专题09正方形性质与判定压轴专项训练(知识梳理+12大题型+突破题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题09正方形性质与判定压轴专项训练 【温馨提示】12大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.正方形手拉手模型 题型02.正方形一线三垂直模型 题型03.正方形折叠问题 题型04.正方形勾股定理计算题 题型05.正方形动点问题 题型06.正方形最值问题 题型07.正方形构造特殊图形题 题型08.正方形拼接题 题型09.正方形阴影面积题 题型10.正方形图形判定题 题型11.正方形与坐标系综合 题型12.正方形旋转综合 知识点01:定义：三条件锁定 “正方形身份” 核心定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 ✅三个必备条件：平行四边形 + 邻边相等 + 一个直角（缺一不可，“且” 不能换 “或”） ✅身份双重认证：正方形是特殊矩形（邻边相等的矩形），也是特殊菱形（有直角的菱形），完美继承两者所有性质！ 知识点02:性质：“全能王者” 的五大核心特征 正方形是几何图形的 “六边形战士”，边、角、对角线、对称性、面积均有专属秒杀结论，压轴题直接用！ 类别 性质描述 几何语言（以正方形 ABCD 为例，对角线交于 O） 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03:判定：“两步法” 精准判定，拒绝易错 判定正方形的核心：先定 “基础型”，再补 “特殊条件”，绕开 “直接判定” 的易错坑，分两条路线走，压轴题证明题直接套用！ 路线 1：先证是矩形，再补 1 个条件成正方形 条件 1：有一组邻边相等的矩形是正方形 条件 2：对角线互相垂直的矩形是正方形 路线 2：先证是菱形，再补 1 个条件成正方形 条件 1：有一个角是直角的菱形是正方形 条件 2：对角线相等的菱形是正方形 压轴题高频易错点：直接说 “对角线相等且垂直的四边形是正方形”→ 错误！必须先证是平行四边形，再用上述判定！ 终极易错清单：避开 5 大坑，压轴题不丢分 1.性质混淆：漏记对角线 “相等且垂直” 的双重特征，只记其一； 2.判定误用：缺少 “平行四边形” 前提，直接判定对角线相等且垂直的四边形为正方形； 3.对称性误区：认为正方形只有 2 条对称轴，漏算对角线所在的 2 条； 4.计算错误：已知对角线求面积忘记 ÷2，或边长求对角线漏乘√2； 5.模型用错：正方形内见垂直不联想十字架模型，见共顶点等腰直角不选手拉手模型。 题型01.正方形手拉手模型. 【典例】如图，已知四边形和四边形均为正方形，且G是的中点，连接，若，则的长为 _________． 【跟踪专练1】如图，两个相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为______． 【跟踪专练2】已知， (1)感知：如图①，在外分别作正方形和，连结和，判断线段和的关系，并说明理由． (2)探索：在图①中，连、、，当时，则四边形的面积是________． (3)应用：如图②在外分别作正方形和，是的中点，，分别是正方形的中心，当，，则的面积最大值为________． 【跟踪专练3】在正方形中，点在对角线上运动，以为边作正方形，连接． (1)初步探究：如图1，则与的数量关系是___________，与的位置关系为___________． (2)探索发现：如图1、2，点在线段及其延长线上运动时，探究线段、和三者之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，连接，若，，求四边形的面积． 题型02.正方形一线三垂直模型 【典例】如图，四边形是正方形，是边上一点，于点，，且交于点．已知，，则的长度为___________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为___． 【跟踪专练2】已知正方形的对角线交于O，M是上一点． (1)如图，于点N，交于点Q． ①求证：； ②若，求的值． (2)如图，M是的中点，线段（点E在点F的左边）在直线上运动，连接，若，，则的最小值是 【跟踪专练3】【问题背景】在正方形中： 如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等（无需证明）； (1)如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【思考应用】 (2)如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交，于，．若正方形的边长为2，，则_____； 【继续探索】 (3)如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (4)如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为，则_____． 题型03.正方形折叠问题 【典例】如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______． 【跟踪专练1】如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为______ ． 【跟踪专练2】如图，，分别是正方形的边，上的点，将正方形纸片沿折叠，使得点的对应点恰好落在边上，要想知道正方形的边长，只需知道（   ） A．的长度 B．的周长 C．的周长 D．的面积 【跟踪专练3】小小的纸片，大大的世界．折纸是同学们十分喜爱的手工活动，通过灵巧的折叠，既能折出精巧别致的图案，又能在操作过程中感受蕴含其中的丰富数学知识． 小亮和小慧将一张边长为4的正方形纸片进行如下折叠操作，请你一起阅读并解决相关问题． 【活动】 小亮：如图1，折叠正方形，使与重合，得到折痕后展开再折叠，使得点A落在的点H上，连接． 小慧：如图2，在边上取点E（E不与A，B重合），连接，将沿翻折． 【理解】 (1)如图1操作，的周长是________． (2)如图2操作，点A的对应点恰好落到对角线上，则的周长是________； 【感悟】 (3)如图3，小慧继续将沿翻折，发现：、B、C三点能构成等腰三角形．请求此时线段的长； 【延伸】 (4)如图4，小慧又在边上取点F（F不与C、D重合），并将四边形沿翻折，使得点A的对应点恰好落在边上，记（为D的对应点）与的交点为G，连接，小亮和小慧探讨发现：线段与的长度之和，即存在最小值，请直接写出该最小值及此时线段的长． 题型04.正方形勾股定理计算题. 【典例】如图，正方形的边长为9，E是的中点，垂直平分且分别交，于点F，G，则的长为______________． 【跟踪专练1】如图，正方形的边长为2，点E是的中点，点P是对角线上的动点，那么的最小值为______． 【跟踪专练2】如图所示，已知正方形边长为，连接平分交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图．在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为．若． (1)求的长； (2)求的长． 题型05.正方形动点问题 【典例】如图，正方形中，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为______． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，P是边上一动点（不与A、B重合），对角线相交于点O，过点P分别作的垂线，分别交于点E、F，交于点M、N，下列结论：①；②；③；④当P是的中点时，，其中正确的结论是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 【跟踪专练2】如图在正方形中，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，求证：． 【跟踪专练3】如图，正方形中，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，连接、和，设运动时间为． (1)当时，如图①所示，则______； (2)若，则______； (3)连接，与和分别交于点，，如图②所示： ①若，求的长和此时的值； ②求证：点是的中点． 题型06.正方形最值问题 【典例】如图，在正方形中，以线段为边在正方形内作等边，点分别是上的点，且．若，则的最小值是___________． 【跟踪专练1】如图所示，四边形为正方形，边长为6，点A，分别在轴，轴的正半轴上，点在上，且的坐标为是上的一动点，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D．6 【跟踪专练2】如图，正方形的面积为6，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，求这个最小值． 【跟踪专练3】正方形对角线，相交于点，为线段上一点，连接． (1)如图，若，，求的长度； (2)如图，为上一点，连接，为上一点，连接，，若，，，求证：； (3)如图，若正方形边长为，延长交于，在上截取，连接交于，连接交于，连接，直接写出的最小值． 题型07.正方形构造特殊图形题 【典例】如图，已知正方形，点E在对角线上，连接，作，交边于点F，以，为边作矩形． (1)判断矩形是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． (2)若线段与正方形的边的夹角为，求的度数． 【跟踪专练1】如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N． (1)①直接写出点C的坐标；②求证：； (2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，求点P的坐标； (3)如图，连接交于F，连接，下列两个结论： ①的长为定值； ②平分，其中只有一个正确，选择并证明． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，点在射线上，点在射线上，且． (1)问题：求证：； (2)问题：求证：； (3)问题：求证：； (4)问题：求证：； (5)问题：下列结论：； ； ；．其中结论正确的有．（填序号） 题型08.正方形拼接题 【典例】“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形、、均为正方形．若，，则______． 【跟踪专练1】.七巧板是中国传统的智力玩具，利用七巧板可以拼出很多有趣的图案．如图①所示的七巧板可以拼成图②中的风车形状，若，则________． 【跟踪专练2】由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．连结，并延长交于点．若，，则的长为__________． 【跟踪专练3】七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形组成，用七巧板可以拼出2600多种图形．如图，图中的正方形就是由七巧板无缝隙、无重叠地拼接而成（简称密铺）．如果设编号为④的三角形的面积为1． (1)直接写出四边形的周长与面积； (2)小明说：他可以用编号分别为③，④，⑤，⑥，⑦的五块板密铺出一个新的正方形，试求这个密铺出的新正方形的边长与面积，并画出密铺之后新正方形的示意图． 题型09.正方形阴影面积题 【典例】如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是___________． 【跟踪专练1】如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和4，则图中阴影部分的面积是______． 【跟踪专练2】如图，在中，，以的三条边为边在上方作正方形，正方形，正方形，且恰好经过点，、交于点，若，则的面积是________． 【跟踪专练3】如图，如图，点A，B，E在同一直线上，正方形，的边长分别为3，4，H为线段的中点，求图中阴影部分的面积． 题型10.正方形图形判定题 【典例】已知四边形中，与相交于点，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（） A．，， B．， C． D． 【跟踪专练1】在平行四边形中，．添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（   ） A． B． C．平分 D．平分 【跟踪专练2】如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的平分线于点F． (1)说明：； (2)当点O运动到何处，四边形是矩形？说明你的结论． (3)当点O运动到何处，与具有怎样的关系时，四边形是正方形？为什么？ 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，点E在射线上，连接，将沿折叠，点B的对应点记为点． (1)如图①，仅使用圆规一次，在射线上找一点E，使点落在上（保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，判断四边形的形状，并说明理由； (3)当点E在射线上运动时，设， ①连接，当时，求x的值； ②当是以为腰的等腰三角形时，求x的值． 题型11.正方形与坐标系综合 【典例】如图，已知正方形的对角线，相交于点，顶点，，的坐标分别为，，，规定“把正方形先沿轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过次变换后，点的坐标变为___________． 【跟踪专练1】如图，正方形的顶点B的坐标为，为x轴上的一个动点，以为边作正方形，点E在第四象限，点M为正方形对角线的交点，直线交y轴于点G，则点M的坐标为______（用含m的代数式表示）；点G的坐标为______． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在x轴上，点E，F和G分别在和的延长线上，点E的坐标为． (1)若点F的坐标为，请直接写出的长； (2)如图(1)，H是正方形外一点．．求证； (3)如图(2)，若，且，请直接用含n的式子表示的长． 题型12.正方形旋转综合 【典例】如图，正方形的两边、分别在x轴、y轴上，点在边上，以C为中心，把旋转，则旋转后点D的对应点的坐标是___ ． 【跟踪专练1】如图，正方形中，，点为正方形外一点，且，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．若，则的长为 _______ ． 【跟踪专练2】如图，正方形的两边，分别在x轴，y轴上．点在边上，以C为中心，把顺时针旋转，则旋转后点D的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪专练3】.【实践探究】 (1)如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，你能说明这是为什么吗？ (2)如图2，与是两块全等的等腰直角三角板，当其中一块的直角顶点P绕另一块的斜边中点转动时，两个三角板重叠部分的面积与的面积有什么关系？请证明你的结论？ (3)【拓展提升】如图3，在四边形中，，，连接．若，求四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09正方形性质与判定压轴专项训练 【温馨提示】12大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.正方形手拉手模型 题型02.正方形一线三垂直模型 题型03.正方形折叠问题 题型04.正方形勾股定理计算题 题型05.正方形动点问题 题型06.正方形最值问题 题型07.正方形构造特殊图形题 题型08.正方形拼接题 题型09.正方形阴影面积题 题型10.正方形图形判定题 题型11.正方形与坐标系综合 题型12.正方形旋转综合 知识点01:定义：三条件锁定 “正方形身份” 核心定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 ✅三个必备条件：平行四边形 + 邻边相等 + 一个直角（缺一不可，“且” 不能换 “或”） ✅身份双重认证：正方形是特殊矩形（邻边相等的矩形），也是特殊菱形（有直角的菱形），完美继承两者所有性质！ 知识点02:性质：“全能王者” 的五大核心特征 正方形是几何图形的 “六边形战士”，边、角、对角线、对称性、面积均有专属秒杀结论，压轴题直接用！ 类别 性质描述 几何语言（以正方形 ABCD 为例，对角线交于 O） 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03:判定：“两步法” 精准判定，拒绝易错 判定正方形的核心：先定 “基础型”，再补 “特殊条件”，绕开 “直接判定” 的易错坑，分两条路线走，压轴题证明题直接套用！ 路线 1：先证是矩形，再补 1 个条件成正方形 条件 1：有一组邻边相等的矩形是正方形 条件 2：对角线互相垂直的矩形是正方形 路线 2：先证是菱形，再补 1 个条件成正方形 条件 1：有一个角是直角的菱形是正方形 条件 2：对角线相等的菱形是正方形 压轴题高频易错点：直接说 “对角线相等且垂直的四边形是正方形”→ 错误！必须先证是平行四边形，再用上述判定！ 终极易错清单：避开 5 大坑，压轴题不丢分 1.性质混淆：漏记对角线 “相等且垂直” 的双重特征，只记其一； 2.判定误用：缺少 “平行四边形” 前提，直接判定对角线相等且垂直的四边形为正方形； 3.对称性误区：认为正方形只有 2 条对称轴，漏算对角线所在的 2 条； 4.计算错误：已知对角线求面积忘记 ÷2，或边长求对角线漏乘√2； 5.模型用错：正方形内见垂直不联想十字架模型，见共顶点等腰直角不选手拉手模型。 题型01.正方形手拉手模型. 【典例】如图，已知四边形和四边形均为正方形，且G是的中点，连接，若，则的长为 _________． 【答案】 【分析】过点作交于点，交于点，则，再证明，得出，再利用勾股定理求线段长即可解答． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 则， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，两个相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，，，即得，得到，进而即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形和四边形是两个相同的正方形，恰好落在正方形的对角线上， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知， (1)感知：如图①，在外分别作正方形和，连结和，判断线段和的关系，并说明理由． (2)探索：在图①中，连、、，当时，则四边形的面积是________． (3)应用：如图②在外分别作正方形和，是的中点，，分别是正方形的中心，当，，则的面积最大值为________． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）令与相交于点，交于点，先证明，即可得，，通过等量代换即可得出，可证； （2）连接、、，由，可求出四边形的面积； （3）连接、、、，由（1）中可得，，由中点的性质，可得出，，，，故，通过图形判断出，即可求出的面积最大值． 【详解】（1）解：，，证明如下： 令与相交于点，交于点，如下图所示： ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∵，， ∴，结合，， ∴， ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴， 综上，和的关系为，； （2）解：连接、、，如下图所示： ∵，， ∴ ， 故四边形的面积是； （3）解：连接、、、，如下图所示： 由（1）中可得，， ∵点为中点、为中点， ∴，， 同理可得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积最大值为； 【点睛】几何体中多小问的题型需要注意小问之间的连贯性，“手拉手”模型以及联立中点构造中位线是大多数几何体中的关键辅助线． 【跟踪专练3】在正方形中，点在对角线上运动，以为边作正方形，连接． (1)初步探究：如图1，则与的数量关系是___________，与的位置关系为___________． (2)探索发现：如图1、2，点在线段及其延长线上运动时，探究线段、和三者之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2)图1中，；图2中，；证明见解析 (3) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，利用全等三角形的性质是解题的关键． （1）利用正方形的性质，可证出，得与数量关系，再根据角度关系得与的位置关系； （2）由（1）中的全等，结合正方形对角线与边长的数量关系即可证出线段、和三者之间的数量关系； （3）利用，，证出关键信息，由此可求的长度，再将四边形分为与，利用全等可得，可用公式求得． 【详解】（1）∵四边形与四边形均为正方形， ∴，即， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：；． （2）解：在图1中，∵， ∴， 为正方形的对角线，为正方形的边长， 故，即； 在图2中，同理可证， ∵， ∴， 为正方形的对角线，为正方形的边长， 故，即； （3）解：∵， 由，得，结合与形成的对顶角， 得， ∴， 在中，由勾股定理，得，解得， ， 连接交于，则，如图3， ， ， ∴四边形的面积为． 题型02.正方形一线三垂直模型 【典例】如图，四边形是正方形，是边上一点，于点，，且交于点．已知，，则的长度为___________． 【答案】6 【分析】先通过证明，进而得到，，从而可得，代入数据进而可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，． 又，， ， ， ． ，，， ， ，， ． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为___． 【答案】 【分析】过点E作轴于点F，易证，得出，，从而证明为等腰直角三角形，即得出点E在的平分线所在的直线上运动，再结合垂线段最短可知当时，最小，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点E作轴于点F，连接， ∵为等腰直角三角形， ∴，，， ∴． ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，即平分， ∴点E在的平分线所在的直线上运动， ∴当时，最小，如图． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识，正确作出辅助线，证明点E在的平分线所在的直线上运动是解题关键． 【跟踪专练2】已知正方形的对角线交于O，M是上一点． (1)如图，于点N，交于点Q． ①求证：； ②若，求的值． (2)如图，M是的中点，线段（点E在点F的左边）在直线上运动，连接，若，，则的最小值是 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质及可证的，进而得到；②连接，作于O交于P，结合①中可证得，进而得到，结合，得到，从而得到，从而可得，于是可得答案； （2）连接，过C作且，连接，可知为平行四边形，根据，转化为求，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）①证明：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ②解：连接，作交DN于点E，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，， 则， 在等腰直角中，有， 由（1）可知，则， 故：； （2）如图，连接，过C作，且，连接，，    ∴， 则为平行四边形， ∴， ，， ∵M为中点且， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【跟踪专练3】【问题背景】在正方形中： 如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等（无需证明）； (1)如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【思考应用】 (2)如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交，于，．若正方形的边长为2，，则_____； 【继续探索】 (3)如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (4)如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为，则_____． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）过点A作，则有四边形是平行四边形，然后可得，进而问题即可得证； （2）连接，交于点K，由折叠的性质可知，同理可得，进而根据勾股定理可进行求解； （3）延长，交的延长线于点I，同理①可得：，然后通过证明，进而根据全等三角形的性质及直角三角形斜边中线定理可进行求解； （4）由题意易得，，则有，然后根据完全平方公式及线段的和差关系可进行求解． 【详解】（1），证明如下： 过点A作，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）连接，交于点K，如图所示： 由折叠的性质可知：， 同理②可得：， 在正方形中，， ∴； （3）延长，交的延长线于点I，如图所示： 同理（1）可得：， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴点D为的中点， ∵， ∴， ∴； （4）同理①可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：（负根舍去）； 题型03.正方形折叠问题 【典例】如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：在正方形中，， ∴，， ∵点B落在边上的三等分点M处， ∴和， 设，则， 由折叠的性质得， 当时，则， 在中，，即， 解得； 当时，则， 在中，，即， 解得； 综上，线段的长为或． 【点睛】注意三等分点有和两种情况，不要遗漏． 【跟踪专练1】如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的折叠变换及其性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，，，由折叠性质得，，根据和求解即可． 【详解】解：由题意知， 设，，， ，， 由折叠性质得：，， ∵， ， ， 又， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，，分别是正方形的边，上的点，将正方形纸片沿折叠，使得点的对应点恰好落在边上，要想知道正方形的边长，只需知道（   ） A．的长度 B．的周长 C．的周长 D．的面积 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 连接，过点B作于点K，则，先证明，再证明，则，，即可求解． 【详解】解：连接，过点B作于点K，则， ∵四边形是正方形， ∴， 由翻折得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为：， 即的周长为正方形边长的2倍，故只需要知道的周长，即可知道正方形的边长，故C符合题意； 对于A、B、D选项条件不足，不能证明， 故选：C． 【跟踪专练3】小小的纸片，大大的世界．折纸是同学们十分喜爱的手工活动，通过灵巧的折叠，既能折出精巧别致的图案，又能在操作过程中感受蕴含其中的丰富数学知识． 小亮和小慧将一张边长为4的正方形纸片进行如下折叠操作，请你一起阅读并解决相关问题． 【活动】 小亮：如图1，折叠正方形，使与重合，得到折痕后展开再折叠，使得点A落在的点H上，连接． 小慧：如图2，在边上取点E（E不与A，B重合），连接，将沿翻折． 【理解】 (1)如图1操作，的周长是________． (2)如图2操作，点A的对应点恰好落到对角线上，则的周长是________； 【感悟】 (3)如图3，小慧继续将沿翻折，发现：、B、C三点能构成等腰三角形．请求此时线段的长； 【延伸】 (4)如图4，小慧又在边上取点F（F不与C、D重合），并将四边形沿翻折，使得点A的对应点恰好落在边上，记（为D的对应点）与的交点为G，连接，小亮和小慧探讨发现：线段与的长度之和，即存在最小值，请直接写出该最小值及此时线段的长． 【答案】(1)12 (2) (3)或 (4)的最小值为，此时线段的长为 【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质，推出，即可求解； （2）根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质得：，，可得的周长，即可求解； （3）分和两种情况进行讨论求解即可； （4）连接，，作，易得四边形为矩形，根据折叠性质得到，证明，得到，进而得到，作点关于的对称点，连接，连接交于点，则，，得到，得到当点在上时，即点与点重合时，，值最小，证明，得到，进而得到为的中点，设，则：，在中，由勾股定理，得：，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 的周长． （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：，， 的周长 ， ； （3）解：当时，此时落在的垂直平分线上， 如图，连接，则， ∴为等边三角形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ， ∴； 当时，在上取点F，使，此时，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 综上所述，的长为或； （4）解：连接，，交于点，作，则：四边形为矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，连接交于点，则：，， ∴， ∴当点在上时，即点与点重合时，的值最小，最小值为， 即的最小值为； 如图： ∵，，， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴． 题型04.正方形勾股定理计算题. 【典例】如图，正方形的边长为9，E是的中点，垂直平分且分别交，于点F，G，则的长为______________． 【答案】 【分析】连接、，设，则，根据垂直平分线的性质得到，在和中，利用勾股定理求出和的表达式，列方程求解即可． 【详解】解：连接、， 四边形是正方形， 、， 是的中点， ， 设，则， 垂直平分， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ． 【跟踪专练1】如图，正方形的边长为2，点E是的中点，点P是对角线上的动点，那么的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，，由正方形的性质可知点B、D关于直线对称，故即是的最小值，根据勾股定理即可得出的长． 【详解】解：连接，， ∵四边形是正方形，E是的中点， ∴点B、D关于直线对称，， ∴ ∴即是的最小值， ∴． 【跟踪专练2】如图所示，已知正方形边长为，连接平分交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理及角平分线的性质，关键是灵活应用知识点解题；过点作于点，设，根据，列方程求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴即：是等腰直角三角形， ∵正方形边长为， ∴， ∴， 设， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 【跟踪专练3】如图．在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为．若． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质以及勾股定理进行求解； （2）设，根据正方形的性质得出直角和相等的边，表示出相关线段的长度，根据翻折的性质得出相等的边和角，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵是的中点， ∴， 由勾股定理得； （2）解：设， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 根据翻折的性质可得， ∴， ∵是的中点， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴的长为． 题型05.正方形动点问题 【典例】如图，正方形中，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为______． 【答案】 【分析】连接，，根据正方形的性质和勾股定理求出的长，由折叠的性质可知，根据两点之间线段最短可知当、、三点共线时，最短，此时． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，如图， ∴的最小值为． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，P是边上一动点（不与A、B重合），对角线相交于点O，过点P分别作的垂线，分别交于点E、F，交于点M、N，下列结论：①；②；③；④当P是的中点时，，其中正确的结论是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】A 【分析】根据正方形的性质证明全等，可判断①结论；根据正方形的性质证明四边形是矩形，可判断②结论；过点作交于点，分别证明四边形是平行四边形，四边形是正方形，可判断③结论；同③理可证，四边形、是正方形，可判断④结论． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 又， ，①结论正确； 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ，②结论错误； 如图，过点作交于点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 由①可知，， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， 四边形是正方形， ， ，③结论正确； 设正方形的边长为，则， 是的中点， ， 同③理可证，四边形、是正方形， ， ， ，， ，④结论错误， 故答案为：①③． 【跟踪专练2】如图在正方形中，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】可先证明四边形是矩形，根据矩形的性质，可得．要证，可转化为证明，所以需要证明．根据正方形的性质用全等判定定理，可证，进而得到，注意书写顺序即可完成证明． 【详解】连接， ∵四边形是正方形，. ∴ ，． ， 又∵， ∴， ∴ ． ∵，，， ∴四边形是矩形． ∴． ∴ ． 【跟踪专练3】如图，正方形中，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，连接、和，设运动时间为． (1)当时，如图①所示，则______； (2)若，则______； (3)连接，与和分别交于点，，如图②所示： ①若，求的长和此时的值； ②求证：点是的中点． 【答案】(1) (2) (3)①；；②见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，再根据勾股定理求解即可； （2）根据，得到，，再根据勾股定理即可求解； （3）①根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到，推出，得到，求得，最后根据勾股定理求出；②过作交于，根据平行线的性质和全等三角形的判定与性质即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ， ，， ； （2）解：， ，， ，， ，即， 解得（负值已舍去）； （3）①解：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； ②证明：过作交于， 则，， ∵， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 点是的中点． 【点睛】综合应用正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型06.正方形最值问题 【典例】如图，在正方形中，以线段为边在正方形内作等边，点分别是上的点，且．若，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】连接，由正方形和等边三角形的性质可得，，，以、为邻边构造平行四边形，与交于点，从而得出点在射线上运动，当时，有最小值，此时有最小值，再在含30度角的直角三角形中求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在正方形中，， ，，， ， 是等边三角形， ， 以、为邻边构造平行四边形，与交于点， ，，， ， ， ， ， ， 点在射线上运动， 当时，有最小值，此时有最小值， ， 在中，， 的最小值是． 【跟踪专练1】如图所示，四边形为正方形，边长为6，点A，分别在轴，轴的正半轴上，点在上，且的坐标为是上的一动点，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查线段最垂直平分线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，熟知正方形的对称性与勾股定理的运用是解题的关键． 连接，由正方形的性质得垂直平分，连接交于P点，然后说明最小值为，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，A点关于直线的对称点C，连接交于P点， ∴， ∴， ∴当C、P、D三点共线时，最小，最小为， ∵， ∴， ∵， ∴最小值为． 故选A． 【跟踪专练2】如图，正方形的面积为6，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，求这个最小值． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质以及最短路径问题的求解，关键是利用对称点将折线转化为直线段，依据“两点之间线段最短”确定最小值．首先利用正方形对角线是对称轴，找到点关于的对称点，将转化为，把的和转化为；然后根据两点之间线段最短，确定当为与交点时，和最小，最小值为的长度；最后由正方形面积求出边长，结合等边三角形边长相等得到的长度，即为所求最小值． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是正方形，是其对角线， ∴点与点关于直线C对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当点为与的交点时，的和最小，最小值为线段的长； ∵正方形的面积为6， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 故的最小值为； 故答案为：． 【跟踪专练3】正方形对角线，相交于点，为线段上一点，连接． (1)如图，若，，求的长度； (2)如图，为上一点，连接，为上一点，连接，，若，，，求证：； (3)如图，若正方形边长为，延长交于，在上截取，连接交于，连接交于，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点作于，由正方形的性质可得，推出为等腰直角三角形，推出，在中，根据勾股定理求出，即可求解的长； （2）过点作直线，交延长线于，交延长线于，连接，根据平行线的性质结合已知的，推出，得到，由可得，结合正方形的性质可得 ，，结合平行线的性质得到，从而证明，得到，， 结合角的等量代换推出，进而可证明四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质可证明，得到，即为的中点，根据直角三角形的中线定理即可证明； （3）取的中点，连接、，结合正方形的性质可得，由勾股定理得到的长，根据垂直平分线的性质可推出，证明，得到，进而得到，推出，得到，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 四边形为正方形， ， 为等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ； （2）证明：如图，过点作直线，交延长线于，交延长线于，连接， 四边形是正方形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， 在与中， ， ， ，即为的中点， ， ， ； （3）解：如图，取的中点，连接、，   正方形边长为， ， ， ， 在正方形中，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形的斜边中线定理，勾股定理，线段最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 题型07.正方形构造特殊图形题 【典例】如图，已知正方形，点E在对角线上，连接，作，交边于点F，以，为边作矩形． (1)判断矩形是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． (2)若线段与正方形的边的夹角为，求的度数． 【答案】(1)矩形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】（1）过E作于M点，过E作于N点，由正方形得，，计算，故四边形为矩形，再证明，得，故矩形为正方形； （2）由（1）知，得，故． 【详解】（1）解：矩形是正方形，理由如下： 过E作于M点，过E作于N点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知，得， ∴． 【跟踪专练1】如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N． (1)①直接写出点C的坐标；②求证：； (2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，求点P的坐标； (3)如图，连接交于F，连接，下列两个结论： ①的长为定值； ②平分，其中只有一个正确，选择并证明． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) (3)“平分”正确，证明见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质求解即可； ②在上取点P，使得，证明即可； （2）过点N分别作轴于点H，于点Q，连接，先证明，得到，然后证明，得到，再计算的长即可； （3）延长到点A，使得，连接，先证明，再证明，得到，进一步推得，然后过点M作于点P，即可逐步证明． 【详解】（1）①解：， ， 四边形是正方形， ， 点C的坐标是； ②证明：在上取点P，使得， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点N分别作轴于点H，于点Q，连接， 由（1）知， 又 四边形是正方形 ， ，， 四边形是平行四边形， ， 点P的坐标为； （3）解：平分成立． 证明如下：如图，延长到点A，使得，连接， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 过点M作于点P， ， ， ， ， 由（1）知， 又， ， 即平分． 【点睛】本题中，3个小题均运用了添加辅助线，构造全等三角形，这是本类题常用的解题方法． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，点在射线上，点在射线上，且． (1)问题：求证：； (2)问题：求证：； (3)问题：求证：； (4)问题：求证：； (5)问题：下列结论：； ； ；．其中结论正确的有．（填序号） 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析； (4)证明见解析； (5)． 【分析】（1）连接，证明，所以，，可证，从而求证； （2）连接，过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，所以，则； （3）延长至，使，连接，证明，则，所以； （4）由问题知，又，，然后通过和差即可求证； （5）连接，，证，即可； 过点作交的延长线于点，过点作于点，证即可； 在上截取，易证，为等腰直角三角形，则有； 同的辅助线可证，，则． 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）证明：延长至，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，且， ∴是等腰直角三角形，则， ∴； （4）证明：由问题知， 又∵，， ∴​； （5）解：连接，，如图， ∵四边形是正方形， ∴垂直平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； 如图，过点作交的延长线于点，过点作于点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，故正确； 如图，过点作交的延长线于点，过点作于点， 同理可得：，， ∴，故正确， 综上可得：正确． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键． 题型08.正方形拼接题 【典例】“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形、、均为正方形．若，，则______． 【答案】4 【分析】本题考查正方形的性质及勾股定理. 根据正方形的面积求出边长，，根据正方形的边长求出，在中利用勾股定理求出，进而得到正方形的边长，最后在中利用勾股定理求出，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵为正方形， ， ∴， ∵为正方形，， ∴，， ∴中，， ∵为正方形， ∴，， ∴中， ， ∴． 【跟踪专练1】.七巧板是中国传统的智力玩具，利用七巧板可以拼出很多有趣的图案．如图①所示的七巧板可以拼成图②中的风车形状，若，则________． 【答案】13 【分析】本题考查了七巧板，熟练掌握七巧板的特征是解题的关键． 先通过正方形⑤的面积得到，进而得到各线段的长度，根据勾股定理可求出，进而证明四边形是菱形，然后根据可得到，即可证明四边形是正方形，从而求出四边形的面积． 【详解】解：如图，连接， ， ，， ， 又∵， ， ∴四边形是菱形， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是正方形， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．连结，并延长交于点．若，，则的长为__________． 【答案】 【分析】由全等三角形的性质可设， 结合正方形的性质可得， 解方程可得，，过点作于点，由等面积法可求得，从而可得，由，可得，可得， 再利用勾股定理即可求得． 【详解】解：∵四边形和都是正方形， ∴，， ∵四个三角形是全等的直角三角形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 过点作于点，则， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 在中，． 【跟踪专练3】七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形组成，用七巧板可以拼出2600多种图形．如图，图中的正方形就是由七巧板无缝隙、无重叠地拼接而成（简称密铺）．如果设编号为④的三角形的面积为1． (1)直接写出四边形的周长与面积； (2)小明说：他可以用编号分别为③，④，⑤，⑥，⑦的五块板密铺出一个新的正方形，试求这个密铺出的新正方形的边长与面积，并画出密铺之后新正方形的示意图． 【答案】(1)周长为，面积为 (2)新正方形的面积为；周长为；示意图见解析 【分析】（1）先求出等腰直角三角形④的腰长，可得正方形⑥的边长，进而得到等腰直角三角形①的腰长，再分别求出等腰直角三角形①和④的底边长，即可求出，进而求出，即可求出四边形的周长与面积； （2）根据③，④，⑤，⑥，⑦五块板的面积和为，可得用③，④，⑤，⑥，⑦五块板密铺出一个新正方形的边长为，即可解答． 【详解】（1）解：∵编号为④的等腰直角三角形的面积为1， ∴等腰直角三角形④的腰长为， ∴正方形⑥的边长为， ∴等腰直角三角形①的腰长为， ∴等腰直角三角形①的底边长为， ∵等腰直角三角形④的底边长为， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为，面积为； （2）解：∵③，④，⑤，⑥，⑦五块板密铺出的正方形的面积刚好是的面积， ∴新正方形的面积为； ∴用③，④，⑤，⑥，⑦五块板密铺出一个新正方形的边长为， ∴新正方形的周长为； 示意图如下： ． 题型09.正方形阴影面积题 【典例】如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是___________． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质，解题关键是题中重合的部分的面积是不变的，且总是等于正方形面积的． 根据题意可得：，所以，从而可求得其面积． 【详解】解：如图， 正方形和正方形的边长都是， ，，， ∴， 在和中， ， ， ； 则图中重叠部分的面积是， 故答案为：1． 【跟踪专练1】如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和4，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查的是中心对称，正方形的性质，连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接， ∵正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和4， ∴正方形的面积分别为25和16，. ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，，以的三条边为边在上方作正方形，正方形，正方形，且恰好经过点，、交于点，若，则的面积是________． 【答案】5.5 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键在于面积的转化．可证明，则，证明，则，那么，由勾股定理得，则，再代入化简得到． 【详解】解：如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵ ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，如图，点A，B，E在同一直线上，正方形，的边长分别为3，4，H为线段的中点，求图中阴影部分的面积． 【答案】6 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形中线等分面积，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 根据正方形的性质得出是直角三角形，由勾股定理求出，即可求解的面积，可得为斜边上的中线，再由三角形中线等分面积即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点，，在同一条直线上，正方形，的边长分别为，， ∴，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵为线段的中点， ∴图中阴影部分的面积是． 题型10.正方形图形判定题 【典例】已知四边形中，与相交于点，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（） A．，， B．， C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：如图： A、∵，， 四边形是平行四边形， ∵， 平行四边形是矩形，不能判定为正方形． B、∵， ， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形，无法判定为正方形． C、， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形． D、，， 四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形，无法判定为正方形． 【跟踪专练1】在平行四边形中，．添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（   ） A． B． C．平分 D．平分 【答案】A 【分析】根据已知条件先得出四边形是菱形，再结合正方形的判定定理，分析各选项即可． 【详解】解：在平行四边形中， ∴四边形是菱形， A、当时，则菱形是正方形，正确； B、菱形本身对角线，故添加，不能使得四边形为正方形； C、菱形本身对角线平分，故添加平分，不能使得四边形为正方形； D、菱形本身对角线平分，故添加平分，不能使得四边形为正方形． 【跟踪专练2】如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的平分线于点F． (1)说明：； (2)当点O运动到何处，四边形是矩形？说明你的结论． (3)当点O运动到何处，与具有怎样的关系时，四边形是正方形？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)当O点运动到的中点时，四边形为矩形，证明见解析 (3)当O点运动到的中点，且时，四边形是正方形，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，，即可得证； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可； （3）先证明四边形是矩形，再根据对角线互相垂直的矩形是正方形，即可得解． 【详解】（1）证明：， ， 又平分， ， ， ， 同理可得：， ； （2）解：当点运动到的中点时，四边形是矩形； 证明如下：当点运动到的中点时，， ， 四边形是平行四边形， 由（1）可得， ， ，即， 四边形是矩形； （3）解：当O点运动到的中点，且时，四边形是正方形， 理由：∵O点为的中点时，四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，点E在射线上，连接，将沿折叠，点B的对应点记为点． (1)如图①，仅使用圆规一次，在射线上找一点E，使点落在上（保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，判断四边形的形状，并说明理由； (3)当点E在射线上运动时，设， ①连接，当时，求x的值； ②当是以为腰的等腰三角形时，求x的值． 【答案】(1)图见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 (3)①；②或 【分析】（1）以点B为圆心，长为半径作弧，交于点E，即为所求作； （2）由折叠结合矩形性质得出四边形是矩形，进而证明是正方形即可； （3）①由折叠知，，，求出，再根据勾股定理求出结论即可；②分两种情况：当时，或当时，分别求出结论即可． 【详解】（1）解：以点B为圆心，长为半径作弧，交于点E，点E即为所求作，如下图： （2）解：四边形是正方形，理由如下： 在矩形中，， ， ， 由折叠知，， ， ，点落在边上， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形； （3）解：①当时，如下图， 在矩形中，，，， 由折叠知，，， ， ∴点三点共线， 在中，， 在中，， ， 解得：； ②当是以为腰的等腰三角形时，分两种情况： 当时，则点在的垂直平分线上，如下图： 作于点M，交于点N，则， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， 由折叠知，，， 在中，， ， 解得：； 当时，如下图： 作于点M，交于点N，则， ∴四边形是矩形， ， 设，则， 在和中，， ， 解得：， ， ， 在中，， ， 解得：， 综上，当是以为腰的等腰三角形时，或． 题型11.正方形与坐标系综合 【典例】如图，已知正方形的对角线，相交于点，顶点，，的坐标分别为，，，规定“把正方形先沿轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过次变换后，点的坐标变为___________． 【答案】 【分析】先根据中点坐标公式求出点的初始坐标为，再根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，结合点坐标平移的特点找到点经过变换后点的坐标规律，即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的顶点，，的坐标分别为，，， ∴正方形的对角线的交点的坐标为， 把正方形先沿轴翻折，再向右平移个单位为一次变换， 则第一次变换后点的坐标为，即， 第二次变换后点的坐标为，即， 第三次变换后点的坐标为，即， …， 第次变换后，当为奇数时，点的坐标为：；当为偶数时点的坐标为：， ∴连续经过第次变换后，点的坐标为：，即． 【跟踪专练1】如图，正方形的顶点B的坐标为，为x轴上的一个动点，以为边作正方形，点E在第四象限，点M为正方形对角线的交点，直线交y轴于点G，则点M的坐标为______（用含m的代数式表示）；点G的坐标为______． 【答案】 【分析】过点做交延长线于点，证得，得到M的坐标，再做轴，即可求得是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，从而求得G的坐标． 【详解】解：如图过点作交延长线于点，   ， ，， ， ， ， ，， ， 又，M为正方形的对称中心， ， 作轴，在中，，， 是等腰直角三角形， 也是等腰直角三角形， 有， ． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在x轴上，点E，F和G分别在和的延长线上，点E的坐标为． (1)若点F的坐标为，请直接写出的长； (2)如图(1)，H是正方形外一点．．求证； (3)如图(2)，若，且，请直接用含n的式子表示的长． 【答案】(1)EF的长为 (2)证明见解析 (3)AG的长为 【分析】（1）过点作于点，利用勾股定理即可求解； （2）作于，在上截取，连接，先证出四边形是矩形，再由得，从而，再由，可得，于是有，利用全等三角形的性质即可得证； （3）过点作，，垂足为、，在上取，过点作于点，延长交于点，连接，则四边形与四边形都是矩形，从而，，，，，进而证明得，，再证，得，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， （2）证明：作于，在上截取，连接，则，，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）解：过点作，，垂足为、，在上取，过点作于点，延长交于点，连接，则四边形与四边形都是矩形，    ∴，，，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 题型12.正方形旋转综合 【典例】如图，正方形的两边、分别在x轴、y轴上，点在边上，以C为中心，把旋转，则旋转后点D的对应点的坐标是___ ． 【答案】或 【分析】根据题意，分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，求出点到x轴、y轴的距离，即可判断出旋转后点D的对应点的坐标是多少． 【详解】解：∵点在边上， ∴，； 若把顺时针旋转，如下图： 则点在x轴上，， ∴； （若把逆时针旋转，如下图： 则点到x轴的距离为10，到y轴的距离为2， ∴， 综上，旋转后点D的对应点的坐标为或． 故答案为：或． 【跟踪专练1】如图，正方形中，，点为正方形外一点，且，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．若，则的长为 _______ ． 【答案】17 【分析】根据旋转的性质得出有关相等的角、相等的边，从而证明四边形为正方形，再根据勾股定理求出的长，就可得到． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转得到，， ∴, ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴． 设， ∵， ∴， 在正方形中，， 在中， 根据勾股定理，得， 解得， ∴． 【跟踪专练2】如图，正方形的两边，分别在x轴，y轴上．点在边上，以C为中心，把顺时针旋转，则旋转后点D的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据顺时针旋转的特征画出图形，然后根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴当顺时针旋转时，旋转后的与重合， ∴， ∴点共线， ∴ ∴． 【跟踪专练3】.【实践探究】 (1)如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，你能说明这是为什么吗？ (2)如图2，与是两块全等的等腰直角三角板，当其中一块的直角顶点P绕另一块的斜边中点转动时，两个三角板重叠部分的面积与的面积有什么关系？请证明你的结论？ (3)【拓展提升】如图3，在四边形中，，，连接．若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)两个三角板重叠部分的面积，见解析 (3)18 【分析】（1）证明，进一步根据图形的面积关系进行解答即可； （2）连接，证明，进一步根据图形的面积关系进行解答即可； （3）过点A作于点M，于点N，证明，则，，得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形 ∴，， ∴ 正方形 ∴‘’ ∴，且， ∴ ∴ ∴； （2）解：两个三角板重叠部分的面积， 理由如下：连接， ∵是等腰直角三角形，点P为中点 ∴，， ∴ ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴ （3）解：过点A作于点M，于点N， ∵，， ∴，且 ∴，且， ∴ ∴，， ∴， ∵ ∴四边形是矩形，且 ∴四边形是正方形 ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $