重难点 圆柱的体积与容积7类易错题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级下册

重难点 圆柱的体积与容积7类易错题型 目录 题型一、利用排水法求液面上升（或下降）高度 1 题型二、利用排水法求物体体积 6 题型三、斜放圆柱容器问题 7 题型四、利用体积不改变性求水瓶容积 9 题型五、求斜截圆柱的体积 14 题型六、拓展球的体积 15 题型七、实际应用问题 18 题型一、利用排水法求液面上升（或下降）高度 1．如图1，有一个圆柱形水桶，水位高度为．如图2，现将一棱长为的正方体铁块放入水中，液面上升了．如图3，如果再叠放一个同样的正方体铁块，那么液面会再上升（    ）cm． A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键． 设圆柱水桶的底面积为S，液面从图2的再上升，再根据水的体积浸入铁块的体积圆柱总体积列方程求解即可 【详解】解：设圆柱水桶的底面积为S，根据题意得，正方体铁块的体积为， 而水上升的体积为， ∴， 图3中，再叠放一个相同的正方体（总铁块高度）， 设液面从图2的再上升， ∴此时液面总高度为（且，铁块未完全露出）， ∴两个正方体浸入水中的总体积为， ∴水和浸入铁块的总体积（圆柱体积）为； 根据题意得，原来图1的水体积为， 根据“水的体积浸入铁块的体积圆柱总体积”，列方程： ， ∴液面会再上升， 故选B． 2．如图所示，有一直圆柱形的实心铁柱直立于一个内部装有水的圆柱形水桶内，水桶内的水面高度为，且水桶与铁柱的底面半径为．如将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变，若不计水桶的厚度．则水桶内的水面高度变为（　　）． A．4.5 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了等体积形变问题，熟练掌握圆柱体积计算公式，是解题的关键． 设铁柱的底面半径为，将铁柱移至水桶外部后，水桶内的水面高度为，根据水桶与铁柱的底面半径为，铁柱移至水桶外部前后水体积不变列方程，解答即可． 【详解】设铁柱的底面半径为，将铁柱移至水桶外部后，水桶内的水面高度为，根据题意得， ， 解得，． 故选：D． 3．将如图石块一次放入选项四个容器，石块均能完全浸没在水中，且水未溢出容器．容器地面数据如图所示，水位上升最多的是（      ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆柱体和长方体底面积的计算．掌握容积一样，底面积越步，高度越大是解题的关键. 计算四个立体图形的底面积，底面积越小，上升的越多． 【详解】解： （平方厘米）， （平方厘米）， （平方厘米）， （平方厘米）， ， 答：水位上升最多的是B． 故选：B． 4．在一个底面直径为6cm，高为9cm的圆柱形瓶内注水，使水柱的高为5cm，向瓶中放入一块长、宽、高分别为2cm，2cm，4cm的长方体铁块，则此时水柱的高为（ ）（取3） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】D 【分析】利用长方体及圆柱的体积公式列出方程求解即可． 【详解】解：设水面将增高，由题意可得， ， 解得， ． 此时水柱的高为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了体积公式，解题的关键是利用长方体及圆柱的体积公式列出方程． 5．如图，圆柱形容器的底面半径为，高为．其里面盛有深的水，将底面半径为，高为的圆柱形铁块沉入水中，此时容器内的水面高度上升了______. 【答案】0.18 【分析】设容器内水面高度上升了，根据水面上升部分的体积等于圆柱形铁块的体积列方程计算即可． 【详解】解：设容器内水面高度上升了， 由题意得，， 解得：， 容器内的水面高度上升了， 故答案为：0.18． 【点睛】本题考查了圆柱体积的计算，一元一次方程的应用，掌握圆柱体积的计算公式，理解题意，找到等量关系是解题的关键． 6．底面积为，高为的圆柱形容器内有若干水，水位高度为，现将一个边长为4cm的立方体铁块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）．再将第二个立方体铁块水平放在第一个立方体上面，且第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）．此时水位高度为，若，如果设第二个立方体的边长为，可列出方程_____ 【答案】 【分析】本题主要考查正方体的体积公式，圆柱的体积和方程的应用，解题的关键是找准等量关系列方程．根据圆柱的体积和正方体的体积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意得， 即， 故答案为：． 7．一个圆柱体容器中盛有1米高的水，如果把体积3.14立方分米的铁块放入水中，水面会上升2分米，这个圆柱体容器中原来盛有水（    ） A．1.57升 B．3.14升 C．15.7升 D．6.28升 【答案】C 【分析】求得圆柱底面圆的面积，即可求解，注意单位． 【详解】解：由题意可得，圆柱底面圆的面积为：（平方分米）， （立方分米） 立方分米升 故选：C 【点睛】此题考查了圆柱体积的求解，解题的关键是正确求得圆柱底面圆的半径，注意单位的互换． 8．一只乌鸦口渴了，到处找水喝，它看到一个瓶内底面积是的瓶子，瓶子里有一些水．（瓶子正放与倒置如图①、图②，单位：） (1)这个瓶子的无水部分的容积是多少毫升？ (2)乌鸦想喝水，但瓶子里的水不多且瓶口又小，它喝不着水．乌鸦看见旁边有许多棱长为的正方体小石头，它想用这些小石头放进瓶子里使水面升高，乌鸦要放多少块小石头才能使水面上升到瓶口位置呢？ 【答案】(1)471毫升 (2)59块 【分析】本题主要考查了体积的计算，掌握体积的计算公式是解题的关键． （1）根据题意可得这个瓶子的无水部分的高为，由体积等于底面积乘以高，即可求解； （2）运用空瓶部分的体积除以石块的体积即可求解． 【详解】（1）解：，， 这个瓶子的无水部分的容积是471毫升． （2）解：（块）， 乌鸦要放59块小石头才能使水面上升到瓶口位置． 题型二、利用排水法求物体体积 9．容器中装水与出水口齐平，两次分别放入大球与小球，收集溢出的水（如下图，单位：厘米）．每个小球的体积可能是（    ）立方厘米． A．50 B．100 C．150 D．180 【答案】B 【分析】本题主要考查圆柱的体积，第一次放入2个大球1个小球，第二次放入2个大球11个小球，第二次比第一次多放了10个小球．第二次水面上升的高度大约是厘米．用溢出容器的底面积乘水面上升的高度就是个小球的体积，进而求出1个小球的体积即可． 【详解】解：第二次放入球后水面的高度大约是20厘米，每个小球的体积： （立方厘米） 故答案为：B． 10．如图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将水倒进一个容量为的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果杯子没有满；（3）再将一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（    ） A． 以上， 以下 B．以上， 以下 C． 以上， 以下 D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查了探索某些实物体积的测量方法，结合题意分析解答即可． 要求每颗玻璃球的体积在哪一个范围内，根据题意，先求出5颗玻璃球的体积最少是多少，5颗玻璃球的体积最少是立方厘米，进而推测这样一颗玻璃球的体积的范围即可． 【详解】解：因为把5颗玻璃球放入水中，结果水满溢出，所以5颗玻璃球的体积最少是：（立方厘米） 一颗玻璃球的体积最少是：（立方厘米） 一颗玻璃球的体积最多是：（立方厘米） 答：这样一颗玻璃球的体积在40立方厘米以上，50立方厘米以下． 故选：C． 题型三、斜放圆柱容器问题 11．下列四个相同的玻璃量杯都装了一些水，其中有一个量杯中的水与其他量杯中的水体积不一样，那么这个不一样的量杯是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆柱容积问题，设量杯底面积为S，相邻刻度间距为1，先逐项计算出量杯平放时液面的高度，再计算出水的体积，找出与另外三个不一样的选项即可． 【详解】解：设量杯底面积为S，相邻刻度间距为1， A．液面左侧高度为8，右侧高度为8，则体积为； B．液面左侧高度为7，右侧高度为8，则量杯平放时液面高度为，体积为； C．液面左侧高度为9，右侧高度为7，则量杯平放时液面高度为，体积为； D．液面左侧高度为5，右侧高度为11，则量杯平放时液面高度为，体积为； 综上可知，不一样的量杯是选项B中的量杯， 故选B． 12．你知道“木桶效应”吗？它是指一只平放的木桶能装多少水，并不取决于最长的那块木板，而是取决于最短的那块木板．如图能直观形象地说明“木桶效应”蕴含的道理． (1)从木桶内部测量的数据，如下图所示．当木桶平放时最多能装水多少立方厘米？ (2)“新木桶效应”则是一只木桶能够装多少水，并不完全取决于短板，而是可以创新地发挥长板的作用，比如把木桶斜放能装的水更多．如果把这个木桶斜放（如图），这时水桶最多能装水多少立方厘米？ 【答案】(1)当木桶平放时最多能装水立方厘米； (2)把这个木桶斜放，最多能装水立方厘米． 【分析】本题考查圆柱的容积． （1）根据圆柱体的容积公式计算即可； （2）将水所占的空间几何体进行分割，重新组合，按照圆柱体的体积公式计算即可． 【详解】（1）解： （立方厘米） 答：当木桶平放时最多能装水立方厘米． （2）解： （立方厘米） 答：把这个木桶斜放，最多能装水立方厘米． 题型四、利用体积不改变性求水瓶容积 13．小明买了一瓶水，喝掉了一部分后还有剩余（如图所示），已知这个瓶子的内直径是．根据图中标出的数据，小明用算式“”计算的是（   ）． A．喝掉的水的体积 B．瓶子的容积 C．剩余的水的体积 D．喝掉的水和剩余的水相差的体积 【答案】B 【分析】本题考查圆柱的体积变化问题，根据倒置前后空余部分的体积相等可求解. 【详解】解：根据公式可知 是瓶子的底面圆的面积 再根据倒置前后空余部分的体积相等，所以两个圆柱体的高是 因此是计算整个瓶子的容积. 故选：B. 14．如图，一个酒瓶里面深，底面内直径是，瓶里酒深．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立，这时酒深，酒瓶的容积是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆柱体积公式在不规则容器容积计算中的应用，解题的关键是通过酒瓶正立和倒立两种状态，将不规则的空余部分体积转化为规则圆柱的体积进行计算． 先根据正立状态计算酒的体积，再求出倒立状态下空余部分的高度，将空余部分体积转化为圆柱体积，最后将酒的体积与空余部分体积相加得到酒瓶容积． 【详解】解：酒瓶底面半径． 正立时，酒深，酒的体积 倒立后，酒深，酒瓶总深，则空余部分高度为， ∴空余体积． ∴酒瓶容积． 故选：B． 15．小杰买了一瓶橙汁（满瓶），可以将这瓶橙汁的底部看成是一个圆柱体，当小杰喝了部分之后，剩余的部分如图1所示，他将这瓶果汁倒置，剩余的部分如图2所示，他喝了________橙汁． 【答案】 【分析】本题考查了关于圆柱的应用题，解答此题关键是明确喝掉的橙汁的体积的计算方法．由图形可得小杰喝了的橙汁的体积等于图2中空余部分的体积，再计算即可. 【详解】解：由题意可得：小杰喝了， 答：小杰喝了的橙汁． 故答案为： 16．一个瓶子的容积为，瓶内装着一些水，当瓶子正放时，瓶内水的高度20cm，倒放时，空余部分的高度为5cm，瓶内水的体积是_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱体的容积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 设溶液的体积为，根据溶液的体积+空余部分的体积，列方程求解即可． 【详解】设溶液的体积为，那么空余部分的体积为， 依题意得：， ， 即瓶内溶液的体积为； 故答案是． 17．小优感冒了，要在医院输液，输液瓶液面高度是（如图）．护士给小优设置了平均每分的输液速度，分后，空的部分高度是（如图）． (1)这个输液瓶的底面积是多少平方厘米？ (2)整个输液瓶的容积是多少毫升？ 【答案】(1)这个输液瓶的底面积是 (2)整个输液瓶的容积是 【分析】本题考查圆柱的体积（容积）公式的灵活运用， （1）根据圆柱的体积公式，得，把数据代入公式解答，注意单位的换算； （2）根据圆柱的体积（容积）公式，由图可知：液面高度是，分钟输液，厘米，所以药液现在的高是，由图可知：分后，空的部分高度是，所以，整个输液瓶的容积相当于底面积是，高是圆柱的容积．根据公式解答． 解题的关键是熟记公式，注意：体积单位与容积单位之间的换算． 【详解】（1）解：， ， 答：这个输液瓶的底面积是平方厘米； （2）解：分钟输液：， ∵这个输液瓶的底面积是， ∴厘米， ∴药液现在的高是， 由图可知：分后，空的部分高度是， ∴整个输液瓶的容积相当于底面积是，高是圆柱的容积， ∴； 答：整个输液瓶的容积是毫升． 18．小聪想知道一个瓶子（如图①）的容积大约是多少，他设计了一个实验．请你认真阅读实验单，然后根据实验单中的数据求出这个瓶子的容积． 【实验单】 第一步：往这个瓶子里装入一部分水，正着放，量得水的高度是厘米（如图②）． 第二步：将这个瓶子倒置放平，量得空白部分的高度是厘米（如图③）． 第三步：用绕绳的方法量得瓶子的底面周长是厘米． (1)瓶子的底面积是多少平方厘米？ (2)瓶内有水多少毫升？ (3)瓶子的容积是多少毫升？ 【答案】(1) (2)毫升 (3)毫升 【分析】本题考查了圆柱的体积，解题的关键是掌握圆柱的体积公式． （1）先根据瓶子的底面周长求出半径，再根据圆的面积公式即可求解； （2）根据把水看作高为的圆柱，根据“圆柱的体积底面积高”，即可求解； （3）根据“圆柱的容积底面积高”，即可求解；． 【详解】（1）解：瓶子的底面周长是厘米， 瓶子的底面半径为：（厘米）， 瓶子的底面积为：（平方厘米）； （2）瓶子内水的体积为：（毫升）； （3）瓶子的容积为：（毫升）． 19．有一玻璃密封器皿如图1所示，测得其底面直径为高为，现内装蓝色溶液若干，当如图2所示放置时，测得液面高为，当如图3所示放置时，测得液面高为． 求该玻璃密封器皿的总容量（结果保留）． 【答案】该玻璃密封器皿的总容量为 【分析】本题考查圆柱的容积公式，先分别计算出液体和缺口部分的容积，再用总体积减去缺口容积即可． 【详解】解：半径为：， 如图2，液体部分容积：， 玻璃容器加缺口部分容积：， 如图3，液体部分加缺口部分容积：， 则缺口部分容积为：， ， 故该玻璃密封器皿的总容量为． 题型五、求斜截圆柱的体积 20．底面周长为的圆柱体，从中间斜着截去一段后，截后的形状如图所示，则截后的体积________．（取） 【答案】 【分析】此题主要考查了圆柱的体积，熟练掌握圆柱的体积公式是解决问题的关键，难点是再取一个截后的几何体，用两个这样的几何体拼成一个圆柱体．先求出圆柱体底面圆的半径为：（厘米），再将截后的几何体倒过来拼成一个圆柱体，则拼成圆柱体的高为：，然后利用圆柱的体积公式求出所拼成的圆柱体的体积，进而可得截后几何体的体积． 【详解】解：圆柱体的底面圆的周长为， 该圆柱体底面圆的半径为：， 再取一个截后的几何体，用两个这样的几何体拼成一个圆柱体， 则拼成圆柱体的高为：， 所拼成的圆柱体的体积为：， 截后几何体的体积为：． 故答案为： 21．如图是一个底面半径为3分米的圆柱木块被削去一半后的形状，请你计算出它的体积．    【答案】立方分米 【分析】根据圆柱的体积公式进行求解即可． 【详解】解：（立方分米）． 答：它的体积是立方分米． 【点睛】此题考查了圆柱的体积，解题的关键是熟练掌握圆柱的体积公式． 题型六、拓展球的体积 22．如图，一个球恰好放在一个圆柱形盒子里（球的半径为时，球的体积为），若圆柱的容积为，则球的体积为______．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的体积和球的体积，根据圆柱的体积和球的体积公式计算即可得出答案． 【详解】解：设球的半径为，则圆柱的高为， 由题意得：， 解得：， ∴球的体积为， 故答案为：． 23．古希腊著名数学家阿基米德在自己众多的科学发现中，对“圆柱容球”定理最满意．“圆柱容球”就是把一个球放在圆柱形容器中，当球的直径与圆柱的高和底面直径相等时，球的体积正好是圆柱体积的，球的表面积也正好是圆柱表面积的．下图中球的体积是_______．（结果可用含有的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查圆柱体的体积．熟练掌握圆柱体的体积公式，是解题的关键．根据球的体积是圆柱体积的，以及圆柱的体积公式进行求解即可． 【详解】解：由图可知，圆柱的体积为： ， 则球的体积为； 故答案为：． 24．阿基米德是古希腊著名的数学家．他发现当“圆柱容球”时，球的体积正好是圆柱体积的，球的表面积也是圆柱表面积的．（此题取3） (1)已知，求圆柱的体积； (2)在（1）的基础上，现有一规格大小与该圆柱完全相同的玻璃杯，置入一与图中球同样大小的冰球，冰球完融化成水后，水与之前冰的体积比是，则融化后水的高度是多少厘米？ (3)若往（2）中杯里垂直放入一个圆柱形铅锤，已知铅锤的底面半径是3厘米，铅锤的高是13厘米，求圆柱形杯中水面上升的高度是多少？ 【答案】(1)圆柱的体积为 (2)融化后水的高度是 (3)圆柱形杯中水面上升的高度是 【分析】（1）根据圆柱的体积公式，进行计算即可求解； （2）根据球的体积正好是圆柱体积的，得出冰球的体积，根据冰球完融化成水后，水与之前冰的体积比是，得出水的体积，再除以水杯的底面积，即可求解． （3）设放入铅锤后，水面的总高度为厘米，根据铅锤排开的水的体积等于铅锤浸在水中的体积，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：，， ∴圆柱的体积为：， 答：圆柱的体积为； （2）解：球的体积正好是圆柱体积的， ∴， ∵冰球完融化成水后，水与之前冰的体积比是， ∴， 圆柱的底面积为， ∴融化后水的高度是， 答：融化后水的高度是； （3）解：设放入铅锤后，水面的总高度为厘米， 则：， 解得， ∴水面上升的高度为， 答：圆柱形杯中水面上升的高度是． 25．阿基米德是历史上最杰出的数学家之一，按照他的生前遗愿，人们在他的墓碑上刻了一个“圆柱容球”的几何图形，为什么阿基米德希望在自己的墓碑上刻圆柱容球呢？这是因为在他众多的科学发现中，圆柱容球定理最令他满意． 圆柱容球定理：当圆柱容球时，球的直径与圆柱的高和底面直径相等，此时球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积是圆柱表面积的三分之二． (1)圆柱的底面半径是3厘米，球的体积和表面积分别是多少？ (2)如果圆柱的底面半径是r厘米，球的体积和表面积分别是多少？ (3)判断：圆柱容球时，球的表面积等于圆柱的侧面积．（写出推导过程） 【答案】(1)，； (2)，； (3)说法正确，圆柱容球时，球的表面积等于圆柱的侧面积；推导过程见解析． 【分析】（1）根据题意，圆柱的高和底面半径均为3厘米，球的表面积公式，球的体积公式，分别代入数据计算求出球的表面积和体积； （2）根据题意，圆柱的高和底面半径均为r厘米，球的表面积公式，球的体积公式，分别代入数据计算求出球的表面积和体积； （3）利用公式计算比较即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）说法正确，推导过程如下： ，， ， 说法正确，圆柱容球时，球的表面积等于圆柱的侧面积． 【点睛】本题考查的是圆柱的面积公式和体积公式，以及比例的应用，熟记公式是解题的关键． 题型七、实际应用问题 26．实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为，用两个相同的管子在容器的高度处连通（即管子底离容器底），现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升．开始注入______分钟的水量后，丙的水位比甲高． 【答案】或 【分析】本题考查圆柱的应用，一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 先求出注水1分钟，丙的水位上升，丙的水位上升到需要的时间为（分钟），再分类讨论：①丙的水位未到达连通管高度，②丙的水位到达连通管高度后，③当丙、乙均达时，水流向甲，④当时间大于时，逐个分析求解即可． 【详解】解：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为， ∴甲、乙、丙三个圆柱形容器的底面积之比为， ∵每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，注水1分钟，乙的水位上升， ∴注水1分钟，丙的水位上升， ∴丙的水位上升到需要的时间为（分钟） 设注水时间为t分钟， ①丙的水位未到达连通管高度， 由丙的水位比甲高，得 ， 解得， ②当丙到达连通管的高度，乙未到达连通管的高度时， ∵丙到达连通管的高度为， ∴丙到达连通管的时间为（分钟）． ∵前分钟乙仅受自身注水，， ∴此时乙的水位为． ∵丙到达连通管后，水从丙流入乙，乙的受水量变为自身注水量+丙流入的注水量， ∴此时乙的水位上升速度为． ∵乙需要从上升到，上升高度为， ∴乙从到所需时间为（分钟）． ∵总时间为丙到连通管的时间加乙后续上升的时间， ∴乙到达连通管的总时间为（分钟）， ∵丙到连通管后，水流入乙，且乙未到达连通管的高度，即甲水位不变、丙水位不上升，二者差值恒为，无法满足差值； ③当丙、乙均达时，水流向甲，使丙比甲高， 丙水位保持，则甲需达． 甲需注水高度：， 所需时间为分钟， 总时间为分钟， ④当时间大于时，甲，丙水位相差小于，不符合题意． 故答案为：或． 27．如图1，在底面积为100平方厘米，高为20厘米的长方体水槽内固定一个圆柱形的杯子（杯壁厚度不计）．现以恒定不变的速度向杯子中注水，杯子注满后继续注水，直到注满水槽为止．此过程中，水槽中水深随注水时间的变化关系如图2所示，根据题意及折线图提供的信息，解答下列问题： (1)从折线图中可以看出，注水到第___________秒时，水杯刚刚装满；注水到第___________秒时，水槽中的水刚刚把水杯淹没． (2)通过计算求出水杯的底面积． (3)若水杯的高度为9厘米，请问注水的速度为每秒多少立方厘米？在水杯刚刚被淹没后还需要多少秒可以把整个水槽注满？ 【答案】(1)18，90． (2)20平方厘米 (3)110秒 【分析】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，并根据圆柱的体积公式解决有关的实际问题． （1）通过观察统计图可知，0~18秒一直往水杯中注水，第18秒时水杯刚好注满，第18~90秒水杯已满，不断从水杯中溢出水槽中，注水到第90秒时，水槽中的水刚好把水杯淹没． （2）假设水槽中没有水杯，即90秒后水杯页会淹没，而同样的高度，注水速度一样，那么水槽的底面积是100平方厘米注水用了90秒，而注满水杯则用了18秒，由此求出水杯的底面积． （3）根据圆柱的体积公式：，可以求出水杯的容积，用了秒水杯注满，据此可以求出注水速度，进而求出水杯刚好被淹没后还需要多少秒可以把整个水槽注满． 【详解】（1）解：从折线图中可以看出，注水到第18秒时，水杯刚好注满，注水到第90秒时水槽中的水刚好把水杯淹没． 故答案为：18，90． （2）（平方厘米） 答：水杯的底面积是20平方厘米． （3）（立方厘米/秒） （秒） 答：注水的速度为每秒10立方厘米，在水杯刚好被淹没后还需要110秒可以把整个水槽注满． 28．和都是高度为厘米的圆柱形容器如图所示，底面半径分别为厘米和厘米．一水龙头单独向注水，用分钟可以注满，现将两容器在它们高度的一半处用一个细管连通连通管的容积忽略不计，仍用该水龙头向注水．那么分钟时，容器中水的高度是多少？ 【答案】分钟时，容器中水的高度是厘米 【分析】此题主要考查圆柱的体积容积的计算，根据圆柱的体积公式，求出容器的容积为立方厘米，已知容器的底面半径是容器的倍，高相等，容器的容积就是容器的倍；那么要把两个容器都注满一共需要分钟，已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，分钟后中的水高厘米其余的水流到容器了；由此可知，用分钟的时间两个容器中的水的高度相等，都是厘米；以后的时间两个容器中的水位同时上升，用分钟注入水的体积除以两个容器的底面积之和问题得到解决． 【详解】解：容器的容积是：立方厘米； 已知容器的底面半径是容器的倍，高相等，容器的容积就是容器的倍； 那么要把两个容器都注满一共需要分钟，已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，分钟后中的水高厘米其余的水流到容器了；由此可知，用分钟的时间两个容器中的水的高度相等，都是厘米； 两个容器的底面积之和是： 平方厘米； 分钟注入的水是： 立方厘米； 厘米； 答： 分钟时，容器中水的高度是厘米． 29．有两个圆柱型空烧杯，底面直径和高分别为6，10和4，4，（单位：厘米，取3）． (1)如图1，有一冰块体积为33立方厘米，当冰块可以全放入大烧杯时，冰化成了水，此时大烧杯内的液体高度是多少厘米？（冰融化成水后体积减少） (2)如图2，在（1）的条件下，将小烧杯放入装有水的大烧杯（小烧杯的底面与大烧杯的底面没有缝隙），这时大烧杯内的液面高度变为多少厘米？若在大烧杯底部增加一个进水管，进水的速度为2立方厘米/秒，为了让小烧杯内的液体高度达到3厘米，则需要从进水管向大烧杯注水多少秒？ 【答案】(1)厘米 (2)2厘米；33秒 【分析】（1）设此时大烧杯内的液体高度是x厘米，根据体积相等列出方程，解方程即可得出答案； （2）用水的体积除以两个烧杯的底面积之差，即可求出这时大烧杯内的液面高度，用两个烧杯的底面积之差乘以4再加上小烧杯的底面积乘以3，得出总体积，用总体积减去30，再除以进水的速度，即可求出注水的时间． 【详解】（1）：设此时大烧杯内的液体高度是x厘米， 由题意得：， 解得：， 答：此时大烧杯内的液体高度是厘米． （2） 答：大烧杯内的液面高度变为2厘米，需要从进水管向大烧杯注水33秒． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用及圆柱体体积计算，掌握圆柱体体积计算公式，根据题意找出相等关系是解题的关键． 30．综合与实践：用长方形铁皮制作无盖的圆柱形容器 实践方案：将一块长方形铁皮裁剪成两个小长方形铁片：其中一个长方形铁片作为圆柱的侧面；在另一个长方形铁片中剪出一个最大的圆面作为底面．（不考虑连接的重叠部分） 【任务一】如图，已知长方形铁皮的长为，按图中的裁剪方式剪出的长方形和圆正好能做一个无盖的圆柱形容器，求这个圆柱形容器的体积．（取） 【任务二】如图1，用一块长为，宽为的长方形铁皮制作无盖圆柱形容器． 方案A：如果以作为无盖圆柱形容器底面圆的周长，请计算此时圆柱形容器的体积，并在图1上画出裁剪示意图．（标注尺寸，取3） 方案B：如果要求制作的无盖圆柱形容器的体积最大，请设计出符合要求的方案，并在图2上画出裁剪示意图，同时通过计算说明理由．（标注尺寸，取3） 【任务三】为了提高长方形铁皮的利用率，完成方案A、B后，在各自剩余材料中先裁剪一个尽可能大的长方形铁片，再在长方形铁片的内部截取一个尽可能大的完整半圆面，将其制作成一个无底面的圆锥形容器，此时在方案A和方案B中，哪种方案对长方形铁皮的利用率高？（材料不拼接使用，取3） 【答案】任务一：；任务二：见详解；任务三：方案B利用率更高 【分析】该题考查了圆柱的体积和展开图，圆面积，理解题意是解题的关键． 任务一：设圆柱底面圆半径为，根据题意可得，得出，根据圆柱的体积公式求解即可． 任务二：方案A：根据题意可得，故圆柱形容器的高，根据圆柱的体积公式求解再画出示意图即可； 方案B：以作为无盖圆柱形容器底面圆的周长，则，故圆柱形容器的高，根据圆柱的体积公式求解再画出示意图即可； 任务三：如图1，方案A剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为，，则该半圆的半径为，根据利用率（半圆面积圆的面积小长方形的面积）大长方形的面积求解即可；如图2，方案B剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为，，则该半圆的半径为，根据利用率（半圆面积圆的面积小长方形的面积）大长方形的面积求解即可． 【详解】解：任务一：设圆柱底面圆半径为， 根据题意可得， 即， 解得：， 则这个圆柱形容器的体积． 任务二：方案A：根据题意可得， 故圆柱形容器的高， 该圆柱形容器的体积， 示意图如下： 方案B：以作为无盖圆柱形容器底面圆的周长， 则， 故圆柱形容器的高， 示意图如下： 该圆柱形容器的体积， ， 故以作为无盖圆柱形容器底面圆的周长时体积最大． 任务三：如图1，方案A剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为，， ∵， ∴该半圆的半径为， ∴该半圆的面积， 利用率； 如图2，方案B剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为，， ∵， ∴该半圆的半径为， ∴该半圆的面积， 利用率； ∵， 故方案B利用率更高． 31．综合与实践： 小明和小红假期到某厂参加社会实践，发现该厂用一批长为，宽为的白纸板做无盖包装盒（不考虑连接的重叠部分），制作时，工厂一般将白纸板分隔成两个长方形分别制作底面和侧面，截得底面后的剩余部分不再使用．请根据活动完成相应的任务． 活动一 如图（1）是常见的一种设计方案甲：在白纸板上截去两部分（图中阴影部分），盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长 方体包装盒． 任务1：请直接计算出方案甲中包装盒的容积为 ． 活动二 为了增加包装盒的容积，有人提议将包装盒设计成圆柱形．小明横着裁剪把长方形的长作为底面圆的周长进行设计，如图（2）得方案乙． 任务2：请计算方案乙中无盖圆柱形包装盒的容积（取3）．并判断容积是否变大． 活动三 小明：设计成圆柱形的容积确实变化了． 小红：那么是否还有容积更大的情况呢？ 小明与小红通过研究发现了无盖圆柱形包装盒设计的新方案，且容积还大于． 任务3：请在下列白纸板上画出他们的方案，并计算其容积（取3） 【答案】任务一：324；任务二：变大；任务三：见解析 【分析】本题考查长方体、圆柱的体积公式，以及一元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，数形结合． 任务1：根据体积等于底面积乘以高，列式求解即可； 任务2：设底面圆的半径为，根据长方形的长作为底面圆的周长，算出半径，再利用体积等于底面积乘以高，算出体积，与任务1中结果进行比较，即可； 任务3：根据将圆柱侧面展开长方形的长等于底圆周长，即可解题． 【详解】任务1：解：由图知，， 盒子底面的四边形是正方形， 无盖包装盒的高为， 方案甲中包装盒的容积为：； 任务：解：长方形的长作为底面圆的周长， 设底面圆的半径为， 根据题意得：， 解得， 无盖包装盒的高为， 方案甲中包装盒的容积为：， ， 容积变大了； 任务：解：设计方案：在长方形左侧作底圆直径为右侧裁剪的成长为，宽为的长方形，当为圆柱的高时，无盖圆柱型包装盒容积大于． 由设计方案可知， 解得， ∴该无盖圆柱型包装盒的容积为， ∴此方案可行，容积为． 32．一个装水的四柱体玻璃杯，底面直径是20厘米，杯中放入一个不规则的铁块，当铁块完全浸入水中，杯中水面上升2厘米．（结果保留） (1)求不规则铁块的体积； (2)把铁块取出，削减成一个圆柱，它的体积比原来减少了，圆柱的底面半径为2厘米，求圆柱铁块的高是多少？ (3)把（2）中的圆柱体铁块放入另一个圆柱体玻璃杯中，圆柱体铁块的一个底面与圆柱形水杯底面完全接触，仍有高的铁块露出水面．如果再把钢材垂直露出水面5厘米，则玻璃杯中水面下降2厘米，求这个圆柱体玻璃杯中水的体积是多少立方厘米？ 【答案】(1)立方厘米 (2)厘米 (3)立方厘米 【分析】本题考查圆柱的体积． （1）求出上升的水的体积即为铁块的体积； （2）先求圆柱的体积，再根据圆柱体积的计算公式，进行求解即可； （3）根据钢材垂直露出水面5厘米，则玻璃杯中水面下降2厘米，求出玻璃杯的底面积，再用玻璃杯的底面积减去铁块的底面积乘以高度，进行求解即可． 掌握圆柱的体积公式，是解题的关键． 【详解】（1）解：厘米，立方厘米； 不规则铁块的体积是立方厘米； （2）圆柱的体积为：， 圆柱的高为厘米； （3）因为钢材垂直露出水面5厘米，则玻璃杯中水面下降2厘米， 所以玻璃杯的底面积为， 圆柱体铁块的一个底面与圆柱形水杯底面完全接触时，水的高度为厘米； 所以玻璃杯中水的体积为：立方厘米． 试卷第1页，共3页 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点 圆柱的体积与容积7类易错题型 目录 题型一、利用排水法求液面上升（或下降）高度 1 题型二、利用排水法求物体体积 6 题型三、斜放圆柱容器问题 7 题型四、利用体积不改变性求水瓶容积 9 题型五、求斜截圆柱的体积 14 题型六、拓展球的体积 15 题型七、实际应用问题 18 题型一、利用排水法求液面上升（或下降）高度 1．如图1，有一个圆柱形水桶，水位高度为．如图2，现将一棱长为的正方体铁块放入水中，液面上升了．如图3，如果再叠放一个同样的正方体铁块，那么液面会再上升（    ）cm． A． B． C． D．1 2．如图所示，有一直圆柱形的实心铁柱直立于一个内部装有水的圆柱形水桶内，水桶内的水面高度为，且水桶与铁柱的底面半径为．如将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变，若不计水桶的厚度．则水桶内的水面高度变为（　　）． A．4.5 B．6 C．8 D．9 3．将如图石块一次放入选项四个容器，石块均能完全浸没在水中，且水未溢出容器．容器地面数据如图所示，水位上升最多的是（      ）． A． B． C． D． 4．在一个底面直径为6cm，高为9cm的圆柱形瓶内注水，使水柱的高为5cm，向瓶中放入一块长、宽、高分别为2cm，2cm，4cm的长方体铁块，则此时水柱的高为（ ）（取3） A．cm B．cm C．cm D．cm 5．如图，圆柱形容器的底面半径为，高为．其里面盛有深的水，将底面半径为，高为的圆柱形铁块沉入水中，此时容器内的水面高度上升了______. 6．底面积为，高为的圆柱形容器内有若干水，水位高度为，现将一个边长为4cm的立方体铁块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）．再将第二个立方体铁块水平放在第一个立方体上面，且第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）．此时水位高度为，若，如果设第二个立方体的边长为，可列出方程_____ 7．一个圆柱体容器中盛有1米高的水，如果把体积3.14立方分米的铁块放入水中，水面会上升2分米，这个圆柱体容器中原来盛有水（    ） A．1.57升 B．3.14升 C．15.7升 D．6.28升 8．一只乌鸦口渴了，到处找水喝，它看到一个瓶内底面积是的瓶子，瓶子里有一些水．（瓶子正放与倒置如图①、图②，单位：） (1)这个瓶子的无水部分的容积是多少毫升？ (2)乌鸦想喝水，但瓶子里的水不多且瓶口又小，它喝不着水．乌鸦看见旁边有许多棱长为的正方体小石头，它想用这些小石头放进瓶子里使水面升高，乌鸦要放多少块小石头才能使水面上升到瓶口位置呢？ 题型二、利用排水法求物体体积 9．容器中装水与出水口齐平，两次分别放入大球与小球，收集溢出的水（如下图，单位：厘米）．每个小球的体积可能是（    ）立方厘米． A．50 B．100 C．150 D．180 10．如图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将水倒进一个容量为的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果杯子没有满；（3）再将一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（    ） A． 以上， 以下 B．以上， 以下 C． 以上， 以下 D．无法确定 题型三、斜放圆柱容器问题 11．下列四个相同的玻璃量杯都装了一些水，其中有一个量杯中的水与其他量杯中的水体积不一样，那么这个不一样的量杯是（   ） A． B． C． D． 12．你知道“木桶效应”吗？它是指一只平放的木桶能装多少水，并不取决于最长的那块木板，而是取决于最短的那块木板．如图能直观形象地说明“木桶效应”蕴含的道理． (1)从木桶内部测量的数据，如下图所示．当木桶平放时最多能装水多少立方厘米？ (2)“新木桶效应”则是一只木桶能够装多少水，并不完全取决于短板，而是可以创新地发挥长板的作用，比如把木桶斜放能装的水更多．如果把这个木桶斜放（如图），这时水桶最多能装水多少立方厘米？ 题型四、利用体积不改变性求水瓶容积 13．小明买了一瓶水，喝掉了一部分后还有剩余（如图所示），已知这个瓶子的内直径是．根据图中标出的数据，小明用算式“”计算的是（   ）． A．喝掉的水的体积 B．瓶子的容积 C．剩余的水的体积 D．喝掉的水和剩余的水相差的体积 14．如图，一个酒瓶里面深，底面内直径是，瓶里酒深．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立，这时酒深，酒瓶的容积是（   ）． A． B． C． D． 15．小杰买了一瓶橙汁（满瓶），可以将这瓶橙汁的底部看成是一个圆柱体，当小杰喝了部分之后，剩余的部分如图1所示，他将这瓶果汁倒置，剩余的部分如图2所示，他喝了________橙汁． 16．一个瓶子的容积为，瓶内装着一些水，当瓶子正放时，瓶内水的高度20cm，倒放时，空余部分的高度为5cm，瓶内水的体积是_______． 17．小优感冒了，要在医院输液，输液瓶液面高度是（如图）．护士给小优设置了平均每分的输液速度，分后，空的部分高度是（如图）． (1)这个输液瓶的底面积是多少平方厘米？ (2)整个输液瓶的容积是多少毫升？ 18．小聪想知道一个瓶子（如图①）的容积大约是多少，他设计了一个实验．请你认真阅读实验单，然后根据实验单中的数据求出这个瓶子的容积． 【实验单】 第一步：往这个瓶子里装入一部分水，正着放，量得水的高度是厘米（如图②）． 第二步：将这个瓶子倒置放平，量得空白部分的高度是厘米（如图③）． 第三步：用绕绳的方法量得瓶子的底面周长是厘米． (1)瓶子的底面积是多少平方厘米？ (2)瓶内有水多少毫升？ (3)瓶子的容积是多少毫升？ 19．有一玻璃密封器皿如图1所示，测得其底面直径为高为，现内装蓝色溶液若干，当如图2所示放置时，测得液面高为，当如图3所示放置时，测得液面高为． 求该玻璃密封器皿的总容量（结果保留）． 题型五、求斜截圆柱的体积 20．底面周长为的圆柱体，从中间斜着截去一段后，截后的形状如图所示，则截后的体积________．（取） 21．如图是一个底面半径为3分米的圆柱木块被削去一半后的形状，请你计算出它的体积．    题型六、拓展球的体积 22．如图，一个球恰好放在一个圆柱形盒子里（球的半径为时，球的体积为），若圆柱的容积为，则球的体积为______．（结果保留） 23．古希腊著名数学家阿基米德在自己众多的科学发现中，对“圆柱容球”定理最满意．“圆柱容球”就是把一个球放在圆柱形容器中，当球的直径与圆柱的高和底面直径相等时，球的体积正好是圆柱体积的，球的表面积也正好是圆柱表面积的．下图中球的体积是_______．（结果可用含有的式子表示） 24．阿基米德是古希腊著名的数学家．他发现当“圆柱容球”时，球的体积正好是圆柱体积的，球的表面积也是圆柱表面积的．（此题取3） (1)已知，求圆柱的体积； (2)在（1）的基础上，现有一规格大小与该圆柱完全相同的玻璃杯，置入一与图中球同样大小的冰球，冰球完融化成水后，水与之前冰的体积比是，则融化后水的高度是多少厘米？ (3)若往（2）中杯里垂直放入一个圆柱形铅锤，已知铅锤的底面半径是3厘米，铅锤的高是13厘米，求圆柱形杯中水面上升的高度是多少？ 25．阿基米德是历史上最杰出的数学家之一，按照他的生前遗愿，人们在他的墓碑上刻了一个“圆柱容球”的几何图形，为什么阿基米德希望在自己的墓碑上刻圆柱容球呢？这是因为在他众多的科学发现中，圆柱容球定理最令他满意． 圆柱容球定理：当圆柱容球时，球的直径与圆柱的高和底面直径相等，此时球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积是圆柱表面积的三分之二． (1)圆柱的底面半径是3厘米，球的体积和表面积分别是多少？ (2)如果圆柱的底面半径是r厘米，球的体积和表面积分别是多少？ (3)判断：圆柱容球时，球的表面积等于圆柱的侧面积．（写出推导过程） 题型七、实际应用问题 26．实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为，用两个相同的管子在容器的高度处连通（即管子底离容器底），现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升．开始注入______分钟的水量后，丙的水位比甲高． 27．如图1，在底面积为100平方厘米，高为20厘米的长方体水槽内固定一个圆柱形的杯子（杯壁厚度不计）．现以恒定不变的速度向杯子中注水，杯子注满后继续注水，直到注满水槽为止．此过程中，水槽中水深随注水时间的变化关系如图2所示，根据题意及折线图提供的信息，解答下列问题： (1)从折线图中可以看出，注水到第___________秒时，水杯刚刚装满；注水到第___________秒时，水槽中的水刚刚把水杯淹没． (2)通过计算求出水杯的底面积． (3)若水杯的高度为9厘米，请问注水的速度为每秒多少立方厘米？在水杯刚刚被淹没后还需要多少秒可以把整个水槽注满？ 28．和都是高度为厘米的圆柱形容器如图所示，底面半径分别为厘米和厘米．一水龙头单独向注水，用分钟可以注满，现将两容器在它们高度的一半处用一个细管连通连通管的容积忽略不计，仍用该水龙头向注水．那么分钟时，容器中水的高度是多少？ 29．有两个圆柱型空烧杯，底面直径和高分别为6，10和4，4，（单位：厘米，取3）． (1)如图1，有一冰块体积为33立方厘米，当冰块可以全放入大烧杯时，冰化成了水，此时大烧杯内的液体高度是多少厘米？（冰融化成水后体积减少） (2)如图2，在（1）的条件下，将小烧杯放入装有水的大烧杯（小烧杯的底面与大烧杯的底面没有缝隙），这时大烧杯内的液面高度变为多少厘米？若在大烧杯底部增加一个进水管，进水的速度为2立方厘米/秒，为了让小烧杯内的液体高度达到3厘米，则需要从进水管向大烧杯注水多少秒？ 30．综合与实践：用长方形铁皮制作无盖的圆柱形容器 实践方案：将一块长方形铁皮裁剪成两个小长方形铁片：其中一个长方形铁片作为圆柱的侧面；在另一个长方形铁片中剪出一个最大的圆面作为底面．（不考虑连接的重叠部分） 【任务一】如图，已知长方形铁皮的长为，按图中的裁剪方式剪出的长方形和圆正好能做一个无盖的圆柱形容器，求这个圆柱形容器的体积．（取） 【任务二】如图1，用一块长为，宽为的长方形铁皮制作无盖圆柱形容器． 方案A：如果以作为无盖圆柱形容器底面圆的周长，请计算此时圆柱形容器的体积，并在图1上画出裁剪示意图．（标注尺寸，取3） 方案B：如果要求制作的无盖圆柱形容器的体积最大，请设计出符合要求的方案，并在图2上画出裁剪示意图，同时通过计算说明理由．（标注尺寸，取3） 【任务三】为了提高长方形铁皮的利用率，完成方案A、B后，在各自剩余材料中先裁剪一个尽可能大的长方形铁片，再在长方形铁片的内部截取一个尽可能大的完整半圆面，将其制作成一个无底面的圆锥形容器，此时在方案A和方案B中，哪种方案对长方形铁皮的利用率高？（材料不拼接使用，取3） 31．综合与实践： 小明和小红假期到某厂参加社会实践，发现该厂用一批长为，宽为的白纸板做无盖包装盒（不考虑连接的重叠部分），制作时，工厂一般将白纸板分隔成两个长方形分别制作底面和侧面，截得底面后的剩余部分不再使用．请根据活动完成相应的任务． 活动一 如图（1）是常见的一种设计方案甲：在白纸板上截去两部分（图中阴影部分），盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长 方体包装盒． 任务1：请直接计算出方案甲中包装盒的容积为 ． 活动二 为了增加包装盒的容积，有人提议将包装盒设计成圆柱形．小明横着裁剪把长方形的长作为底面圆的周长进行设计，如图（2）得方案乙． 任务2：请计算方案乙中无盖圆柱形包装盒的容积（取3）．并判断容积是否变大． 活动三 小明：设计成圆柱形的容积确实变化了． 小红：那么是否还有容积更大的情况呢？ 小明与小红通过研究发现了无盖圆柱形包装盒设计的新方案，且容积还大于． 任务3：请在下列白纸板上画出他们的方案，并计算其容积（取3） 32．一个装水的四柱体玻璃杯，底面直径是20厘米，杯中放入一个不规则的铁块，当铁块完全浸入水中，杯中水面上升2厘米．（结果保留） (1)求不规则铁块的体积； (2)把铁块取出，削减成一个圆柱，它的体积比原来减少了，圆柱的底面半径为2厘米，求圆柱铁块的高是多少？ (3)把（2）中的圆柱体铁块放入另一个圆柱体玻璃杯中，圆柱体铁块的一个底面与圆柱形水杯底面完全接触，仍有高的铁块露出水面．如果再把钢材垂直露出水面5厘米，则玻璃杯中水面下降2厘米，求这个圆柱体玻璃杯中水的体积是多少立方厘米？ 试卷第1页，共3页 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $