2026年全国高考压轴密卷 数学试题(3)

2026届全国高考压轴密卷（三） 数学·参考答案 1.DA={x|2>4}={xx>2},B={x|(x-1)(x-3)>0}={xx>3或x<1},则AUB={xx>2或 x<1}.故选D. 2.A设焦点在y轴上的双曲线的标准方程为岩-斧-1，又离心率为2，所以二=2，所以c=,所以0十 a &=如，所以号-写，所以该双曲线的蒲近线方程为y=士 3x.故选A 3.B因为样本数据2，a,10,12的平均数为8，所以2+a+10+12-8,所以a=8,若0<a<1,满足10g10>1, 4 则a>10,此时a不存在；若a>1,满足1og。10>1,则1<a<10,所以“样本数据2，a,10,12的平均数为8”是 “1og10>1”的充分不必要条件.故选B. 4.A设圆锥S0的底面半径为，则2=×6，解得r=2,所以该圆维的表面积为元×2十号×2x×2× 6=16元.故选A 5.A如图，建立平面直角坐标系，可得a=(2,0),b=(一3，-4)，c=(4,一1)，则b+ c=（1,一5)，向量十e在向量a上的投影向量为6a=号a 1 4a=2a.故选A 6.D由tan&=2anB可得cog&=og月，即sin acos月=2 cos asin,由题意可得 a sin acos=2 1 sin acos B=2cos asin B, sCa+)=in叶coin=3,解得 4， cos asin 所以sn(a-)=sin cos-i月=号-}=子.因此6cos(2a-2g)=1-2i证(a-)=1-2X (})°-G故选D 7.A由对数的运算性质，可得loga3>1og:22=号，1og5<1log,35=号，则a=log:3-log5>0,又由0<1g5 <1g7<g9,则6=16s7-1g9=贤-是9=级72k5x1g9>0g7-(k5g9) 2 g5g7 1g5×1g7 lg5×1g7 1g7)2-g35)-g7+lg35)0g7-1g352,因为49>45，可得7>35，所以1g7-1g35>0,所以 g5×1g7 1g5×1g7 b>0.故选A 8.B因为{am}是等比数列，所以a1an=a1aa-2=81,又a1十an=82,所以a1和am是方程，x2-82x+81=0的 两根，解得x=1或81，若{a,}是递增数列，则a4=8,a,=81,因为S.=121,所以S,=,二a9=1-819= 1-q1-q 121,解得q=3,所以81=1×31，解得n=5;若{a,》是递减数列，则a1=81,a,=1,因为S,=121,所以a二a9- 1一q 81-121,解得g=弓，所以1=81×（号），解得n=5,综上数列的项数n等于5.故选B 1-g 9.BC因为a+i=(2-i)(1+i)=2+i+1=3+i,所以a=3,则z=2+2i,A错误；z=2-2i,z的虚部为-2，B 正确，z=√4+4=2W2,C正确；之·x=(2+21)(2-2i)=8,D错误.故选BC. (三)·数学参考答案第1页（共6页） 10.AB由题意可知，可以作为降噪模拟声的数学函数模型为g(x)=子s(号x-吾+(2k+1)) -m(号x-吾），k∈z或g(x)=是sin(号x-晋+(2张+1))=sm(号x-晋+)= 子sn(号x+号+受)=co(号+晋)，∈乙，AB造项满足题意，故选AB 11ACD当λ=u=-1时，f(x)=x3-x2-x+1=x2(x-1)-(x-1)=(x-1)2(x+1),由(x-1)2≥0，则当 f(x)≥0时，有x+1>0或x=1,解得x≥-1，故A正确；当12=3μ=0时，f(x)=x3+1,则f(x)在R上 单调递增，即了a)无极值点，故B错误，当2=9g时，=2咎f()=3+2z十4，则 fx)的图象关于x=-号对称，有f(-一号)+fx)=(-x-)广+x(-x-号)‘+器（-x一登）+1计 2++等x+1=(-+）·(2+号+智)-婴（红+受）+女++婴+2=--证+器 器+++ 号x+2=2,即曲线y=f(x)的对称中心为(-子，1)，故曲线y=f(x)的对称中 心在直线y=1上，放C正确，当以=以时，f(x)=x+片：2+x+1,f(x)=3x2+台x十，当 △=气-12μ=片（以-48）≤0，即0≤μ≤26时，f(x)≥0恒成立，则f(x)在R上单调递增，又 f(0)=1>0,f(-1D=-1+片-4+1=会（红-4）≤0，故f(x)存在唯-零点，且该零点小于0：若 △=片-124=片(-48)>0，即<0或>26时，令3x2+气x+A=0两根分别为x1,且x1<:当 x∈(-∞，x1)U(x2,十∞)时，f(x)>0,当x∈(x1,x2)时，f(x)<0,即f(x)在(-∞，x1), （1,十60)上单调递增，在(1)上单调递减，若>26，则十=若<0，=片>0，即 6 x<x<0,又f(0)=1,故当x>0时，f(x)≥1，故f(x)不存在非负零点；若u<0,则x1+x=上<0， 6 =专<0，即<0<a,有3+兮十g=0,即+答残+台知=0，即+2： m(十2)=-6<0，故-2<0，则f()=对+片或++1=片对++1-告培-台 告+号+1=立(+2)(m+6)>0,又f0)=1,故当>≥0时，f()>0,故f)不存在非负零 点；当x→一∞时，f(x)→一∞，故f(x)存在负零点.综上所述，f(x)的所有零点都小于0，故D正确.故 选ACD. 12.50利用等差数列中的等差中项性质可知：2ag=a2十a4=0→ag=0,由等差数列的通项公式可得：2a2十a6= 2(a,-d)+(ag+3d)=-2d+3d=d=2,所以a1=ag-2d=-4,则So=10a1+10X9d=-40+90=50. 2 13.√3由椭圆方程得，F1(0,一2)，F2(0,2),设M(x,y),则F1M=(x,y+2), 珠 F应=（红，y一2，由F疗，F立=0，得2+少-4=01D,又点M在椭圆上，可得号 +苦=1(2)，1)(2)联立消去2，得=3，即1一5，故点M到x轴的距离是3， 14.0将1,234,56填入三角形图形中的6个圈中的填法共有6！种，设每条边上 的3个数之和为5，则3s≥(1+2+3+4+5+6)+1+2+3=27,3s≤(1+2+3+4+5 (三)·数学参考答案第2页（共6页） +6)十4+5+6=36，所以27≤3s≤36，解得9≤s≤12.①当s=9时，3个顶点所填的3个数只能为1,2,3，如 图(1)，此时共有填法3×2=6种；②当s=10时，设3个顶点所填的3个数之和为t,则t=3×10一(1+2+3 +4+5+6)=30-21=9.而9=2+3+4,9=1十3+5,9=1+2+6，则3个顶点所填的3个数只能为 {2,3,4},(1,3,5}或{1,2,6}.当3个顶点所填的3个数为{2,3,4}时，由于顶点分别填3,4的这条边上的3 个数之和为10，从而这条边中间只能填3，这与每个数恰出现一次矛盾，此时没有适合条件的填法，同样道 理，3个数为(1,2,6}时也没有适合条件的填法，只能为1,3,5，如图(2)，此时共有填法3×2=6种；③当s 11时，3个顶点所填的3个数应为2,4,6，此时共有填法3×2=6种；④当s=12时，3个顶点所填的3个数 应为45,6，此时共有填法3×2=6种，综上，满足条件的填法共有6X4=24种，放所求的概率为器-动 图(1) 图(2) 15.解：(1)由bsin B+(b+c)sinC=asin A及正弦定理可得b2+(b+c)c=a2,即b2+c2-a2=-bc, 由余弦定理可得cosA=+c2-a2 1 2bc 2 ……4分 因为0<A<元，故A=2 31 ………6分 (2)因为b2+c2-a2=一bc,即bc=(b十c)2-a2=82-72=15,…10s分 所以△MBC的面积为5aA=之cmA-专×15x号-15 4 …13分 16.解：(1)记“甲、乙两人至少有1人通过初试且没有通过复试”为事件A, 甲通过初试且没有通过复试的概率为卫=号×(1-号）=号，………2分 乙通过初试且没有通过复试的概率为P:=2×(1-号)=号 …………4分 所以P(A)=1-1-P)1-P)=1-(1-号)×(1-)=3 即甲、，乙两人至少有1人通过初试且没有通过复试的概率为2 …7分 (2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2. 甲被录用的概率为号×号-号， 乙被录用的概率为号×2=冬 =1 ……………9分 所以P(x=0)=(1-号)×(1-4)=2： P(X=1)=(1-号)×+号×(1-)= P(X=2)=号×- (三)·数学参考答案第3页（共6页） 则X的分布列为 X 0 2 7 P 13 12 36 18 12分 EX)=0x7+1×号+2x0-品 ………………………………………………………15分 17.解：1)抛物线的准线方程为y=一多，PF=o十 D ………………………………………………2分 又PF|-yo=1,可得|PF|=yo+1, 即0十1=%十多，号=1，解得力=2，… ………………5分 C的方程为x2=4y。……………………………7分 (2):y=受点P处的切线斜率为号 ∴直线PQ斜率为-品直线PQy-草=-名-， ……………………………9分 与-)联立可得，苦- =-2(x-)=-)+0）,解得x=-8 一x0,……11分 (-8-)2x+64+16 即Q的横坐标为一8一0，“Q的纵坐标为”， 4 4++162国×+16 .|FQ= -+1≥ +1=9, 4 4 当且仅当x0=士2√2时取等号，|FQ|的最小值为9.……15分 18.解：(1)设AB=x则PO=4-x, 所以四棱锥P-ABCD体积V=了x2(4-zx)=-子2+ 3 x2,0<x<4.…2分 所以V=-2+号x 由V>0→0<x<号，由V<0→8<x<4 所以V=-号+号2在(0，)上单调递增，在(g,4)上单潤递减。 所以四棱推P-ABCD体积的最大值为V()-号×酷×(4-号）)-的 …4分 (2)①以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系. 则P(0,0,2),E1,t,0),C(-1,2,0),A(1,0,0), 所以CP=(1,-2,2),CE=(2,t-2,0),0≤≤2.…6分 设平面PEC的一个法向量为m=(x,y,z),则 /m1C2,m·C=0,(xy,z)·(1,-2,2)=0, → mLCi,m…C2=0,(xy,z)·(2,t-2,0)=0, D →/-2y+2x=0, 0 (2x+(t-2)y=0. 令y=4,则m=(4-2,4,2+t). (三)·数学参考答案第4页（共6页） 取平面PAD的一个法向量n=(0,1,0).…8分 设平面PAD与平面PEC的夹角为. 所以cos8= m·n mm-/4-22)+16+(2+t)7V52-12+36 因为0≤2.sr-12+36∈[14,36]，所以cos9e[号，写] 10分 ②设M(0,1),则M=M,即+1+=V+(2-可，解得s=, 则M(o,1,),C应=（1，-1，)，此时平面PEC的-个法向量为m=(2,4,3), 所以M点到平面PCE的距离为d=C·m 2-4+号 ……12分 m w√29 4√29 设四棱锥P-ABCD的外接球半径为R,则R=|C应=④ ,…14分 4 所以平面PEC截球M所得的截面圆半径，：=R一一能一高一器 所以平面PEC截球M所得的截面面积为r2=297x 1161 …17分 题意知f(工)三。的定义域为(-o∞，0)U(0,十o∞，………… 今C)=工一1）=0，解得=1，………………….2分 所以当x∈(-∞，0)及x∈(0,1)时，f(x)<0,故f(x)在(-∞，0)，(0,1)上单调递减； 当x∈(1，十0∞)时，f(x)>0,故f(x)在(1，十∞)上单调递增.…………………4分 (2)法-：由题知不等式xe1≥(a+l)x+lnx在x∈(0，+∞)上恒成立， 等价于不等式xel-lnxx≥ax在x∈(0，十∞)上恒成立， 设g(x)=xe1-lnx-x, 令g(x)=(x+1De1--1=(x+1(e1-）=0,解得x=1, 当x∈(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当x∈(1，+∞)时，g(x)>0,g(x)单调递增， 所以g(x)在(0，十0∞)上有最小值g(1)=0,………7分 ①当a≤0时，因为g(x)=xe1-lnx-x≥0，ax≤0，所以不等式恒成立； ②当a>0时，因为g(1)=0,而ax>0,此时不满足xe-1-lnx-x≥>ax恒成立. 综上所述，a的取值范围为（一0∞，0们.……10分 法二：由题知不等式xe1≥(a+l)x十lnx在x∈(0，十∞)上恒成立， 等价于不等式xe-1一lnx一x>ax在x∈(0，十∞)上恒成立， 即ea+z-1-(1nx+x-1)-1≥ax在x∈(0，+o∞)上恒成立. 设g(x)=e-x一1，令g'(x)=e-1=0,解得x=0, 当x∈(-∞，0)时，g(x)<0,g(x)单调递减，当x∈(0，+∞)时，g(x)>0,g(x)单调递增， 所以g(x)在R上有最小值g(O)=0. 因为nx十x-1∈R,所以g(lnx十x-1)≥0，即xe1-lnx-x≥0，…7分 ①当a≤0时，因为xe-1-lnx一x≥0，ax≤0，所以不等式恒成立； ②当a>0时，因为g(0)=0,而ax>0,此时不满足xe1-lnx-x≥ax恒成立. 综上所述，a的取值范围为（一0∞，0们。………10分 :(三)·数学参考答案第5页（共6页） (3)证明：要证m+n+ln(mn)>2,只需证：(m+lnn)+(n+lnm)>2. 由m十lnn=n十lnm,则只需证：n十lnm>1,…………11分 不妨设m<n,则有：m一lnm=n一lnn, 两边取指数得e-hm=ea·,化简得g=e m n 设Aa)=兰，则h)=e -=ef(x),h(m)=h(n)(mn), 由(1)得h(x)在（一∞，0），(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增（如图所示）， 要使h(m)=h(n)且m≠n, 则0<m<1,n>1,即0<m<1<n,从而n>1,1-lnm>1. 要证n+lnm>1,只需证：n>1-lnm, 由于h(x)在(1，+o∞)上单调递增，则只需证：h(n)>h(1一lnm), 又h(m)=h(n),则只需证：h(m)>h(1一nm),…14分 只需证后>点n01-nm>心 m 设p()=e1-lnx)(0<x<1),则p(x)=e(1-1nx-1) 设e)=1-nx一士则)=-士+->0，e)在0,1上单调递增， 所以(x)<(1)=0,从而p(x)=e(1-lnx-1)<0, 所以p(x)在(0,1)上单调递减，从而p(x)>p(1)=e,则g(m)=e"(1-lnm)>e, 所以m十n十ln(mn)>2.…………………………………17分 (三)·数学参考答案第6页（共6页）绝密★启用前 2026届全国高考压轴密（三） 数 学 注意事项： 图 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。 2.作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答 题卡上的非答题区域均无效。 3.考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交。 吹 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 圜 合题目要求的 1.已知集合A={x|2>4},B={x|(x-1)(x-3)>0},则AUB 如 A.{x|x>1} B.{x|2<x<3}》 C.{xl1<x<3 D.{x|x>2或x<1} 2.焦点在y轴上的双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 B.y=土√3x 长 A.y= 3 n C.y= 22 D.y=土√2x 3.“样本数据2，a,10,12的平均数为8”是“1og。10>1”的 捌 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知圆锥S0的母线长为6，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为 数 A.16元 B.18元 C.20π D.22π 5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量a,b,c的起点和终点均在格点上，则向量b十c在向 量a上的投影向量为 1 A.20 D.-a 6.已知tana=2tanB,sin(a+B)=元，则cos(2a-2B) A.一 7 8 c 7 8 (三)·数学第1页（共4页） 7.已知a=1og23-log35,b=log57-1og9,则 A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 8.在等比数列{an}中，a1十an=82,a3aw-2=81,且数列{am}的前n项和Sn=121,则此数列的项 数n等于 A.4 B.5 C.6 D.7 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知实数a满足2-i,复数：=2+(a-1i,则 A.x为纯虚数 B.之的虚部为-2 C.|z|=2√2 D.x·z=-8 10.声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动.为了有效地消除噪声，人类研发了主动 降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同， 但相位恰好相反（即相位差为π的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵消.某一目标 噪声的数学模型函数是f(x)=子s(号x一吾），则可以作为降躁模拟声的数学函数模 型有 Ag(x)=-sin(号x-吾） Bx)=cos(+号 Cg(x)=cos(号 3。m/2 D.g(x)=cos(3x-） 11.已知函数f(x)=x3十λx2十4x十1，则 A.当A=u=一1时，不等式f(x)≥0的解集为[一1，十∞) B.当λ2=34时，x=- 是了(x)的极值点 C.当2λ2=9μ时，曲线y=f(x)的对称中心在直线y=1上 D.当4入=：2时，f(x)的所有零点都小于0 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.设等差数列{am}的前n项和为Sn,若a2十a4=0,2a2十a6=2,则S1o= 13.已知椭圆号+苦=1的焦点分别是R,R,点M在椭圆上，如果Fi,Fi=0,那么点M 到x轴的距离是 14.将1,2,3,4,5,6随机填人如图所示的三角形图形中的6个圈中，每个数恰好出现一次，则三 角形三边上的数字之和均相等的概率为 (三)·数学第2页（共4页） 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(13分)》 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin B+(b+c)sinC=asin A. (1)求A; (2)若a=7,b十c=8,求△ABC的面积. 16.(15分) 甲、乙两人共同参加某公司的面试，面试分为初试和复试，若初试不通过，则不用参加复试， 复试通过则被录用，否则不放录用。已知甲通过初试和复试的概率分别为号，号，乙通过初试 和复试的概率均为号，两人是否通过面试相互独立。 (1)求甲、乙两人至少有1人通过初试且没有通过复试的概率； (2)设两人中被录用的人数为X,求X的分布列及数学期望. 17.(15分) 已知抛物线C:x=2py(p>0)的焦点为F,P(x,y)为C上的一个动点（不与坐标原点重 合)，1PF|-y=1. (1)求C的方程； (2)过点P作抛物线C的切线1，且过点P作1的垂线交C于另一点Q,求|FQ的最小值， (三)·数学第3页（共4页） 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PD,O是AD中点， PO⊥平面ABCD,PO+AB=4. (1)求四棱锥P-ABCD体积的最大值 (2)设PO=2,E为线段AB上的动点。 ①求平面PAD与平面PEC的夹角余弦值的取值范围； ②四棱锥P-ABCD的外接球记为球M,当E为线段AB 的中点时，求平面PEC截球M所得的截面面积. 显一府出出四名出级的时软共，公8，际 如 19.(17分) 已知函数)= (1)讨论f(x)的单调性； (2)当x>0时，x2f(x)≥(a十1)x+lnx恒成立，求实数a的取值范围； (3)设m,n是两个不相等的正数，且m十lnn=n十lnm,证明：m十n+ln(mn)>2. (三)·数学第4页（共4页）2026届全国高考压轴密卷（三） 数学答题卡 姓 名 贴条形码区 准考证号 考生禁填 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，请认真核对条形 码上的准考证号，姓名。 注 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用黑色字迹的钢笔 填 正确填涂 缺考考生，由监 或签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 考员用2B铅笔填 意 涂 涂下面的缺考标记 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的 答案无效：在草稿纸，试题卷上答题无效。 样 □ 项 4.作图可先用2B铅笔画出，确定后用钢笔或签字笔的黑色字迹覆盖。 例 5.保持清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 缺考标记 纸刀。 选择题 1ABCD 6ABCD 11 ABCD 2A BC D 7 AB CD 3AB C D 8 AB C D 4AB CD 9AB CD 5ABCD 10A☒B@D 填空题 12. 13 14 请勿在此区域内作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 解答题 15. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 (三)数学第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18. D 1-0 E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 三)数学第2页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请勿在此区域内作答 19. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效