2026年全国高考压轴预测密卷-数学-1

2026届全国高考压轴预测密卷（一） 数 学 本试卷满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本 试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 圜 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 扣 题目要求的， 赵 1复数名的共轭复数是 长 A.1+i B.-1+i C.2-i D.-2-i ? 2.已知集合A={x(2)广>1，集合B={x≤0，则AnB A.{x|-1<x≤2} B.{x|0<x≤2 C.{x0≤x≤2} D.{x|-1<x<0} 布 3.设单位向量a,b,已知a·b=司，则cosa,b) 相 A分 B9 c-2 2 4.已知a=2,b=3登，c=log23,则 A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a 5.已知双曲线的两个焦点分别为(2,0)，（一2,0），点（一2,3）在该双曲线上，则该双曲线的渐近 线方程是 Ay= 3 B.y=士√3x Cy=± D.y=士3x 6.将函数f(x)=sin 2x一9)的图象向右平移5个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则 数学（一）第1页（共4页） 9的一个可能取值为 A.0 B一平 c号 D 2 7.若函数f(x)=a十二为奇函数，则实数a A.-1 B.1 C.2 D.4 8.若曲线C:y=√-x2+2x+3上存在两点到直线1：x一√3y-m=0(m>0)的距离为3，则m 的取值范围为 A.[7,9) B.(6,7] C.(5,6) D.(3,5] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在正方体ABCD-A1BC1D1中，有 A.AC⊥AD B.AC∥平面A1BC C.AD⊥平面A,BC D.平面A1BC1⊥平面BB1D1D 10.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积为S,已知a=√2，b=2,C=135°，则 A.S=1 B.c=3 C.sin A=10 10 D.△ABC的外接圆的半径为2 11.设抛物线E:x2=2y(p>0)的焦点为F,直线y=x十1(k>0)与抛物线相交于A(x1,y), B(xy)两点，与x轴交于点C,AF=号，BF=4,则 A.y1y2=1 B.p=4 C.IABI-7 D.△AFB与△AFC的面积之比为2：1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若直线x一2y十b=0是曲线y=√E的一条切线，则实数b= 3已知数列{a,a1=2,a+1S,是数列{a,}的前n项和，则S2s 14.已知一个袋中装有（除颜色外完全相同）5个红球，n(n∈N)个黑球.现从袋中随机摸出3 个球，设X表示摸出红球的个数.若P(X=2)=号，则D(X)= 数学（一）第2页（共4页） 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(13分) 某地为了探索中小学人工智能教育实施的有效途径，了解中小学生使用AI工具的情况，随 机地对100名中学生和100名小学生进行调查，其中有120人经常使用AI工具辅助学习， 若在不经常使用AI工具辅助学习的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取4人，则小学 生有3人被选中， (1)根据题中信息，完成下面列联表： 学段 使用AI工具的情况 总计 中学生 小学生 经常使用 不经常使用 总计 (2)根据(1)中的列联表，判断是否有99.9%的把握认为学生使用AI工具的情况与学段有 n (ad-bc)2 关.附：X=(a+b(c+0(ac)b+d其中n=a+b+c+d a 0.050 0.010 0.001 x。 3.841 6.635 10.828 16.(15分) 设数列a,}满足a=分a1=2a十2品n∈N. (1)证明：数列{2"·an}为等差数列； (2)设bn=(2n十1)·am,求数列{bn}的最大项. 数学（一）第3页（共4页） 17.(15分》 已知椭圆C:导+芳-1（®>6>0）上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍，且点 P(1,2)在椭圆C上 (1)求椭圆C的方程； (2)已知点N(0,3),过点M(0,1)的直线1与椭圆C交于不同两点A,B, 证明：kM十kNB=O. 如 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，△ABC是正三角形，DA=DC,PA=PC,BD⊥PA. (1)求证：平面PAC⊥平面ABCD. 长 (2)设AB=2√3，若点P,A,B,C,D均在球O的球面上且点O在平面 3 ABCD内. (i)求四棱锥P-ABCD的体积； 舒 (ⅱ)求平面PAB与平面PCB的夹角的余弦值. 期 19.(17分) 设函数f(x)=asin x十xcos x,x∈[0，π] (1)若a=-1,证明：当x∈[0，]时，f(x)≤0； (2)若a=1,证明：f(x)<2; (3)若存在a≥1，使得当且仅当x∈[受，π]时，f(x)≤x+k,求为的取值范围. 数学（一）第4页（共4页）2026届全国高考压轴预测密卷数学参考答案 参考答案 (-) 2 2(i+1)=2(计1D=-1一i所以共轭复数为一1十i 1.B白1P1)(+五 一2 2.D由题意知，A={x|x<0},B={x-1<x≤2}，所以A∩B={x-1<x<01. 3Aosa,b)=a:t6=号 4.C .'b>a>2,c=log23<log24=2,c<a<b. 5B因为双曲线的两个焦点分别为(2,0)，（一2,0），故设双曲线的方程为后-苦=1（®>0,6>0），且c=2,又点 c2=6+a2=4, 1a2=1, a=1, 所以 2,3)在该双曲线上，所以2沙-是=1，解神=3,6=3 故该双曲线的渐近线方程是y=土名工 =土√3x. 6.D函数fx)=sim(受一)的图象向右平移受个单位长度后，对应的函数解析式为g(x)=sim[是(x一受) 9]=sm(分工一晋-)，因为gx)的图象关于y轴对称，则-否-p=吾十km,k∈Z,即g=--,k∈么对 于选项A:当p=0时，不满足p=一要-kx,k∈Z,故A错误；对于选项B:当p=一晋时，不满足g=一平-kr,A ∈乙，故B错误；对于选项C:当p=受时，不满足p=-下-k,k∈乙，故C错误；对于选项D:当p=平时，k=-1 满足p=一牙一m,∈Z,故D正确。 7.B函数fx)=a十32为奇函数，故必有f-1)=-f1)成立，即a+32=-(a+32）,解得a=1,则 此时f)=1+2=多，定义域为（一e,0U0,十o).而面f-)-告-芒等=-f,即函数 f)=1十32为奇函数，符合题意，故a=1. 8.D由C:y=√一x+2x+3表示圆(x-1)2+y=4的上半部分，如图，当 圆心C1,0)到直线1的距离d=-0-m-1,m=2,可得m=-3或 √1+3 2■ m=5,若m=-3时，l:x-√3y十3=0，若m=5时，l:x-√3y-5=0,当直 线1过点(-1,0)时，有合-=0，可得m=-1,此时14x-3y十1=0， -2 √3√3 结合图知，要使曲线存在两个点与直线l的距离为3，且m>0,即直线1必 在x一√3y十3=0的右下方，所以直线1到x-√3y十3=0的距离大于3，到x一√3y十1=0的距离小于等于3，l: x-3y-m=0(m>0)与x一5y+3=0的距离"生>3，则m>3,l:x-3y-m=0(m>0)与x-3y+1=0 数学参考答案第1页（共28页） 的距离”士<3，则m≤5，所以3<m≤5. 9.BD如图，AC∥AC1,AC=AD=CD,则△ACD为等边三角形，则AD1与AC不垂直，则AD与AC也不 垂直；AC丈平面A1BC,ACC平面A1BC1,所以AC∥平面A1BC1;∠DAC=45°，AD与AC不垂直，则AD与 A1C不垂直，AD⊥平面ABC不正确；正方体ABCD-A1BCD中，有BB⊥平面ABCD,则BB⊥ A1C1,又B1D1⊥A1C1,可推得A1C⊥平面BBDD,从而平面A1BC1⊥平面BBDD. D 10.AC对于A,由三角形的面积公式得S=之absinC=×厄X2×号=1，A项正确：对于B,由余弦定理得2 2 =a2+-2 abcos C=2+4+4=10,所以c=√0，B项错误；对于C,由正弦定理得sinA=asinC=二= C,C项正确：对于D,设△ABC的外接圆的半径为R,所以2R=一 品C=爱-25则R=后，D项错误 2 1.ABC由题得1AF到=n十号=号，BF1=为+号=4且>M>0,则A在 第二象限，B在第一象限，且p<8,联立 =2py→2-2pbx-2p=0=n+ y=kx+1 欢=2，=-2p,则为+%=函十)+2=2然+2，n%-系，第 1,所以（号-号）(4-是)=1→p=4或p=9(舍去)，所以抛物线E:2=8y,F(0,2),M=是为=2，所以可 得A(-2,号)，B(4,2),=冬，所以AB1=V4+22+(2-7)=是T,直线y=x+1与x轴交于点 C(-4,0),所以1AC=√-2++（合-0=平，所以SAm·Sae=(合1 AFIIAB1 IsinFAB）): (合1 AFIIACIsin∠FAC)=AB到：AC=3Y:严=3：1.所以D错误，ABC正确 12.1因为y=丘，所以y了=号x寸，令号x青=号得x=1,所以切点为(1,1，代人x-2y+6=0,得6=1. 2 ,1=1=1=2,a6= 2 己=亡2-1a,=己。1-一=合，观察可得，数列从a1开始，每3项重复：2，-1，合，即周期为 3.每个周期（三项)的和为a+1十au+:十au+1=2+(-1)+之-=是.由于周期为3，计算完整周期的个数：2026 ÷3=675…1,故Sws=675X号+ag%=2025+2=2029 2 2 1沿依题意，PX-2)-S-十5产Ca十-号整理得一-2+1一30=0，面aEN解得 60n 4 数学参考答案第2页（共28页） =2,X的可能值为1,2.3，P(X=1=得=7，P0X=2)=亭，P0X=8)=号BX)=1×号+2×号+3X 号-与，X)=1x号+4x号+9x号=5，所以DX0=BX)-(EX0)r=5-(9)=8 15.解：(1)由题可知，不经常使用A1工具的学生共有200-120=80人， …1分 设不经常使用A1工具的小学生有x人，按比例用分层随机抽样的方法抽取4人，小学生有3人被选中，则号× 4=3,得x=60. …3分 故列联表完成如下. 学段 使用AI工具的情况 总计 中学生 小学生 经常使用 80 40 120 不经常使用 20 60 80 总计 100 100 200 …5分 (2)根据(1)中的列联表，可得X=200X80×60=40X2022-10 100×100×120×80 3 ≈33.333>10.828， 10分 所以有99.9%的把握认为学生使用AI工具的情况与学段有关.… 13分 16.(1)证明：将a+1=4,十2两边同乘以2， 得2t·an+1=2·an十1，即2+1·an+1-2"·an=1, 3分 又2·a1=1,因此，{2"·an}是以1为公差，1为首项的等差数列. 6分 (2)解：由(1)得2”·an=1十(n-1)X1=n,a,=” 2%，…7分 因此，b.=20+1D,h.:=n+1)2n+3》, 2m+1 …8分 b.1-6.=n+1)(2m+3)-2n(2m+1D=-2m+3m+3=3-n(2n-3) 21+ 2n* 2n+1 10分 当n≥3时，3-n(2n-3)<0,得bn+1-bn<0,即b+1<bn； 11分 当n=1或2时，3-n(2n-3)>0,b+1>b. 12分 所以b1<b2<b3>b4>h5>….… 13分 所以{6，}的最大项是= 8 …15分 17.(1)解：由题意可得a十c=3(a一c),解得a=2c, 1 9 又因点P(1,2)在椭圆C上，即京+4亦=1， a=2, 解得 a2=b+c2, b=√3， 所以椭圆C的方程为+兰=1 …5分 3 (2)证明：当直线1斜率不存在时，直线为x=0,从而可得A(0,-√3)，B(0,W3), 但此时k,k阳无意义，故直线I斜率存在。…6分 设直线l方程为y=kx十1， 数学参考答案第3页（共28页） (y=kx+1, 与椭圆方程联立了 得(3十42)x2十8kx-8=0,… …7分 =1, 8k 设A(m,B(n),则五十g=一3十4以n=一3+4袋，… 8分 所以=当二3，k=二3， x2, 9分 所以k+k幅=边-3+2-3=k知+1-3+k红2十1-3 =k1-2)x2十(kx2-2)五=2k1x2-2(x1+x2) T1X2 TIX2 16k 16k =一3+4按十3牛蛇-0。 一=0，… 8 8 …14分 3+4k 3+4k 所以kM十kB=0.故证：ka十kNB=0. 15分 18.(I)证明：由条件得，DA=DC,BA=BC,则BD是线段AC的中垂线，所以BD⊥AC.…1分 又BD⊥PA,PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC.…2分 所以BD⊥平面PAC,而BDC平面ABCD, 故平面PAC⊥平面ABCD.… …3分 (2)解：（ⅰ）如图所示，记BD与AC交于点H,连接PH, 由题意，O为四边形ABCD的外接圆圆心，即A,B,C,D四点 共圆，由条件，可得∠ABC=60°，∠ADC=120°，BD是线段AC 的中垂线，所以∠ABH=30°，∠ADH=60°，故∠DAB=90°， 则BD是四边形ABCD的外接圆直径，点O为BD的中点.因 为AB=23,所以AC=23,BD=4,四边形ABCD的面积为 S=7AC.BD=2×23X4=43.…6分 取BD的中点O,连接OP,则OP=OB=合BD=2.因为PA=PC,H为AC的中点，所以PHLAC. 由(I)知，平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,PHC平面PAC,所以PH⊥平面ABCD,即 四棱锥P-ABCD的高为PH.又BHC平面ABCD,则PH⊥BH,而BH=3,OH=BH-OB=1,所以PH= VOP-Om=5,四棱锥P-ABCD的体积为V=号S·PH=号×43X5=4.…9分 (ⅱ)以HA,HB,HP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(W3,0,0),B(O, 3,0),C(-√3,0,0)，P(0,0,W3), 因为PA=(W/5,0,-3),PB=(0,3,-√5)，…10分 设平面PAB的法向量为n1=(x1,y,), PA·m=(3,0,-3)·(1,M,x1)=5-3=0, 由 取=√3，则x1=√3，y=1, Pi·m1=(0,3,-3)·(x,,)=3y-3=0, 所以平面PAB的法向量为n1=(W3,1,√3).… 12分 因为PC=(-√3,0，-√3)，PB=(0,3,-√3)， 设平面PBC的法向量为n2=(x2,2,2), 数学参考答案第4页（共28页） P心·m2=(-5,0,-3)·(2,,)=-3x2-32=0, 由 Pi·2=(0,3,-3)·(2h,z2)=3h-√3x=0, 取2=5，则x2=-√3，y2=1, 所以平面PBC的法向量为n2=(一√3,1W3).…14分 m1·2=(w3,1W3)·(-3,1W3)=1 1 sm,m)=mm=3中3X3干3万X厅=7， …16分 所以平面PAB与平面PCB的夹角的余弦值为子 …17分 19.(1)证明：当a=-1时，f(x)=-sinx十xcos x,则f(x)=-cosx十cosx-xsinxi=-xsin x, 当x∈[0，]时，x≥0，sinx≥0，故f(x)≤0， 所以f(x)在区间[0，受]上单调递减，所以fx)≤f0)=0,即fx)≤0.。…2分 (2)证明：证法一：当a=1时，f(x)=sinx十xcos x,x∈[0，π]，f(x)=2cosx-xsin x, 当xe(受，元]时，cosx<0,sin≥0，x>0,此时f(x)<0: g(x)=f(),g()=-2sin z-(sin z+xcos z)=-3sin z-zcos z, 当x∈[0，受]时，sin≥0，cos≥0，g(x)≤0，当且仅当x=0时取等号， 故f(x)在区间[0，受]上单调递减， 又f0)=2>0,f(受)=-登<0，因此存在唯-的∈(0，受)，使得f()=0, 即2cos=sin0,即tano=2 且当x∈[0，x]时，f(x)>0,当x∈[xo,π]时，f(x)<0, 故f(x)在区间[0，x]上单调递增，在区间[xo,π]上单调递减。 由fx-f儿am）=如+os=os五(m+)=os(侵+n)=t。 xo ecos xo. 由1+a2五=o2且cas>0,得cms0 1 1 √I+am西入/ + Γ√6+4 故f()=6+2.西 x6+2 x0√6十4√x6+4 要证fx)<2等价于证明+是<2，即证<12， √6+4 因为∈(0，受)，受<1.6，所以<（受）”<1.6<12，不等式成立，即fx)<2得证 …7分 解法二：由(1)知当0≤x≤5时，sinx>cO 当<x≤π时，sinx≥0，cOs<0,所以sinx>, 所以sinx≥xcos x在区间[0，π]上恒成立， 所以当a=1时，f(x)=sinx十xcos≤2sinx≤2， 数学参考答案第5页（共28页） 由于前面的等号在x=0处取到，后面的等号在x一受处取到， 所以f(x)≠2，即f(x)<2.… 7分 (3)解：设h(x)=f(x)一x=asin x十xcos x-x,不等式f(x)≤x十k等价于h(x)≤k, 故题目等价于：对所有x∈[受，x],h(x)<k恒成立，且对所有x∈[0，受)，h(x)>恒成立， 由于h(x)的图象是一条连续不断的曲线， 故由所有x[受，元]，A(x)<恒成立可知必有h(受)<， 由对所有x∈[0，受)，h(x)>k恒成立可知必有h(受)≥，故k=h(受)=a-受 现求=a一受时满足条件的a的范围。… 9分 ①当x∈[受，x]时，cosx≤0，sinx>0,a+1>0,k(x)=(a+1)cosx--rsin-1<0, 故h(x)在区间[受，元]上单调递减则h(x)在区间[受，x]内的最大值为A(受)=a一受=k, 因此(x)<k在区间[受，元]上恒成立，满足条件；…1分 ②当x∈[0，)时，h(x)>k,即h(x)>a-交，记p(x)=h'(z),则p(x)=-(a+2)sinx-c0s, 当x∈[0，受]时，sinx≥0，cosx>≥0，a>1,故p(x)≤0，则p(x)在区间0，受]上单调递减， 又p(0)=a>1>0,(受）=-受-1<0，故h(x)在区间0，受]上先递增再递减， 也即h(x)在区间[0，受]上的最小值在x=0或x=受处取得。 又h(0)=0,h(受)=k=a一受，故h(x)在区间[0，受]上的最小值只能是0或a-受。 要使h(x)>k在x∈[0，受)上恒成立，需使0>a-受，解得a<受 15分 综上，要存在a使题设成立，必须满足1≤a<受. 又=a-受，当1≤a<受时，1-受<<0， 故k的取值范制是1一交，0） 17分 数学参考答案第6页（共28页）