2026年全国高考压轴密卷 数学试题(4)

2026届全国高考压轴密卷（四） 数学答题卡 姓 名 贴条形码区 准考证号 考生禁填 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考正号填写清楚，请认直核对条形 码上的准考证号、姓名。 注 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用黑色字迹的钢笔 管 正确填涂 缺考考生，由监 或签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 考员用2B铅笔填 涂 涂下面的缺考标记 事 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的 答案无效：在草稿纸，试题卷上答题无效。 样 项 4.作图可先用2B铅笔画出，确定后用钢笔或签字笔的黑色字迹覆盖 例 5.保持清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液，修正带、刮 缺考标记 纸刀。 选择题 1ABC D 6ABCD 11 ABCD 2 AB CD 7 A BC D 3ABCD 8ABCD 4ABCD 9ABCD 5ABC D 10ABCD 填空题 12 13. 14. 请勿在此区域内作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 解答题 15. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 四)数学第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18. 请勿在此区域内作答 19. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 (四)数学第2页（共2页）绝密★启用前 2026届全国高考压轴密卷（四） 数 学 中 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。 2.作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答 题卡上的非答题区域均无效。 3.考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 瓷 合题目要求的 1.已知集合U={0,1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={1,5},则Cu(AUB)= A.{0,4} B.{2,5} C.{0,5} D.{2,3,4} 2.已知：是复数：为复数：的共轭复数，且为纯虚数，则。…2 A.1 B.2 C.-1 D.-2 3.函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=2-5x十a,则f(a)= A.-6 B.-4 C.4 D.6 4.在△ABC中，若内角A,B,C满足sinA:sinB:sinC=1:√3：√7，则最大的角为 A B. π c D 如 5.已知sin(e+B)=3m,sin(a-)=一m,且a,≠经(k∈z,则ang tan a 的 A.2 B.3 C.-2 D.-3 6.如图，一个底面半径为2，高为8的圆柱形油桶水平放置在地面上，此时桶内有油部分的高度 为1，则油桶直立时，油的高度为 A.2 &g-2 C.1 D.4-1 7.已知直线l:x-my-4=0与圆C:x2+y2-6x-4y十5=0相交于M,N两点，且CM.CN 0,则m 都 B. 1 c n号 (四)·数学第1页（共4页） 8.已知集合A={1,2,3,4},B=1,2,3,4,5},从集合A中任取3个不同的元素，其中最小的元 素用a表示，从集合B中任取3个不同的元素，其中最大的元素用b表示，记X=b一a,则 P(X=3)等于 A易 &着 c n号 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知Sn是等差数列{an}(n∈N·)的前n项和，且S1o>0,a6<0,则下列说法正确的是 A.{an}的公差d<0 B.a4+a5十a6<0 C.S11>0 D.S5>≥S 10.已知函数f(x)=sinx,g(x)=2sin2x,则 A.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 B.f(x)与g(x)的图象存在相同的对称轴 C.当x∈[一π，π]时，f(x)与g(x)的图象有5个公共点 D,将f(2x)的图象向右平移受个单位长度后，再向上平移1个单位长度可得g(x)的图象 1.已知双曲线C:等-苦=1的右顶点为M,其左、右焦点分别为R,F,过R的直线交双曲 线C的右支于A,B两点，记△F1AF2,△F1BF2内切圆的圆心分别为O,O2,半径分别为 r1,r2,则下列说法正确的是 A.△OO2F2是锐角三角形 B.M,O1,O2三点共线 C.F,Oi·FM=25 D.1+2≥23 rI r2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点关于其准线对称点坐标为（一3,0），则p的值为 13.已知函数f(x)=3x3-sinx+x,则满足f(x)+f(4一3x)<0的x的取值范围是 14.已知2,3,4，m,n,20,30,40为递增数列，其中m,n∈N·,且该数列中任意抽取4项（按原顺 序)既不是等差数列也不是等比数列，则满足条件的有序实数对(m,n)的个数为 (四)·数学第2页（共4页） 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知数列{a}中，a=3,a=15,且数列{ 为等差数列， (1)求{an}的通项公式； (2)记三为数列日)的前a项和，证明：S<是 16.(15分) 已知圆E:号+芹-10>6>0)的离心率为 ,且E过点(1,0) (1)求E的方程； (2)若斜率为2的直线l与y轴交于点D,与E交于M,N两点，证明：DM2+|DN|2为定 值. 17.(15分) 如图，点C在以O为圆心，AB为直径的圆的圆周上运动（异于A,B两点），P为平面 ABC外一点，且PA⊥平面ABC,AF⊥PC交PC于点F,PA=AB=6,E是PB的中点， (1)证明：EF⊥PB; (2)当PF=3FC时，求平面PBC和平面ACE夹角的正弦值. 1 (四)·数学第3页（共4页） 18.(17分)》 诺闲名☆出 已知函数f(x)=x-aln(1十x),a∈R. (1)当a=1时，求f(x)的极值； (2)若f(x)在区间(-1,0)上存在零点xo, (i)求a的取值范围； (i)证明：当-1<x<0时，f(x)>f(xo)恒成立. 19.(17分) “石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下： ①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头； ②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为 平局 现有n(n≥3)人玩游戏. (1)分别求3人，4人玩一轮游戏，平局的概率p(3),p(4); (2)求n(n≥3)人玩一轮游戏，平局的概率p(n)(结果用n表示)； (3)设当n=5时，玩2轮游戏，求最终决出唯一获胜者的概率Q. 石头剪刀布 (四)·数学第4页（共4页）2026新高考单科模拟综合卷（四）》 数学·参考答案 1.已知A={1,2,3},B={1,5},则AUB=(1,2,3,5).已知U={0,1,2,3,4,5},AUB={1,2,3,5},所以 Cu(AUB)={0,4}.故选A. 2.A设g=x+i(x,y∈R),则+=x+1士D(x-1二9=父-1+y-2y=x2-1+y2 2-1=(x-1+yi)(x-1-yi)(x-1)2+y2 (x-1)2+y 《红一十y因为岩为纯虚数，所以-1+y=0且≠0，即+y=1且)≠0，…=+十y=1故 2yi 选A. 3.C由题意可得f(0)=1十a=0,解得a=-1,则f(a)=f(-1)=-f(1)=-(2-5-1)=4.故选C. 4.D在△ABC中，因为sinA:sinB:sinC=1:√3：√7，利用正弦定理可得BC:AC:AB=1:√3：√7.设BC =,则AC=5点，AB=V7k,最大的角为角C,利用余弦定理可得os∠ACB=AC+BC-AB 2·AC·BC 5+7-停，又∠ACBE(,i∠ACB=晋放选D 2·√3k·克 5.A sin (a+B)=sin acos B+cos asin B=3m,sin (a-B)=sin acos B-cos asin B=-m,2sin acos B= cosasin B,即tang=2tana,所以an2=2.故选A tang 6,B油桶水平放置时，液体形成柱体的底面面积为S=Sg一S三=号×x×2-号×2×写=音x一厅， 设油桶直立时，油的商度为，则V:-(号一5)X8=X2X,解得A=8-2故选B, 7.A由圆C:x2+y2-6x-4y+5=0,即(x-3)2+(y-2)2=8,可得圆心C(3,2),半径r=22,又CM, C=0,所以CM1CN,即△CMN为等腰直角三角形，所以圈心C到直线1的距离d=号，=2，即d= 3-2二4=2，解得m=冬，故选A √1+m 8.C根据题意，从集合A中任取3个不同的元素，有4种可能，分别为：(1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}， 其中最小的元素a的取值分别为1,2.从集合B中任取3个不同的元素，有10种可能，分别为：{1,2,3}，{1， 2,4),{1,2,5},(1,3,4),(1,3,5},{1,4,5},{2,3,4),(2,3,5),(2,4,5},{3,4,5},其中最大的元素b的取值分 别为3,4,5.当=4时，有3种情况，此时a=1有3种情况，当b=5时，有6种情况，此时a=2有1种情况， 所以X=6-a=3有3X3+1X6种情况，所以P(X=3)=3X3X6=号.故选C 4×10 9.AD由S0=10(a,十a0）=5(a6十a6)>0,由于a4<0,故as>0,因此d=a6-a5<0,A正确；a4十a5十a6 2 =3a>0,B错误，S1=1(a,十a)=1a6<0,C错误；由于a6<0,故as>0,故S,是S,中最大的项，故 2 S≥Sn,D正确.故选AD. (四)·数学参考答案第1页（共6页） 10.BC函数g(x)=2sin2x=一cos2x十1，函数f(x)的最小正周期为2π，g(x)的最小正周期为π，A错误；函 数fx)图象的对称轴为x-受+，k∈乙，g(受+x)=-cos(x十2km)十1=2，即直线x=受+，k∈Z 是函数g(x)的图象的对称轴，B正确；由f(x)=g(x),得sinx=0或sinx=2,而x∈[一不，]，解得x∈ (-,0,吾，m,则当x∈[-，时，fx)与gx)的图象有5个公共点，C正确；f(2x)=sin2x,平移后 得到的函数解析式为y=sin2(z-受）十1=一sin2x+1≠g(x),D错误.故选BC, 11.BC因为点O1是△F1AF2的内心，所以∠AF2O1=∠F:F2O,同理可得 ∠BF,O=∠FF,O.因为∠BF:A=,所以∠F,FO,+∠FFO:=,即 02 ∠OF,O2=受，故△0，O,F,是直角三角形，故选项A错误；设双曲线C的焦距 为2c,实轴长为2a,作O1D⊥x轴，作OE⊥AF1,作OF⊥AF2,则根据三角形内 心的性质及双曲线的定义可得|F,D=令(AR,|+AF:+F,F:-2AF1-2FF,) 合(F,F:+AF,-AF:)=号(2c+2a)=a+c,所以点D就是双曲线的右顶点M,则O,ML x轴.同理可证O2M⊥x轴，因此M,O1,O2三点共线，故选项B正确；由题可得|F1M=c+a=3+2=5,由 选项B可知MO⊥F1M,所以FO·FM=(FM+MO)·FM=FM.FM+MO.F,M=25,故选项 C正确；在Rt△OFO2中，由射影定理可得r1r2=|OM|O2M|=|FzM2=(3-2)2=1,则由基本不 等式可得+号>≥2只·层=2区，当且仅当头-号，即=号厄时等号成立，放选项D错误放 rI r2 选BC 122焦点坐标（多，0），准线方程x=一多，焦点关于准线方程对称点的坐标为(-碧，0），因此-碧=一3， 2 .p=2. 13.(2,十∞)f(x)=3x3-sinx十x,定义域为R,f(-x)=一3x3+sinx-x=一f(x),为奇函数，又 f(x)=9x2-cosx十1≥0，所以f(x)在R上单调递增，所以f(x)+f(4-3x)<0即f(x)< -f(4-3x)=f(3x一4)→x<3x-4→x>2,即x的取值范围是(2，十∞). 14.75该数列中任意4项（按原顺序）既不是等差数列也不是等比数列，可知m的取值可从6,7,8,9,11,12， 13,14,15,16,17,18中选取(m=5时，2,3,4,5成等差数列，m=10时，10,20,30,40成等差数列，不合题 意)，n的取值可从7,8,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19中选取(n=10时，10,20,30,40成等差数列，不合 题意)，且需满足m<n,当m=6时，n的取法有12种；当m=7时，n的取法有11种；当m=8时，n的取法有 10种；当m=9时，n的取法有9种；当m=11时，n的取法有8种，依次类推，当m=18时，n的取法有1种； 则(m,m)的可能取法有12+11++2+1=12？+1=78（种），其中当m=6,m=8时，2,4,6,8成等差数 2 列，不合题意；当m=8,n=16时，2,4,8,16成等比数列，不合题意；当m=8,n=14时，2,8,14,20成等差数列， 不合题意，故满足题意的(m,n)的取法有78-3=75（种）. (四)·数学参考答案第2页（共6页） 15.解：(1)因为数列{a.》中，a1=3,a3=15,且数列{2m为等差数列， 所以设数列{%}的公差为d,则2d=3一a1=5-3=2,故d=1,…2分 所以a=a1+(n-1)d=3+n-1=n+2,故an=n2+2m. ……6分 …8分 所以s=[(1-号)+（合）+（合-号）++(n品)+（分2）】 =(1+号-十2)=号-2a8+2<，故原不等式成立.…13分 2n+3 b=1 16.(1)解：由题意得 a-得a=2, ………3分 a 2 放E的方程为十2=1.……7分 (2)设D(0,t),M(x1y),N(x2,y2),则直线l的方程为y=2x+t x21联立，得82十4红十2-40，………………… D 则4=16(8-)>0，且+=-台=”。， 8，…11分 所以|DM2+|DNI2=x号+(y1-t)2+x号+(y2-t)2 =x1+(2x1)2+x+(2x2)2=5(x1+x)=5[(x1+x2)2-2x1x2]=5, 放DM2十|DN2为定值.……15分 17.(1)证明：因为点C在以O为圆心，AB为直径的圆的圆周上运动， 所以BC⊥AC. 因为PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以PA⊥BC, 因为PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC, 所以BC⊥平面PAC 因为AFC平面PAC,所以BC⊥AF.……2分 因为PC⊥AF,BC∩PC=C,BC,PCC平面PBC, 所以AF⊥平面PBC,又因为PBC平面PBC,所以AF⊥PB.……………………4分 因为PA=AB=6,E是PB的中点， 所以AE⊥PB,且AE∩AF=A,AE,AFC平面AEF, 所以PB⊥平面AEF, ………6分 因为EFC平面AEF,所以EF⊥PB.…7分 (四)·数学参考答案第3页（共6页） (2)解：设AC=x,0<x<6, 则PC=√/36+x 由等面积法可得AF=PA·AC 6x PC √36+x 因为PF=3FC,所以PF=3√36+ 4 -,FC=36x 4 因为△MFCn△PFA,所以瓷-得，即AF:=PF·FC, 即36x=336+Z.36十2，解得2=12，即AC=2,/5.…9分 36+x 4 4 cas∠CAB=AS=25=号.因比血∠CAB= 3, ACsin∠CAB=2w2,ACcos,∠CAB=2, 以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),P(0,0,6),E(0,3,3),B(0,6,0),C(2√2,2,0)， AC=(2√2,2,0)，AE=(0,3,3),BC=(2√2，-4,0)，Pi=(0,6,-6), 设平面ACE的一个法向量为m=(x1,y1,2), (m·AC=2√2x1+2y=0, 所以 令x1=1,可得y1=-√2，x1=√2， m·AE=3y1+3z1=0, 即m=(1,-√2W2) 设平面PBC的一个法向量为n=(x2y2,z2), 「n·BC=2W2x2-4y2=0, 所以 令x2=√2，可得y2=x2=1,即n=(W2,1,1).…11分 n·Pi=6y2-6z2=0, 设平面PBC和平面ACE的夹角为a, 则oa=osm1=摄调-年2x2 ② W10 10 ,…14分 所以平面PBC和平面ACE夹角的正弦值为3，@ ………………………………15分 10 18.解：1)当a=1时，f(x)=x-ln(1+x),x∈(-1，+∞)，f(x)=1千x ………………………2分 当xe(-1,0)时，f(x)=千z<0,当x(0,+)时，f(x)=1千z>0, ∴f(x)在（一1,0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增，有极小值f(0)=0,无极大值.……4分 (2)(1)f(x)=1-1+x1+x ,a=x+1-a 当a<0时，由于f(x)=1-1千x>0恒成立，所以f(x)在(-1,0)上单调递增， 四)·数学参考答案第4页（共6页） 又f(0)=0,f(x)在（一1,0）上无零点；………………6分 当a≥1时，由于xe(-1,0),故f(x)=x+1二a<0恒成立， 1+x 所以f(x)在(-1,0)上单调递减，又f(0)=0, f(x)在（一1,0）上无零点；……8分 当0<a<1时，x∈(-1，a-1)时，有（x)=十1二a<0,放f(x)在(（-1，a-1)上单调递减， 1+x x∈(a-1,0)时，有f(x)=十1二a>0,故f(x)在(a-1,0)上单调递增， 1+x 所以有f(a-1)<f(0)=0, 又因为当x→-1时，f(x)=x-aln(1+x)→+∞， .3x0∈(-1，a-1),使f(x0)=0. 综上a∈(0,1).…10分 (i)由(1)可知，当-1<x<0,a∈(0,1)时，f(x)≥f(a-1)=a-1-alna>a-1,…11分 f()=1-1云，且f,)=-alh(1+x)=0,得a=nG .要证f(x)>f(xo),只要证f(a-1)>f(xo), 要证f(a-1>（x),只要证a-1>1-7…12分 即证n(1十x6) xo -2>-(1+x)1n(1+xo)' 只需证x十1十x0 Z0-21n(1+xo)<0, ……13分 令=1+xe(0,1),h(e)=t--2n N()=1+是-兰=（日-1）>0a()在(0,1)上单调递增。 又h(1)=0,.h(t)0,……………………… …15分 ,1-21n(1+x)<0台x+1十x 即1十x6一1千0 ,x-2ln(1+xo)<0, 由上不等式成立可知原不等式f(x)>f(x0)恒成立.……17分 19.解：(1)p(3)=C十A=1 33 3，…2分 (4)=Ci+CiA_13 3 27 …………4分 (2)由于平局的情况比较多，我们可以考虑n人玩游戏分出胜负的概率P, p-C5(C+Cg+…+C1)-3(2-2)=2-2 3” 31-1, ……8分 其中C号表示分出胜负的三种情况，即n人只出了①石头，剪刀；②石头，布：③剪刀，布，此时分胜负， 而分出胜负与平局是对立事件， (四)·数学参考答案第5页（共6页） 故P=1-P=1-2”-2 …10分 (3)解法一：由于5人玩2轮游戏，最终决出唯一获胜者， 情形一：第一轮平局，第二轮决出唯一获胜者， 此时P=(1-)）·(C）=}×多-， ………11分 情形二：第一轮淘汰1位游戏者，第二轮淘汰3位游戏者，决出唯一获胜者， 此时P:=(C）·(巴C）=多×=2， ……………12分 情形三：第一轮淘汰2位游戏者，第二轮淘汰2位游戏者，决出唯一获胜者， 此时卫，=(C）·(C)-”×是=2， ……………13分 情形四：第一轮淘汰3位游戏者，第二轮淘汰1位游戏者，决出唯一获胜者， 此时R,-(C）小(C）-×8-g…14分 综上所述，Q=P,+P2+P,+P,=85+20+90+180=375=125 729 …………17分 37 37 解法二：记P(n,m)表示n个人玩一轮游戏，恰好剩m人的概率， 当m<n时，P(n,m)=CC=C 3 当m=n时，P(,m）=1-2二2， 3-； 13分 5人2轮游戏决出唯一获胜者的概率Q, Q=P(5,5)P(5,1)+P(5,4)P(4,1)+P(5,3)P(3,1)+P(5,2)P(2,1) -1-)导+导·+·+导·导-- 729 ………17分 (四)·数学参考答案第6页（共6页）