切方式将边长为b的正方形裁切成四块，，是裁切线．若这四块能够与边长为a的正方形拼接成一个边长为c的正方形，则裁切点E与点A的距离为______．（用含有a，b的式子表示） 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，的对角线相交于点O，垂直平分．求证：四边形是矩形． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE的延长线与CB的延长线交于点F．求证：BC=BF． 21. 如图，四边形是矩形，． （1）尺规作图：作菱形，点E，F分别在，上．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 22. 数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： （1）如图1，当时，拼成的大正方形的边长为 ；如图2，当时，拼成的大正方形的边长为 ；如图3，当时，拼成的大正方形的边长为 ． （2）小周想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由． 23. 如图，将矩形放置在平面直角坐标系中，点与原点重合，点，分别在轴和轴上，顶点的坐标a，b满足． （1）求证：四边形为正方形． （2）若E点为正方形边上的动点，连接，过点作，且，连接，的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 24. 纸张在生活中必不可少，通常使用的不同类型纸张的长和宽都有固定的尺寸，查阅资料可知，这些类型的纸张都是长与宽的比为的矩形，这样的矩形通常称为“黄金矩形”．如图，矩形是“黄金矩形”，，点在边上，将沿折叠，使点A落在边上的点处． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）点B关于直线的对称点是点G， ①求证：点F，G，D三点共线； ②探究DG与BE之间的数量关系，并说明理由． 25. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，，点是射线上的动点，． （1）判断四边形的形状，并证明； （2）当时，． 求证：； 若，连接，过点在上方作射线，使得，点是射线上的点，点与点不重合，连接，．当时，在点运动的过程中，点的位置会随之变化，记，是其中任意两个位置，求点到直线的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门一中集美分校2025–2026学年第二学期期中考试卷 八年级数学学科试卷 （答卷时间：120分钟 卷面总分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案用0．5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中只有且只有一个选项正确） 1. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， 需满足被开方数， 解得． ∴符合． 故选：D． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个条件逐一判断即可．最简二次根式需满足: 被开方数不含分母, 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：对选项A．满足两个条件, 是最简二次根式，故A符合题意； 对选项B．, 被开方数含能开得尽方的因数, 不是最简二次根式，故B不符合题意； 对选项C．的被开方数含分母, 不是最简二次根式, 化简得，故C不符合题意； 对选项D．的被开方数含分母, 不是最简二次根式, 化简得，故D不符合题意． 3. 中，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用性质直接得到的度数即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 4. 如图，中，点D，E分别是边，的中点，，，，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理计算即可解题． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的加减，乘法，除法运算．根据二次根式的加减乘除运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、与不可以合并，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，四边形的对角线，交于点，则添加下列条件，一定可使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. ， C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法逐一排除即可，灵活运用平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：、添加，四边形不一定是平行四边形，原选项不符合题意； 、添加，，四边形不一定是平行四边形，原选项不符合题意； 、添加，四边形不一定是平行四边形，原选项不符合题意； 、∵，， ∴四边形是平行四边形，原选项符合题意； 故选：． 7. 如图，长方形ABCD，，，在数轴上，若以点A为圆心，的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ） A. B. C. D. 2.1 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， 在中，由勾股定理得： ∵以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点， ∴， 由图可知，点表示的数为，且点在点的右侧， ∴点表示的数为． 8. 如图是将一张矩形纸片经过两次对折后所形成的矩形，将如图的矩形沿虚线剪开，剪下来的直角三角形纸片完全展开后的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 正方形 D. 菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定，折叠的性质．通过折叠的过程可以得出该四边形的对角线互相平分且垂直，继而进行判断即可． 【详解】解：由折叠的性质可得，展开后的图形为四边形，四边形的两条对角线互相平分且垂直， 因此剪下来的直角三角形纸片完全展开后的形状是菱形， 故选D． 9. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为多少尺？设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解题的关键． 根据题意可知 ，，，，由勾股定理，得到，即可解答． 【详解】解：根据题意，有，，， ∴， 由勾股定理，得， 即． 故选C． 10. 如图，是正方形的对角线，点E，F分别是上的点，且，连接与交于点G，连接BE．若点M，N分别是的中点，连接，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，先证明四边形和都是矩形，得出点F、N、C三点共线，证明是等腰直角三角形，由三线合一得．利用勾股定理求出，然后利用直角三角形斜线中线的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接、，     ∵四边形是正方形， ，． ∵， ∴，，四边形和都是矩形， ∴， ， ∵N是的中点， ∴点F、N、C三点共线， ∵四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形． ∵M是的中点， ， ． ∵四边形是矩形， ． 又∵N是的中点， ∴N是的中点， ． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 化简：（1）______；（2）______；（3）______；（4）______． 【答案】 ①. ②. ③. ④. 【解析】 【分析】利用二次根式的性质和积的乘方运算法则，分别计算四个式子即可得到结果． 【详解】解：（）； （）； （）； （）． 12. 正五边形的外角和等于 _______◦． 【答案】360 【解析】 【详解】∵任何n边形的外角和都等于360度 ∴正五边形的外角和也为360° 故答案为360 13. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A、B、D的坐标分别为、、，则顶点C的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、坐标与图形等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出D点与C点纵坐标相同，D点横坐标与A点横坐标的差等于C点横坐标与B点横坐标的差，据此求解即可． 【详解】解：∵是平行四边形 ∴平行x轴， ∵D的纵坐标是3， ∴ C的纵坐标也是3， ∵A、B的横坐标的差为5， ∴ C、D的横坐标的差也为5， ∵ D的横坐标为2， ∴C的横坐标为7， ∴C点的坐标为． 故答案为． 14. 如图，直线，，，若的面积为3，则的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】过点作，求出的长，再利用面积公式解答即可． 【详解】解：过点作， 的面积，且的面积为3， ∴， ， ， 点到的距离等于的长度， 的面积． 15. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝8，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t＝__________秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】1或 【解析】 【分析】由已知以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形有两种情况，（1）当Q运动到E和B之间，（2）当Q运动到E和C之间，根据平行四边形的判定，由AD∥BC，所以当PD=QE时为平行四边形．根据此设运动时间为t，列出关于t的方程求解． 【详解】由已知梯形， 当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得： 2t-=3-t， 解得：t=， 当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得： -2t=3-t， 解得：t=1， 故当运动时间t为1或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：1或． 【点睛】此题考查梯形及平行四边形的性质，解题关键是由已知明确有两种情况，不能漏解． 16. “赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．假设直角三角形的两直角边长分别为a，b（），斜边长为c，某数学兴趣小组受赵爽弦图的启发，先分别以a，b为边长构造了两个正方形，通过如图的裁切方式将边长为b的正方形裁切成四块，，是裁切线．若这四块能够与边长为a的正方形拼接成一个边长为c的正方形，则裁切点E与点A的距离为______．（用含有a，b的式子表示） 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算、正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，根据题意正确拼接图形是解题的关键．分2种情况画出拼接成边长为c的正方形的示意图，结合图形的特点，再利用正方形和全等三角形的性质与判定等知识即可求解． 【详解】解：①若拼接边长为c的正方形如图1所示： 由图可知，，， 连接， 则四边形是正方形， ∴，， ∴ ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 由图可知，四边形拼接至四边形， ∴， ∵这四块能够与边长为a的正方形拼接成一个边长为c的正方形， ∴； ②若拼接边长为c的正方形如图2所示： 同理①的方法可得，，， 由图可知，四边形拼接至四边形， ∴， ∵这四块能够与边长为a的正方形拼接成一个边长为c的正方形， ∴， ∴； ∴综上所述，裁切点E与点A的距离为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）按照二次根式乘除运算法则逐步计算，然后合并即可； （）利用平方差公式即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，的对角线相交于点O，垂直平分．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，矩形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．由平行四边形得到，由垂直平分得到，继而，即可求证． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查分式的化简求值，正确计算分式的混合运算是代入计算的前提．先将括号内的两项通分并按照同分母分式相减，再将除法化为乘法约分化简结果，最后将m的值代入计算． 【详解】解： 当时，则原式 20. 如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE的延长线与CB的延长线交于点F．求证：BC=BF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，AD=BC， 又∵点F在CB的延长线上， ∴ADCF， ∴∠1=∠2． ∵点E是AB边的中点， ∴AE=BE． 在△ADE与△BFE中， ∵∠DEA=∠FEB，∠1=∠2，AE=BE， ∴△ADE≌△BFE（AAS）， ∴AD=BF， ∴BC=BF． 【解析】 【分析】首先由平行四边形的性质可得AD=BC，再由全等三角形的判定定理AAS可证明△ADE≌△BFE由此可得AD=BF，进而可证明BC=BF． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、对顶角以及公共角． 21. 如图，四边形是矩形，． （1）尺规作图：作菱形，点E，F分别在，上．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 如图所示，菱形为所求；   （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点F，于点E，则四边形即为所作菱形． （2）由菱形的性质，设菱形的边长为x，则．在中，由勾股定理即可解出x，即可求出菱形的边长与面积． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴，即， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解： 四边形是矩形，，， ， 设菱形的边长为x，则． 在中， ，即， 解得． 菱形的边长为，面积为． 【点睛】本题考查尺规作图：作线段垂直平分线，菱形的判定与性质，矩形的性质以及勾股定理．掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理是解答本题的关键． 22. 数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： （1）如图1，当时，拼成的大正方形的边长为 ；如图2，当时，拼成的大正方形的边长为 ；如图3，当时，拼成的大正方形的边长为 ． （2）小周想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；；； （2）不能，理由： 假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为，设长为，则宽为，则有： ， 解得，， 为长方形的长， ， ， 则长为， 要求长方形的四周至少留出的边框， 长方形的长应当为， ， 假设错误，不能． 【解析】 【分析】本题主要考查的是正方形的性质，正方形的面积公式，开平方运算，熟练掌握方程思想是解题的关键． （1）由题意得出大正方形的面积，即可得出答案； （2）设长为，则宽为，则得出，解出，则可得出答案． 【小问1详解】 ， 即用2个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， 大正方形的边长为； ， 即用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， 拼成的大正方形的边长为； ， 即用10个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， 拼成的大正方形的边长为； 故答案为：；；； 【小问2详解】 略 23. 如图，将矩形放置在平面直角坐标系中，点与原点重合，点，分别在轴和轴上，顶点的坐标a，b满足． （1）求证：四边形为正方形． （2）若E点为正方形边上的动点，连接，过点作，且，连接，的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1） 证明：，， ，， ，， 点， ， 又四边形是矩形， 四边形是正方形． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形，非负数的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握基础知识是解本题的关键． （1）根据非负数的性质先求解，可得，从而可得结论； （2）如图，在上截取等于，连接，证明，再证明，结合，可得，再结合全等三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 恒为，理由如下： 如图，在上截取等于，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 又在正方形中， ． 24. 纸张在生活中必不可少，通常使用的不同类型纸张的长和宽都有固定的尺寸，查阅资料可知，这些类型的纸张都是长与宽的比为的矩形，这样的矩形通常称为“黄金矩形”．如图，矩形是“黄金矩形”，，点在边上，将沿折叠，使点A落在边上的点处． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）点B关于直线的对称点是点G， ①求证：点F，G，D三点共线； ②探究DG与BE之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：矩形是“黄金矩形”，， 将沿折叠，使点A落在边上的点处， ， 在中，， ， ∴是等腰直角三角形； （2） ①证明：点关于直线的对称点是点，如下图： 垂直平分， ， 又， ， ， 延长交于点H， 则， ， ， ， 根据解析（1）可知，， ， ， ， ， ，即， 由（1）知 ， 三点共线； ②；理由如下： 根据解析①可得：，，， ，， 在中，根据勾股定理得： ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理和折叠的性质，证明，即可得出结论； （2）①证明，得出，延长交于点H，证明，即可得出结论； ②根据等腰三角形的判定得出，，根据勾股定理求出，即可得出． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：①略； ②略． 25. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，，点是射线上的动点，． （1）判断四边形的形状，并证明； （2）当时，． 求证：； 若，连接，过点在上方作射线，使得，点是射线上的点，点与点不重合，连接，．当时，在点运动的过程中，点的位置会随之变化，记，是其中任意两个位置，求点到直线的距离． 【答案】（1） 四边形是平行四边形， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 点到直线的距离为． 【解析】 【分析】（）由，则，由，所以，从而证明，最后通过平行四边形的判定方法即可求证； （）由，可得，由，即可求证； （）过作于点，过作，交延长线于点，连接，则，然后证明四边形是正方形，所以，，再通过线段和差，由，得到，可得，证明，所以，，从而可得出，所以点在平分线上运动，故有点到直线的距离为的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 解：如图，过作于点，过作，交延长线于点，连接，则， 由（）得四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在平分线上运动，， ∴， 如图， ∴点到直线的距离为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理，因式分解，勾股定理，全等三角形的判定与性质，点到直线的距离等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $