精品解析：河南信阳市商城县2025—2026学年度下学期八年级期中考试数学试题

2025—2026学年度下学期八年级期中考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列四个数中，负数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（ ） A. B. C. 2 D. 6. 如图，直线上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）     A. 6 B. C. 4 D. 16 7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”题意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的（如图），则水深和芦苇长各多少尺？若设这根芦苇的长度为x尺，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，的平分线交于点，为的中点，若，，，则的长可以表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 能使在实数范围内有意义的m的值可以是______．（写出一个即可） 12. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值为__________. 13. 如图，的对角线，相交于点，且，的周长为27．则______． 14. 如图，在正方形中，为对角线上一点，为边上一点，且，连接，若，则的度数为__________． 15. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在中，，是边的中线． （1）用圆规和无刻度的直尺作，使、两点在的两侧，在射线上截取，连结；（保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形． 18. 某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． （1）求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） （2）除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 19. 某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，．     （1）连接，求的长； （2）若平均每平方米空地的绿化费用为500元，则绿化这片空地共需花费多少元？ 20. 若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． （1）若M与是互为“6相关代数式”，则 ； （2）若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 21. 为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组，进行了“勾股定理在风筝场景中的应用”的项目式学习活动．某小组测量数据如表所示： 任务名称 勾股定理在风筝场景中的应用 工具配备 皮尺、计算器、记录本 数据测量 牵线放风筝的手与风筝的水平距离为米；根据手中余线长度计算出为米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离为米，且四边形为长方形． 模型构建 任务解决 （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）如果小明想让风筝沿方向再上升米，长度不变，则他应该再放出多少米的线？ 22. 我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”． （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“宁美四边形”的是　　（填序号）； （2）如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连、．求证：四边形是“宁美四边形”； （3）如图2，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期八年级期中考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列四个数中，负数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了绝对值、算术平方根的计算和正负数的辨别能力，关键是能准确理解并运用以上知识．运用绝对值、算术平方根知识进行逐一计算、辨别． 【详解】解：， 选项A不符合题意； ， 选项B符合题意； ， 选项C不符合题意； ， 选项D不符合题意， 故选：B． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，符合两个条件即为最简二次根式． 【详解】解：∵选项A，的被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意； ∵选项B，，被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意； ∵选项C，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义，∴是最简二次根式，本选项符合题意； ∵选项D，，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意． 故选：C． 3. 的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及三角形内角和与勾股定理，运用分类分析思想，关键是分别从角和边的角度判断，易错点是对勾股定理的逆定理或角度和为的判定条件理解不透彻；解题思路：分别从角的关系（内角和）和边的关系（勾股定理逆定理）对每个选项逐一分析，判断是否为直角三角形． 【详解】选项A：因为三角形内角和为， ， 所以 ， 则为直角三角形，不符合题意； 选项B：设, ,， 则， 解得， 则, , ， 所以不能判断为直角三角形，符合题意； 选项C：因为 即， 即， 所以为直角三角形，不符合题意； 选项D：因为， 即， 故为直角三角形，不符合题意； 故选B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，分别根据二次根式的加、减、乘、除法运算法则计算相应选项，再进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算正确，故选项Ａ符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故选项B计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，故选项C不符合题意； D、，原选项计算错误，故选项D不符合题意； 故选：A． 5. 按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图，先计算输入值与的和，判断其正负性，若大于0则乘以，否则除以，最后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：输入， 第一步运算：，  ，  ，   选择“是”的分支进行运算， 输出值为：     ． 6. 如图，直线上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）     A. 6 B. C. 4 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质，易证，可得，，根据，的面积以及勾股定理即可求出的面积． 【详解】解：根据题意，得，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，的面积分别为5和11， ，， ， 根据勾股定理，， 的面积为16， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的化简，绝对值的化简，熟练掌握实数的大小比较，绝对值的化简是解题的关键． 先判断，，，化简计算即可． 【详解】解：根据题意得，，， ∴ ∴ ． 故选：A． 8. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”题意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的（如图），则水深和芦苇长各多少尺？若设这根芦苇的长度为x尺，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，用勾股定理求解即可． 【详解】解：设这根芦苇的长度为x尺， 由题意得：尺，尺， ∵水面是一个边长为10尺的正方形，芦苇在水池的正中央， ∴尺， ∴在中，由勾股定理得：， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理得应用，熟记公式是解题关键． 9. 如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴， 故选B． 10. 如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，的平分线交于点，为的中点，若，，，则的长可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理，，，，，由角平分线的定义并结合平行线的性质可得，从而得出，求出，再由三角形中位线定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴为的中位线， ∴， 故选：B． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 能使在实数范围内有意义的m的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】8（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式在实数范围内有意义的条件，得到被开方数为非负数，据此列不等式求出的取值范围，在取值范围内任取一个值即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴m的值可以是8（答案不唯一）． 12. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值为__________. 【答案】7 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的化简，二次根式的定义，关键是掌握．首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：， ∵是正整数，是整数， ∴是完全平方数， ∴n的最小值是7. 故答案是：7． 13. 如图，的对角线，相交于点，且，的周长为27．则______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由平行四边形的性质可得，，由，可得，由的周长是27，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵的周长是27， ∴， 解得， ，． 故答案为：11． 14. 如图，在正方形中，为对角线上一点，为边上一点，且，连接，若，则的度数为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键．连接，根据正方形的性质可得出，进而得出，则，进而求出． 【详解】解：连接，如图所示：   四边形是正方形， ，，， ， ，而， ，， ， ， ， 故答案为：． 15. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，在中，，是边的中线． （1）用圆规和无刻度的直尺作，使、两点在的两侧，在射线上截取，连结；（保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 如图，即为所作； （2） 证明：， ． ． 四边形是平行四边形． ，是的中线， ． 是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图和菱形的判定，熟练掌握相关知识，准确作图是解答本题的关键． （1）根据作一个角等于已知角进行作图即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． （1）求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） （2）除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 【答案】（1）该长方形的文化长廊区域的周长为米 （2）购买装饰画大约需要花费元 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，理解题意是解决本题的关键． （1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积求出装饰画面积，乘以单价即为所求． 【小问1详解】 解：由题得， （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； 【小问2详解】 解：由题意得，其余区域的面积为 平方米， ∴总花费为元， 答：购买装饰画大约需要花费元． 19. 某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，．     （1）连接，求的长； （2）若平均每平方米空地的绿化费用为500元，则绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】（1） （2）57000元 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理的应用，掌握相关定理的应用是解题的关键． （1）根据勾股定理计算即可； （2）由勾股定理逆定理可得是直角三角形，再计算面积，进而得到绿化费用即可． 【小问1详解】 解：， ； 答：的长为； 【小问2详解】 解：， ， 是直角三角形，且， ， ， ， （元）． 答：绿化这片空地共需花费57000元． 20. 若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． （1）若M与是互为“6相关代数式”，则 ； （2）若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘法，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）由题意知，计算求解即可； （2）由题意知，计算求解即可． 【小问1详解】 解：与是互为“6相关代数式”， ， ； 【小问2详解】 解：与是互为“相关代数式”， ， 整理得，， 是有理数， ，， 解得． 21. 为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组，进行了“勾股定理在风筝场景中的应用”的项目式学习活动．某小组测量数据如表所示： 任务名称 勾股定理在风筝场景中的应用 工具配备 皮尺、计算器、记录本 数据测量 牵线放风筝的手与风筝的水平距离为米；根据手中余线长度计算出为米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离为米，且四边形为长方形． 模型构建 任务解决 （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）如果小明想让风筝沿方向再上升米，长度不变，则他应该再放出多少米的线？ 【答案】（）线段的长为米；（）他应该再放出米的线． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． （）由勾股定理得米，从而求出的长； （）由风筝沿方向再上升米，则（米），通过勾股定理得米，从而求解． 【详解】（）解：在中，， 由勾股定理得，， ∴（米）， ∴线段的长为米； （）解：由风筝沿方向再上升米，则（米）， 在中，， 由勾股定理得，（米）， ∵， ∴他应该再放出米的线． 22. 我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”． （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“宁美四边形”的是　　（填序号）； （2）如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连、．求证：四边形是“宁美四边形”； （3）如图2，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长． 【答案】（1）④ （2） 证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是“宁美四边形”； （3） 【解析】 【分析】（1）由“宁美四边形”的定义即可得出结论； （2）证，得，再由“宁美四边形”的定义即可得出结论； （3）延长交于S，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，再次利用勾股定理，即可解决问题． 【小问1详解】 平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等， 正方形是“宁美四边形”， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 图，延长交于S，      由翻折的性质可知，，，，， 四边形是正方形，边长为， ，， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 即线段的长为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义“宁美四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $